特殊位置直线的投影
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直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
直线的投影
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与W面的夹角g
X
直角三角形
实长
X
Rt△(γ)：ab X ab X
AB
g
AB g
Rt△(γ)
例9 已知三角形ABC 的投影，试求其实形。
实形
BC实长
Y AB实长
Y
AC实长
例10 已知线段AB 的投影，试定出属于AB 的点S 的投 影，使AS 的实长等于已知长度L。
2.投影面 垂直线
垂直于 面 （铅垂线）
直线的位置
直 观 图
投 影 图
特 性
积聚成一点
⊥
YH YW
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （正垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （侧垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
归纳投影面垂直线投影特性：
① 在所垂直的投影面上的投影，为有积 聚性的点。 ② 在另外两个投影面上的投影，垂直于 相应的投影轴,且反映线段实长。
⒉ 平面法
② 第三面投影法 平面法
DE与FG平行
DE与FG平行
⒉ 两直线相交
V c a C A X a
k
K
b d D O d B
交点是两直 线的共有点
b c a
k
d
c
k
b
H
a
c k
d b
空间相交
投影特性
投影相交 投影特征 投影交点的连线垂直于投影轴
例4：过C点作水平线CD与AB相交。
四、直角三角形方法求倾斜线段的实长及α β γ
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与H面的倾角
Z Z
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
直线的投影特性推荐优秀PPT
b d
a
nc
c
有有无多少数解解？。
⒉ 平面上取点
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例2：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① a
b
k●
c
②
b d
●k
c
a
a
●
k
b
c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
例4：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
在交线左侧，平面ABC 在上，其水平投影可见。
⑴ 平面为特殊位置
b
n
空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
x m
其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 c 为K点的水平投影。
作图
m ●2
① 求交点 c ② 判别可见性
●
a
●
1
b
k
由水平投影可知，KN n 段在平面前，故正面投
影上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
⒉ 两平面相交
ac
b d e
d b
e
e f
f e
f h
h f
二、相交问题
直线与平面相交 平面与平面相交 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平 面的共有点。 要讨论的问题：
● 求直线与平面的交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。
我们只讨论直线与平面中至少有一个 处于特殊位置的情况。
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
第二章直线的投影
二、直线的复辅助投影
例2-10 求点C 到任意倾斜直线AB的距离。
§2-7 直线的辅助投影
各投影都相交，投影的交点符合点 虽然投影也相交，但投影的交点不符 的投影规律，所以AB与CD相交。 合点的投影规律，故EF和GH不相交。
§2-5 两直线的相对位置
例2-3 试判断两直线AB 和CD 是否相交。 解： 各投影的交点不符合点的投影规律， 所以两直线不相交。
§2-5 两直线的相对位置
例2-4 已知平行两直线 AB、CD，试作一直线KL与AB、CD 都相交，且该直线 距H 面为10。 解：
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§2-5 两直线的相对位置
三、两直线交错
若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交 叉两直线，即异面直线。 下面这些都是交错直线。
交错直线同面投影的交点是两直线上一对重影点的投影，对 此重影需进行可见性判断。
§2-5 两直线的相对位置
例2-5 试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。 解： zⅣ>zⅢ，所以4可见，3不可见。
§2-2 直线上的点
一、直线上的点 从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。 定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比， 等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。
ac∶cb=a'c'∶c'b'= a"c"∶c"b"=AC∶CB
§2-2 直线上的点
例2-1 已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK∶KF =3∶4。 解：
求任意倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形 法。下图表示它的原理和作图过程。
§2-3 直线的倾角和直线段的实长
例2-2 已知直线CD 的正面投影c'd'和点C 的水平投影c，且知 直线CD 对H 面的倾角α=30°，求作线段CD 的H 面投影。 解：
例2-10 求点C 到任意倾斜直线AB的距离。
§2-7 直线的辅助投影
各投影都相交，投影的交点符合点 虽然投影也相交，但投影的交点不符 的投影规律，所以AB与CD相交。 合点的投影规律，故EF和GH不相交。
§2-5 两直线的相对位置
例2-3 试判断两直线AB 和CD 是否相交。 解： 各投影的交点不符合点的投影规律， 所以两直线不相交。
§2-5 两直线的相对位置
例2-4 已知平行两直线 AB、CD，试作一直线KL与AB、CD 都相交，且该直线 距H 面为10。 解：
点击后自动演播
§2-5 两直线的相对位置
三、两直线交错
若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交 叉两直线，即异面直线。 下面这些都是交错直线。
交错直线同面投影的交点是两直线上一对重影点的投影，对 此重影需进行可见性判断。
§2-5 两直线的相对位置
例2-5 试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。 解： zⅣ>zⅢ，所以4可见，3不可见。
§2-2 直线上的点
一、直线上的点 从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。 定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比， 等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。
ac∶cb=a'c'∶c'b'= a"c"∶c"b"=AC∶CB
