圆的方程考点解析

答案：C
2．(2014· 茂名二模)若曲线x2＋y2＋a2x＋(1－a2)y－4＝0关 于直线y－x＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a为( 1 A．± 2 1 2 C. 或－ 2 2 2 B．± 2 )
1 2 D．－ 或 2 2 2 2 a －1 a 解析：由题意知，圆心C(－ ， )在直线y－x＝0上， 2 2
2 2
D2＋E2－4AF 为圆心， 为半径的圆. 2|A|
1.(2014· 大庆模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0上的圆的方程是( A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 ) B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
2 2 2 为 x ＋y ＝r .
归纳拓展：(1)圆的标准方程显现了圆的几何性质： (x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔圆心为A(a，b)，半径为r. (2)由圆的标准方程的特点可知，确定圆的标准方程的重点 是求出圆心坐标和半径．
2．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． D E 2＋E2－4F＞0) D (其中 ，其圆心为(－ ，－ )，半 2 2
预测2015年高考仍将延续以往的特点，重点考查：(1)结合 直线方程，用待定系数法求圆的方程，多与切线有关．(2)利用 圆的几何性质求动点的轨迹方程．
1.圆的标准方程 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ，其中圆心为(a，b) ， 半径为r；特别地，以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程
3 2 1 ＋ 2 ＋ x ＝ 4 5 2 x ＋ 1 4 ＋9，所以|PC|min＝3，故四边形面积的最
小值为2 2.
3 3 答案：(1) － 3 3
(2)2 2
题型三
与圆有关的轨迹问题
【例3】 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一 点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90° ，求PQ中点的轨迹方程．
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x |2－0＋b| ＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 2 ＝ 3，解得b＝－2± 6.(如图②) 所以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何 知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值．(如图③) 又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋ 3 )2＝7＋4 3 ，x2＋y2的最小值 是(2－ 3)2＝7－4 3.
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[变式1] 若一三角形三边所在的直线分别为x＋2y－5＝0， y－2＝0，x＋y－4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方 程是________．
解析：结合题意，解得三角形的三个顶点分别是(1,2)， (2,2)，(3,1)，作出图形可知三角形是以(1,2)，(3,1)两顶点的连 线为最长边的钝角三角形．所以圆的直径为d＝ 3 32 5 2 为(2， )，则圆的方程为(x－2) ＋(y－ ) ＝ . 2 2 4
答案：B
题型一
求圆的方程
【例1】 根据下列条件求圆的方程： (1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0 上； (2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于 点P(3，－2)； (3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
[解]
(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值． |2k| 3 由 2 ＝1，解得k＝± . 3 k ＋1
(2)因为P在直线3x＋4y＋8＝0上，
3 设Px，－2－4x ，C点坐标为(1,1)，
1 SPACB＝2S△PAC＝2× |AP||AC|＝|AP|＝ |PC|2－1，当|PC|最小 2 时，|AP|最小，四边形的面积就最小，而|PC|2＝(1－x)2＋
a2－1 a2 1 2 2 ∴ ＋ ＝0，∴a ＝ ，∴a＝± .故选B. 2 2 2 2 (注：F＝－4＜0，不需验D2＋E2－4F＞0)
答案：B
3．(2014· 济宁二模)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连 线的中点轨迹方程是( ) B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
[解]
(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可
知，P点坐标为(2x－2,2y)． ∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设 O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故PQ中点N的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0.
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. ∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a. 由|CA|2＝|CB|2得 (a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2， 即(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，
解得a＝1，b＝1， ∴r＝|CA|＝ 1－12＋1＋12＝2. 即所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
|a＋a－4| |1＋1| ，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径 ＝ 2 2 2，所以圆的的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
5．(2014· 邹城模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且 与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( 72 A．(x－3) ＋(y－ ) ＝1 3
同理得AC的中垂线方程为：x＋y－3＝0.
