矩形的判定专项练习题
矩形的判定试题及答案
矩形的判定试题及答案一、选择题1. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）。
A. AB∥CD，AD∥BCB. ∠A=∠B=∠C=∠D=90°C. 对角线AC=BD且互相平分D. AB=CD且AD=BC答案：D2. 如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形一定是（）。
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形答案：C二、填空题3. 在矩形ABCD中，若∠BAC=90°，AB=3cm，BC=4cm，则对角线AC的长度为_________。
答案：5cm（根据勾股定理）4. 若矩形的长为8cm，宽为6cm，则其周长为_________。
答案：28cm（周长=2*（长+宽））三、解答题5. 已知平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，∠B=90°，求证：ABCD是矩形。
证明：由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。
又因为∠B=90°，根据平行四边形的性质，对应的角也相等，即∠A=∠C=∠D=90°。
因此，ABCD是一个矩形。
6. 如图所示，矩形EFGH中，EF=6cm，FH=8cm，求对角线EH的长度。
解：由于EFGH是矩形，所以EH是FH的对角线，并且EH=GF。
根据矩形的性质，对角线相等，所以EH=FH。
又因为FH=8cm，所以EH=8cm。
四、综合题7. 在矩形PQMN中，已知PQ=10cm，QM=4cm，求证：对角线PN的长度为√41cm。
证明：由于PQMN是矩形，所以PQ∥MN，PM∥QN，且∠PQM=∠QMN=90°。
根据勾股定理，PN² = PM² + QM²。
由于PM=QN=PQ=10cm，QM=4cm，所以PN² = 10² + 4² = 100 + 16 = 116。
因此，PN = √116 = √41cm。
答案：对角线PN的长度为√41cm。
初一下册矩形的性质与判定练习题含答案
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形【例题】专题一：矩形的性质矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。
几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°性质2. 矩形的对角线相等且平分。
几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴OA=OC=OB=OD=D B 21AC 21==性质3. 对边平行且相等几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴AD=BC ， AD ∥BC 或者 AB=CD ， AB ∥CD3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言：∵ 在Rt △ABC 中，OA=OC （OB 是AC 边上的中线）∴ OB=21AC在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。
矩形具有平行四边形的一切性质。
1．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。
FEADBFC ＝1，AB ＝2.2．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ）A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 CB. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等3.已知：如图3-32，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC = 10cm ，∠ACB = 30°, 则∠AOB = °，AD = cm ；60 534.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .5.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若 DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 100 ；专题二：矩形的判定图3-32OBACDABCDF G矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
1.矩形的判定(含答案)
矩形的判定1.如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）．2.如图，已知四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，且AD=BC，求证：四边形ABCD是矩形．3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OA，则当∠AOB=时，平行四边形ABCD是矩形．4.下列命题中，不正确的是()A．有三个角是直角的四边形是矩形B．四个角都相等的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形5.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠1=∠2．求证：平行四边形ABCD是矩形．6.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．7.已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．8.如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90∘．求证：四边形AECF为矩形．9.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，DE交边BC于点F.(1) 求证：BF=CF;(2) 若∠A=1∠EFC，求证：四边形BECD是矩形210.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2．(1) 求证：四边形ABCD是矩形；(2) 若∠BOC=120∘，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．11.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．(1) 求证：△ADC≅△ECD；(2) 若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．12.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，连接DE．(1) 证明：△ADE是等边三角形；(2) 取AB边的中点F，连接CF、CE，证明：四边形AFCE是矩形．矩形的判定1.【答案】∠A=90∘或∠B=90∘或∠C=90∘或∠D=90∘【解析】由AB∥DC，AB=DC可得四边形ABCD是平行四边形，根据“有一角是直角的平行四边形是矩形”添加条件．2.【答案】略【解析】如图，连接BD．∵∠A=∠C=90∘，∴△BAD和△BCD均为直角三角形．又AD=BC，BD=BD，∴Rt△ABD≅Rt△CDB．∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∠A=90∘，∴四边形ABCD是矩形．3.【答案】60∘【解析】要使平行四边形ABCD为矩形则AC=BD则OA=OB再者AB=OA∴AB=OA=OB∴△OAB为等边三角形则∠AOB=60∘4.【答案】D【解析】D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以D错5.【答案】略【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵∠1=∠2∴OA=OB∴OA=OB=OC=OD即AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形．6.【答案】略【解析】∵AB=BC，BD平分∠ABC ∴BD⊥AC，AD=CD∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE∥CD，BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90∘，∴平行四边形BECD是矩形．7.【答案】略【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC∴∠DAB+∠ABC=180∘∵AH、BH分别平分∠DAB与∠ABC∴∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠ABC∴∠HAB+∠HBA=12(∠DAB+∠ABC)=90∘∴∠H=90∘同理∠HEF=∠AED=90∘，∠F=90∘∴四边形EFGH是矩形．8.【答案】略【解析】连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵BE=DF∴OB−BE=OD−DF即OE=OF又∵OA=OC∴四边形AECF是平行四边形∵∠AEC=90∘∴四边形AECF为矩形．9.(1)【答案】略【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AE//DC，且AB=CD又∵BE=AB∴BE=CD则四边形BECD为平行四边形∴BF=CF(2)【答案】略∠EFC 【解析】因为∠A=∠FBE，又∠A=12∠EFC=∠FBE所以12由外角关系知，∠EFC=∠FBE+∠FEB所以∠FBE=∠FEB所以FB=FE，所以BC=DE所以平行四边形BECD为矩形10.(1)【答案】略【解析】∵∠1=∠2∴BO=CO，即2BO=2CO∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=OD即AC=2CO，BD=2BO∴AC=BD∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形(2)【答案】四边形ABCD的面积为16√3cm2．【解析】在△BOC中，∠BOC=120∘∴∠1=∠2=(180∘−120∘)÷2=30∘∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2×4=8cm∴BC=√82−42=4√3cm∴四边形ABCD的面积=4√3×4=16√3cm211.(1)【答案】略【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∵四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB且DE=AB．∴∠EDC=∠B，AC=ED．∴∠ACB=∠EDC．又DC=CD，∴△ADC≅△ECD．(2)【答案】略【解析】∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD且AE=BD．∵BD=CD，∴AE∥CD且AE=CD．∴四边形ADCE为平行四边形．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．∴∠ADC=90∘．∴四边形ADCE为矩形．12.(1)【答案】略【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠CAB=60∘．∵点D是BC边的中点，∴∠DAC=1∠BAC=30∘．2将△ADC沿AC边翻折得到△AEC，∴AD=AE，∠CAE=∠DAC=30∘，CD=CE，∴∠DAE=60∘．∴△ADE是等边三角形．(2)【答案】略【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60∘．F为AB中点，D为BC中点，∴AF=CD=CE．∵∠CAE=30∘，∴∠FAE=90∘．在ΔACF和ΔCAD中{AF=CD∠BAC=∠BCAAC=AC∴ΔACF≅ΔCAD(SAS)∴CF=AD∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∴CF=AE．即AF=CE，AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵∠FAE=90∘，∴四边形AFCE是矩形．。
矩形的判定练习
矩形的判定（练习一）1、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。
2、如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，∠A=90．要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是___________。
3、木工周师傅计划做一个长方形桌面，实际测量得到桌面的长为80cm，宽为60cm，对角线为120cm，这个桌面___________（“合格”或者“不合格”）4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CD，问四边形ABCD是矩形吗？说明你的理由。
6、如图，点B、O、C三点共线，OE、OD分别平分∠AOB和∠AOC，且OE∥AD，AE∥OD；求证：四边形ADOE是矩形。
7、如图：口ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，求证：四边形DEBF是矩形90。
求证：四边形ABCD 8、如图，在四边形ABCD中，BF=DE，AC和EF互相平分并交于点O，∠B=0是矩形9、已知如图：口ABCD中，各内角的角平分线相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH是平行四边形．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形；11、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：（1）四边形BCDE是平行四边形．（2）口BCDE是矩形矩形的判定（练习二）1、如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°B．AB∥CD，AB=CD，AB⊥ADC．AO=BO，CO=DO D．AO=BO=CO=DO2、检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直3、如图，在口ABCD中，∠1=∠2，此时，四边形ABCD是矩形吗？请说明理由。
20.2 矩形的判定(含答案)
DACF OEB20.2 矩形的判定A 卷一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 二、填空题4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．三、解答题7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．四、思考题8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠AC D．AE ⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？参考答案一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．二、4．8cm5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，•可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=12 AC．6．8cm；4cm三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，又因为∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠CBA．所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH是矩形．点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，•CF•平分∠ACD，•所以∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD．所以∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．又因为AE⊥CE，AF⊥CF，•所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.2 矩形的判定B 卷一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？D ACF PE B二、知识交叉题2．（当堂交叉题）如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？三、实际应用题3．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？四、经典中考题4．（连云港）已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（）五、探究学习1．（图形方案设计题）正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，•再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图22．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．3.已知：如图所示，ABCD中，AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形，•边长为6，求这个平行四边形的面积．在解答本题时合作学习小组中有两种做法：甲生：因为OA=6，所以AC=12．因为AB=6，所以=所以S ABCD =AB．乙生：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC=12AC，OB=OD=12BD．又因为在等边△AOB中，OA=OB=AB=6，所以AC=BD=12．所以ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理，得，所以S□ABCD =AB分析以上两种解法，说明两种解法的对错，如果有错误指出错误的原因．参考答案一、1．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．因为PE⊥AB，CD⊥AB，PH⊥CD，所以∠PED=∠EDH=∠DHP=90°．所以四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC．所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．图1 图2解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，因为PE⊥AB， CD⊥AB，CH⊥EH，所以∠HED=∠EDC=∠CHE=90°．所以四边形HEDC是矩形．所以EH=•PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．又因为AB=AC，所以∠B=∠ACP．所以∠HCP=∠FCP．又因为PC=PC，∠H=∠CFP，所以△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．点拨：要说明DC=PE+PF，一般有两种思路：过P点作PH⊥DC，垂足为H，再说明PE=•DH，PF=HC（即可；也可过C点作CH⊥EP，交EP的延长线于H，再说明EH=DC，PH=PF．二、2．解：四边形ADCE是矩形；理由：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形．•所以∠B=∠ACB．由等腰三角形的三线合一性，可得BD=CD，AE是∠CAF的平分线，所以∠CAE=12∠CAF．由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得出∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB，所以∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，•所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．点拨：要判断四边形ADCE是否为矩形，通过分析图形，先猜想其为矩形，再进一步验证，可通过等腰三角形的三线合一性及平行四边形的性质得出结论．三、3．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，若两组对边分别相等，•则说明书架是平行四边形；再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．根据对角线相等的平行四边形是矩形．点拨：在解此题时，很多同学往往只会想到量一下对角线就下结论而导致出错．四、4．D五、探究学习1．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）点拨：本题属于方案设计题，设计的方法不惟一．2．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则沿DG折叠时，DA与DE重合，则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得=所以-1，BG=•AB-AG=2-AG ，设AG=EG=x ，则BG=2-x ．在Rt△BEG 中，由勾股定理，得BG 2=EG 2+BE 2，即（2-x ）2=-1）2+x 2，解得x=12，即AG=12．点拨：（1）图形的折叠问题实质上是轴对称问题；（2）解决本题的关键是把方法集中到Rt△BEG 中去利用勾股定理．3.解：甲生错误．甲生在解题过程中，直接利用□ABCD 是矩形是个错误，因为□ABCD 是矩形已知条件中没有，没有证明，不能应用这个条件直接解题．乙生正确．。
