按有理数的定义分类
有理数的分类
（1）按一定速度传播问题：
应
用
（2）平均变化率问题： （3）边的宽度问题： （4）匀变速运动问题：
a a1 x a
v0 0 v 2
1 x
2
„=总数（a 为原产值，x 为增长率）
v
匀变速时间=行驶路程÷平均速度 匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间 速度×时间=路程
添括号法则
（2） 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。
整式的乘法
同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
a
m
a a
n
mn
（m、n 都是正整数）
mn m a a （m、n 都是正整数）
n
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 积的乘方
y a x bx c
y ax x1x x2
x
b 2a
a 0 开口向下
对称轴左侧,y 随 x 的增大而增 大 对称轴右侧，y 随 x 的增大而减 小 函数有最大值。
是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
2
（1）直接开方法： 一元二次方 程的解法 形如
p
2
或
mxn p
2
的形式， 可得 x
p 或 mx n p ）
4）开方
（2）配方法：1）移项（常数项移到等号右边）
2）二次项系数化成 1
3）配方（等号左右两边同加一次项系数一半的平方）
1 a b
有理数概念
第一讲 有理数的概念知识点一、有理数的概念及分类1、正数与负数：正数：像1， 1.1，517，2009等大于0的数，叫做正数； 负数：像-1， -1.1，517-，-2009等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。
正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。
“0”既不是正数，也不是负数。
在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：向东走100米记作－100米，则向西走五十米记作+50米。
盈利100元记作+100元，则亏损100元记作什么？水位升高1.2米，下降0.7米，如何用有理数表示？2、有理数：整数与分数统称为有理数⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零按定义分类： 有理数负整数正分数分数负分数 ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正整数按符号分类： 有理数零负分数注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；（2）无限不循环小数不是有理数，如π；（3）正数和零统称为非负数；（4）0是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。
3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。
例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用：随堂练习1、气温下降2度记2C-︒，那么上升3度表示为C︒.2、用20+米表示前进20米，那么15-米表示.3、如果向北走10m记作10m+，那么6m-表示（）.A、向东走6mB、向西走6mC、向南走6mD、向北走6m4、有理数包括（）.A、整数、分数和零B、正有理数、负有理数和零C、正数和负数D、正数和分数5、下列说法中，正确的是（）.A、在有理数中，零的意义表示没有B、一个数不是正数就是负数C、正有理数和负有理数组成全体有理数D、零是整数6、0属于（）.A、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是7、既是分数，又是正数的是（）.A、3+B、153-C、0D、2.28、下列说法中错误的是（）.A、2-是负有理数B、零不是整数C、34是正分数D、0.26-是负分数9、已知下列各数：8-，2.1，19，3，0， 2.5-，10，1-，其中非负数的个数有（）.A、2个B、3个C、4个D、5个10、把下列各数填入相应的括号里.1715,,0.62,4,0,1,1,, 6.4,7.-+---363正整数集合{}分数集合{}整数集合{}负数集合{}数轴1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类
1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.
整数和分数统称为有理数.(有理数分类结构图如下)
有理数包括整数和分数
2.有理数的分类.
问题:为了便于研究某些问题,常常需要将有理数进行分类,需要不同,分类的方法也常常不同,根据有理数的定义可将有理数分成两类:整数和分数.有理数还有没有其他的分类方法呢?
待学生思考后,请学生回答、评议、补充.
教师小结:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,并指出,在有理数范围内,正数和零统称为非负数.并向学生强调:对有理数的分类可以根据不同需要,用不同的分类标准,但必须对讨论对象不重不漏地分类.。
有理数的定义和加减法教学提纲
有理数的定义和加减
法
知识点
（一）有理数分类
1、有理数的分类：
按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：
2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。
（二）数轴
1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。
（三）相反数
1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
3、代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。
（四）绝对值
1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即对于任何有理数a,都有
4、绝对值的计算规律：
（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.
（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.
