折线函数问题 专题

折线函数问题

【课本溯源】（1）画出1)(+=x x f 和1)(-=x x f 的图像； （2）画出11)(-++=x x x f 的图像，并研究其性质； 【探究拓展】

探究1：画出2112)(-+-++++=x x x x x f 的图像，并研究其性质；并归纳函数

n x n x x x x x n x n x x f -+--++-+-++++++-+++=)1(2112)1()(

的图像性质；

变式1：设函数a x x x f -++=1)(的图像关于直线1=x 对称，则a 的值为________. 变式2：函数11

2

2

|log 2||log |y x x =+

的值域为___________．[12

，+∞）

变式3：若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为___________.

变式4：对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数c ，使得对任意1[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意2x ∈D ，当2[,]x a b ∉时，2()f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数．

（1）判断函数1()|1||2|f x x x =-+-和2()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”函

数？并说明理由；

（2）设()f x 是（1）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式

||||||()t k t k k f x -++≥⋅ 对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；

（3）函数2()2g x mx x x n =+++是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，求m 和n 值 解：（1）对于函数1()|1||2|f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时，1()1f x =．

当1x <或2x >时，1()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立，故1()f x 是“平底型”函数． 对于函数2()|2|f x x x =+-，当(,2]x ∈-∞时，2()2f x =；当(2,)x ∈+∞时，

2()222f x x =->．所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ∉时，()2f x >恒成立．故2()

f x 不是“平底型”函数． （2）若||||||()t k t k k f x -++≥⋅对一切t ∈R 恒成立，

则min (||||)||()t k t k k f x -++≥⋅．所以2||||()k k f x ≥⋅．又0≠k ，则()2f x ≤． 则|1||2|2x x -+-≤，解得1

522x ≤≤．故实数x 的范围是15[,]22

．

（3）因为函数2()2g x mx x x n =++[2,)-+∞上的“平底型”函数， 则存在区间[,]a b [2,)⊆-+∞和常数c ，使得22mx x x n c ++=恒成立． 所以222()x x n mx c ++=-恒成立，

即22122m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩

．解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩． 当111

m c n =⎧⎪

=-⎨⎪=⎩时，()|1|g x x x =++． 当[2,1]x ∈--时，()1g x =-，当(1,)x ∈-+∞时，()211g x x =+>-恒成立． 此时，()g x 是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数．

当111m c n =-⎧⎪

=⎨⎪=⎩

时，()|1|g x x x =-++． 当[2,1]x ∈--时，()211g x x =--≥，当(1,)x ∈-+∞时，()1g x =．

此时()g x 不是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数． 综上，m ＝1，n ＝1为所求． 拓展1：某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交

的点称为格

点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点）（2,2-、）

（1,3、）

（4,3、 ）

，（32-、）（5,4、）（6,6为报刊零售点. 请确定一个格点（除零售点外）_________为发行

站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.

拓展2：已知201121)(++++++=x x x x f 201121-++-+-+x x x ，且

)1()23(2-=+-a f a a f ，则满足条件的所有整数a 的和是__________.

变式：已知201121)(++++++=x x x x f 201121-++-+-+x x x ，下列命题中真命题的序号是 ．

（1）()f x 是偶函数；（2）()f x 在()0,+∞上是增函数； （3）不等式()20102011f x <⨯的解集为∅； （4）方程2(32)(1)f a a f a -+=-有无数个实数解．

拓展3：已知函数()()(|1||3|)24f x x a x a x x a =++-+--+的图象有对称中心，则实数a =____ 3

2

-

解：中间是平底型折线，则函数)(x f 的图像两边是二次函数的一部分，中间是一条线段，则函数的对称中心即为线段的中点，而后利用极大值和极小值点的中点进行计算

探究2：能否利用我们之前研究平底型折线的方法（从特殊到一般的数学思想）来研究

)()(2121n n a a a a x a x a x x f <<<++++++= （且{}n a 是等差数列）

的图像和性质呢？它的图像一定是平底型折线吗？一定是轴对称图像吗？ 小结：一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N*)，f (x )=|x -a 1|+|x -a 2|+|x -a 3|+…+|x -a n |． 若n 为奇数，则当x =12

n a +时，f (x )取最小值，图像为尖底型折线；

若n 为偶数，则x ∈12

2

[,]n n a a +时，f (x )取最小值，图像为平底型折线。

变式1：函数∑=-=19

1)(n n x x f 的最小值为_________.

变式2：在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为M 到N 的“折线距离”

．如图所示的路径123MD D D N 与路径MEN 都是M 到N 的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面xOy 内三点)1,8(-A ，)2,5(B ，)14,1(C ，现计划在这个平面上某一点(),P x y 处修建一个超市．

（1）请写出点P 到居民区A 的“折线距离”d 的表达式（用,x y 表示，不要求证明）；

（2）为了方便居民，请确定点P

和最小．

x