矩形的性质与判定练习(含答案)
交于点 G ，四边形 ABGD 的面积是
．
26．如图，在长方形 ABCD 中， AB 4cm ，BC 8cm ．E 、F 分别是 AB 、BC 的中点．则
E 到 DF 的距离是
cm ．
27．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中， A(10, 0) ，C(0, 4) ， D 为
（1） BCD 的形状为
；
（2）随着点 E 位置的变化， DBF 的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点 F 落在边 AC 上时，若 AC 6 ，请直接写出 DE 的长．
43．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC AD ，延长 DA 于点 E ，使得 DA AE ，连接 BE ． （1）求证：四边形 AEBC 是矩形； （2）过点 E 作 AB 的垂线分别交 AB ，AC 于点 F ，G ，连接 CE 交 AB 于点 O ，连接 OG ， 若 AB 6 ， CAB 30 ，求 OGC 的面积．
且 OE 2DE ，则 DE 的长为
．
19．如图， ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC 、 AB 于点 D 、 F ， BE DF 交 DF 延
长线于 E ，已知 A 30 ， BC 2 ， AF BF ，则四边形 BCDE 的面积是
．
20．如图，在 ABC 中， AD BC 于 D ， BE AC 于 E ， M 为 AB 边的中点，连结 ME 、
A． 3 1
B． 3 1
C． 6 1
D． 6 1
15．如图，在矩形 ABCD 中， AB 4 ， BC 6 ，点 E 为 BC 的中点，将 ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF ，则 CF 的长为 ( )
矩形判定练习题
CBA D矩形的判定一.选择题1．下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．内角都相等的四边形是矩形 2．下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相垂直且相等D. 对角线互相平分且相等 3．下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等．且两条对角线相等 B. 有三个角都是直角C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角4．四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD5．若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A ．一般平行四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．矩形 6．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）． A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90° C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90° 7.如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂足分别为点D 、E ，则DE = ．8.如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=60°则重叠部分的面积是cm 2．三、综合提高1．已知：如图，在ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ． 求证：ABCD 是矩形．BACDOOMDB ANMD C BA FE C B A ODA CB 2．已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．3．已知：如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．4.中，以AC 为斜边作Rt △AMC ，且∠BMD 为直角.求证：四边形ABCD 是矩形.5．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形， AB=4cm.(1)平行四边形ABCD 是矩形吗？说明理由。
矩形的性质与判定专项训练卷
矩形的性质与判定专项训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，CD＝3，AC＝2，则BC 的长为（）A．3B．4C．6D．2．矩形和菱形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边相等3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对边相等C．对角相等D．对角线互相平分4．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90°B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等5．要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量两组对边是否分别相等B．测量两条对角线是否互相垂直平分C．测量其中三个内角是否都为直角D．测量两条对角线是否相等6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8，则斜边上的中线CD＝（）A．2B．4C．8D．167．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（）A．3B．C．3D．8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（）A．30°B．40°C．45°D．60°9．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝120°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．60°D．45°10．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2﹣2B．﹣1C．﹣1D．2﹣二．填空题（共2小题）11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．12．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，若BD＝3cm，则AC＝cm．三．解答题（共3小题）13．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．15．如图，▱ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．BF∥CE，CF∥BE．（1）求证：四边形BECF是矩形．（2）若∠ABC＝60°，BC＝6，求矩形BECF的周长．。
矩形地判定专项练习30题.docx
矩形的判定专项练习30 题（有答案）1 ．如图，在四边形ABCD 中， AD ∥BC，E、 F 为 AB 上两点，且△ DAF ≌△CBE．求证：（ 1 ）∠A=90 °；（ 2 ）四边形ABCD 是矩形．2 ．如图，已知平行四边形ABCD ，∠ABC ，∠BCD 的平分线BE、CF 分别交 AD 于 E、 F，BE、CF 交于点 G，点 H 为 BC 的中点， GH 的延长线交 GB 的平行线 CM 于点 M ．（ 1 ）试说明：∠ BGC=90 °；（ 2 ）连接 BM ，判断四边形 GBMC 的形状并说明理由．3 ．如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作DE∥AC ， CE∥BD ， DE、CE 交于点 E．（1 ）四边形 OCDE 是矩形吗？说说你的理由；（2 ）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4 ．△ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，点 E、F 分别是△ABC 中 AB 、AC 中点，当△ ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是矩形？说明理由．5 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC、 BD 交于点 O ．（ 1 ）用尺规作图的方法，作出△AOB 平移后的△ DEC，其中平移的方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（ 2 ）观察图形，判断四边形DOCE 是什么特殊四边形，并证明．6 ．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于点 O ，延长 OA 到 N ， ON=OB ，再延长 OC 至 M ，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7 ．如图，点O 是菱形 ABCD 对角线的交点，过点 C 作 BD 的平行线CE，过点 D 作 AC 的平行线DE，CE 与 DE 相交于点E，试说明四边形OCED 是矩形．8 ．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥BC，AB ⊥ BC，点 E、 F 分别是边BC、CD 的中点，直线EF 交边 AD 的延长线于点 M ，连接 BD．（ 1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；（ 2）若 BD=DC ，连接 CM ，求证：四边形ABCM 为矩形．9 ．如图，在△ ABC 中，点 O 是 AC 边上的中点，过点O 的直线 MN ∥BC，且 MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F，点 P 是 BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．10 ．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC， BC=2AD ，点 E 是 BC 的中点，连接AC、 DE 相交于点O ．（1 ）试说明：△ AOD ≌△COE；（2 ）若∠B= ∠AOE ，试说明四边形 AECD 是矩形的理由．11 ．如图，以△ ABC 的各边为一边向BC 的同侧作正△ ABD 、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150 °，求证：四边形AEFD 为矩形．12 ．（1 ）在等腰三角形 ABC 中 AB=BC ，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC，过 D 点作 DE⊥ DF ，交 AB 于 E，交 BC 于 F．若AE=4 ， FC=3 ，求 EF 长．（2 ）如图，将 ? ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC ，连接 AE，交 BC 于点 F．①求证：△ ABF ≌△ECF；13 ．如图， AD 是△ABC 的中线，过点 A 作 AE ∥BC，过点 B 作 BE∥AD 交 AE 于点 E，（1 ）求证： AE=CD ；（2 ）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADBE 是矩形？请说明理由．14 ．如图，已知梯形ABCD 中， AD ∥BC， E、F 分别是 AB 、CD 的中点，点G 在边 BC 上，且 CG=（AD+BC）．（1 ）求证：四边形 DEGF 是平行四边形；（2 ）连接 DG ，若∠ADG=2 ∠ADE ，求证：四边形 DEGF 是矩形．15 ．已知，如图在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 是 AC 的中点，直线AE ∥BC，过 D 点作直线EF∥AB 分别交 AE 、 BC 于点 E、F，求证：四边形AECF 是矩形．16 ．已知：如图，在△ ABC 中， D、 E、 F 分别是 AC 、 AB 、 BC 的中点，且CE=AB ．求证：四边形CFED 是矩形．17 ．如图，平行四边形 ABCD 中， EF 过 AC 的中点 O ，与边 AD 、 BC 分别相交于点E、F；（ 1）试说明四边形 AECF 是平行四边形．（ 2）若 EF 过 AC 的中点，且与 AC 垂直时，试说明四边形AECF 是菱形．（ 3）当 EF 与 AC 有怎样的关系时，四边形AECF 是矩形．18 ．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90 °，AB=AC ， D 是斜边 BC 上一点， DE ⊥ AC， DF⊥ AB ，垂足分别为E、 F．（ 1 ）说明四边形AEDF 是矩形．（ 2 ）试问：当点 D 位于 BC 边的什么位置时，四边形AEDF 是正方形？并说明你的理由．19 ．如图，△ABC 中， D 为边 AC 的中点，过点 D 作 MN ∥BC，CE 平分∠ACB 交 MN于E，CF平分∠ACG交MN 于 F，求证：（ 1） ED=DF ；（ 2 ）四边形A ECF 为矩形．20 ．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、 BC 相交于点 O ， BE∥AC ， CE∥DB ．求证：四边形OBEC 是矩形．21 ．如图，在△ ABC 中， O 是 AC 上的任意一点，（不与点 A ，C 重合），过点 O 作直线 l ∥BC，直线 l 与∠BCA 的（1 ）OE 与 OF 相等吗？为什么？（2 ）探索：当点 O 在何处时，四边形 AECF 为矩形？为什么？22 ．（2013 ? 沙湾区模拟）如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于F，且AF=BD ，连接 BF．（1 ）求证： D 是 BC 的中点．（2 ）如果 AB=AC ，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论．23 ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点 O，∠OBC= ∠OCB ，求证：四边形ABCD 是矩形．24 ．如图 M 、N 分别是平行四边形ABCD 的对边 AD 、 BC 的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM 相交于 Q ．求证： PMQN为矩形．25 ．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于 O ， EF 过点 O ，且 AF⊥ BC，求证：四边形AFCE 是矩形．26 ．如图，在△ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上的一点，过点 A 作 AF∥BE，交 ED 的延长线于点F，连接 AE， CF．（1 ）求证： AF=CE ；（2 ）如果 AC=EF ，则四边形 AFCE 是矩形．27 ．如图， DB ∥AC ，且 DB= AC ，E 是 AC 的中点，（1 ）求证： BC=DE ；（ 2 ）连接 AD 、 BE，探究：当△ ABC 满足什么条件时，四边形DBEA 是矩形？并说明理由．28 ．如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作DE ∥AC ， CE∥BD， DE 、 CE 交于点 E，四边形 OCED 是矩形吗？说说你的理由．29 ．已知：如图，BC 是等腰△BED 底边 ED 上的高，四边形ABEC 是平行四边形．求证：四边形ABCD 是矩形．30 ．如图，已知AB=AC ，AD=AE ， DE=BC ，且∠BAD= ∠CAE．求证：四边形BCED 为矩形．矩形的判定专项练习30 题参考答案：1 ．（1 ）∵AD ∥BC，∴四边形 OCED 是矩形．∴∠A+ ∠B=180 °，（ 2 ）任意改变四边形 ABCD 的形状，四边形 OCED 都∵△DAF ≌△CBE ，是平行四边形（答案不唯一）．∴∠A= ∠B，理由如下：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，∴2 ∠A=180 °，∴四边形 OCED 是平行四边形．∴∠A=90 °； 4 ．满足△ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °．（ 2 ）∵AD ∥BC， AD=BC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90 °，AD ⊥BC 于∴四边形 ABCD 为平行四边形， D ，又∵∠A=90 °，∴BD=CD ，∴四边形 ABCD 是矩形∵点 E、 F 分别是△ABC 中 AB 、 AC 中点，2 ．（1 ）∵∠ABC+ ∠BCD=180°，BE、 CF 平分∠ABC ，∴DF ∥AB ， ED∥AC ，∠BCD ，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠GBC+ ∠GCB=90 °，∴∠BGC=90 °；∵∠BAC=90 °（ 2 ）∵点 H 为 BC 的中点，∴ BH=CH=GH，∴AEDF 是矩形．∵GB∥CM ，∴∠BGH= ∠CMH ， 5 ．（ 1）所作图形如图所示：∵∠HBG= ∠HGB ，∴∠HCM=∠HMC ，（ 2 ）四边形 DOCE 是矩形．∴MH=BH=CH=GH ，∵△DCE 是由△AOB 平移后的图形，∴四边形 GBMC 为矩形∴DE∥AC ，CE∥BD ．3 ．（1 ）四边形 OCDE 是矩形．∴四边形 DOCE 是平行四边形．证明：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴四边形 OCED 是平行四边形，∴AC ⊥BD ．即∠DOC=90 °又∵AC ⊥ BD ，∴四边形 DOCE 为矩形．∴∠DOC=90 °，∴AB ∥DE∵由（1 ）知四边形DBEM 是平行四边形，∴DM ∥BE 且 DM=BE ，6 ．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴DM ∥EC 且 DM=EC ，∴AO=OC ， OD=OB ，∴四边形 DMCE 是平行四边形，∵AN=CM ON=OB，∴CM ∥DE，∴ON=OM=OD=OB，∴AB ∥CM ．∴四边形 NDMB为平行四边形，又 AM ∥BC∴四边形 ABCM是平行四边形，∵MN=BD，∵AB ⊥ BC，∴四边形 ABCM 是矩形．∴平行四边形 NDMB为矩形7 ．∵DE∥AC ， CE∥BD ，∴DE∥OC， CE∥OD9 ．∵CE 平分∠ ACB ，∴四边形 OCED 是平行四边形，∴∠ACE= ∠BCE，又∵四边形 ABCD 是菱形，∵MN ∥BC，∴AC⊥BD ，∴∠OEC= ∠ECB，∴∠COD=90 °，∴∠OEC= ∠OCE，∴四边形 OCED 是矩形∴OE=OC ，8 ．（1 ）证明：∵梯形 ABCD 中， AD ∥BC，即 DM ∥BE，同理， OC=OF ，∵E、 F 分别是边 BC、 CD 的中点∴OE=OF ．∴EF∥BD ，∵AO=CO ， EO=FO ，∴四边形 DBEM 是平行四边形．∴四边形 AECF 为平行四边形，（ 2 ）证明：连接DE ，∵CE 平分∠ACB ，∵DB=DC ，且 E 是 BC 中点，∴ DE ⊥ BC，∴∠ACE=∠ACB，∴DE∥AB ．同理，∠ ACF=∠ACP，又∵AB ⊥ BC ，∴∠ECF= ∠ACE+ ∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90 °，∴四边形 AECF 是矩形．11 ．：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，10 ．（ 1 ）∵BC=2AD ，点 E 是 BC 的中点，∴∠DBF+ ∠FBA= ∠ABC+ ∠ABF=60 °，∴EC=AD ．∴∠DBF= ∠ABC ．∵AD ∥BC，又∵BD=BA ， BF=BC ，∴∠ADO= ∠CEO ，∠DAO= ∠ECO．∴△ABC ≌△DBF ，在△AOD 和△COE 中，∴AC=DF=AE，∴△AOD ≌△COE（ ASA ）；同理可证△ ABC ≌△EFC，∴AB=EF=AD，（ 2 ）∵AD=BE ，AD ∥BE，∴四边形 DAFEF 是平行四边形（两组对边分别相等的四∴四边形 ABED 是平行四边形；边形是平行四边形）同理可得：四边形 AECD 是平行四边形．∵∠BAC=150°，∴∠ADO= ∠B．∴∠DAE=150°﹣∠DAB ﹣∠EAC=90 °，∵∠B= ∠AOE ，∴四边形 AEFD 为矩形．∴∠AOE=2 ∠B．12 ．1 ）解：∵ABC 中 AB=BC ，∠ABC=90°，BD ⊥AC ，∴∠AOE=2 ∠ADO ．∴∠A= ∠C=45 °，CD=AD ，∵∠AOE= ∠ADO+ ∠DAO ，∴BD=CD=AD， BD 平分∠ABC ，∴∠OAD= ∠ODA ．∴∠EBD=45 °= ∠C，∴OA=OD ．∵BD ⊥ AC， DE ⊥DF ，∴AC=DE ．∴∠BDC= ∠EDF=90 °，∴四边形 AECD 是矩形．∴∠BDC ﹣∠BDF= ∠EDF﹣∠BDF ，∴∠EDB= ∠FDC ，∵在△EDB 和△FDC 中∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE=2AF ， BC=2BF ，∴△EDB ≌△FDC （ASA ），∴AE=BC ，∴FC=DE=3 ，∵四边形 ABEC 是平行四边形，同理△AED ≌△BFD ，∴四边形 ABEC 是矩形．∴DF=AE=4 ，在 Rt △EDF 中，由勾股定理得：EF==5 ；（ 2 ）①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，13 ．