押题第34道 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题(原卷版)

【押题背景】

定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.

【押题典例】

典例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

2

4

x

＋y2＝1，椭圆C2：

2

2

x

a

＋

2

2

y

b

＝1(a>b>0)，C2与C1∶1，离心率相同．

(1) 求椭圆C2的标准方程；

(2) 设点P为椭圆C2上的一点．

①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：

PA

PB

为定值；

②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．

【答案】(1)

2

8

x

＋

2

2

y

＝1；(2)①证明见解析，②证明见解析

【解析】(1)设椭圆C2的焦距为2c，由题意，a＝，

1

b

=b，

因此椭圆C2的标准方程为

2

8

x

＋

2

2

y

＝1.

(2)①1°当直线OP斜率不存在时，P A－1，PB＋1，则

PA

PB

＝3－.

押题第34道椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4， 所以2

2441

A x k =

+，同理2

2841

P x k =

+．所以22

2P A x x =，由题意，x P 与x A 同号，所以x P

x A ，

从而PA PB ＝p A p B x x x x --＝p A p A x x x x -+

＝3－

.所以PA PB ＝3－

为定值．

②设P (x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0，记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(42

1k ＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t )2－4(42

1k ＋1)(4t 2－4)＝0，即42

1k －t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整

理得，2201(4)x k -－2x 0y 0k 1＋20y －1＝0，同理可得，2202(4)x k -－2x 0y 0k 2＋2

0y －1＝0，所以k 1，k 2为关于k

的方程(20x

－4)k 2

－2x 0y 0k ＋y 20

－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝202014y x --.又点在P (x 0，y 0)椭圆C 2：2

8

x ＋22y ＝1上，所以2200124y x =-，所以k 1·k 2＝2

020

1211444

x x --=--为定值． 典例2 已知椭圆C ：22

22x y a b

+＝1(a >b >0)的长轴长为4

，两准线间距离为，设A 为椭圆C 的左顶点，

直线l 过点D (1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若△AEF

，求直线l 的方程；

(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为 k (k ≠0)，k ′，求证：k ·k ′为定值．

【答案】(1)2

4

x ＋22y ＝1；(2) x －y －1＝0和x ＋y －1＝0；(3) 证明见解析

【解析】(1)由长轴长2a ＝4

，两准线间距离2

2a c ⋅=a ＝2，c

，

则b 2

＝a 2

－c 2

＝2，即椭圆方程为2

4

x ＋22y ＝1.

(2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF

，△AEF 的面积S ＝

12AD ·EF

故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.

因为D (1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22412k k +，x 1x 2＝22

24

12k k

-+. 故EF

|x 1

－x 2|

.又点A

到直线l 的距离d 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF

＝12

212k +

＝2

12

k

+，则k ＝±1.

综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.

(3) 设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝112y x + (x ＋2)，令x ＝3，得点M 1153,2y x ⎛⎫

⎪+⎝⎭

，

同理可得N 2253,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以点Q 的坐标为121255223,22y y x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭

.直线

QD 的斜率为k ′＝()()121255222231y y x x +++-＝12125()422y y x x +++， 而112y x +＋222y x +＝()1112k x x -+＋()2212k x x -+＝k ·()121212122424x x x x x x x x ++-+++，由(2)知x 1＋x 2＝2

2412k k +， x 1x 2＝222412k k -+，代入上式得112y x +＋222y x +＝k ·()

22222248441224848k k k k k k

-+-+-+++＝21218k k -＝－23k . 则有k ′＝－

56k ，所以k ·k ′＝－5

6

，为定值． 【押题匹配】

（2020·江苏省海安高级中学高三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()

22

22:10x y C a b a b

+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B ，记椭圆C 的离心率为e .