高三数学总复习 不等式证明教案
(新人教A)高三数学教案不等式证明
高 三 数 学（第9周）主讲教师：刘海滨 主审教师：陈云楼【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。
【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。
比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。
比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。
综合法常常用到如下公式：（1）22b a +≥2ab(a,b ∈R) (2)2b a +≥),(+∈R b a ab (3)ba ab +≥2(a .b>0) (4)222b a +≥),()2(2R b a b a ∈+ (5)3c b a ++≥),,(3+∈R c b a abc 利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。
对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。
另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。
【知识讲解】例1、 设1>2a>0,试比较A=1+a 2与B=a-11的大小。
解：A-B=aa a a a a ----+=--+111111322=1)1(1223-+-=--+-a a a a a a a a∵01,2>+-∈+a a R a 恒成立. 由条件知0<21<a ,∴a-1<0,∴A-B<0 即A<B.例2、设a.b ∈R +,求证a a b b ≥a b ba分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化为运用指数函数的性质来证明。
高三数学 第41课时 不等式的证明(1)教案
课题：不等式的证明（1）教学目标：掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用 综合法和分析法证明不等式教学重点：灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的 变形、配凑，会灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题。
（一） 主要知识：比较法证明不等式的基本步骤：⎧⎫⎪⎪⎪⎪→→⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎩配方法分解法作差（商）变形判断通分法放缩法有理化综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等式时，要 注意基本不等式的应用。
分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至 找到题设条件或已经证明的基本不等式。
可简称为“执果索因”，在使用分析法证明不等 式时，习惯上用“⇐”或“⇔”表达。
（二）典例分析：问题1．已知0,0,0a b c >>>，且互不相等，1abc =111a b c<++问题2．已知:x ≥0,y ≥0，求证：()()21124x y x y +++≥问题3．设0,0,2a b c a b >>>+，求证：c a c <<问题4．已知0a >，0b >，且a b ≠> 用比较法、综合法、分析法证明，用尽可能多的方法）（三）课后作业：1.已知：222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，*n N ∈ 求证: 11221n n a x a x a x +++≤L ．2.若3a ≥,求证：321---<--a a a a ．3.已知0a b >>,求证：bb a ab b a a b a 8)(28)(22-<-+<-．4.若,,a b c R +∈，1a b c ++=,求证：()1；()2111(1)(1)(1)8a b c---≥5.（09届湖北黄冈市红安一中高二实验期中）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y ++≥+，并指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，并指出取最小值时x 的值．（四）走向高考：6.（06上海）已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(，上是减函数，在)+∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋xb 2（x ＞0）的值域为[)6,+∞，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2xc （常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n x x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．。
高中不等式的教案
高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。
三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。
高三数学总复习 不等式基本性质教案
湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式基本性质教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a dc b a ->-⇒⎩⎨⎧->->或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若b a b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴nn b a >三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：d b ec a e->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a db ec a e ->-2．若R b a ∈,，求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab ab b a3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++c b a证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abc cabc ab c b a ++=++1110<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++c b a4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小 解：a 1b 1ab ab -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab ab ∴a 1<b 1当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab 6．若0,0<<>>dc b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α >1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴原式成立。
高考数学一轮复习 6.3 不等式的证明(二)教案
