算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)

算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)

实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。

实验内容：

1.递归算法的设计与实现

3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析

实验步骤：

1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。

2）递归特点：递归算法具有以下特点：

①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。

②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。

③当问题的规模足够小时，可以直接求解。

3）递归实现步骤：

①确定函数的定义

②确定递归终止条件

③确定递归调用的过程

4）经典实例：斐波那契数列

递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

int fib(int n) {

if (n <= 0)

return 0;

else

}

5）优化递归算法：避免重复计算

例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。

int f1 = 0, f2 = 1;

for (int i = 2; i <= n; i++) {

f1 = f2;

使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。

1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。

2）分治算法流程：

②将问题分解成若干个规模较小的子问题。

③递归地解决各子问题。

④将各子问题的解合并成原问题的解。

3）分治算法实例：归并排序

归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。

排序流程：

②分别对各子数组递归进行归并排序。

③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。

实现源代码：

void mergeSort(int* arr, int left, int right) {

if (left >= right)

while (i <= mid && j <= right)

temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];

temp[k++] = arr[i++];

1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。时间复杂度是算法的度量标准，通常用“大O符号”表示。

2) 常见时间复杂度分类：

常数阶O(1)

对数阶O(logn)

线性阶O(n)

...

4) 空间复杂度等价于算法的额外空间需求。

附录：实验代码 - 斐波那契数列的递归和循环算法

/* recursive fib */

#include

return fib_r(n-1) + fib_r(n-2);

a = b;

int n;

cout << "Enter an integer: ";