（ 1 ）∵AE∥BC ， BE∥AD ，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形 ADBE 是平行四边形，∵CD=CE ，∴AE=BD ，∴AB ∥CE， AB=CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴BD=CD ，∴AF=FE ， BF=FC ，∴AE=CD ．∵在△ABF 和△ECF 中（ 2 ）当 AB=AC时，四边形 ADBE 是矩形，理由是：∴△ABF ≌△ECF（ SSS）；∵AB=AC ， BD=CD ，②证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ⊥ BC，即∠ADB=90 °，∴∠ABC= ∠D ，又∵四边形 ADBE 是平行四边形，∵∠AFC=2 ∠D，∴四边形 ADBE 是矩形∴∠AFC=2 ∠ABC ，14 ．1 ）证明：如图，连接 EF．∵∠AFC= ∠ABC+ ∠FAB，∵四边形 ABCD 是梯形， AD ∥BC ， E、 F 分别是 AB 、∵∠ABC= ∠FAB，CD 的中点，∴AF=FB ，∴， EF∥AD ∥BC．实用标准∵，∵AE∥BC，∴EF=CG ．∴∠AED= ∠CFD ，∴四边形 EGCF 是平行四边形．在△ADE 和△CDF 中，，∴EG=FC 且 EG∥FC．∴△ADE ≌△CDF （ AAS ），∵F 是 CD 的中点，∴AE=CF ，∴FC=DF ．又∵AE ∥BC ，∴EG=DF 且 EG∥DF ．∴四边形 AECF 是平行四边形，∴四边形 DEGF 是平行四边形．∵AE∥BC， EF∥AB ，∴四边形 ABFE 是平行四边形，（ 2 ）证明：连接EF，将 EF 与 DG 的交点记为点O ．∴AB=EF ，∵∠ADG=2 ∠ADE ，∵AB=AC ，∴∠ADE= ∠EDG ．∴AC=EF ，∵EF∥AD ，∴四边形 AECF 是矩形．∴∠ADE= ∠DEO ．∴∠EDG= ∠DEO ．∴EO=DO ．∵四边形 DEGF 是平行四边形，16 ．∵D 、 E、 F 分别是 AC、 AB 、 BC 的中点，∴，．∴DE∥BC ，且 DE= BC， DF=AB ，CF= BC，∴EF=DG ，∴DE=CF ，∴平行四边形 DEGF 是矩形．即四边形DEGF 是矩形．∴四边形 CFED 平行四边形，又∵CE= AB ，∴CE=DF ，15 ．∵点 D 是 AC 的中点，∴平行四边形 CFED 是矩形，∴DA=DC ，故四边形 CFED 是矩形．实用标准17 ．（ 1 ）证明：∵四边形A BCD 是平行四边形，∴∠BDF=∠DEC∴AD ∥BC，∴△BFD≌△DCE，∴△AEO ∽△CFO，∴DF=DE，∴=，∴矩形AEDF是正方形．∵OA=CO ，∴OE=OF ，∴四边形 AECF 是平行四边形；（2 ）证明：∵四边形 AECF 是平行四边形，又∵EF⊥ AC ，∴平行四边形 AECF 是菱形；（3 ）解：当 EF=AC 时，四边形 AECF 是矩形，理由是：由（ 1 ）知：四边形 AECF 是平行四边形，∵AC=EF ，∴平行四边形 AECF 是矩形18 ．（ 1）∵DE⊥ AC ，DF ⊥AB ，∴∠AFD= ∠AED= ∠A=90 °，∴四边形 AEDF 是矩形；（ 2 ）当 D 时 BC 的中点时，四边形AEDF 是正方形；JU理由：∵ D 是 BC 的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B= ∠C又∵DF ⊥ AB ，DE⊥ AC ，19．（ 1 ）∵CE 平分∠ ACB ， CF 平分∠ACG ，∴∠ACE= ∠ECB，∠ACF= ∠FCG ，又∵MN ∥BG，∴∠DEC= ∠ECB，∠DFC= ∠FCG，∴∠DEC= ∠DCE，∠DFC= ∠DCF ，∴DE=DC ， DF=DC ，∴DE=DF ．（ 2 ）∵D 为 AC 的中点，∴AD=DC ，又 DE=DF ，∴四边形 AECF 为平行四边形，∵∠ACE= ∠ECB，∠ACF= ∠FCG ，∴∠ECF=90 °，∴平行四边形 AECF 为矩形20．∵BE∥AC ， CE∥DB ，∴四边形 OBEC 是平行四边形，又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOB=90 °，∵AF=BD∴平行四边形 OBEC 是矩形∴BD=CD ，21 ．（ 1 ）解： OE=OE ，∴D 是 BC 的中点；（ 4 分）理由是：∵直线 l ∥BC，（ 2 ）四边形 AFBD 是矩形，（ 5 分）∴∠OEC= ∠ECB，证明：∵ AB=AC ，D 是 BC 的中点，∵CE 平分∠ACB ，∴AD ⊥ BC，∴∠OCE= ∠BCE，∴∠ADB=90 °，（ 6 分）∴∠OEC= ∠OCE，∵AF=BD ， AF∥BC，∴OE=OC ，∴四边形 AFBD 是平行四边形，（ 7 分）同理 OF=OC ，∴四边形 AFBD 是矩形．∴OE=OF ．23 ．∵∠OBC= ∠OCB ，（ 2 ）解： O 在 AC 的中点上时，四边形AECF 是矩形，∴OB=OC ，理由是：∵ OA=OC ， OE=OF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴OC=OA= AC， OB=OD=BD ，∵OE=OF=OC=OA ，∴AC=BD ，∴AC=EF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴平行四边形 AECF 是矩形∴四边形 ABCD 是矩形，22 ．（ 1 ）证明：∵ AF∥BC，即四边形 ABCD 是矩形∴∠AFE= ∠DCE（1 分）24 ．∵ABCD 为平行四边形，∵E 是 AD 的中点，∴AD 平行且等于 BC，∴AE=DE ．（2 分）又∵M 为 AD 的中点， N 为 BC 的中点，∵∠AEF= ∠DEC，∴MD 平行且等于 BN ，∴△AEF≌△DEC ．（ 3 分）∴BNDM 为平行四边形，∴AF=DC ，∴BM ∥ND ，同理 AN ∥MC ，∴∠AFD= ∠CED ，∠FAD= ∠DCE，∴四边形 PMQN 为平行四边形，（5 分）∵D 是 AC 的中点，连接MN，∴AD=DC ，∵AM 平行且等于 BN ，在△FAD 和△ECD 中∴四边形 ABNM 为平行四边形，，又∵AD=2AB ， M 为 AD 中点，∴△FAD ≌△ECD（ AAS ），∴BN=AB ，∴AF=CE ；∴四边形 ABNM 为菱形，（ 2 ）证明：∵△FAD ≌△ECD，∴AN ⊥BM ，∴FD=DE ，∴平行四边形 PMQN 为矩形．（ 10 分）∵AD=DC ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵AC=EF ，25 ．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴平行四边形 AFCE 是矩形∴OA=OC ， AE∥FC，27 ．（ 1 ）证明：∵ E 是 AC 的中点，∴∠EAO= ∠FCO，∴EC=AC ，在△AOE 和△COF 中，∵DB=AC ，，∴DB=EC ，∴△AOE ≌△COF，又∵DB ∥AC ，∴AE=CF ，∴四边形 BCED 是平行四边形（一组对边平行且相等的∴四边形 AECF 为平行四边形，四边形是平行四边形），又∵AF ⊥ BC，∴BC=DE ；∴∠AFC=90 °，则四边形 AECF 为矩形．（ 2 ）解：△ABC 满足 AB=BC时，四边形 DBEA 是矩26 ．（ 1 ）证明：∵ AF∥BE，形．实用标准理由如下：∵ E 是 AC 的中点，∴AE=AC ，∵DB=AC，29 ．∵BC 是等腰△BED 底边 ED 上的高，∴DB=AE ，∴EC=CD ，又∵DB ∥AC，∵四边形 ABEC 是平行四边形，∴四边形 DBEA 是平行四边形（一组对边平行且相等的∴AB ∥CD ， AB=CE=CD ， AC=BE ，四边形是平行四边形），∴四边形 ABCD 是平行四边形．∵AB=BC ， E 为 AC 中点，∵AC=BE ， BE=BD ，∴∠AEB=90 °，∴AC=BD ，∴平行四边形 DBEA 是矩形，∴四边形 ABCD 是矩形即△ABC 满足 AB=BC 时，四边形 DBEA 是矩形．30 ．在△ABD 和△ACE 中，∵AB=AC ， AD=AE ，∠BAD= ∠CAE，∴△ABD ≌△ACE （ SAS）28 ．是矩形．（ 1 分）∴BD=CE 又 DE=BC ．理由：∵ DE∥AC ， CE∥BD ，∴四边形 BCED 为平行四边形．在△ ACD 和△ABE 中，∴四边形 OCED 是平行四边形，∵AC=AB ， AD=AE ，∠CAD= ∠CAB+ ∠BAD= ∠CAB+又∵四边形 ABCD 是菱形，∠CAE= ∠BAE ，∴AC⊥BD ，∴△ADC ≌△AEB （ SAS），∴CD=BE ．∴DE⊥ CE，∴四边形 BCED 为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩∴∠E=90 °，形）∴平行四边形 OCED 是矩形。
矩形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)完美打印版
矩形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．127．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S28．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S29．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA 为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．510．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．513．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=．20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有（将正确结论的序号填在横线上）27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是．矩形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等腰三角形的定义，即可一一判断．【解答】解：如图图1中，∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图3中，同法可证∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图4中，△ABC是等腰直角三角形，故选C．6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】由全等三角形的判定得到△OFB≌△OED，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．【解答】解：在矩形ABCD中，OB=OD，∠FBO=∠EDO，∴在△OFB与△OED中，∴△FBO≌△EDO，∴S阴影部分=S△ABO=S矩形=×3×4=3．故选A．7．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S2【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积=△CDB的面积﹣△QKB的面积=△NDK的面积，∴S1=S2．故选：B．8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故选B．9．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．5【分析】连接DF，在Rt△CDF中，求出CF，再求出CE即可解决问题．【解答】解：连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=BE=12，DA=BC=DF=13，∠C=90°，∴CF===5，∵EC=BC﹣BE=13﹣12=1，∴EF=CF﹣CE=4．故选B．10．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PMC=110°，∴∠MCP=（180°﹣∠PMC）=（180°﹣110°）=35°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°，∴∠BCP=∠BPC=55°．故选C．11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小【分析】首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴PE+PF=AG，∴PE+PF的值是定值，故选C．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．【解答】方法一：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．故选：B．二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH 是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH解决问题．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=5．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为520．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是6．【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4．S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ=AB•CB﹣BC•MB AD•AM=4×3﹣4×BM﹣×4×AM=12﹣2MB﹣2AM=12﹣2（MB+AM）=12﹣2×3=6．故答案为：6．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为10cm2．【分析】本题主要考查矩形的性质，找出题里面的等量关系求解即可．【解答】解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四边形DBFE的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是 2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×CP，∴CP=2.4，即EF=2.4，故答案为：2.4．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．【分析】分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，∴OC=AB=4，∵D为OA中点，∴OD=AD=5，∵P在BC上，∴P点的纵坐标是4，以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：此时OP=OD=5，由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：此时DP=OD=DP′=5，由勾股定理得：DM=DN=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：此时OP=DP，P的坐标是（2.5，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是16．【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）【分析】①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．④正确．只要证明S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S即可；△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，∴OB=OA=OB，∵∠COB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠DCA=30°，∵FO=FC，BO=BC，∴BF垂直平分OC，故①正确，∴∠FBC=∠OBE=30°，∴∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，∵CD∥AB，∴∠FCO=∠EAO，∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，∴△FOC≌△EOA，∴OE=OF，∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，∴△EBO≌△FBC，故②错误，∵DF∥EB，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°﹣∠CFO=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF，故③正确，易知CM=AC，AE=CF=BF=BE，∴S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S△ABC，∴S△AOE：S△BCM=2：3．故④正确，故答案为①③④27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=120°﹣90°=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，由勾股定理，AB===．故答案为：．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∵∠AOE=60°∴△AOE为等边三角形，∴AO=AE=2，∴AC=2OA=4．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°．∴四边形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴BC==6．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=6×8=48．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【分析】（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF 都平行且相等于BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵O点在BC边的高上，∴AO⊥BC，∴AO⊥EF，∵DE∥OA，∴DE⊥EF，∴四边形DEFG是矩形．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO；（2）解：∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A=90°即可；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2 ∴x2+22=（6﹣x）2，解得：x=∴AQ的长是．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．【分析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=20．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是20≤m＜28．【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）如图2，连接AC，BD，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=BD==10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；（2）①如图3所示（虚线可以不画），②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，故20≤m＜28．故答案为：20；20≤m＜28．。
矩形的判定(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)