相关结论：。
有理数概念
近似数
科计数法：
一用科计数法表示数只是改变数的形式，并没 有改变数的大小
二负数用科计数法表示时和正数一样，区别就 是前面多一个“”号
三当把一个用科计数法表示的数还原为原数时， 只需将小数点向右移动n位不足的数位用0补齐， 并把一0的n次幂去掉
近似数
一确定n时，要根据科计数法的规定，使它为只含有一 位整数的数
有理数的倒数
三求有理数aa≠0的倒数的方法： 当a为整数时，a1 即为a的倒数 当a为分数真分数或假分数，若为带分数， 则化为假分数时，把a的分子与分母颠倒位 置，即可得到a的倒数
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两数相乘，交换因数位置，积相等 ab=ba
乘法结合律：三数相乘，先把前两个数相乘，或 者先把后两个数相乘，积相等
知识拓展： 一分数可以理解为分子除以分母 二两个数相除，若商是一，则这两个数相等， 若商是一，则这两个数互为相反数
有理数的乘除混合运算
运算顺序： 按照从左往右的顺序计算，有括号的先算括号 里边儿的 步骤： 一一般将除法转化为乘法 二确定积的符号 三最后求出结果
有理数的乘除混合运算
提示： 乘除混合运算：将除法转化为乘法，算式化成 乘积的形式，先由负因素的个数确定积的符号， 同时将小数化成分数，带分数化成假分数，在 进行计算。计算结果能约分的，必须约分 有理数的除法没有运算律，只有统一为乘法时， 才能按照乘法运算律进行简便计算。
有理数概念
正数和负数
一在正数前面加上“”的数，叫做负数。
负数＜0
二0既不是正数也不是负数
0是正数和负数的分界
是偶数
0是最小的自然数，也是整数，也
注意：正数前面的“”号，可以省略
负数前面的“”号，不可以省略
第1章 有理数-第02讲 有理数的概念及分类(老师版)
第02讲有理数的概念及分类1、有理数的分类整数和负数统称为有理数。
分类如下：(1)按整数、分数的关系分类：(2)按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释：(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．2、含“非”的有理数正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数．一、题型一、有理数的概念及分类例1.有理数的分类：(1)有理数按照定义分类：(2)有理数按照符号分类；【答案】【答案】；例2.因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数与无限循环小数都是_______．【答案】【答案】有理数例3.正分数和负分数统称为______．【答案】【答案】分数例4.各数中，哪些数是整数，但是不是正数？哪些数是分数，但不是负数？2,1 3,0,-7,0.24,-0.3,-29________是整数，但是不是正数；_______是分数，但不是负数【答案】【答案】0,-7；13,0.24例5.下列语句中正确的有 ()①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③自然数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中除了正数就是负数．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】【答案】A【分析】根据有理数的分类及相关概念可直接进行排除选项．【详解】解：①所有整数都是正数，错误，比如-1；②所有正数都是整数，错误，比如0.5；③自然数都是正数，错误，比如0；④分数是有理数，正确；⑤在有理数中除了正数就是负数，错误，还有零；∴正确的有一个；故选A．例6.下列说法正确的是()A.所有的整数都是正数B.不是正数的数一定是负数C.0是最小的有理数D.整数和分数统称有理数【答案】【答案】D【分析】整数包括正整数、负整数、零；不是正数，有可能是负数和零，零既不是正数，也不是负数；有理数可这样分，正数、零、负数；有理数的概念：整数和分数统称为有理数【详解】A.负整数和0就不是正数，显然A 错误；B.不是正数，有可能是零，所以B 错误；C.负有理数比零小，错误；D.正确，故选D .例7.把下列各数填入相应的集合里：+5，-12，4.2，0，-5.37，37，-3．(1)自然数集合：{ ⋯}；(2)整数集合：{ ⋯}；(3)分数集合：{ ⋯}；(4)负有理数集合：{ ⋯}．【答案】【答案】(1)+5，0；(2)+5，0，-3；(3)-12，4.2，-5.37，37；(4)-12，-5.37，-3．【分析】根据正有理数、负分数、整数、自然数的定义即可得到结果．【详解】解：(1)自然数集合：{+5，0⋯}；(2)整数集合：{+5，0，-3⋯}．(3)分数集合：-12，4.2，-5.37，37⋯ ；(4)负有理数集合：-12，-5.37，-3⋯ ．故答案为：(1)+5，0；(2)+5，0，-3；(3)-12，4.2，-5.37，37；(4)-12，-5.37，-3．题型二、带“非”字有理数例8.“正数和0”统称为_______；“负数和0”统称为_______．“正整数和0”统称为________；“负整数和0”统称为_________．【答案】【答案】非负数非正数非负整数非正整数例9.