3x－y－1＝0， 联立 x＋y－3＝0 x＝1， 得 y＝2，
即圆心坐标为(1,2)， 半径r＝ 1－12＋2－122＝10. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
[方法· 规律] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的 方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研 究圆的性质而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程， 用待定系数法求解．
(4)求圆的方程有两种方法： ①代数法：根据条件建立方程或方程组，利用解方程的有 关知识或方程有解的条件解决问题；②几何法：通过研究圆的 性质、直线与圆、圆与圆的位置关系．结合直线、圆中的公式 求待定系数．
特别提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 D E 在A＝C≠0，D ＋E －4AF＞0，B＝0时，表示以(－ ，－ ) 2A 2A
32 5 答案：(x－2) ＋(y－ ) ＝ 2 4
2
5 ，圆心坐标
题型二
【例2】
与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
y (1)求 的最大值和最小值； x (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． y (1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， x y 所以设 ＝k，即y＝kx. x 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 |2k－0| ＝ 3，解得k＝± 3.(如图①) 2 k ＋1 y 所以 的最大值为 3，最小值为－ 3. x
[方法· 规律] 数形结合法求解与圆有关的最值问题 y－b (1)形如t＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最 x－a 值问题； (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题； (3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的最值问题．
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)， x＝x1＋4， 2 则 y1－2 y＝ ， 2
x1＝2x－4， y1＝2y＋2，
代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋
(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
[变式2]
(1)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则
y－1 的最大值与最小值分别为________、________. x－2 (2)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB 是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是 圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________． y－1 解析：(1)设 ＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜 x－2
圆的方程
考点
考纲要求
1.待定系数法求 圆的方程2.与向 量结合求圆的标 准方程、弧长、 圆的面积等
圆的方程
考查角度 1.掌握确定圆的几何要 素；掌握圆的标准方程 与一般方程2.能由所给 的条件运用待定系数法 求圆的方程；掌握圆的 标准方程与一般方程的 互化3.圆中最值问题
1.从近几年的高考试题可以看出，圆的弦长问题是高考重 要的考查点，也间接考查点与圆的位置关系． 2．题型以选择题为主，难度中、低档． 3．命题切入点：以直线与圆的位置关系为背景考查圆的弦 长问题．
D2＋E2－4F 2 径为 .
归纳拓展：(1)圆的一般方程突出了圆的代数形式上的特 点，其特点是：①x2，y2的系数相同且均为1，(不为1的可化为 1)；②不含xy项．
(2)在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若
D2＋E2－4F＝0，则它
D E 表示一个点(－ ，－ )；若D2＋E2－4F＜0，则它不表示任何图 2 2 形． (3)用待定系数法确定圆的方程的方法和步骤：待定系数法 是数学中常用的一种方法，它是在已知所求的方程形式的前提 下，通过已知条件求出其中的系数，进而求出方程表达式的一 种方法．用待定系数法求圆的方程的步骤大致是： ①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
答案：A
4．(2014· 蚌埠月考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都 相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 )
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：由题意可设圆心坐标为(a，－a)，则 |a＋a| 2 ＝
a2＋b2＝r2， 2 2 2 由题意列出方程组a－1 ＋b－1 ＝r ， 2a＋3b＋1＝0， a＝4， 解之得b＝－3， r2＝25， ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)解法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， b＝－4a， 3－a2＋－2－b2＝r2， 则有 |a＋b－1| ＝r， 2 解得a＝1，b＝－4，r＝2 2. ∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
2
)
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 32 D．(x－ ) ＋(y－1)2＝1 2
|b|＝1 解析：设圆心坐标为(a，b)，则 |4a－3b| ＝1 5
，又b＞0，
1 故b＝1，由|4a－3|＝5得a＝2或a＝－ ，又a＞0，故a＝2，所求 2 圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.(采用检验的方法也可以)
解法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－ 3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3)解法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 1＋144＋D＋12E＋F＝0， 则49＋100＋7D＋10E＋F＝0， 81＋4－9D＋2E＋F＝0. 解得：D＝－2，E＝－4，F＝－95. ∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 解法二：由A(1,12)，B(7,10)， 1 得A、B的中点坐标为(4,11)，kAB＝－ ， 3 则AB的中垂线方程为：3x－y－1＝0.