三.平稳随机过程
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程
所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得
RYX ( ) AB cos( ) 2
随机分析
引言
一、均方收敛及均方连续 二．随机过程的均方导数 三．随机过程的均方积分
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列
｛Xn,n=1,2,…｝和随机变量X,E(X2)<+,若有
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B,
, 为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，求RXY()。
解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[ A sin( t )B sin( t )]
0
1
1 1 1 [cos2 m x cos2 ( 2n m ) x ]d x 2 2 0 0
m0 m0
只与m有关，所以 {Xn}为平稳序列。
例4：考虑随机电报信号，信号X t 由只取 I 或 I的电流给出。 P X t I 1 , 2 而正负号在区间 t , t 内变化的次数N t , t 是随机的， 且假设N t , t 服从泊松分布，即： e P N t, t k k 0,1, 2, k! 其中 0是单位时间内变号次数的数学期望，
上述结果与t 无关,故若τ<0时,只需令t=t+τ，则有
E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t ' ) X ( t ' )] E[ X ( t ' ) X ( t ' | |)] I 2e 2| | 故这一过程的自相关函数为
平稳随机过程
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
第3章 随机过程及答案
互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12
数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]
x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
这与R()的实偶性相对应。
23
例题
[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )
n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t
T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )
第三章 平稳随机过程
RX
(t1, t2 )
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )
2]
cos[0 (t1
t2 )]}
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )
2]}
a2 2
E{cos [0 (t1
t2 )]}
cos[0(t1 t2 )]cos2 sin[0(t1 t2 )]sin 2 此项为零
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
X (t) A cos(t )
E[ X (t)] E[ Acos(t )] E[ A] E[cos(t )] =E[cos(t) cos sin(t) sin ] =0
X (t)平稳
cos( ) cos cos sin sin
随机变量在[0, 2 ]上均匀分布.
E[cos ] E[sin ] 0
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
幅度、相位和频率都是随机的
RX (t,t ) E[ X (t) X (t )]
X (t) A cos(t )
X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
Exercise 3.3
判断图示的四个随机过程是否平稳
随机频率的正弦信号
E[ X (t)] E[a cos(t )]
X (t) a cos(t ) X (t)不是平稳过程
3.1 平稳随机过程
sin[2 (2t )] sin(2 )
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
金融工程随机过程
一个随机过程就是随机变量按时间编排的集合。
一.平稳随机过程若一个随机过程的均值和方差在时间过程上保持常数，并且在任何粮食其之间的协方差仅依赖于改良时期之间的距离或滞后而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平稳随机过程。
在时间序列文献中，这种随机过程被称为弱平稳，协方差平稳，二阶平稳或广义随机过程。
令随机时间序列有如下性质：t Y 均值：E （）=t Y µ方差：Var （）=E =t Y 2)(µ−t Y 2δ协方差：=E[（-）（-）]k R t Y µK t Y +µ即滞后k 的协方差[或自（身）协方差]，是和，也就是相隔k 期的两个Y 值之间k R t Y K t Y +的协方差。
假如把Y 的原点从移到，若平稳，则的均值，方差和自协方差必须和的一t Y m t Y +t Y m t Y +t Y 样。
即一个时间序列是平稳的，则它的均值，方差和（各种滞后的）自协方差都保持不变。
对一个非平稳时间序列，它要么均值随时间而变化，要么方差随时间而变化，或二者同时发生变化。
若一个随机过程的均值为0，不变方差为，而且不存在序列相关，那么称之为纯随机或2σ白噪音（white noise ）过程。
若它还是独立的，称为严格白噪音。
二，非平稳随机过程经典的例子是随机步游模型（yandom walk mode,RWM ）.通常认为股票价格和汇率之类的资产价格服从随机步游，即是非平稳的。
随机步游一般分为两类，即不带漂移的和带漂移的。
（一）不带漂移的随机步游假设是均值为0和方差为的白噪音误差项，若:t u 2σ=+，（1）t Y 1−t Y t u 则称序列为随机步游，它实际是一个AR （1）模型。
t Y 有效资本市场假设者认为，股票价格本质上是随机的，因此股市不存在有利可图的投机空间；如果一个人能基于股票今天的价格预测明天的价格，那我们早就都是百万富翁了。
根据（1）式，有：=+，1Y 0Y 1u =+=++，2Y 1Y 2u 0Y 1u 2u =+=+++，3Y 2Y 3u 0Y 1u 2u 3u=+t Y 0Y ∑tu 从而，有：E （）=E （+）=+=t Y 0Y ∑t u0Y ∑)(t Eu 0Y 根据方差的定义，有：Var （）=E （）-（E ），t Y t Y 2t Y 2其中，E （）=E[+]=E[+2+（）]t Y 20Y ∑t u 20Y 20Y ∑t u ∑t u 2=E +2E （）+E[（）]0Y 20Y ∑t u ∑t u 2=E +E[（）]=+E[（）]0Y 2∑t u 20Y 2∑t u 2（）=，∑t u 20Y 2故Var （）=E[（）]t Y ∑t u 2=E[（++…u ）]1u 2u t 2=E +E +…+Eu +E （…）+……1u 22u 2t 21u 2u =E +E +…+Eu ，1u 22u 2t 2Var （u ）=E （u -Eu）=E （u ）=，t t t 2t 22σVar （）=t 。
随机信号分析 第三章平稳随机过程(3)
2.9随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独 立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]= σ2 求X(t)的数学期望和自相关函数.