下列说法中：①0是最小的的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2是有理数；⑥平方等于它本身的数有±1；⑦无限小数都不是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为()A.7个B.6个C.5个D.4个【答案】【答案】A【分析】根据有理数的分类，依此即可作出判断．【详解】解：①没有最小的整数，故①错误；②有理数包括正数、0和负数，故②错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故③错误；④非负数就是正数和0，故④错误；⑤-π2是无理数，故⑤错误；⑥平方等于它本身的数有1和0；故⑥错误；⑦无限循环小数是有理数，故⑦错误；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧正确的．故其中错误的说法的个数为7个．故选：A ．例10.下列说法中：①有理数不是正数就是负数；②正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；③非负数就是正数和0；④π6不仅是分数，而且还是有理数；⑤无限小数不一定是有理数；⑥259是无限不循环小数，所以不是有理数．其中正确的说法的个数为()A.4个 B.3个C.2个D.1个【答案】【答案】C【分析】对于①，有理数包括正有理数、零和负有理数，据此来判断即可．对于②，整数和分数统称有理数，据此判断即可．对于③，非负数包括正数和0，据此判断即可．对于④，π是无理数，据此判断即可．对于⑤，有限小数或无限循环小数是有理数，据此判断即可．对于⑥，整数和分数统称有理数，据此判断即可．【详解】解：有理数包括正有理数，0，负有理数，∴①不正确又∵整数和分数统称有理数，∴②不正确．又∵非负数就是正数和0，∴③正确．又∵π是无理数，∴④不正确又∵有限小数或无限循环小数是有理数，∴⑤正确．又∵整数和分数统称有理数，∴⑥不正确．∴综上，③⑤正确．故选C例11.已知下列各数-8，2.1，19，3，0，-2.5，10，-1中，其中非负数的个数是()A.2个 B.3个C.4个D.5个【答案】【答案】D【分析】非负数包括正数和0，选出即可．【详解】解：非负数有2.1，19，3，0，10，共5个，故选：D ．例12.下面说法中正确的有()A.非负数一定是正数B.有最小的正整数，有最小的正有理数C.0既不是整数，也不是负数D.正整数和正分数统称正有理数【答案】【答案】D【分析】根据有理数的分类方法求解即可．【详解】解：A .非负数包括正数和0，故本选项错误；B .有最小的正整数，没有最小的正有理数，故本选项错误；D .0既不是正数，也不是负数，但是整数，故本选项错误；D .正整数和正分数统称正有理数，正确；故选D ．例13.绝对值不大于3.14的非负整数有_______【答案】【答案】0，1，2，3．【分析】绝对值不大于3.14，取值范围是≥-3.14且≤3.14，非负整数包括0和正整数，从同时符合两个取值条件的数中分析得出答案．【详解】解：∵绝对值不大于3.14，用a 表示取值范围为a ≤3.14，即-3.14≤a ≤3.14，∵a 是非负整数，则符合条件的数是：0、1、2、3．故答案为：0，1，2，3．例14.把下列各数填在相应的大括号内：+3,-58,0,6.21,100,-1,|-4|,0.010010001,-(+1.2),17%正数集合{⋯}整数集合{⋯}负分数集合{⋯}非负有理数{⋯}．【答案】【答案】见解析【分析】按照有理数的分类以及意义直接填空即可．【详解】解：|-4|=4，-(+1.2)=-1.2，正数集合{+3,6.21,100,|-4|,0.010010001,17%，...}整数集合{+3,0,100,-1,|-4|，...}负分数集合-58,-(+1.2)，...非负有理数{+3,0,6.21,100,|-4|,0.010010001,17%，...}1._____和______统称为有理数．【答案】【答案】整数分数2.(1)整数包括_________、_________、_________．(2)零_____整数，但零_____正整数，也______负整数．【答案】【答案】正整数负整数零是不是不是3.下列说法错误的是()A.最小自然数是0B.最大的负整数是-1C.没有最小的负数D.最小的整数是0【答案】【答案】D【分析】按照有理数的分类填写．【详解】解：A 、0是最小的自然数，故A 说法正确，不符合题意B 、-1是最大的负整数，故B 说法正确，不符合题意；C 、没有最小的负数，故C 说法正确，不符合题意D 、没有最小的整数，故D 说法错误，符合题意；故选：D ．4.在下列各数中，负分数有()-1，-3.141559，2，-13，13，0，12，-5%，34A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】【答案】C【分析】根据负分数的意义，可得答案．【详解】解：负分数有：-3.141559，-13，-5%，共3个，故选：C ．5.下列说法正确的是()A.正数和负数统称为有理数B.正整数包括自然数和零C.零是最小的整数D.非负数包括零和正数【答案】【答案】D【分析】按照有理数的分类进行选择．【详解】解：A、正数、负数和零统称为有理数；故本选项错误；B、零既不是正整数，也不是负整数；故本选项错误；C、零是最小是自然数，负整数比零小；故本选项错误；D、非负数包括零和正数；故本选项正确；故选：D．6.