人教版初中数学八年级下册18.2.2矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（）A ．有三个角是直角B ．对角线互相平分且相等C ．对角线互相垂直且相等D ．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A 、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D 、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A ．=BAD ABCB ．AB BDC ．AC BD D ．=A B BC【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，+=180°ABC BAC ，=ABC BAC ∵，==90°ABC BAC ，平行四边形ABCD 是矩形，故选项A 符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BD ，++=180°BAD ABD DBC ，90ABD ，90°BAD ，选项B 不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B 不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，平行四边形ABCD 是菱形，故选项C 不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，=A B BC ，平行四边形ABCD 是菱形，故选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC 交AD 于E ，若4,8AB BC ，则AE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．【答案】C 【分析】根据矩形ABCD ，得到AD =BC =8，∠ADC =90°，OA =OC ，从而得证△AOE ≌△COE ，AE =CE ，设AE =x ，则EC =x ，DE =8-x ，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC ，∵矩形ABCD ，OE AC ，4,8AB BC ，∴AD =BC =8，AB =CD =4，∠ADC =90°，OA =OC ，∵OE AC ，∴∠AOE =∠COE =90°，∵OE=OE ，∴△AOE ≌△COE ，AE =CE ，设AE =x ，则EC =x ，DE =8-x ，在Rt △DEC 中，222CE DE CD ，∴222(8)4x x ，∴x =5，∴AE =5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）DA．1B C．235．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边AD 、AB 、BC 、CD 的中点．若8AC ，6BD ，则四边形EFGH 的面积为（）A ．48B ．24C ．32D ．12∴EF ∥GH ，FG ∥HE 且EF ⊥FG ．四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积=EF •EH =3×4=12，即四边形EFGH 的面积是12．故选：D ．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，CA 的中点，若四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需满足的条件是（）A ．AB DCB ．AC BD C ．AC BD D ．AB DC∵//EF AB ，//HE CD ，∴AB CD ，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形，再利用 FE HE 推出AB CD ．7．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ，3AC ，4BC ，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC 于点E ，MF BC 于点F ，则EF 的最小值是（）A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.6【答案】B 【分析】根据题意可证四边形ECFM 是矩形，得EF =CM ，再由垂线段最短得CM 最短进而可得EF 最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM ，∵ME AC ，MF BC ，∴ MEC = MFC =90°,当CM AB ，1122ABC S AC BC AB CM △，∴113422CM AB ， ABC 中，二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，AC 与BD 应满足的的条件是___________．,,,E F G H ∵分别为,,CD AD AB 1,2EF AC GH EF GH AC 四边形EFGH 为平行四边形，要使平行四边形EFGH 为矩形，则AC BD，．故答案为：AC BD【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．AB CD，PM、PN、QM、QN分别为角平分线，则四边形PMQN是__________．11．如图，//∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23°，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44°．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中APD CED ADP CDE AD DC＝＝＝，∴△ADP ≌△CDE ，∴DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，∴四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，∴DP 2=36，∴DP =6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC 交BC 于点D ，分别过点A 、D 作AE BC ∥、DE AB ∥，AE 与DE 相交于点E ，连接CE ．(1)求证：AE BD ；(2)求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据AE BC ∥、DE AB ∥证明四边形ABDE 为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出BD CD ，AD BC ，得出AE CD ，90ADC ，先证出四边形ADCE 是平行四边形．再证明四边形ADCE 是矩形即可．【详解】（1）证明：∵AE BC ∥、DE AB ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE BD ；（2）证明：∵AB AC ，AD 平分BAC ，∴BD CD ，AD BC ，∵AE BD ，∴AE CD ，∵AE CD ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AD BC ，∴90ADC∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD CD ，AD BC ，是解决问题的关键．15．如图，四边形ABCD 是平行四边形，过点D 作DE AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF AE ，连接AF ，BF ．(1)求证：四边形BFDE 是矩形．(2)若AF 是DAB 的平分线．若6CF ，8BF ，求DC 的长．DAF DFA ，10AD FD ，10616DC DF FC ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，90ABC BCD ．对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC 交BC 于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若2CD ，DBC =30 ，求△BED 的面积．17．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE BD 于点E ，DF AC 于点F ，且AE DF ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)若:4:5BAE EAD ，求EAO 的度数．∴904050OBA OAB ，∴504010EAO OAB BAE ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 是Rt ABC 中斜边(AC 不与A ，C 重合)上一动点，分别作PM AB 于点M ，作PN BC 于点N ，点O 是MN 的中点，若9AB ，12BC ，当点P 在AC 上运动时，则BO 的最小值是（）A ．3B ．3.6C ．3.75D ．4【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在Rt ABC △中，90A ，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG AB ∥，交HM 的延长线于点G ，若10AC ，8AB ，则四边形ACGH 周长的最小值是（）A ．28B ．26C ．22D ．18【答案】A 【分析】通过证明BMH CMG △≌△可得BH CG ，可得四边形ACGH 的周长即为AB AC GH ，进而可确定当MH AB 时，四边形ACGH 的周长有最小值，通过证明四边形ACGH 为矩形可得H G 的长，进而可求解．【详解】解：CG AB ∥∵，B MCG ，M ∵是BC 的中点，BM CM ，在BMH V 和CMG V 中，B MCG BM CM BMH CMG，()BMH CMG ASA △≌△，HM GM ，BH CG ，10AC ∵，8AB ，四边形ACGH 的周长18AC CG AH GH AB AC GH GH ，当GH 最小时，即MH AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，90A ∵，MH AB ，GH AC ∥，四边形ACGH 为矩形，10GH ，四边形ACGH 的周长最小值为181028 ，故选：A ．【点睛】本题主要考查轴对称 最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定GH 的值是解题的关键．3．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，15CAE ．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB ；④150 AOE ；⑤AOE COE S S ，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：4．如图，在平行四边形ABCD 中，90A ，10AD ，=8AB ，点P 在边AD 上，且BP BC ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且=PM CN ，连接MN 交CP 于点F ，过点M 作ME CP 于E ，则=EF ___________.，根据等角对等边可得5．如图，在矩形ABCD 中，4AB cm ，12AD cm ，点P 从点A 向点D 以每秒1cm 的速度运动，Q 以每秒4cm 的速度从点C 出发，在B 、C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点P 到达点D 为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形．【答案】2.4s 或4s 或7.2s【分析】根据已知可知：点Q 将由,C B C B C 根据矩形的性质得到AD ∥BC ，设过了t 秒，当AP=BQ 时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形，在点Q 由C B 的过程中，则PA=t ，BQ=12-4t ，求得t=2.4（s ），在点Q 由B C 的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s ），在点Q 再由C B 中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s ），在点Q 再由B C 的过程中，t=4（t-9），t=13（s ），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q 由,C B C B C在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．若AP BQ设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），的过程中，在点Q由B C设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由C B过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），的过程中，在点Q再由B C设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF AE ，连接AF BF ，．(1)求证：四边形BFDE 是矩形．(2)已知60DAB AF ，是DAB 的平分线，若6AD ，则□ABCD 的面积为______．7．如图，在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ，D 是AC 的中点，CE AB ∥，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点B 出发向点A 移动，连接PD 并延长交CE 于点F ，设点P 移动的时间为t 秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当4PF 时，求t的值．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。
《矩形的判定》练习及答案
《矩形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE 的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正确；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC＝BD．6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案为：．三．解答题（共2小题）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………………………………………………………1分∵E是AC中点，∴AE＝EC，…………………………………………………………………………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………………………………………………………3分∴EF＝DE，………………………………………………………………………4分∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，…………………………………………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．…………………………………………………………6分（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………………………………………………………8分∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．…………………………………………………………………………………10分10．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB?AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………………………………………………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………………………………………………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………………………………………………………………………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………………………………………………………………………4分（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，……………………………………………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………………………………………………………………………7分∴四边形CEAF是矩形；……………………………………………………………8分（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝5，△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，∵122+52＝132，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝AB?AC＝×12×5＝30，∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；故答案为：24．……………………………………………………………………10分。
矩形的判定练习题
矩形的判定练习题一、选择题1. 一个四边形的对边相等，它可能是以下哪种图形？A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形2. 一个四边形的对角线相等，且互相平分，它是什么形状？A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 梯形3. 一个四边形的对角线垂直相交，且互相平分，它是什么形状？A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形4. 一个四边形的对角线相等，且互相垂直，它是什么形状？A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形二、填空题5. 矩形的四个角都是________度。
6. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么它一定是________。
7. 一个四边形的对边相等，且对角线相等，那么它可能是________或________。
8. 一个四边形的对边平行且相等，那么它一定是________。
三、判断题9. 一个四边形的对边相等，它一定是矩形。
（）10. 一个四边形的对角线相等，它一定是矩形。
（）11. 一个四边形的对角线互相垂直，它一定是矩形。
（）12. 一个四边形的对角线互相垂直且相等，它一定是正方形。
（）四、简答题13. 请描述矩形的四个判定定理。
14. 矩形和正方形有哪些共同点和不同点？五、计算题15. 已知矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=3cm，BC=4cm，求对角线AC的长度。
六、证明题16. 已知四边形ABCD是矩形，E是AD上的一点，F是BC上的一点，且AE=CF。
求证：BF=DE。
七、应用题17. 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P是AD上的一点，且AP=2cm。
求点P到BC的距离。
八、作图题18. 根据题目要求，作一个矩形，使其长为10cm，宽为5cm，并画出其对角线。
九、探索题19. 探索矩形的面积和周长与对角线的关系。
十、综合题20. 在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E在AD上，点F在CD上，且AE=DF。
求矩形ABCD的面积。
几何思想之矩形的判定与性质专练
专题01 几何思想之矩形的判定与性质专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE AD =，连结EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）．A ．AB BE=B ．CE DE ^C ．90ADB Ð=°D ．BE AB^【标准答案】D【思路指引】由条件：四边形ABCD 为平行四边形及DE =AD ，可得四边形DBCE 为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．【详解详析】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，BC =AD ，BC ∥AD ，AB ∥CD∵DE =AD∴BC =DE∵BC ∥AD∴BC ∥DE∴四边形DBCE 是平行四边形当AB =BE 时，则由AB =CD 得BE =CD ，即四边形DBCE 的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE 是矩形；当CE ⊥DE 时或90ADB Ð=°时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE 是矩形；当BE AB ^时，则由AB ∥CD ，可知BE ⊥CD ，即DBCE Y 的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．故选：D ．【名师指路】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．2．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期中）如图，△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，过D 作DF ⊥BC 于点F ，DF ＝5cm ，∠EDB ＝15°，则DE ＝（ ）A ．12.5cmB ．5cmC ．7.5cmD ．10cm【标准答案】D【思路指引】过点E 作BC 的垂线交BC 于点G ，先证明四边形EDFG 为矩形，得出5EG DF ==，利用角平分线的性质，证明出EBD △为等腰三角形，得出EB DE =，再在Rt BGE V 中，利用30°对应的边等于斜边的一半即可求解．【详解详析】解：过点E 作BC 的垂线交BC 于点G ，如图：由题意：DF BC ^，//GE FD \，//DE BC Q ，\四边形EDFG 为平行四边形，90DFG Ð=o Q ，\四边形EDFG 为矩形，5EG DF \==，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，EBD GBD \Ð=Ð，//DE BC Q ，15EDB GBD \Ð=Ð=°，EBD EDB \Ð=Ð，EBD \V 为等腰三角形，EB DE \=，30EBG \Ð=°，在Rt BGE V 中，152EG BE ==，10BE \=，10DE \=，故选：D ．【名师指路】本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定及性质、矩形的判定、直角三角形中30°对应的边等于斜边的一半，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线构造直角三角形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少【标准答案】C【思路指引】连接AP ，先判断出四边形AFPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP ，再根据垂线段最短可得AP ⊥AB 时，线段EF 的值最小，即可判断出动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，线段EF 的值大小变化情况．