复数的几何意义及应用

复数的几何意义及应用

一、教学目标：

(一)知识与技能:

通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。

(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力;

2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；

3、提高知识之间的理解与综合运用能力。

(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用

三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用

四、教学工具：计算机、投影仪

五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法

六、教学过程：

(一)设置情境，问题引入

问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应 一一对应

复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量,

2

2122121)()(y y x x z z d -+-==-=一一对应 向量 O Z

(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r

（1）该圆向量形式的方程是什么)0(>=r r

（2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r

（3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x

2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹)

设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a >

（1）该椭圆向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a >

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a =

（2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a =

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于

常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹)

设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,

则a ZZ ZZ 221=- )2(21Z Z a <

（1）该双曲线向量形式的方程是什么a 2= )2(21Z Z a <

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=--- )2(21Z Z a < 变式:射线

（1）向量形式的方程是什么a 2= )2(21Z Z a =

（2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=--- )2(21Z Z a = 变式：以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段的垂直平分线

（1）该线段向量形式的方程是什么a 2=)02(=a =

（2）该线段复数形式的方程是什么? a z z z z 221=---)02(=a 即

21z z z z -=-

（三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，

则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ ）

（A ） 双曲线 （B ）双曲线的右支

（C ）线段 （D ）射线

答案：（D ）一条射线

变式探究：

（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？

（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？

（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？

（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？

（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？

（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？ 例2．若复数z 满足条件1=z ，

求i z 2-的最值。

解法1：（数形结合法）由1=z 可知，z 对应于单位圆上的点Z ； i z 2-表示单位圆上的点Z 到点P （0，2）的距离。

由图可知，当点Z 运动到A （0，1）点时，12min =-i z ,此时z=i ；

当点Z 运动到B （0，-1）点时，32max =-i z , 此时z=-i 。

解法2：（不等式法） 212121z z z z z z +≤±≤-

∴i z i z i z 222+≤-≤-

,1=z 22=i ，∴321≤-≤i z

解法3：（代数法）设),(R y x yi x z ∈+=，则122=+y x

∴y y x i yi x i z 45)2(2222-=-+=-+=- 1≤y ，即11≤≤-y

∴当1=y ，即i z =时，12min =-i z ；

当1-=y ，即i z -=时，32max =-i z =3,

解法4：（性质法） )2)(2()2)(2()2()2(22i z i z i z i z i z i z i z +-=--=--=- yi i z z z z 454)(2+=+-+⋅= 1≤y ，即11≤≤-y

∴当1=y ，即i z =时，12min =-i z ；

当1-=y ，即i z -=时，32max =-i z ,