把下面的数填入它所属于的集合的大括号内(填序号)①-5.3，②+5，③20%，④0，⑤-27，⑥-7，⑦-∣-3∣，⑧-(-1.8)正数集合{}整数集合{}分数集合{}有理数集合{}【答案】【答案】见解析【分析】根据有理数的分类填空．【详解】解：-|-3|=-3，-(-1.8)=1.8．正数集合{②③⑧}整数集合{②④⑥⑦}分数集合{①③⑤⑧}有理数集合{①②③④⑤⑥⑦⑧}．7.把下列各数填入它所在的集合里：-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3①正数集合：{___________________________________⋯}②负数集合：{___________________________________⋯}③整数集合：{___________________________________⋯}④非正数集合：{_________________________________⋯}⑤非负整数集合：{_______________________________⋯}⑥有理数集合：{_________________________________⋯}【答案】①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}；②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}；③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}；④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}；⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}；⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}【分析】根据有理数的分类即可得出答案．【详解】解：①正数集合：{7，2015，0.618，3.14，+3⋯}②负数集合：{-2，-23，-1.732，-5，⋯}③整数集合：{-2，7，0，2015，-5，+3⋯}④非正数集合：{-2，-23，0，-1.732，-5，⋯}⑤非负整数集合：{7，0，2015，+3⋯}⑥有理数集合：{-2，7，-23，0，2015，0.618，3.14，-1.732，-5，+3⋯}。
有理数的定义和分类
10、π是有理数。
6
LOGO
有理数的定义及分类
LOGO
有 理 数
Hale Waihona Puke 整 数分 数
正整数：如 1、2、3……
零：
0
负整数：如－1、－2、－3… 正分数: 如 1/2 、1/3、5.2 负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
2
LOGO
有理数的另一种分类：
有 理 数
正有理数
0 负有理数
正整数 正分数 负整数
负分数
3
LOGO 1、下列各数中:
练习：
7， -9.24， -301， 31.25， 0， -18， 1/3, 3.1415926……，2009，-0.14287，67%，π
正数有（ 整数有（ 正整数有（ 正分数有（
）， ）， ）， ），
负数有（ 有理数有（ 负整数有（ 负分数有（
） ） ） ）
4
LOGO 2、判断。 1、负整数和负分数统称负有理数。 2、正整数、0、负整数统称为整数。
3、正有理数与负有理数组成全体有理数。
4、3.14是小数，也是分数。
5、0既不是正数，也不是负数，也不是整数。
5
LOGO 6、正整数与负整数统称为整数。 7、既是分数，也是负数，也是有理数。
8、0是最小的有理数。
有理数知识点整理
有理数考点1、正数和负数正数：大于零的数负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数考点2、有理数1、有理数的分类按定义分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 按性质符号分：有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。
2、0是整数不是分数2、数轴（重点）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
（4）同一数轴的单位长度必须一致1、 相反数（重点）定义：只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．．。
（在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。
）相反数的表示方法及多重符号的化简：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-=>-<>>0a ,00a ,00,0则当则当则－当a a a a4、绝对值（难点）绝对值的定义：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作：a 的绝对值因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。