【详解详析】如图，连接AP ．∵∠A=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，由垂线段最短可得AP ⊥BC 时，AP 最短，则线段EF 的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．【名师指路】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．4．（2021·浙江·温州市第二十一中学八年级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB 上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（ ）A．54B．125C．43D．65【标准答案】D【思路指引】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=1 2EF=12PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．【详解详析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，∴四边形CEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长PM经过点C，∴EF=CP，PM=12EF=12PC，当PC⊥AB时，PC=4312 55´=，∴PM的最小值为65，故选D．【名师指路】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP ⊥AB 时，CP 最小．5．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC Ð，//AD BC ，90C Ð=°，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（ ）．A ．18B ．20C ．22D ．24【标准答案】C【思路指引】过点A 做AE BC ^交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解详析】如图，过点A 做AE BC ^交BC 于点E∵BD 平分ABCÐ∴ABD CBD Ð=Ð∵//AD BC∴ADB CBD Ð=Ð∴ABD ADB Ð=Ð∴5AD AB ==∵AE BC ^，90C Ð=°∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ^，即90AEB =°∠∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【名师指路】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解．6．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在ABC V 中，90BAC Ð=°，6AB =，8AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ^于E ，PF AC ^于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【标准答案】A【思路指引】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离、垂线段最短，再利用相似三角形对应边成比例即可求得AP 最短时的长，最后求出PM 最短时的长即可．【详解详析】解：连结AP ，如图所示：∵∠BAC =90°，AB =6，AC =8，∴BC 10==5，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，90BAC Ð=°∴四边形AFPE 是矩形，∴EF =AP ．∵M 是EF 的中点，∴PM =12AP ，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=6810´=4.8，∴AP最短时，AP=4.8，∴当PM最短时，PM=12AP=2.4．故选A．【名师指路】本题主要考查了矩形的判定与性质以及垂线段最短，根据题意说明四边形AFPE是矩形并灵活运用“垂线段最短”成为解答本题的关键．7．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（ ）A．B．C．9﹣D．6﹣【标准答案】C【思路指引】过点N作NH⊥AD于H，先证明四边形NEDH为矩形，得到HD=NE，NH=DE，根据ED=2EC，ED+EC=CD=6，可以得到ED=HN=4，再利用勾股定理求出AH，即可得到NE的值，最后再直角三角形MNE中用勾股定理求解即可.【详解详析】解：如图所示，过点N作NH⊥AD于H，∵四边形ABCD是正方形，AD=6∴AD=CD=6，∠D=90°，∵NE⊥CD，NH⊥AD，∴∠NED=∠NHD=∠NHA=90°，∴四边形NEDH 为矩形，∴HD =NE ，NH =DE ，∵ED =2EC ，ED +EC =CD =6，∴ED =HN =4，由翻折的性质可得AD =AN =6，DM =MN∴AH ==∴6NE DH ==-，设DM =MN =x ，则ME =4-x ,则222MN NE ME =+,∴(()22264x x =-+-，解得9x =-，∴9DM =-故选C.【名师指路】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.8．（2021·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，4,1,90,30,120AD BC B A ADC ==Ð=°Ð=°Ð=°，则CD 的长为（ ）A．2B．1.5C．3D．2.5【标准答案】A【思路指引】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．【详解详析】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵∠AED=90°，∠A=30°，AD=2，∴DE=12∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，∴四边形BCFE为矩形，∴EF=BC=1，∴DF=DE-EF=1，∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，∴∠CDF=120°-60°=60°，在Rt△CFD中，∠DCF=30°，∴CD=2DF=2，故选：A．【名师指路】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．9．（2021·浙江龙湾·八年级期中）如图，OA ⊥OB ，OB ＝4，P 是射线OA 上一动点，连接BP ，以B 为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA 上取一点D ，使∠CDO ＝45°，当P 在射线OA 上自O 向A 运动时，PD 的长度的变化（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．保持不变【标准答案】D【思路指引】过点C 作CH OB ^于H ，CG OA ^于G ，先根据矩形的判定与性质可得,OG CH CG OH OB HB ===+，再根据三角形全等的判定定理证出OBP HCB @V V ，根据全等三角形的性质可得4,OB CH OP HB ===，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得DG CG OB HB ==+，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．【详解详析】解：如图，过点C 作CH OB ^于H ，CG OA ^于G ，则四边形OHCG 是矩形，,OG CH CG OH OB HB \===+，∵CBP V 是等腰直角三角形，∴,90BC BP CBP =Ð=°，∴90HBC OBP Ð+Ð=°，∵CH OB ^，∴90HBC HCB Ð+Ð=°，∴OBP HCB Ð=Ð，在OBP V 和HCB V 中，90OBP HCB O BHC BP CB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，∴()OBP HCB AAS @V V ，∴4,OB CH OP HB ===，∴OG OB =，∵45,CDO CG OD Ð=°^，∴OCD V 是等腰直角三角形，∴DG CG OB HB ==+，∴()()28PD DG PG OB HB OP OG OB HB HB OB OB =-=+--=+--==，∴PD 的长度保持不变，故选：D ．【名师指路】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．10．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，以ABC V 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ．延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ ．图中两块阴影部分面积分别记为1S ，2S ，若12:1:4S S =，四边形18BAHE S =，则四边形MBNJ 的面积为（）A ．5B ．6C ．8D ．9【标准答案】B【思路指引】结合题意，根据正方形面积比，计算得2BC GJ =，从而得3AC GJ =；根据勾股定理性质，计算得AB =；再根据勾股定理计算，得2HD GJ =；结合18BAHE S =，通过计算得GJ ；通过证明FAN EBM △≌△，得FAN EBM S S =△△，结合矩形CFJE 和四边形MBNJ 、ABC V 的面积关系计算，即可得到答案．【详解详析】解：∵12:1:4S S =∴12GJ BC =∵四边形BCFG 与四边形CADE 是正方形∴2BC FC FG GB GJ ====∴3AC AD DE CE BC GJ GJ====+=∵90ACB Ð=°∴AB ==∵AH AB =，18090ADH ADE Ð=°-Ð=°∴2HD GJ ==∵四边形BAHE AHD S S =△+梯形18ADEB S = ∴()()11113233182222AD HD AD BE DE GJ GJ GJ GJ GJ ´++´=´´++´=∴GJ =∴32AF AC FC GJ GJ GJ BE=-=-==∵90CAB ABC Ð+Ð=°，18090ABC EBM ABI Ð+Ð=°-Ð=°∴CAB EBM Ð=Ð，即FAN EBMÐ=Ð∵四边形BCFG 与四边形CADE 是正方形∴18090AFN CFN Ð=°-Ð=°，BEM 90Ð=°∴90AFN BEM AF BE FAN EBM Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî∴FAN EBM △≌△∴FAN EBM S S =△△∴ABC S =V 四边形CFNB EBMS S +△∵90FCE CEJ EJF JFC Ð=Ð=Ð=Ð=°∴四边形CFJE 是矩形∴矩形CFJE S =四边形MBNJ S +四边形CFNB EBM S S +=△四边形MBNJ ABCS S +△∴四边形MBNJ S =矩形CFJE S -ABC S V 112332622JE CE AC BC GJ GJ GJ GJ =´-´=´-´´= 故选：B ．【名师指路】本题考查了矩形、正方形、勾股定理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题11．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如图，矩形ABCD 中，AD ＝10，AB ＝6，点P 在边CD 上，且PC 平分∠BPD ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且PM ＝CN ，连接MN 交BP 于点F ，过点M 作ME ⊥CP 于E ．则EF ＝______________．【思路指引】过点M 作//MH BC 交CP 于H ，根据两直线平行，同位角相等可得MHP BCP Ð=Ð，两直线平行，内错角相等可得NCF MHF Ð=Ð，然后求出BPC MHP Ð=Ð，根据等角对等边可得PM MH =，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE EH =，利用“角边角”证明NCF D 和MHF D 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF FH =，从而求出12EF CP =，根据矩形的对边相等可得10BC AD ==，再利用勾股定理列式求出AP ，然后求出PD ，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP ，从而得解．【详解详析】解：如图，过点M 作//MH BC 交CP 于H ，则MHP BCP Ð=Ð，NCF MHF Ð=Ð，∵PC 平分∠BPD ，∴∠BPC =∠DPC ，∵AD ∥BC ，∴∠DPC=∠BCP ，BCP BPC \Ð=Ð，BPC MHP \Ð=Ð，BP =PC ，PM MH \=，PM CN =Q ，CN MH \=，ME CP ^Q ，PE EH \=，在NCF D 和MHF D 中，NCF MHF CFN HFM CN MH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()NCF MHF AAS \D @D ，CF FH \=，12EF EH FH CP \=+=，Q 矩形ABCD 中，10AD =，10BC AD \==，10 BP BC\==，在Rt ABPD中，8AP===，1082PD AD AP\=-=-=，在Rt CPDD中，CP===12EF CP\==．【名师指路】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．12．（2021·浙江·乐清市英华学校八年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____．【标准答案】3或6．【思路指引】当CEBD¢为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出10AC=，根据折叠的性质得90AB E BТ=Ð=°，而当CEBD¢为直角三角形时，只能得到90EB CТ=°，所以点A、B′、C共线，即BÐ沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB EB=¢，6AB AB=¢=，可计算出4CB¢=，设BE x=，则EB x¢=，8CE x=-，然后在Rt CEBD¢中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时四边形ABEB¢为正方形．【详解详析】解：当CEBD¢为直角三角形时，有两种情况：①当点B ′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC ，在Rt ABC D 中，6AB =，8BC =，10AC \==，B ÐQ 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，90AB E B \Т=Ð=°，当CEB D ¢为直角三角形时，只能得到90EB C Т=°，\点A 、B ′、C 共线，即B Ð沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，如图，EB EB \=¢，6AB AB =¢=，1064CB \¢=-=，设BE x =，则EB x ¢=，8CE x =-，在Rt CEB D ¢中，222EB CB CE ¢+¢=Q ，2224(8)x x \+=-，解得3x =，3BE \=；②当点B ′落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB ¢为正方形，6BE AB \==．综上所述，BE 的长为3或6．故答案为3或6．【名师指路】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．13．（2021·浙江·杭州市建兰中学八年级期中）在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝25，点E 在线段BC 上，CE ＝12，点F 是线段AD 上的一个动点，连接BF ，若将四边形ABEF 沿EF 折叠，点A 、B 分别落在点A ¢、B ¢处，则当点B 恰好落在矩形ABCD 的一边上时，AF 的长为_____．【标准答案】5或10.6【思路指引】分两种情况解答：①当点B ′落在DC 边上，根据折叠不变性，AF A F =¢，13B E BE ¢==，连接B F ¢，则¢=B F BF ；在Rt △B EC ¢中由勾股定理可得CB ¢，设AF x =，则25DE x =-，根据BF B F =¢，由勾股定理列出方程，解方程，结论可得；②当点B ′落在AD 边上，过B ′作B H EC ¢^，仿照①，列出方程，结论可得．【详解详析】解：分两种情况解答：①当点B ′落在DC 边上时，如下图：连接B F ¢，由题意：AF A F =¢，B E BE ¢=，BF B F =¢．在矩形ABCD 中，25AD =Q ，25BC \=．12CE =Q ，251213BE \=-=．13B E \¢=．5B C \¢==．12CD AB ==Q ，1257B D CD CB \¢=-¢=-=．设AF x =，则A F x ¢=，25DF x =-．2222212BF AB AF x \=+=+．22222(25)7B F DF B D x ¢=+¢=-+．2214449(25)x x \+=+-．解得：10.6x =．10.6AF \=．②当点B ′落在AD 边上，如下图：过点B ′作B H EC ¢^于点H ，由题意：AF A F =¢，B E BE ¢=，BF B F =¢．在矩形ABCD 中，25AD =Q ，25BC \=．12CE =Q ，251213BE \=-=．13B E \¢=．在Rt △B EH ¢中，12B H CD ¢==，5EH \=．1257CH \=-=．7B D \¢=．25718AB \¢=-=．设AF A F x =¢=，则18B F x ¢=-．2222212BF AB AF x =+=+Q ，22212(18)x x \+=-．解得：5x =．5AF \=．综上，5AF =或10.6．故答案为：5或10.6．【名师指路】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理．利用折叠不变性和勾股定理列出方程是解题的关键．14．如图，直线l 上有AB 、两点，且AB =AB 为边向上构造矩形,4ABCD BC =，连接对角线,AC E 为AC 的中点，F 为直线l 上的动点，连接EF ，作C 关于EF 的对称点C ¢，连接,C E C F ¢¢，若EFC ¢V 与ACF V 的重叠部分()EFG V 面积等于ACF V 的14，则BF =___．【标准答案】+【思路指引】分两种情形①如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E ¢，C A ¢，作EM BC ^于M ，EN PC ^¢于N ．只要证明四边形AFEC ¢是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点F 在线段AB 的延长线上时，同法可求．【详解详析】解：如图1中，当点F 在线段AB 上时，连接C E ¢，C A ¢，作EM CF ^于M ，EN FC ^¢于N ．EFC D ¢Q 与ACF D 的重叠部分()EFG D 面积等于ACF D 的14，EG AG \=，EFC EFC Ð=ТQ ，EM BC ^于M ，EN FC ^¢于N ，EM EN \=，\12212FECFEG FC EM S EC S EG FG EN D D ××===××，2FC FG \=，FC FC ¢=Q ，FG C G \=¢，AG GE =Q ，\四边形AFEC ¢是平行四边形，1122EC AF EC AC \¢====FB \=如图2中，点F 在线段BA 的延长线上时，同法可得AF EC EC =¢==BF \=故答案为或+【名师指路】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．15．如图，在矩形纸片ABCD 中，40cm,16cm,BC AB M ==点为BC 边上的中点，点G 沿B A D ®®运动（不含端点），将矩形纸片沿直线MG 翻折，使得点B 落在AD 边上，则折痕MG 长度为______．【标准答案】或【思路指引】过F 作ME ⊥AD 于E ，可得出四边形ABME 为矩形，利用矩形的性质得到AE =BF ，AB =EM ，分两种情况考虑：（i ）当G 在AB 上，B ′落在AE 上时，如图1所示，由折叠的性质得到B ′M =BM ，BG =B ′G ，在直角三角形EMB ′中，利用勾股定理求出B ′E 的长，由AE -B ′E 求出AB ′的长，设AG =x ，由AB -AG 表示出BG ，即为B ′G ，在直角三角形AB ′G 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出AG 的长，进而求出BG 的长，在直角三角形GBM 中，利用勾股定理即可求出折痕MG 的长；（ii ）当G 在AE 上，B ′落在ED 上，如图2所示，同理求出B ′E 的长，设A ′G =AG =y ，由AE +B ′E -AG 表示出GB ′，在直角三角形A ′B ′G 中，利用勾股定理列出关于y 的方程，求出方程的解得到y 的值，求出AG 的长，由AE -AG 求出GE 的长，在直角三角形GEM 中，利用勾股定理即可求出折痕MG 的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG 的长．