解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:
Байду номын сангаас
E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)] =E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0
1.4：随机变量X在[ , a]上均匀分布，证明 的方差a 2 / 3, x 1 特征函数为C( ju ) sin ua. au
解：因为X服从均匀分布，所以可 以些出它的概率密度函 数： 1 p ( x ) 2a , x a 0, 其他 1 x2 a 所以E[ x] xp( x)dx * 0, 2a 2 a a
R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[( A cos wt B sin wt )( A cos w(t ) B sin w(t ))] E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ AB] cos wt sin(wt w ) E[ AB] sin wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) E[ A 2 ] cos wt cos(wt w ) E[ B 2 ] sin wt sin(wt w ) 2 cos w R X ( )
例4：随机变量X和Y之间成线性关系：Y=X+5,已 知X服从标准的高斯分布，求所机变量Y的概率密度。
解：随机变量X和Y之间存在唯一的反函数，其表达式为X=Y-5
则f(y)=y-5,|f’(y)|=1,
第十二章 平稳随机过程
1 1 = ∫ {cos( 2πτθ ) − cos[2π ( 2t + τ )θ ]}dθ 2 0 1 , τ =0 = 2 0 , τ ≠ 0
所以X(t)是平稳过程. 是平稳过程. 所以 是平稳过程
18
联合平稳随机过程 联合平稳随机过程 定义3 定义 设{X(t), t ∈T }和{Y(t), t ∈T }是两 和 是两 个平稳过程 过程， 个平稳过程，如果它们的互相关函数 E[X(t)Y(t +τ)] 和E[Y(t)X(t +τ)]仅与τ 有关 仅与 有关, 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关 而与 t 无关，则称 和 是 或称这两个过程是联合 联合(宽 平稳 平稳的 的, 或称这两个过程是联合 宽)平稳的. RXY(t, t +τ) = E[X(t)Y(t +τ)] = RXY(τ), RYX(t, t +τ) = E[Y(t)X(t +τ)] = RYX(τ). • 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时 是联合平稳随机过程时, 和 是联合平稳随机过程时 W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程 是平稳随机过程. 是平稳随机过程
6
由第十章(2.7)式, 协方差函数 式 协方差函数: 由第十章 CX(t1, t2 ) = E{[X(t1) - µX(t1)][X(t2) - µX(t2)]} = RX(t1, t2 ) - µX(t1)µX(t2). 那么, 协方差函数可以表示为: 那么 协方差函数可以表示为 CX(τ) = E{[X(t) - µX][X(t +τ) - µX]} = RX(τ) - µX ² 特别地, =0,由上式 由上式, 特别地 令τ =0,由上式,有
1 RX ( t , t + τ ) = T
第3章 平稳随机过程-1
大
学
通 设X(t)为一随机过程，若满足：
信 学 院
E X (t) mX
RX (t1,t2 ) RX ( ),
t2 t1
E X 2 (t)
则称X(t)是宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。
EX 2( t ) R ( 0 ) 表示随机过程平均功率有限。 X
宽（广义）平稳随机过程的定义是从统计平均的意义 上考察随机过程的平稳性。
学 1. 它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数还
院 取决于不同的时刻点。
2.