即：任何数的绝对值都是正数（0的绝对值是0）绝对值的代数定义：1）一个正数的绝对值是它本身2）一个负数的绝对值是它的相反数3）0的绝对值是0绝对值的计算规律：（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等（2） 若b a =，则a=b 或a=-b ；（3） 若0,0,0===+b a b a 则5、有理数的大小比较（1）正数大于0,0大于负数，正数大于负数（2）两个负数，绝对值大的反而小考点3、有理数的加减（重难点）1、有理数加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得零；（4）一个数与零相加，仍得这个数。
有理数的定义和分类
9
一、选择题 LOGO
1．下列说法中正确的个数有（ ） ①－3是负分数；②2.4不是整数；③非负有理数不包括零；④ 正整数、负整数统称为整数；⑤0是最小的有理数。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的个数为（ ） ①0是整数 ②负分数一定是负有理数 ③一个数不是正数就 是负数 ④π是有理数 A．0个 B．2个 C．3个 D．1个 3．在数6.4，－π，－0.6，，10.1，2006中，正确的是（ ） A．有理数有6个 B．－π是负数，不是有理数 C．非正数有3个 D．以上都不对 4．下列说法正确的是 A．有最大的负数，没有最小的正数 B．没有最大的有理数，也没有最小的有理数 C．有最大的非负数，没有最小的非负数 D．有最大的负数，没有最小的正数
负有理数
正整数
正分数 负整数
负分数
6
LOGO
4、非正数、非负数、 非正整数、非负整数 的定义
（1）非正数指：0和负数 （2）非负数指：0和正数 （3）非正整数指：0和负整数 （4）非负整数指：0和正整数
LOGO
练习：
） ） ） ） ）
1、下列各数中， 正数有 （ ）， 负数有 （ 整数有 （ ）， 有理数有 （ 正整数有（ ）， 负整数有（ 正分数有（ ）， 负分数有 （ 非负整数（ ）， 非正数 （ 7， -9.24， -301， 31.25， 0，1/2，-18， 3.1416，2009，，-0.14287，67%
）
11
LOGO
谢谢观赏
LOGO
有理数的定义及分类
LOGO
学过的数
古代猎人打了一只老鹰，用数如 何表示一只老鹰——有了整数
货币购物，用数如何表示 10元5角3分——有了小数
有理数的定义和分类
有理数的定义和分类
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数可以用分数或小数的形式来表示，其中分子和分母都是整数，并且分母不能为零。
一、有理数的定义
有理数的定义是指可以表示为两个整数的比值，可以写成一般形式的分数表示，即a/b（b≠0），其中a和b都是整数。
例如：
-5、2/3、0、1/2、2等都属于有理数。
二、有理数的分类
根据有理数的性质和表示形式，我们可以将有理数分为以下几类：整数、真分数和带分数。
1. 整数
整数是指可以用正整数或负整数表示的有理数。
整数包括所有的正整数、负整数和零。
例如：
-3、-2、-1、0、1、2、3等都是整数。
2. 真分数
真分数是指分子小于分母的分数。
真分数可以用小数或分数的形式来表示。
例如：
1/2、3/4、2/3等都是真分数。
3. 带分数
带分数是指由一个整数部分和一个真分数部分组成的数。
带分数可以用带有小数点的小数形式表示。
例如：
1 1/2、3 3/4、
2 2/3等都是带分数。
综上所述，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、真分数和带分数。
整数是用正整数或负整数表示的有理数，真分数是分子小于分母的分数，而带分数是由一个整数部分和一个真分数部分组成的数。
有理数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
通过了解和熟悉有理数的定义和分类，我们可以更好地理解和运用数学知识，为解决实际问题提供有效的数值工具。
有理数的概念对于深入学习进阶的数学课程以及实际生活中的计算和测量都具有重要的意义。
七年级上册数学公式定理
七年级上册数学公式定理第一章有理数（一）有理数1、有理数的分类：按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：正整数正整数整数零正有理数有理数负整数正分数正分数有理数 0分数负整数负整数负有理数负分数2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。
（二）数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）※注意：数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
（三）相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，它们位于原点的两侧，且到原点的距离相等。
0的相反数是0（四）绝对值在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
1、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
a (a＞0)即对于任何有理数a,都有|a|＝ 0（a＝0）–a(a＜0)2、绝对值的计算规律：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.3、相关结论：（1）0的相反数是它本身。
（2）非负数的绝对值是它本身。