【详解详析】解：如图1所示，过M 作ME AD ^于E ，G 在AB 上，B ′落在AE 上，可得四边形ABME 为矩形，16EM AB \==，AE BM =，又40BC =Q ，M 为BC 的中点，\由折叠可得：1220B M BM BC ¢===，在Rt EFB ¢△中，根据勾股定理得：B E 12¢，201232AB AE B E \¢=+¢=+=，设AG x =，则有16GB GB x ¢==-，在Rt AGB ¢△中，根据勾股定理得：222GB AG A B ¢=+¢¢，即222(16)8x x -=+，解得：6x =，16610GB \=-=在Rt GBF △中，根据勾股定理得：GM =()ii 如图2所示，过F 作FE AD ^于E ，G 在AE 上，B ′落在ED 上，可得四边形ABME 为矩形，16EM AB \==，AE BM =，又40BC =，M 为BC 的中点，\由折叠可得：1220B M BM BC ¢===，在Rt EMB ¢△中，根据勾股定理得：B E 12¢==，201232AB AE B E \¢=+¢=+=，设AG A G y =¢=，则32GB AB AG AE EB AG y ¢=¢-=+¢-=-，16A B AB ¢¢==，在Rt △A B G ¢¢中，根据勾股定理得：222A G A B GB ¢+¢¢=¢，即22216(32)y y +=-，解得：12y =，12AG \=，20128GE AE AG \=-=-=，在Rt GEM △中，根据勾股定理得：GM ==，综上，折痕MG =故答案为：或．【名师指路】此题考查了翻折变换-折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．16．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，4,10AB BC ==，M 为BC 的中点，沿过点M 的直线翻折，使点B 落在边AD 上，记折痕为MN ，则折痕MN 的长为_________．【标准答案】【思路指引】设B 点沿过点M 的直线翻折后落在AD 上的对应点为点B ′，分类讨论①过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AB 上，根据折叠性质得5B M BM ¢==，由勾股定理得，3B E ¢=，MN =②过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AD 上，由折叠得5B M BM ¢==，由勾股定理得，3B E ¢=，设AN A N y =¢=，则5EN AE AN y =-=-，在Rt △A NB ¢¢中，由勾股定理得，222NA A B NB ¢+¢¢=¢，在Rt NEM D中，由勾股定理得，MN =，即可得出结论．【详解详析】解：设B 点沿过点M 的直线翻折后落在AD 上的对应点为点B ′，①过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AB 上，可得四边形ABME 为矩形，4EM AB \==，AE BM =，M Q 为BC 中点，10BC =，\由折叠可得：1110522B M BM BC ¢===´=，在Rt △B EM ¢中，由勾股定理得，3B E ¢=，532AB AE B E \¢=-¢=-=，设AN x =，则4NB AB AN x =-=-，在Rt ANB D ¢中，由勾股定理得，22222222(4)AN AB x NB NB x +¢=+=¢==-，解得32x =，35422NB AB AN \=-=-=，在Rt NBM D 中，由勾股定理得，MN②过点M 作ME AD ^交AD 于点E ，N 在AD 上，可得，四边形ABME 为矩形，4ME AB \==，AE BM =，又10BC =Q ，M 为BC 中点，\由折叠得，1110522B M BM BC ¢==´=´=，在Rt EMB D ¢，由勾股定理得，3B E ¢，538AB AE B E ¢=+¢=+=，设AN A N y =¢=，则5EN AE AN y =-=-，则538NB NE B E y y ¢=+¢=-+=-，在Rt △A NB ¢¢中，90NA B Т¢=°，由勾股定理得，222222224(8)NA A B y AB y NB y ¢+¢¢=+=+=¢=-，3y =，则5532NE y =-=-=，在Rt NEM D 中，90EMN Ð=°，由勾股定理得，MN =综上所述，MN =故答案为：【名师指路】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握矩形和翻折变换的性质以及都股定理等基本知识点，本题注意分类讨论．17．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD ，使边AD 与BC 重合，折痕为EF ，将纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点G 处，折痕BH 交EF 于点M ．若BC AB ＝m （m ＞1），则FG EM的值为____．（用含m 的代数式表示）【标准答案】3-【思路指引】根据折叠的性质得到AE =BE ，AB =BG ，AH =HG ，∠A =∠BGH =90°，证明△HGM 是等边三角形，设AB =1，BC =m ，利用勾股定理求出EM ，求出MG ，GF 的长，即可得到比值．【详解详析】解：由第一次折叠可知：AE =BE ，由第二次折叠可知：AB =BG ，AH =HG ，∠A =∠BGH =90°，∴BG =2BE ，∴∠BGE =30°，∠EBG =60°，∴∠ABH =∠GBH =30°，∠HGM =60°，∴BM =2EM ，∠BME =∠HMG =60°，∴△HGM 是等边三角形，∵BC AB=m ，∴设AB =1，BC =m ，∴BG =1，AE =BE =12，AD =EF =m ，在△BEM 中，222BE EM BM +=，即()222122EM EM æö+=ç÷èø，∴EM =E 为AB 中点，EM ∥AD ，∴AH =2EMHG =MG ，∴GF =EF -EM -MG=m∴FG EM=3-，故答案为：3-．【名师指路】本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，知识点较多，解题的关键是利用基本性质得到线段之间的关系．18．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，下列五个结论：①EF =CF ；②∠BAE +∠ECF =90º；③CF ∥AE ；④△ECF 是等边三角形；⑤365CF =；其中一定成立的有_______（填序号）．【标准答案】②③⑤【思路指引】先证明∠BAE≠30°，即可推出∠BEA=∠AEF≠60°，则∠FEC≠60°，从而可以推出△FEC不是等边三角形，即可判断①④，根据∠BEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠EFC，∠BEA=∠AEF，即可得到∠AEB=∠FCE，即可判断②③；过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，先证明四边形FGEC是平行四边形，四边形BEFG是平行四边形，即可得到GH=HE1122GE CF==，然后利用面积法和勾股定理即可判断⑤．【详解详析】解：由折叠的性质可知：BE=EF，AB=AF，∠BEA=∠AEF，∵E为BC的中点，∴BE=EC=162BC=，∴FE=EC，∴∠ECF=∠EFC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴10AE==，∠BAE+∠AEB=90°，∴2AE BE¹，∴∠BAE≠30°，∴∠BEA=∠AEF≠60°，∴∠FEC≠60°，∴△FEC不是等边三角形，故④错误，∴EF≠CF，故①错误；∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，∴∠AEB=∠FCE，∵∠BAE+∠AEB=90°，AE∥CF故③正确∴∠BAE+∠ECF=90°，故②正确，如图，过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，∴四边形FGEC是平行四边形，∴GF=BE=EC，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF=BG=BE，GE=CF，∴GH=HE1122GE CF ==，∵11=22ABES AB BE AE BH=g g△，∴245AB BEBHAE==g，∴185 HE==，∴3625CF EH==，故⑤正确；故答案为：②③⑤．【名师指路】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，平行四边形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、解答题19．（2021·浙江余杭·八年级月考）如图，在长方形ABCD中，4AB=，9BC=，动点Q沿着C D A B®®®的方向运动，到点B运动停止，设点Q运动的路程为x，QCBD的面积为y．（1）点Q在CD边上，求y关于x的函数表达式．（2）点Q在AD边上，QCBD的面积是否发生变化？请说明理由．（3）点Q在AB边上，QCBD的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出y关于x的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时QCBD的面积．【标准答案】（1）9(04)2y x x=<£；（2）QCB△的面积不发生变化，理由见解析；（3）QCB△的面积发生变化，018y <£，9153(1317)22y x x =-+£<．【思路指引】（1）由题意可求出CQ 的长，利用三角形的面积公式即可得到求y 与x 的关系式；（2）当点Q 在AD 上运动时，QCB △的面积不发生改变，过点Q 作QM BC ^于点M ，利用三角形的面积公式可得QCB △的面积为18，是个定值；（3）先求出BQ 的长，再利用三角形的面积公式可得y 与x 的函数关系式，然后利用点Q 在AB 上可得出x 的范围，由此即可得出面积y 的变化范围．【详解详析】解：（1）Q 在长方形ABCD 中，4AB =，9BC =，4,9,90CD AB AD BC ABC BCD \====Ð=Ð=°，由题意知，当点Q 在CD 边上时，CQ x =，且04x <£，19(24)20y BC CQ x x \=×=<£；（2）QCB △的面积不发生变化．理由如下：如图，过点Q 作QM BC ^于点M ，则4QM AB ==，11941822QCB S BC QM \=×=´´=V ，是一个定值，所以QCB △的面积不发生变化；（3）QCB △的面积发生变化，求解过程如下：当点Q 在AB 边上时，CD AD AQ x ++=，且CD AD x CD AD AB +£<++，49417BQ AB AD CD x x x \=++-=++-=-，1317x £<，1191539(17)(1317)2222y BC BQ x x x \=×=´-=-+£<，1317x £<Q ，9153915317132222y -´+<£-´+\，即018y <£．【名师指路】本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键．20．如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；②若EB＝1，求CF的长．【标准答案】（1；（2）①2303y x=°-；②2．【思路指引】（1）根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可；（2）①根据矩形的性质和角的关系得出关系式即可；②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，根据矩形的性质和边的关系解答即可．【详解详析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠ACD＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠CAF＝∠DAF﹣∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD，∵∠CAF＝30°，∴∠BAF＝∠CAD＝90-90303022CAFÐ-==o o oo，∴△ACD是含30°的直角三角形，∴AD：DC1，1；（2）①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，∵∠CAF＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CAF＝y，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝x+y，∵∠ACD＝∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝y+x+y＝x+2y，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACE+∠BCE＝90°，∴x+2y+x+y＝90°，∴y＝30°-23 x；②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DCA＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAC，∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，∴∠AFE＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠EAF＝∠EFA，∴AE＝EF，∵AB⊥BC，BG＝BE，∴CG＝CE，∴∠ECB＝∠GCB，∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，∴AG＝CG，又∵CE＝CG，∴CE＝AG，∴CF+EF＝AE+2EB，∴CF＝2EB＝2．【名师指路】本题考查了四边形得到综合题、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P是线段AC上一动点，PE//BC交射线BD于点E，连接AE，点'E是点E关于AC的对称点.（1）线段BC＝______，AC＝_____；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，△AEB是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当△AEB是等腰三角形时，CP所有可能的长；若不可能，请说明理由；（3）当点E¢恰好落在线段BC上时，PC＝______．【标准答案】（1）2+，（2）有可能，（3【思路指引】（1）过点A作AF⊥BC于F，过点P作PG⊥BC于G，根据已知角和已知边解直角三角形即可求解；（2）过点D 作DQ ⊥BC 于Q ，根据等腰三角形的性质分情况讨论，利用已知角和边解直角三角形即可；（3）过点C 作EC ⊥BC 交BD 延长线于E ，根据等腰直角三角形的性质解直角三角形即可求解.【详解详析】（1）解：过点A 作AF ⊥BC 于F ，过点P 作PG ⊥BC 于G ，∵∠C =45°，∠ABC =60°，AF ⊥BC ，∴AFB △和AFC △是直角三角形，在直角三角形AFB △中，已知AB =4，∠FAB =30°∴BF =12AB =12×4=2，由勾股定理可得：又∵在直角三角形AFC △中，∠C =45°，AF =FC =∴BC =2+∴=（2）解：过点D 作DQ ⊥BC 于Q ，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =60°，∴∠ABD =∠DBC -30°，设CQ =x ，则BQ =BC -CQ =2+x ，在直角三角形BQD V 中，∠DQB =30°，∴12DQ BD =，勾股定理可得：BQ =,∴DQ BQ =∴DQ BQ ==，求得x =2即DQ =CQ =2，BQ =∴BD 4=，DC =，由题意，AEB △是等腰三角形，故有三种情况：①当AB =AE 时，∠ABE =∠AEB =30°，∴∠BAE =180°-30°-30°=120°，∵∠ABC =60°，∠BAE =120°，∴AE //BC ，∵PE //BC ，P 为AC 上一动点，∴点P 与点A 重合，即PC =AC =②当AB =EB 时，EB =AB =2，∵BD =2，AB =2，EB =AB =2，∴点D 与点E 重合（点E 在BD 上），∴点P 与点E 重合,即PC =CD=∵此时不满足PE //BC ，∴不存在；③当AE =BE 时，过点E 作EM ⊥AB 于M ，在直角三角形BME V 中，BM =122AB =,∠MBE =30°，∴ME =12BE ，勾股定理可得：MB，∴BM BE =∴BE ==，过点E 作EH ⊥BC ，PG ⊥BC ，在直角三角形BHE V 中，BE,∠HBE =30°，∴12EH BE ==∵四边形EHGP 是矩形，∴PG =EH在直角三角形PGC V 中，∠PCG =45°，∴PG =GC由勾股定理可得：PC =综上，CP 可能的长为（3）连接EC 、EE ¢，∵∠ACB =45°，PE ∥BC ，∴∠EPC =∠ACB =45゜，∵E 与'E 关于AC 对称，∴∠ECP =∠ACB =45゜，∴∠BCE =∠ACB +∠ECP =90゜，∠PEC =180゜－∠EPC －∠ECP =90゜，∴EC ⊥BC ，PEC V 是等腰直角三角形，∴PE =CE ，由勾股定理可得：PC2=PE 2+CE 2,∴PC 22，∴CE PC ，又∵在直角三角形BCE V 中，∠EBC =30°，BC =2+∴EC =12BE ，由勾股定理可得：BC BE ，∴CE BC =∴CE (22+=,∴PC =.【名师指路】本题主要考查含30°的直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握含30°的直角三角形的性质和勾股定理.22．（2021·浙江·温州市第十四中学八年级期中）如图1，在Rt ABC V 中，ACB 90Ð=o ，AC =BC =4，D 是AB 的中点．延长AC 至点N ，在BC 右侧作BM ∥AN ，点E 为射线BM 上一点，连结DE 交BC 于点F ，过点D 作DG DE ^交AC 于点G ．（1）求证：BFD CGD Ð=Ð；（2）如图 2，点H 在射线CN 上，且EF 平分BFH Ð，连结EH ．①求证：HF HG =；②当HEF V 是以EH 为腰的等腰三角形时，则BF = ．(直接写出答案，结果保留根号)．【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4-2-．【思路指引】（1）先证明∠DGC +∠DFC =180°，再根据∠BFD +∠DFC =180°，得出结论；（2）①先证明∠FHD =∠CHD ，再证明CGD Ð=∠DFH ，最后根据△DFH ≌△DGH 得出结论；②分两种情况讨论：①当EH =HF 时；②当EH =EF 时，分别求解即可．【详解详析】解：（1）∵DG DE ^，ACB 90Ð=o ，∴∠ACB =∠FDG =90°，∴∠DGC +∠DFC =360°-∠ACB -∠FDG =180°，∵∠BFD +∠DFC =180°，∴∠BFD =∠DGC ；（2）①连接DC ，DH ，DO ⊥AC ，DK ⊥BC ，DP ⊥HF ，交HF 的延长线于点P ，∵AC =BC ，D 是AB 的中点，∴CD 是∠BCA 的平分线，∴∠FHD =∠CHD ，∵DO ⊥AC ，DK ⊥BC ，∴DO =DK ，。
矩形判定(基础过关试题)
矩形判定基础过关试题一、选择题1.在数学活动课上, 老师和同学们判断一个四边形是否为矩形, 下面是一个学习小组拟定的方案, 其中正确的./A.测量对角线是否相互平..B.测量两组对边是否分别相等C.测量对角线是否相......D.测量其中三个角是否都为直角 2.如图所示, 四边..的对角线互相平分, 要使它变为矩形, 需要添加的条件.. A./ B./ C./ D./ 3...是四边..对角线的交点./, 则四边.../ A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形4.下列说法正确的./A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形 5..为四边..对角线的交点, 以下条件不能判定四边..是矩形的./A./, /, /B./C./, /, /D./，/，/，/ 6.下列四边形中, 对角线一定相等的./A.邻边相等的四边形B.对角线垂直的四边形C.邻边互相垂直的平行四边形D.对角相等的平行四边形 7.如图, 四边..为平行四边形, 延.../, ./, 连./, /, /, 添加一个条件, 不能使四边..成为矩形的..A./B./C./D./二、填空题8.如图, 平行四边..的对角./, .相交于./, 则添加一个适当的条件........ , 可使其成为矩形（只填一个即可）.9.如图, 在四边..中, 已./, /, 在不添加任何辅助线的情况下, 请补充一个条件, 使四边..成为矩形, 这个条件........ . 10.矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线 的平行四边形是矩形； （3）有三个角是 的四边形是矩形. 11.如图所示, 工人师傅做一个矩形铝合金窗框分下面三个步骤进行:（/）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示）, 使 /, /.（/）摆放成如图②的四边形, 则这时窗框的形状是平行四边形, 它的依据是 .（/）将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）, 调整窗框的边框, 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）, 说明窗框合格, 这时窗框是矩形, 它的依据是 ．12.木工师傅在做门窗框架、桌面、椅面等物件时, 需要检测做出的物件是否为矩形. 这时, 木工师傅通常不仅要测量它们的两组对边的长度是否分别相等, 而且还要测量它们的两条对角线是否相等. 这样做的理由........................................................13.如图, 在四边形ABCD中, AD∥BC, E,F两点在BC上, AB∥DE, AF∥DC, 且四边形AEFD是平行四边形（1）AD和BC有何数量关系?请说明理由？（2）当AB=DC时, 求证：□AEFD是矩形？14.如图, 在△ABC中, E是AD的中点, 过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F, 且AF=BD, 连接BF （1）求证: BD=CD （2）如果AB=AC, 试判断四边形AFBD的形状, 并证明你的结论？答案第一部分1. D 【解析】四个内角都是直角的四边形为矩形, 又因为四边形的内角和./, 所以当四边形的三个角都是直角时, 另一个角也是直角, 所以此时四边形为矩形.2. D3. B4. D5. D6. C7. B第二部分8. /（答案不唯一）9. /（答案不唯一）10. （2）相等, （3）直角11. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形, 有一个角是直角的平行四边形是矩形12. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．。
