结构动力学6

静力凝聚法
当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由 度的惯性力为0，此时可以采用静力凝聚法，消去无质量的自由 度。若平动和转动自由度分别用下标t和θ区分，则采用集中质量 方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式，
M tt 0
0 u t K tt u K 0 t
1
K t u t pt (t ) u K 0
设 p (t ) 0， 当 p (t ) 0时， 同理可得
由第二个方程组可解得： 代入第一个方程组得：
u K Kt ut
M tt ut K t ut pt (t )
其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{ú }为速度 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义： cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力 结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如 与刚度成正比等。
6.1 直接平衡法 外荷载向量可写成 ：
p1 (t ) p (t ) 2 p(t ) p N (t )
第六章 多自由度体系的运动方程
建立单自由度体系运动方程的方法均可以用来建立多自 由度体系的运动方程，例如：牛顿第二定律；直接平 衡法(d’ Alember)；虚位移原理；Hamilton方程；运动 的Lagrange方程，都可用于多自由度体系。但基于矩 阵位移法的直接平衡方程和基于变分原理的Lagrange 方法应用更广泛一些。前者对于多自由度体系直接应 用动平衡的概念以矩阵的形式建立体系的运动方程， 概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进 而建立体系的运动方程，便于计算机编程，在结构动 力分析的有限元程序中基本上都基于直接平衡法。而 对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题， 采用Lagrange方法可能更有效。本章将主要介绍这两 种方法。
同理可以得到：
kGii N / h
则柱单元的几何刚度为：
K G e
N h N h N h N h
由单元的几何刚度可以组装成结构体系的总体几何刚度阵。
6.1 直接平衡法 当考虑轴力影响(P -Δ效应)时，运动方程可写为：
M u C u K u K G u p(t )
1 m l 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13l 22l 3l 2 4l 2
M eL
一致质量矩阵： Consistent-mass M C e
54 22l 156 54 156 13l ml 13l 4l 2 420 22l 13l 22l 3l 2
6.1 直接平衡法
首先复习一下结构力学中的刚度阵法（矩阵位移法） 如果为N层结构，自由度为N，每一楼层有集中质量mi， 外荷载pi，层间刚度ki，各层的水平运动为ui，i=1, …, N。这个层间模型也可以转化成质点—弹簧模型。
6.1 直接平衡法
应用d’Alember原理
f I i f D i f s i pi (t ), i 1, 2, N
[M]—质量矩阵； [C]—阻尼矩阵； [K]—刚度矩阵； {p(t)}—外荷载向量。
6.1 直接平衡法 如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起 的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形 式表达 k G11 k G 22 k G1N u1 k u G 21 k G 22 k G 2 N 2 K u fG G k GN1 k GN 2 k GNN u N
对于三层结构， 忽略柱的质量， 体系的质量矩阵为：
m1 M 0 0 0 m2 0 0 0 m3
6.1 直接平衡法
如果柱的质量不能忽略，则{M}的非对角线元素将不恒为 零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 m 为柱的质量线密度。
6.1 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式： f D1 c11 c12 c1N u1 f c c22 c2 N u 2 D 2 21 C u f D f DN c N 1 c N 2 c NN u N
1
Kt Ktt Kt K Kt
新的运动方程仅包括平动自由度而无转动自由度。
静力凝聚法
静力凝聚法和动力自由度的定义相互呼应。当体 系的某一自由度无质量时，与其相应的惯性力 为0，根据动力自由度的定义，这些自由度不属 于动力自由度，在体系动力分析中可以不考虑 （不出现），而静力凝聚法正式将此目标实现， 使得体系的运动方程仅存在动力自由度项。
其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。
6.1 直接平衡法
根据式： f f f p(t ) I D s


f I M u f D C u
f s K u
结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：
M u C u K u p(t )
第六章 多自由度体系的运动方程
虽然在一些简单的估算中可以采用广义坐标法将一个多 自由度体系化为单自由度问题求得近似解，例如多层 结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。 对于一个烟囱，也可以采用如下形函数，
( z ) 1 cos

