组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷

2014-2015-1《组合数学》试卷（A ）答案
一、填空题（每小题 分，共 分）
．6()x y +所有项的系数和是（  ）
．将 封信投入 个邮筒，有（  ）种不同的投法
．在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有
（  ）种不同的选取方法
．把 个相同的球放入 个相同的盒，不允许空盒，则有（  ）种不
同方式
．把 个不同的球安排到 个相同盒子中，无空盒，共有种（  ）不
同方法
．一次宴会， 位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（  ）种
可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子
 在边长为♋的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三
角形的面积不大于（ 28a
） ．棋盘多项式 ☎
✆（ ⌧ ⌧ ）
二、单项选择题（每小题 分，共 分）
．...0110p q p q p q r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（  ）， min{,}r p q ≤
✌、1p q r +⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 、p q r +⎛⎫ ⎪⎝⎭； 、1p q r +⎛⎫ ⎪+⎝⎭
； 、
1p q r ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
 ()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（  ）项
✌、n ； 、3n n +⎛⎫
⎪⎝⎭； 、4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 、!n
．多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是（  ） ✌、  ； 、  ； 、  ；
、 
．有 个相同的红球， 个相同的白球，则这 个球有（  ）种不同的排列
方式
Ａ、  ； Ｂ、  ； Ｃ、  ； Ｄ、   设,x y 均为正整数且10x y +≤，则这样的有序数对()y x ,共有（  ）个
✌  ；   ；   ；  
 递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（  ）（α为待定常数）
✌、2n n α⋅； 、2n α； 、32n
n α； 、22n n α
．递推关系()6(1)9(2)f n f n f n =---的一般解是（  ）（12,C C 为任意常数）
✌、11233n n C C -+； 、12()3n C C n +； 、1(1)3n C n +； 、
1233n n C C +
 数列n a n =的普通母函数是（  ）
✌、11t - ； 、1t t
- ； 、2-1(1)t - ； 、2(1)
t t -
三、解答题（每小题 分，共 分）
 用数字 、 、 、 （数字可重复使用）可组成多少个含奇数个 、偶数个 且至少含一个 的⏹位数 ☎ ⏹  ✆
解：由指数母函数
()4!2!11!2!1!21!3!1342223t
t t e e e t t t t t t t t A -+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()()!134410n t n n n n n -+-∑∞=，!n t n 的系数()4314n
n n -+- 即为所求 ………… 分
 解递推关系：12012749562(2),
,.44n n n a a a n n a a --=-++≥==， 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （ ）
的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为
.3221n n n c c a ⨯+⨯= …………………………………（ 分）
因为（ ）式无等于 的特征根，所以递推关系
()226521≥++-=--n n a a a n n n （ ）
有特解 B An a n +=，其中✌和 是待定常数，代入（ ）式得
2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An
化简得,2722+=-+n A B An 所以 ⎩⎨⎧=-=2
7212A B A
解之得.4
11,21==B A 于是 ,4
1213221++⋅+⋅=n c c a n n n ……………………………（ 分） 其中21,c c 是待定常数 由初始条件得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+++=++44941121324274112121c c c c 解之得.1,321==c c 所以).2(4
1121323≥++
+⨯=n n a n n n ……………………（ 分）
 求 到 之间不能被 、 或 整除的自然数的个数
解：设✌为 至 的整数中能被 整除的数的个数； 为 至 的整数中能被 整除的数的个数； 为 至 的整数中能被 整除的数的个数 则81201000,41241000,25401000,33301000,12581000,16661000,20051000=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A C B C A B A C B A 所以 400
8412533125166200C B A =+---++=+---++=C
B A
C B C A B A C B A 即
所求为：6004001000=- ……………………………………………… 分
四、证明题（每小题 分，共 分）
 设0[]:0,[]:(1)(1),k x x x x x k k ==--+∈N ，s(,),(,)n k S n k 分别为第
一、第二类 ♦♓❒●♓⏹♑数，定义为：0[](,)n k n k x s n k x ==
∑，0(,)[]n n k k x S n k x ==∑
证明： （ ）第二类 ♦♓❒●♓⏹♑数满足递推关系：(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥；
（ ）两类 ♦♓❒●♓⏹♑数满足关系：0,(,)(,)1,n k m m n S n k s k m m n =≠⎧=⎨=⎩∑ 证明：（ ）
[]1100011111(,)[][()](,)[](,)[](,1)[](,)[](,1)(,)[](,)[]n n n
n n
k k k k k k n n n
k k k n k m k x x x S n k x x k k S n k x kS n k x S n k x kS n k x S n k kS n k x S n n x ++===++====⋅=-+=+=-+=-++∑∑∑∑∑∑因为1
10(1,)[]n n k k x S n k x ++==+∑，所以比较两等式的[]k x 的系数，即得递推关系：
(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥ ………………… 分
（ ）因为0
0(,)[],[](,)n k
n m k
k k m x S n k x x s k m x ====∑∑，所以 000(,)(,)(,)(,)n k n n n m m k m m k m
x S n k s k m x S n k s k m x ======∑∑∑∑
比较两等式的m
x 的系数，即得： 0,(,)(,)1,n
k m m n S n k s k m m n =≠⎧=⎨=⎩∑ ……………………… 分
 考虑⏹个数12,,,n a a a 的乘积123n a a a a ，依据乘法的结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积 设n p 为⏹个数乘积的⏹ 对括号插入的不同方案数 （ ）证明n p 的递推关系为：112211,(2)n n n n p p p p p p p n ---=+++≥；
（ ）用母函数方法证明：221,(2).1n n p n n n -⎛⎫=≥ ⎪-⎝⎭
证明：（ ） ⏹个数12,,,n a a a 的乘积的最后一次乘法运算是前 个数的积与后⏹ 个数的积之间进行，其中1,2,,1k n =- 前 个数可以有k p 种不同的方法加括号，而后⏹个数可以用n k p -种不同的方法加括号 这样，当 取遍{}1,2,,1n -时，
集所有可能性，于是我们得到
112211,(2).n n n n p p p p p p p n ---=++
+≥ ……………… 分 （ ）显然121p p ==，设1()n n n G x p x ∞==
∑，由递推公式11, 2.n n k n k k p p p n --==≥∑
有 1111221
11121111()()
n n
n n n
n n n k n k k n k n n n k n k n k n k n k k n k n k k n G x p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x p x x G x ∞∞∞-∞+--+======∞∞∞∞+-+======+=+=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2 [()]()0G x G x x ∴-+=，解得114
().2
x G x ±-= 因为(0)0G =，所以“ ”舍去，114()2
x G x --= 又因为
所以，当1n ≥时，n p =
分。