初二数学下册知识点《矩形的判定》经典150例题及解析
初二数学下册知识点《矩形的判定》经典150例题及解析副标题一、选择题（本大题共69小题，共207.0分）1.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）A. 一定不是平行四边形B. 一定不是中心对称图形C. 可能是轴对称图形D. 当AC＝BD时，它为矩形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．先连接AC，BD，根据EF=HG，EH=FG，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：如图，连接AC，BD，∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=HG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH一定是中心对称图形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH可能是轴对称图形.故选C.2.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．3.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【答案】D【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．4.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．5.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；D．如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D．连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．7.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A. ∠A=∠BB. ∠A=∠CC. AC=BDD. AB⊥BC【答案】B【解析】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．由矩形的判定方法即可得出答案．本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．8.下列命题是真命题的是( )A. 四边都相等的四边形是矩形B. 菱形的对角线相等C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线相等的平行四边形是矩形【答案】D【解析】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；B、矩形的对角线相等，故错误；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选：D．根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A. ∠BAC=∠DCAB. ∠BAC=∠DACC. ∠BAC=∠ABDD. ∠BAC=∠ADB 【答案】C【解析】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定；熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键．10.下列关于矩形的说法，正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是矩形C. 矩形的对角线互相垂直且平分D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D【解析】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选：D．根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．11.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．正确的只有③，故选A．根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．12.已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A. 当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【解析】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴选项D不正确；故选：B．由平行四边形的判定方法得出选项A不正确、选项B正确；由矩形和正方形的判定方法得出选项C、选项D不正确．本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．13.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．14.如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE=CF；②AB=DC；③S△ABE=S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE=CF，故①正确，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB=DC，故②正确，∵BE∥CF，∴∠AEB=∠DFC，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴S△ABE=S△DCF，故③正确，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四边形ABCD是矩形，故④正确，故选：D．根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．本题考查矩形的判断、平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质和平行线的性质解答．15.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.16.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．17.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）A. 四边形ACEF4B. 四边形ACEF是矩形，它的周长是C. 四边形ACEF是平行四边形，它的周长是D. 四边形ACEF是矩形，它的周长是【答案】B【解析】解：∵DE=AD，DF=CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，∴AE=CF，∴四边形ACEF是矩形，∵△ACD是等边三角形，∴AC=1，∴EF=AC=1，过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×∴AF=CE=2AG∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF故选B．首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．18.如图．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB、EC、DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A. AB＝BEB. BE＝DEC. ∠ADB＝90°D. CE⊥DE【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键．先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A.∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；C.∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；D.∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误．故选B．19.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A. AB∥DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB=DC【答案】C【解析】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．故选：C．根据矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形是矩形）．先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90度．由此推出AC⊥BD．本题考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．难度一般．20.顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A. 等腰梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：∵E，F是中点，∴EH∥BD，同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，∴EH∥FG，EF∥GH，则四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：B．根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得．本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．21.依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】A【解析】解：如右图所示，四边形ABCD是菱形，顺次连接各边中点E、F、G、H，连接AC、BD，∵E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，同理有FG∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，又∵EF∥AC，∴∠BME=90，∵EH∥BD，∴∠HEF=∠BME=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．先连接AC、BD，由于E、H是AB、AD中点，利用三角形中位线定理可知EH∥BD，同理易得FG∥BD，那么有EH∥FG，同理也有EF∥HG，易证四边形EFGH是平行四边形，而四边形ABCD是菱形，利用其性质有AC⊥BD，就有∠AOB=90°，再利用EF∥AC以及EH∥BD，两次利用平行线的性质可得∠HEF=∠BME=90°，即可得证．本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、平行线的性质、菱形的性质．解题的关键是证明四边形EFGH是平行四边形以及∠HEF=∠BME=90°．22.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）【答案】D【解析】【分析】本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM．因为AP的最小值即为直角三角形ABC∴AM故选D．23.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A. AB=CD，AD=BC，∠A=90°B. OA=OB=OC=ODC. AB=CD，AB∥CD，AC=BDD. AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD 【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形和矩形的判定的应用有关知识，先根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定逐个判断即可.【解答】解：如图：A.∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B.∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C.∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确,故选D.24.下列说法中错误的是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形D. 两条对角线相等的菱形是正方形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的有关知识，根据矩形的对角线相等且平分，和正方形的对角线互相垂直、相等、平分进行判定即可得出结论．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．【解答】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项正确；B.对角线相等的平行四边形才是矩形，故B选项错误；C.对角线互相垂直的矩形是正方形，故C选项正确；D.两条对角线相等的菱形是正方形，故D选项正确，综上所述，B符合题意，故选B．25.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．26.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．27.下列命题中，假命题是（）A. 有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B. 有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C. 有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D. 有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反例往往是解决此类题目的重要的方法.利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可.【解答】解：A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此选项不符合题意；B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意；C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意.故选C.28.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（）A. ∠ABC=90°B. AC⊥BDC. AB=CDD. AB∥CD【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC=BD或有个内角等于90度．故选A.。
矩形的判定专项练习30题(有答案)ok
矩形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD是矩形．2．如图，已知平行四边形ABCD，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M．（1）试说明：∠BGC=90°；（2）连接BM，判断四边形GBMC的形状并说明理由．3．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E．（1）四边形OCDE是矩形吗？说说你的理由；（2）请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，你能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由．4．△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF 是矩形？说明理由．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O．（1）用尺规作图的方法，作出△AOB平移后的△DEC，其中平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD 的长；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）观察图形，判断四边形DOCE是什么特殊四边形，并证明．6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形．7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE 相交于点E，试说明四边形OCED是矩形．8．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）若BD=DC，连接CM，求证：四边形ABCM为矩形．9．如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点．求证：四边形AECF是矩形．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是BC的中点，连接AC、DE相交于点O．（1）试说明：△AOD≌△COE；（2）若∠B=∠AOE，试说明四边形AECD是矩形的理由．11．如图，以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求证：四边形AEFD为矩形．12．（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．（2）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．①求证：△ABF≌△ECF；②若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．13．如图，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC，过点B作BE∥AD交AE于点E，（1）求证：AE=CD；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADBE是矩形？请说明理由．14．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，点G在边BC上，且CG=（AD+BC）．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；15．已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．16．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，且CE=AB．求证：四边形CFED是矩形．17．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F；（1）试说明四边形AECF是平行四边形．（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形．（3）当EF与AC有怎样的关系时，四边形AECF是矩形．18．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F．（1）说明四边形AEDF是矩形．（2）试问：当点D位于BC边的什么位置时，四边形AEDF是正方形？并说明你的理由．20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．21．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点，（不与点A，C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？（2）探索：当点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？22．（2013•沙湾区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠OBC=∠OCB，求证：四边形ABCD是矩形．24．如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，AN，BM相交于P，DN，CM相交于Q．求证：PMQN为矩形．25．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形．26．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的一点，过点A作AF∥BE，交ED的延长线于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，则四边形AFCE是矩形．27．如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，探究：当△ABC满足什么条件时，四边形DBEA是矩形？