由mX(t ),
X
(
t
)
和
2 X
(
t
)
所对应的物理量都是瞬时平均值。
工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平 稳”随机过程，或在研究相对稳定状态下的物理过程中，其 所涉及的随机量也都属于“平稳”随机过程。
宽平稳可避开概率密度函数的获取。
上 1. 设随机过程 海
大
X (t) acos(0t )
学
通 其中 (a, 0) 为常数， 是区间 (0,2 ) 上均匀分布的随机变量。 信
学 证明 X (t) 是宽平稳的。
院
解： E[X (t)]
2 0
a
cos(0t
)
1 2
d 0
RX
(t1,
t2 )
E[a cos(0t1
平稳过程，其中 T为过程的周期。即，R ( T ) R ( )
X
X
3
2016/10/10
上
记为
海
（4）RX ( 0 ) E [ X 2( t )]
P：平均功率
大 学 通 信
X( t ) 的平均功率为RX (0)。 X( t ) 往往能量无穷，而平均功率却是有限的。
第3章平稳随机过程总
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
2cos t1 cos t2 2sin t1 sin t2
2cos(t1 t2 )
2cos
t1 t2
Z(t)是广义平稳的
E[Z 3 (t)] E{[ X cos t Y sin t]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin3 t 3X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t]
所以X(t)是非平稳的。
2 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程） • 由于求n维概率密度比较困难，有时只用到一、二
阶矩，如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自 相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格， 若随机过程 X(t)满足
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
• 严平稳与宽平稳的关系： 宽平稳只涉及与一、二维概率密度有关的数字 特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平 稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。
E(Y
2)
(1)2
2 3
22
1 3
2 3
4 3
2
E( X 3) E(Y 3) (1)3 2 23 1 2
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
三.平稳随机过程ppt课件
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
16
5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
三.平稳随机过程
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1
t2
tn
如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 tn t1 t2 n 维概率密度满足：
f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n ) f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
mX (t ) EX t E t 2 A sin t B cost t 2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t ) A sin t B cost mY (t ) EY t EA sin t B cost 0 RY (t1 , t2 ) EY t1 Y t2 E A sin t1 B cost1 A sin t2 B cost2
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
0203_平稳随机过程通过线性系统
1、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与系统直流传递函数的乘积：
[]0()()()o i E t E h t d ετεττ∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰ []0
()()()(0)i i i h E t d a h d a H τεττ
ττ∞
∞=-==⎰⎰
2、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的：
[]
[]0000
00
(,)()()()()()()()()()()()()()()
o o o i i i i i o R t t E t t E h t d h t d h h E t t d d h h R d d R τεεταεααβετββαβεαετβαβ
αβταβαβτ∞∞∞∞∞∞+=+⎡⎤=-+-⎢⎥
⎣⎦
=-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3、平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程的功率谱密度等于输入随机过程的功率谱密度与系统传递函数模平方的乘积：
4、平稳高斯过程经过线性系统后，输出随机过程也是高斯过程，但数字特征可能已经发生改变。
例：若信道中高斯白噪声的均值为零，其双边功率谱密度为0
2n ，接收端理想带通滤波器中心频率为
c f ，带宽为B ，求：
（1）接收端理想带通滤波器输出噪声的自相关函数；
（2）接收端理想带通滤波器输出噪声的平均功率；
（3）接收端理想带通滤波器输出噪声的一维概率密度函数。
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EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
fX (x1, x2, , xn ; t1 , t2 , , tn )
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
(2) 一、二维概率密度及数学特征
➢ 严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X (x1;t1) f X (x1;t1 )
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
5.1.3 循环平稳性
5.1.3 循环平稳性
5.1.3 循环平稳性
5.1.3 循环平稳性
5.1.3 循环平稳性
5.1.3 循环平稳性
E Z 3t 2 sin3 t cos3 t
因此，Z(t)不是严平稳的。
例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cost
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cost1Asin t2 B cost2
2 X
➢ 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关
f X (x1, x2;t1,t2 ) f X (x1, x2;t1 ,t2 )
t1
f X (x，1 x2;t1, t2 ) f X (x，1 x2;0, t2 t1) f X (x，1 x2; )
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x，1 x2; )dx1dx2 RX ( )
CX (t1, t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
(3)严平稳的判断
按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难 的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是 严平稳的，具体方法有两个：
平稳随机过程与各态历经过程
2020/6/15
1
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。
实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起
了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。 * 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1 t2
tn
n
如果对于任意的n和 维概率密度满足：
，随机过程
t1 t2
X(t)的tn
t
fX (x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn )
2 (t) E[X 2(t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则 此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平 稳与宽平稳等价。
❖ 平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移 动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻 的影响；
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
RZ (0) 2
因此，Z(t)是宽平稳的。
E Z 3t E X sin t Y cost3
E X 3 sin3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin2 t cost 3E XY2 sin t cos2 t EX 3 EY 3 2 EXY 2 EX 2Y 0
t1
f X (x1;t1) f X (x1;t1 ) f X (x1;0) f X (x1)
t1
E[ X (t)] x1 f X (x1)dx1 mX
E[ X 2 (t)]
x12
fX
(x1)d x1
X2
t1
t
D[X (t)]
(x1
mX )2
fX
(x1)d x1