§2-2 直线上的点
例2-1 已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK∶KF =3∶4。 解：
求任意倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形 法。下图表示它的原理和作图过程。
§2-3 直线的倾角和直线段的实长
例2-2 已知直线CD 的正面投影c'd'和点C 的水平投影c，且知 直线CD 对H 面的倾角α=30°，求作线段CD 的H 面投影。 解：
各位置直线和平面投影特性总结
事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈 倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
基本要素的投影-直线的投影
●
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X
ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X
ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
2：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)
●
1(2 ) 3 4
●
两直线相交吗？ 投影特性（判别方法） ： 为什么？ ★ 同面投影可能相交，但
●
●
●
●
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a' c' b’ b1 c1
X
d
b c
O
a
例11 判断两直线的相对位置。
解法一：
z
c b
d a o YW
|yA-yB|
a
O
ab
b
AB
a
|yA-yB|
2013/7/14
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b
b a
A a
|xA-xB|
2013/7/14 16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2013/7/14
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长
b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且 小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
1(2 ) 3 4
●
两直线相交吗？ 投影特性（判别方法） ： 为什么？ ★ 同面投影可能相交，但
●
●
●
●
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a' c' b’ b1 c1
X
d
b c
O
a
例11 判断两直线的相对位置。
解法一：
z
c b
d a o YW
|yA-yB|
a
O
ab
b
AB
a
|yA-yB|
2013/7/14
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b
b a
A a
|xA-xB|
2013/7/14 16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2013/7/14
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长
b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且 小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
点、线投影的题型复习
题型2：各种位置直线的投影特性
特殊位置的直线
一般位置的直线
投影面平行线的投影特性
立体图： 平行于一个投影面，倾斜于另外两个 投影面。
投影图： 在直线的投影面上是反映实长的的斜 线，并反映于另二面投影面的倾角； 另两面投影面是缩短的直线，分别平 行于两个轴。
判定： 一个投影是斜线（反映实长） 两个投影平二轴 此线定为平行线，平行斜线所在面
2．ab ＝a′b′＝AB 3．a″b″积聚成一点
判定： 一个投影是一点 两个投影平一轴（反映实长） 此线定为垂直线，垂直点所在面
题型2：各种位置直线的投影特性
D
一般位置的直线
题型2：各种位置直线的投影特性
D
一般位置的直线
题型3：判断点是否在直线上
B
方法： 1.在各投影面中，点的投影在直线的投影上。 2.点各投影的连线垂直于轴线。（即符合点投影特性）
感谢观看！
投影面平行线·习题
直线AB的W面投影为反映实长的斜线，H,V面投影均为平行于相应轴线的平行线，则AB为（ ）
A.正平线 B. 侧平线 C.水平线 D.侧垂线
B
一般位置的直线
题型2：各种位置直线的投影特性
A
一般位置的直线
名称
投
1．a′b′⊥OX
影
a ″b ″⊥OYW
特
2．a′b′＝a″b″＝AB
情况1.若两直线为一般位置直线，则两面投影相交即可。 情况2.若存在一条直线为侧平线，则需要三面投影判定。
—— 两直线平行 —— 两直线平行
——两直线相交 ——两直线相交
凡不能满足平行和相交条件的直线 。
——两直线交叉
题型4：判断两直线的位置关系
工程制图4(直线的投影)
本节回顾
• 直线的投影
– 直线投影的定义，直线实长及其与各投影面夹 角的求法
– 直线投影和点投影的关系 – 各种位置直线的投影 – 两直线的相对位置
• 作业
– 习题集17-20页
3-2 直线的投影
一、直线的投影图 二、各种位置直线的投影 三、直线上点的投影 四、两直线的相对位置
一、直线的投影图 z
b’ b”
a’
a”
X
o
YW
b
a
YH
两点决定一条直线。因此，直线直线的的投投影影图可以由直 线上任意两个点的投影来决定。
1. 直线对一个投影面的投影特性
A
B
B
M
A
B
α
A
b
b
a(b)(m) H
b’
c’
Z坐标差
a’
a c
C0
b
三、直线上点的投影
1. 从属性。若点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的 同面投影上，并且符合空间一点的投影特性。
2. 定比性。若点在直线上，则点分线段之比等于其投影之比。
AC:CB= ac:cb = a’c’:c’b’ = a”c”:c”b”
b’
z
b”
c’
c”
例6 已知AB∥V面，试过点C作一直线CD与AB垂 直相交。
b’
d’
a’
X
a
d
直线CD与正平线AB所成的 直角正面投影上反映直角。
c’ b
c
例7 求两直线AB、CD的公垂线。
公垂线MN是水平
D N
线 c’
A
n’ d’
a’ m’
M
C
BX
机械制图3直线的投影
a
V
＝
A
a'1 V1
＝
＝
V X
ax
H
＝
. ax1
a'1
X
a
H V1 X1
旧投影体系 X —VH
ax
＝
ax1
a
H
X1
新投影体系 X1 —HV1
A点的两个投影：a， a
A点的两个投影：a 1，a
★新投影体系仍然遵守投影的 一般规律：
24
aa 1 X1
a'1ax1 = aax
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
“交点”是两直线上的一对重影点，可用于判别其空间位置。
16
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
交叉二直线的空间位置的判别
利用前面讲述的重影点进行判别， 到另外两个投 影上去找遮挡关系
1′
c
′
3′(4′)
●
● ●
2′
a′
X a
●4
● ●
c 3 1(2)
换H面行吗？
旧投影到旧轴的距离。
同时求出直线AB的实长及与H面的夹角α。
Of course！
27
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
a
XV H
a
b
b
.