（3）非正数的绝对值是它的相反数。
（4）绝对值最小的数是0。
（5）互为相反数的两个数的绝对值相等。
（6）任何数的绝对值都是它的正数或0，即|a|≥0。
（五）倒数1、定义：乘积为“1”的两个数互为倒数。
2、求法：颠倒这个数的分子和分母。
3、a（a≠0）的倒数是1a .（六）有理数比较大小：比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下：①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
※注意：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
（七）有理数的运算1.有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
有理数及其运算专题
有理数及其运算专题【知识回顾】 1、有理数的分类：按定义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩( )( )( )( )有理数( )( )( ) 按正负性分：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩( )( )( )有理数( )( )( )( )2、数轴三要素：（1）________________(2)______________(3)______________3、__________的相反数等于它本身；__________的相反数大于它本身；__________的相反数小于它本身；__________的相反数不大于它本身；__________的相反数不小于它本身.4、若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．5、_________的绝对值等于它本身；__________的绝对值等于它的相反数； __________的绝对值不等于它本身；绝对值最小的数是 ；绝对值相等的两个数的关系_____________6、运算顺序：先算 ，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算7、有理数乘方：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方，用字母表示： an na a a a a 个=⨯⨯⨯⨯，其中，a 为，n 为 ，乘方的结果叫做 .乘方的符号规律：正数的任何次幂都是 ，负数的奇次幂是 .负数的偶次幂是________.8、平方数等于它本身的数________；立方等于它本身的数________；平方相等的两个数的关系___________9、有理数运算的常见简便方法（1）一般把 的数加在一起． （2）遇有分数可把 结合起来相加．（3）遇有小数应当把相加得 的小数结合起来． （4）互为 两个数加在一起．（5）在有理数乘法运算中，常把小数化成 ，带分数化成 ，以简化运算． 【大展身手】 一、填空题1.下列说法中，正确的是( )A 、整数集合中仅包括正整数和负整数B 、零是正整数C 、分数都是有理数D 、正整数都是自然数2. 下列说法正确的是（ ）A a 表示一个正数B a 表示一个负数C a 表示一个整数D a 可以表示一个负数 3 一个数的相反数是非负数，这个数是（ ）A 负数B 非负数C 正数D 非正数 4. 下列各式中，正确的是（ ）A －｜－16｜＞0 Ｂ |0.2|>|－0.2| C －47>－57 D |－6|<05、有理数22-，3)2(-，2--，)21(+-按从小到大的顺序排列是（ ）A. 3)2(-<22-<2--<)21(+- B. )21(+-<2--<22-< 3)2(-C. 2--<)21(+-<22-<3)2(- D. 22-<3)2(-<)21(+-<2--6. 若|a|+|b|=0,则a 与b 的大小关系是（ ）A a=b=0B a 与b 不相等C a,b 异号D a,b 互为相反数 7. 绝对值等于其相反数的数一定是（ ）A 负数B 正数C 负数或零D 正数或零 8 下列叙述正确的是（ ）A 若|a|=|b|,则a=bB 若|a|>|b|,则a>bC 若a<b|,则|a|<|b|D 若|a|=|b|,则a=±b 9 绝对值大于2,而小于5的所有正整数之和为（ ） A 7 B 8 C 9 D 1010. 下列说法① 如果a=－13,那么－a=13, ② 如果a=－1,那么－a=－1, ③ 如果a 是负数,那么－a 是正数, ④如果a 是负数,那么１＋a 是正数, 其中正确的是（ ） A ①③ B ①② C ②③ D ③④ 11.一个数的相反数小于它本身,这个数是（ ）A 任意有理数B 零C 负有理数D 正有理数 12 如果a 和2b 互为相反数,且b ≠0,那么a 的倒数是（ ） A －12b B 12b C －2bD 2b 13.已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 14、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简b a c b a --++的结果是（ ） A 、c B 、a C 、a c 2- D 、c b -2 二 填空题1. 如果a －3与a+1互为相反数,那么a= .2. －323的相反数是 , －(－12)的相反数是 , 是13的相反数, 是13的倒数.3. 