2H
z
u(t ) ( z )q(t )
化为一个单自由度问题进行初步分析，其中H为烟囱的 高度，z为位置坐标，而q(t)为广义坐标。如果形函数 取得较好，而外荷载又按某一形式分布，则用等效单 自由度方法也可以得到相当好的近似解。但对于复杂 的结构体系或作用的外荷载变化复杂时，用等效的单 自由度方法得到的解可能会导致相当大的误差。这时 就必须直接采用多自由度体系分析方法解决问题，即 必须采用更多自由度来描述体系的运动状态。
即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时，
所需要的力（反力）。
6.1 直接平衡法
弹性恢复力 f s i ki1u1 ki 2u2 kiN u N
对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，
f s1 k11 k12 k1N u1 f k u s 2 21 k 22 k 2 N 2 fs K u f sN k N 1 k N 2 k NN u N
其中{fI}称为惯性力向量，{M}称为质量矩阵，{ü }为加速 度向量。质量矩阵中的系数mij为质量影响系数，简称质 量系数或质量，它的含义是： mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力 即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自 由度加速度为零时，所需要的力。
6.1 直接平衡法
来自百度文库
其[kG]称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意 义如下： kGij— 由第j个自由度单位位移和结构中轴力 共同引起的i自由度的附加力
6.1 直接平衡法 下面用一个简单的例子说明几何刚度的求法。 kGjj和kGij可根据力的平衡 条件确定，分别对柱的i点 和j点取矩，可以得到
k Gjj N / h k Gij N / h kGji N / h
直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直 接平衡法的基本概念和实施技术，可能不加证明地给 出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵的表 达式。我们可以直接应用这些矩阵完成远动方程的建 立和分析计算，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。目的是在建立多自由度体系运动方程 后，可以快速地进入对多自由度体系动力反应特点和 分析方法的了解和总的把握。与前面刚讲完的单自由 度体系运动问题分析方法有一个较好的衔接，而不是 花太多的时间讲有关单元矩阵的建立。而单元刚度阵、 质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布 参数系统分析方法中逐步得到学习。
结构动力学
（2003春）
结构动力学
第六章
多自由度体系的运动方程
第六章 多自由度体系的运动方程
以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需 一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就可以得 到单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。 工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如二层以 上的框架结构、多跨及大跨梁结构、平面网架结构等 等。
共有N个方程，上式也可以写成矩阵形式。
f I f D f s p(t )
6.1 直接平衡法
弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一 般表达式为： f s i ki1u1 ki 2u2 kiN u N 系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数，物理意义是： kij—由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}—称为位移向量。
6.1 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
k1 k 2 K k 2 0
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3
6.1 直接平衡法
对于惯性力也可以用矩阵的形式表达： f I 1 m11 m12 m13 u1 f m m22 m2 N u 2 I 2 21 M u f I f I 3 m N 1 m N 2 m NN u N
上式也常表示成如下形式：
~ M u Cu K u p(t ) K K K G


以上给出了一般情况下多自由度结构体系的运动方程组 的矩阵表达形式，建立这一矩阵方程的关键是建立体 系的质量、阻尼和刚度矩阵。
6.1 直接平衡法 体系的总体刚度和质量矩阵可分别由单元的刚度阵和质 量阵总装得到，下面不加推导地给出与横向线位移和 转角自由度相应的梁单元的刚度和质量矩阵。下图给 出了梁单元及其自由度，即梁端横向位移和转角。梁 端位移向量定义如下，
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。
f I
f I1 f I2 f IN

p1 (t ) p (t ) p(t ) 2 p N (t )
ue ui ,
u j i , j

其中，l为梁长、EI为 梁截面的抗弯刚度、 m 为梁的质量线密度； 下标e代表单元。
6.1 直接平衡法 梁单元的刚度矩阵：
K e
集中质量矩阵： Lumped-mass
3l 6 6 3l 6 6 3l 3l 2 EI 3 2 2 l l 3l 3l 2l 3l 3l l 2 2l 2