哈工大阵列信号处理第一次作业

Harbin Institute of Technology
阵列信号处理第一次作业课程名称：阵列信号处理
哈尔滨工业大学
1.在球坐标系下，由Maxwell 方程推导自由空间的波动方程
由Maxwell 方程可以推导出电磁波的波动方程为：
22222222()E
E x y z t
εμ∂∂∂∂++=∂∂∂∂ (1) 代入直角坐标与球坐标的关系
sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
(2) 可以得到：
22222222
221111()(sin )sin sin s s s
r r r r r r c t
θθθθθϕ∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂ (3) 根据球面波方程的球对称性，上式简化为：
222
2211()s s
r r r r c t
∂∂∂=∂∂∂ (4) 即：
222
221rs rs
r c t
∂∂=∂∂ (5) 该方程的一个解为：
exp[()A
s j t kr r
ω=
- (6) 同样有如下关系：
/k c ω=
根据平面波的定义，在球坐标系下，单频平面波的表达式为：
(,)exp[()]A
s r t j t k r r
ω=-⋅ (7)
2．推导空间采样信号的空、时付氏变换的卷积形式
//(,)(,)()2d
d
d
Z k Y l W k l dl
ππ
ωωπ
-=
-⎰
其中()w x 为窗函数。

对于有限孔径的感应器，某一感应器接收的信号可以表示为：
(,)()(,)z x t w x f x t = (1)
其中()w x 为窗函数。

通过空间傅立叶变换可得：
()()exp()W k w x jk x dx ∞
-∞
=⋅⎰ (2)
(,)(,)exp[()F k f x t j t k x dxdt ωω∞
∞
-∞
-∞
=--⋅⎰
⎰
(3)
对接收信号(,)z x t 进行傅立叶变换：
()
()()()[]()()()
(){}
()(),,exp[(),exp exp ,exp ,exp exp ,exp exp o Z k z x t j t k x dxdt
w x f x t j t jk x dxdt
w x F x jk x dx
w x F l jl x dl jk x dx w x F l jl x jk ωωωωωω∞
∞
-∞-∞
∞
∞
-∞-∞∞
-∞∞
∞-∞-∞
∞
∞-∞-∞=--⋅⎡⎤=-⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⋅⋅⎣⎦⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰()()(){}()(),exp ,x dldx
F l w x j k l x dx dl
W k l F l dl
ωω∞
∞
-∞-∞
∞
-∞
⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-⋅⎣⎦
=-⎰⎰⎰
(4)
其中，()()[],,exp o F x f x t j t dt ωω∞
-∞
=-⎰。

综上所述，可得
(,)()(,)Z k W k l F l dl ωω∞
-∞
=-⎰ (5)
3．设在自由空间中有两个平面传播，一接收阵列沿x 方向排列，两平面波传播速度相同为c ，第一个平面波的频率为1w ，与x 轴的夹角为1；，第二个平面波的频率为2w ，与x 轴的夹角为
2
：
A.如果两个信号的空间频率相同，信号频率满足什么关系；
1
1
1
1
11
1
1
12
2
2cos
cos cos cos
2k w c
c
f w
2
2
2
2
22
2
2
22
22cos
cos cos cos
2
k w c
c
f w
若满足：12k k
则有：11
22
cos
cos
w w 信号频率满足：21
2
1
cos cos
w
w
B ．如果12w w ，阵列的采样间距应满足什么条件。

为了避免出现模糊，空间采样间隔应该满足：
c d
w
因为12w w ，所以d 应满足两个间距中较小的：
1c d
w
4.两个等间距的线阵，分别由8个阵元构成，间距为d 。

第一个阵列的窗函数为:1，1，1/2，1/2，1/2，1/2，1，1。

第二个阵列的窗函数为:1/2，1/2 ，1，1，1，1，1/2，1/2。

分别计算各阵列的平滑函数(窗函数)。

平滑函数计算公式：
exp W k
w x jk x d x
设8阵元均匀线阵阵元位置如下图所示：
对窗函数计算有限长的傅立叶变换得到：
11(7/2)0
7/25/2
3/2
/2
/23/25/27/2
7/27/25/25/23/23/2exp ()1/2()()()1/2[()(x x x x x x x x x x x x x x x M jk m
d
m jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk W k
w x jk x d x w m e e
e
e
e
e e e e e e e e e e e /2
/2)]
2[cos(7/2)cos(5/2)][cos(3/2)cos(/2)]4cos(3)cos(/2)+2cos()cos(/2)2cos(/2)(2cos3cos )
x x d jk d x x x x x x x x x x x e k d k d k d k d k d k d k d k d k d k d k d
21(7/2)0
7/2
5/2
3/2
/2
/23/25/27/27/27/25/25/23/23exp ()1/2()()1/2()
1/2[()()][(x x x x x x x x x x x x x x x M jk m
d
m jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d jk d W k
w x jk x d x w m e e e
e
e
e e e e e e e e e
e /2/2
/2)()]
[cos(7/2)cos(5/2)]2[cos(3/2)cos(/2)]2cos(3)cos(/2)+4cos()cos(/2)2cos(/2)(cos32cos )
x x jk d jk d x x x x x x x x x x x e e k d k d k d k d k d k d k d k d k d k d k d。