如果|2x －4|=2,则x= ;4. 绝对值小于2.5的整数有 ,它们的积为 ;5. 12的相反数的绝对值是 ,|－12|的倒数的相反数是 , －12的绝对值的相反数是 . 6. 一个点从原点开始,先向右移动1个单位,再向左移动5个单位后到达终点,这个终点表示的数是 .a b c7. 某次数学测验共20道选择题,规则是:选对一道的5分,选错一道的－1分,不选得零分,王明同学的卷面成绩是:选对16道题,选错2道题,有2道题未做,他的得分是 . 8若a 与b 互为相反数,则代数式73a+73b －5= .9.小名在写作业时不甚将一滴钢笔水滴在数轴上,根据图中的数值,判断墨迹盖住的整数之和为10. 如图是一个正方体盒的展开图,若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别添入适当的数,使得他们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数,则添入正方形A 、B 、C 内的三个数之积为 .(第9题图) (第10题图)11某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在租出后的第n 天（n 是大于2的自然数）应收租金__________元。
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
有理数与代数式
复习资料知识点：1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数。
2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。
5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下： 6.代数式的概念： 用字母表示数之后，出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们叫做代数式。
单个的数字和字母也可以看成是代数式。
运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值，大中小括号以及以后要学到的开方符号，但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号。
7.代数式的书写：（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或用“· ”代替，省略乘号时，数字因数应写在字母因数的前面，数字是带分数时要改写成假分数，数字与数字相乘时仍要写“×”号。
（2）代数式中出现除法运算时，一般要写成分数的形式。
（3）用代数式表示某一个量时，代数式后面带有单位，如果代数式是和、差形式，要用括号把代数式括起来。
有理数的特征及分类
有理数的特征及分类
有理数是数学中的一类数字，可以表达为两个整数的比值。
在有理数的定义中，我们可以观察到以下特征和分类。
特征
1. 有理数可以用分数表示，其中分母不为零。
2. 有理数包括整数和分数两部分，可以写成整数形式或者带分数形式。
3. 有理数可以是正数、零或者负数。
4. 有理数的绝对值是非负数。
分类
整数
整数是没有小数部分的有理数。
可以用正数或负数的整数来表示。
例如：-3、0和5都是整数。
分数
分数是有理数的一种表示形式，它包括一个分子和一个分母，分子表示数量的一部分，分母表示分割的份数。
分母不能为零。
例如：3/4、-1/2和7/8都是分数。
正数和负数
有理数可以是正数或负数，用正号(+)或负号(-)表示。
正数大于零，负数小于零。
例如：2是正数，-5是负数。
零
零是一个特殊的有理数，既不是正数也不是负数。
用0表示。
有理数的特征和分类，描述了它们的基本性质和形式。
通过理解有理数的定义，可以更好地应用于数学问题和实际应用中。
有理数概念辨析
有理数是一个数学术语，指的是可以表示为整数和分数形式的数字。
有理数概念包括以下几个方面的辨析：
1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数之比的数字，其
中分母不为零。
这个定义包括两个部分：第一是有理数可以表示为整数之比，第二是分母不为零。
例如，所有的整数都是有理数，因为它们可以表示为两个整数之比，其中分母为1。
另外，所有的有限小数也是有理数，因为它们可以表示为两个整数之比，其中分母不为零。
2.有理数的分类：根据有理数的定义，有理数可以分为整数和分
数两个类别。
整数可以看作是分母为1的分数，因此整数和分数一起构成了有理数的全部内容。
整数包括正整数、负整数和零，而分数包括正分数和负分数。
3.有理数的性质：有理数有一些重要的性质，包括可加性、可乘
性和可除性。
这些性质可以通过有理数的定义来证明。
例如，如果有理数a和b，那么它们的和、差、积和商都是有理数。
此外，有理数还有一个重要的性质是稠密性，即任意两个有理数之间都存在第三个有理数。
4.有理数的运算：有理数的四则运算包括加、减、乘、除和乘
方。
这些运算都可以通过定义进行计算。
例如，如果有理数a 和b，它们的和、差、积和商可以分别表示为a+b、a-b、ab
和a/b。
此外，有理数还可以进行乘方运算，即对于任何一个有理数a和一个正整数n，a的n次方是有理数。
通过对有理数的概念进行辨析，我们可以更好地理解有理数的定义、分类、性质和运算，从而更好地应用它们来解决数学问题。