并说明理由．28．如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．29．已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．30．如图，已知AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCED为矩形．参考答案：1．（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵△DAF≌△CBE，∴∠A=∠B，∴2∠A=180°，∴∠A=90°；（2）∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形2．（1）∵∠ABC+∠BCD=180°，BE、CF平分∠ABC，∠BCD，∴∠GBC+∠GCB=90°，∴∠BGC=90°；（2）∵点H为BC的中点，∴BH=CH=GH，∵GB∥CM，∴∠BGH=∠CMH，∵∠HBG=∠HGB，∴∠HCM=∠HMC，∴MH=BH=CH=GH，∴四边形GBMC为矩形3．（1）四边形OCDE是矩形．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形．（2）任意改变四边形ABCD的形状，四边形OCED都是平行四边形（答案不唯一）．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．4．满足△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴BD=CD，∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，∴DF∥AB，ED∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠BAC=90°∴AEDF是矩形．5．（1）所作图形如图所示：（2）四边形DOCE是矩形．∵△DCE是由△AOB平移后的图形，∴DE∥AC，CE∥BD．∴四边形DOCE是平行四边形．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．即∠DOC=90°∴四边形DOCE为矩形．6．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，OD=OB，∵AN=CM ON=OB，∴ON=OM=OD=OB，∴四边形NDMB为平行四边形，∵MN=BD，∴平行四边形NDMB为矩形7．∵DE∥AC，CE∥BD，∴DE∥OC，CE∥OD∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形8．（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE，∵E、F分别是边BC、CD的中点∴EF∥BD，∴四边形DBEM是平行四边形．（2）证明：连接DE，∵DB=DC，且E是BC中点，∴DE⊥BC，∴DE∥AB．又∵AB⊥BC，∴AB∥DE∵由（1）知四边形DBEM是平行四边形，∴DM∥BE且DM=BE，∴DM∥EC且DM=EC，∴四边形DMCE是平行四边形，∴CM∥DE，∴AB∥CM．又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCM是矩形．9．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OF．∵AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理，∠ACF=∠ACP，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACP）=×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．10．（1）∵BC=2AD，点E是BC的中点，∴EC=AD．∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CEO，∠DAO=∠ECO．在△AOD和△COE 中，∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）∵AD=BE，AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形；同理可得：四边形AECD是平行四边形．∴∠ADO=∠B．∵∠B=∠AOE，∴∠AOE=2∠B．∴∠AOE=2∠ADO．∵∠AOE=∠ADO+∠DAO，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=DE．∴四边形AECD是矩形．11．：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．又∵BD=BA，BF=BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC=DF=AE，同理可证△ABC≌△EFC，∴四边形DAFEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵∠BAC=150°，∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°，∴四边形AEFD为矩形．12．1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠C=45°，CD=AD，∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC，∴∠EBD=45°=∠C，∵BD⊥AC，DE⊥DF，∴∠BDC=∠EDF=90°，∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF，∴∠EDB=∠FDC，∵在△EDB和△FDC中∴△EDB≌△FDC（ASA），∴FC=DE=3，同理△AED≌△BFD，∴DF=AE=4，在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF==5；（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CD=CE，∴AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AF=FE，BF=FC，∵在△ABF和△ECF中∴△ABF≌△ECF（SSS）；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC，∵∠AFC=∠ABC+∠FAB，∵∠ABC=∠FAB，∴AF=FB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=2AF，BC=2BF，∴AE=BC，∵四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形．13．（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD．（2）当AB=AC时，四边形ADBE是矩形，理由是：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形14．1）证明：如图，连接EF．∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，∴，EF∥AD∥BC．∵，∴EF=CG．∴四边形EGCF是平行四边形．∴EG=FC且EG∥FC．∵F是CD的中点，∴FC=DF．∴EG=DF且EG∥DF．∴四边形DEGF是平行四边形．（2）证明：连接EF，将EF与DG的交点记为点O．∵∠ADG=2∠ADE，∴∠ADE=∠EDG．∵EF∥AD，∴∠ADE=∠DEO．∴∠EDG=∠DEO．∴EO=DO．∵四边形DEGF是平行四边形，∴，．∴EF=DG，∴平行四边形DEGF是矩形．即四边形DEGF是矩形．15．∵点D是AC的中点，∴DA=DC，∵AE∥BC，∴∠AED=∠CFD，在△ADE和△CDF 中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，又∵AE∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE∥BC，EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AB=EF，∵AB=AC，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．16．∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，DF=AB，CF=BC，∴DE=CF，∴四边形CFED平行四边形，又∵CE=AB，∴CE=DF，∴平行四边形CFED是矩形，故四边形CFED是矩形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AEO∽△CFO，∴=，∵OA=CO，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（3）解：当EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由是：由（1）知：四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形∴四边形AEDF是矩形；（2）当D时BC的中点时，四边形AEDF是正方形；JU理由：∵D是BC的中点，∴BD=DC∵AB=AC∴∠B=∠C又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠BDF=∠DEC∴△BFD≌△DCE，∴DF=DE，∴矩形AEDF是正方形．19．（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，又∵MN∥BG，∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，∴DE=DC，DF=DC，∴DE=DF．（2）∵D为AC的中点，∴AD=DC，又DE=DF，∴四边形AECF为平行四边形，∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF为矩形20．∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形21．（1）解：OE=OE，理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE=∠BCE，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理OF=OC，∴OE=OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE=OF=OC=OA，∴AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形22．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．23．∵∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=AC，OB=OD=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，即四边形ABCD是矩形24．∵ABCD为平行四边形，∴AD平行且等于BC，又∵M为AD的中点，N为BC的中点，∴MD平行且等于BN，∴BNDM为平行四边形，∴BM∥ND，同理AN∥MC，∴四边形PMQN为平行四边形，（5分）连接MN，∵AM平行且等于BN，∴四边形ABNM为平行四边形，又∵AD=2AB，M为AD中点，∴BN=AB，∴四边形ABNM为菱形，∴AN⊥BM，∴平行四边形PMQN为矩形．（10分）25．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，矩形的判定30题----11在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵AF⊥BC，∴∠AFC=90°，则四边形AECF为矩形．26．（1）证明：∵AF∥BE，∴∠AFD=∠CED，∠FAD=∠DCE，∵D是AC的中点，∴AD=DC，在△FAD和△ECD中，∴△FAD≌△ECD（AAS），∴AF=CE；（2）证明：∵△FAD≌△ECD，∴FD=DE，∵AD=DC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形27．（1）证明：∵E是AC的中点，∴EC=AC，∵DB=AC，∴DB=EC，又∵DB∥AC，∴四边形BCED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴BC=DE；（2）解：△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．理由如下：∵E是AC的中点，∴AE=AC，∵DB=AC，∴DB=AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB=BC，E为AC中点，∴∠AEB=90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB=BC时，四边形DBEA是矩形．28．是矩形．（1分）理由：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴DE⊥CE，∴∠E=90°，∴平行四边形OCED是矩形29．∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC=CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BE，BE=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形30．在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE又DE=BC．∴四边形BCED为平行四边形．在△ACD和△ABE中，∵AC=AB，AD=AE，∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴CD=BE．∴四边形BCED为矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）矩形的判定30题----12。
矩形的判定专项练习题
矩形的判定专项练习题一、选择题(本大题共11小题,共33。
0分)1.对角线相等且互相平分的四边形是（）A。
一般四边形 B.平行四边形C。
矩形 D.菱形2。
下列命题正确的是（）A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.如图,在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC=90°,AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A。
当AB=AD时，它是菱形B。
当AC=BD时，它是正方形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC⊥BD时，它是菱形5.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )A。
AB=CD B.AC=BD C。
AB=BC D.AC⊥BD6。
下列说法正确的是( )A。
对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是矩形C。
三条边相等的四边形是菱形 D.三个角是直角的四边形是矩形7。
下列说法正确的个数为（）个①两组对边分别相等的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④正方形是轴对称图形，有2条对称轴．A.1B.2 C。
3 D。
48。
如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A.AB∥CD B。
AB=CD C.AC⊥BD D。
AC=BD9.根据下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（)A.AB=CD，AD=BC B。
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矩形的判定专项练习题
一、选择题(本大题共11小题，共33.0分)
1.对角线相等且互相平分的四边形是（）
A.一般四边形
B.平行四边形
C.矩形
D.菱形
2.下列命题正确的是（）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
3.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，
DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，
那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为
正确的是（）
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）
A.当AB=AD时，它是菱形
B.当AC=BD时，它是正方形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形
D.当AC⊥BD时，它是菱形
5.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）
A.AB=CD
B.AC=BD
C.AB=BC
D.AC⊥BD
6.下列说法正确的是（）
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.三条边相等的四边形是菱形
D.三个角是直角的四边形是矩形
7.下列说法正确的个数为（）个
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形是矩形
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④正方形是轴对称图形，有2条对称轴．
A.1
B.2
C.3
D.4
8.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH
为矩形，应添加的条件是（）
A.AB∥CD
B.AB=CD
C.AC⊥BD
D.AC=BD
9.根据下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）
A.AB=CD，AD=BC
B.AB=BC
C.AC=BD
D.AB∥CD，AD∥BC
10.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即
可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）
A.AB=BC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.AB⊥BD 11.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线相等且相互平分
二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)
12.已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
四边形ADBE是平行四边形．
则平行四边形ADBE是_______形．
13.在平行四边形ABCD中，补充一个条件_____________________ ，
即可得平行四边形ABCD是矩形．
14.直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
已知DF=3，则AE= ______ ．
15.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，点D是AC上的任意一点，
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是______ ．
16.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母的情况
下，请添加一个条件，使▱ABCD变为矩形，需添加的条件是______ （写出一个即可）．
三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)
17.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，
BE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OBEC是矩形．
四、解答题(本大题共8小题，共66.0分)
18.如图，在▱ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交
DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
19.平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
20.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且
△DAF≌△CBE．
求证：四边形ABCD是矩形．
22.如图，点P是R t△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC
于点F，BC=5，AC=12，求线段EF长度的最小值．23.如图，四边形ABCD，∠B=∠D=90°，AB=CD，问四边形ABCD是矩
形吗？说明你的理由．
24.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．
25.△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设
MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．。