哈工大阵列信号处理第一次作业

Harbin Institute of Technology

阵列信号处理第一次作业课程名称：阵列信号处理

哈尔滨工业大学

1.在球坐标系下，由Maxwell 方程推导自由空间的波动方程

由Maxwell 方程可以推导出电磁波的波动方程为：

22222222()E

E x y z t

εμ∂∂∂∂++=∂∂∂∂ (1) 代入直角坐标与球坐标的关系

sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

(2) 可以得到：

22222222

221111()(sin )sin sin s s s

r r r r r r c t

θθθθθϕ∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂ (3) 根据球面波方程的球对称性，上式简化为：

222

2211()s s

r r r r c t

∂∂∂=∂∂∂ (4) 即：

222

221rs rs

r c t

∂∂=∂∂ (5) 该方程的一个解为：

exp[()A

s j t kr r

ω=

- (6) 同样有如下关系：

/k c ω=

根据平面波的定义，在球坐标系下，单频平面波的表达式为：

(,)exp[()]A

s r t j t k r r

ω=-⋅ (7)

2．推导空间采样信号的空、时付氏变换的卷积形式

//(,)(,)()2d

d

d

Z k Y l W k l dl

ππ

ωωπ

-=

-⎰

其中()w x 为窗函数。

对于有限孔径的感应器，某一感应器接收的信号可以表示为：

(,)()(,)z x t w x f x t = (1)

其中()w x 为窗函数。

通过空间傅立叶变换可得：

()()exp()W k w x jk x dx ∞

-∞

=⋅⎰ (2)

(,)(,)exp[()F k f x t j t k x dxdt ωω∞

∞

-∞

-∞

=--⋅⎰

⎰

(3)

对接收信号(,)z x t 进行傅立叶变换：

()

()()()[]()()()

(){}

()(),,exp[(),exp exp ,exp ,exp exp ,exp exp o Z k z x t j t k x dxdt

w x f x t j t jk x dxdt

w x F x jk x dx

w x F l jl x dl jk x dx w x F l jl x jk ωωωωωω∞

∞

-∞-∞

∞

∞

-∞-∞∞

-∞∞

∞-∞-∞

∞

∞-∞-∞=--⋅⎡⎤=-⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⋅⋅⎣⎦⎰

⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰()()(){}()(),exp ,x dldx

F l w x j k l x dx dl

W k l F l dl

ωω∞

∞

-∞-∞

∞

-∞

⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-⋅⎣⎦

=-⎰⎰⎰

(4)

其中，()()[],,exp o F x f x t j t dt ωω∞

-∞

=-⎰

。

综上所述，可得

(,)()(,)Z k W k l F l dl ωω∞

-∞

=-⎰ (5)

3．设在自由空间中有两个平面传播，一接收阵列沿x 方向排列，两平面波传播速度相同为c ，第一个平面波的频率为1w ，与x 轴的夹角为1；，第二个平面波的频率为2w ，与x 轴的夹角为

2

：

A.如果两个信号的空间频率相同，信号频率满足什么关系；

1

1

1

1

11

1

1

12

2

2cos

cos cos cos

2k w c

c

f w

2

2

2

2

22

2

2

22

22cos

cos cos cos

2

k w c

c

f w

若满足：12k k

则有：11

22

cos

cos

w w 信号频率满足：21

2

1

cos cos

w

w

B ．如果12w w ，阵列的采样间距应满足什么条件。

为了避免出现模糊，空间采样间隔应该满足：

c d

w

因为12w w ，所以d 应满足两个间距中较小的：

1c d

w

4.两个等间距的线阵，分别由8个阵元构成，间距为d 。第一个阵列的窗函数为:1，1，1/2，1/2，1/2，1/2，1，1。第二个阵列的窗函数为:1/2，1/2 ，1，1，1，1，1/2，1/2。分别计算各阵列的平滑函数(窗函数)。

平滑函数计算公式：

exp W k

w x jk x d x

设8阵元均匀线阵阵元位置如下图所示：

对窗函数计算有限长的傅立叶变换得到：

11(7/2)0

7/25/2

3/2

/2

/23/25/27/2

7/27/25/25/23/23/2exp ()1/2()()()1/2[()(x x x x x x x x x x x x x x x M jk m

d

m jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk W k

w x jk x d x w m e e

e

e

e

e e e e e e e e e e e /2

/2)]

2[cos(7/2)cos(5/2)][cos(3/2)cos(/2)]4cos(3)cos(/2)+2cos()cos(/2)2cos(/2)(2cos3cos )

x x d jk d x x x x x x x x x x x e k d k d k d k d k d k d k d k d k d k d k d