H X1 V1
(b'1) a●'1
V1
V
b′
a
B ●(b'1) a′1
投影的长度均比空间线段短，即都 不反映空间线段的实长。
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§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。 投影面垂直线分为三种：
铅垂线 (⊥于H 面，∥于V 面和W 面)。
正垂线
侧垂线
(⊥于V 面，∥于H 面和W 面)。
(⊥于W 面，∥于H 面和V 面)。
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
本节结束
§3-2 特殊位置直线的投影
3.侧平线投影特性Fra bibliotek1)a” b” =AB ；
2)反映α、β实角； 3) ab∥OY 轴，a’b’∥OZ 轴。
Z V
a’ b’ X b a A β B
O
实长
β
a’
b’
Z
a”
β
实长
b” YW
a”
b”
X b a Y
O
YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
归纳投影面平行线的投影特性： 直线在所平行的投影面上的投影反映实长、 投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影 面的夹角实际大小； 直线的另两个投影平行于相应的轴，且长度 缩短。
二、投影面平行线
2.正平线
投影特性
Z a’
实长
V b’
1)a’b’ = AB ； 2)反映α 、γ实角； 3)ab ∥OX 轴，a’’b’’∥OZ 轴。
实长
a” b” b’ X b Y α
α B
b
A α O a
a’ O
Z
a” b” YW
X
a YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
实长
V a‘ A X
Z b‘
B O a” (b”)
a'
Z
b' O
a“ (b” )
X
YW
a
b Y
积 聚 a 性
b
YH
实长
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
归纳投影面垂直线的投影特性
在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。
§3-2 特殊位置直线的投影
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
二、投影面垂直线
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
平行某一投影面，倾斜另两个投影面的直线称为 投影面平行线。 投影面平行线分为三种： 水平线 (∥于H 面，∠于V 面和W 面）。 正平线 (∥于V 面，∠于H 面和W 面）。 侧平线 (∥于W 面，∠于H 面和V 面）。
V
a‘（b‘）
投影特性
1)a’b’ 积聚为一点； 2)ab =a”b” =AB ； 3)ab⊥OX 轴，a”b” ⊥OZ 轴。
Z
a'(b' ) b”
Z
b''
a''
B
X A b a O
a”
X
O b a
YW
实长
Y
YH
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
3.侧垂线 投影特性
1)a”b” 积聚为一点； 2)ab =a’b’ =AB ； 3)ab⊥OYH 轴, a’b’ ⊥OZ 轴。
1.铅垂线 投影特性 实长
V a’
A 1)ab 积聚为一点； 2)a’b’ = a”b” = AB ； 3)a’b’ ⊥OX 轴, a”b” ⊥OYW 轴。
Z
a' b' b” X a(b )
Z
a'' b''
b’
a” O
X
B
O
YW YH
a（b）
积聚性
§3-2 特殊位置直线的投影
Y
二、投影面垂直线
2.正垂线 积聚性
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
1.水平线
投影特性
Z
1)ab = AB ; 2)反映β、γ实角; 3)a’b ’∥OX 轴，a”b ’’∥OYW 轴。
V
a' A
b' β γ B β γ b a” b” X
a'
b'
Z
a''
b''
X
O a βγ b YH
a
YW
实长
Y
实长
§3-2 特殊位置直线的投影