6.3 不等式的证明（二）●知识梳理1.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.3.放缩法证明不等式.4.利用单调性证明不等式.5.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式.6.数形结合法证明不等式.7.反证法、换元法等.特别提示不等式证明方法多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法.●点击双基1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）na ＜2+nn 11+-）（对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是A.［－2，23） B.（－2，23） C.［－3，23）D.（－3，23） 解析：当n 为正偶数时，a ＜2－n 1，2－n 1为增函数，∴a ＜2－21=23. 当n 为正奇数时，－a ＜2+n 1，a ＞－2－n 1.而－2－n 1为增函数，－2－n1＜－2， ∴a ≥－2.故a ∈［－2，23）. 答案：A2.（2003年南京市质检题）若a 1＜b1＜0，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.a b +ba＞2D.|a |+|b |＞|a +b |解析：由a 1＜b1＜0，知b ＜a ＜0.∴A 不正确. 答案：A3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案：A4.（理）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a n =b n ＞0，则a m 与b m 的大小关系是____________.解析：若d =0或q =1，则a m =b m .若d ≠0，画出a n =a 1+（n －1）d 与b n =b 1·q n －1的图象，易知a m ＞b m ，故a m ≥b m . 答案：a m ≥b m（文）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a 2n +1=b 2n +1＞0（n =1，2，3，…），则a n +1与b n +1的大小关系是____________.解析：a n +1=2121++n a a ≥121+n a a =121+n b b =b n +1. 答案：a n +1≥b n +15.若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______c a -3.（填“＞”“=”“＜”）解析：a ＞b ＞c ，（b a -1+c b -1）（a －c ）=（b a -1+cb -1）［（a －b ）+（b －c ）］ ≥2））（（c b b a --1·2））（（c b b a --=4.∴b a -1+c b -1≥c a -4＞ca -3. 答案：＞ ●典例剖析【例1】 设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a ＜1.求证：log a （a x ＋a y）＜log a 2＋81.剖析：不等式左端含x 、y ，而右端不含x 、y ，故从左向右变形时应消去x 、y .证明：∵a x ＞0，a y＞0， ∴a x＋a y≥2y x a +＝22x x a -.∵x －x 2＝41－（x －21）2≤41，0＜a ＜1，∴a x ＋a y≥241a ＝2a 81.∴log a （a x＋a y）＜log a 2a 81＝log a 2＋81.评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a x ＋a y≥2·a 81即可． 【例2】 已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1.求证： （1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）.剖析：在条件“a +b +c =1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a +b +c ”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a 、b 、c ∈R +且a +b +c =1， ∴要证原不等式成立， 即证［（a +b +c ）+a ］·［（a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥8［（a +b +c ）－a ］·［（a +b +c ）－b ］·［（a +b +c ）－c ］.也就是证［（a +b ）+（c +a ）］［（a +b ）+（b +c ）］·［（c +a ）+（b +c ）］≥8（b +c ）（c +a ）（a +b ）. ①∵（a +b ）+（b +c ）≥2））（（c b b a ++＞0， （b +c ）+（c +a ）≥2））（（a c c b ++＞0， （c +a ）+（a +b ）≥2））（（b a a c ++＞0， 三式相乘得①式成立. 故原不等式得证.【例3】 已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *. 求证：n a －1＜na 1-. 证法一：要证n a －1＜n a 1-，即证a ＜（na 1-+1）n. 令a －1=t ＞0，则a =t +1.也就是证t +1＜（1+nt ）n. ∵（1+n t ）n =1+C 1n n t +…+C n n （n t ）n ＞1+t ，即n a －1＜na 1-成立. 证法二：设a =x n，x ＞1.于是只要证nx n 1-＞x －1，即证11--x x n ＞n .联想到等比数列前n 项和1+x +…+x n －1=11--x x n，① 倒序xn －1+xn －2+…+1=11--x x n .②①+②得2·11--x x n =（1+x n －1）+（x +x n －2）+…+（x n －1+1）＞21-n x +21-n x +…+21-n x ＞2n . ∴11--x x n ＞n .思考讨论本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下. ●闯关训练 夯实基础1.已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定解析：∵x 2=21（a +b ）2=21（a +b +2ab ）， y 2=a +b =21（a +b +a +b ）＞21（a +b +2ab ）=x 2，又x ＞0，y ＞0.∴y ＞x . 答案：B2.对实数a 和x 而言，不等式x 3+13a 2x ＞5ax 2+9a 3成立的充要条件是____________.解析：（x 3+13a 2x ）－（5ax 2+9a 3） =x 3－5ax 2+13a 2x －9a 3=（x －a ）（x 2－4ax +9a 2）=（x －a ）［（x －2a ）2+5a 2］＞0.∵当x ≠2a ≠0时，有（x －2a ）2+5a 2＞0.由题意故只需x －a ＞0即x ＞a ，以上过程可逆. 答案：x ＞a3.已知a ＞b ＞c 且a +b +c =0，求证：ac b -2＜3a . 证明：要证ac b -2＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，即证b 2+a （a +b ）＜3a 2，即证（a －b ）（2a +b ）＞0， 即证（a －b ）（a －c ）＞0. ∵a ＞b ＞c ，∴（a －b ）·（a －c ）＞0成立. ∴原不等式成立.4.已知a +b +c =0，求证：ab +bc +ca ≤0.证法一：（综合法）∵a +b +c =0，∴（a +b +c ）2＝0.展开得ab +bc +ca =－2222c b a ++，∴ab +bc +ca ≤0. 证法二：（分析法）要证ab +bc +ca ≤0， ∵a +b +c =0，故只需证ab +bc +ca ≤（a +b +c ）2，即证a 2+b 2+c 2+ab +bc +ca ≥0，亦即证21［（a +b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2］≥0． 而这是显然的，由于以上相应各步均可逆， ∴原不等式成立.证法三：∵a +b +c =0，∴－c =a +b .∴ab +bc +ca =ab +（b +a ）c =ab －（a +b ）2＝－a 2－b 2－ab ＝－［（a ＋2b ）2＋432b ］≤0．∴ab +bc +ca ≤0.培养能力5.设a +b +c =1，a 2+b 2+c 2=1且a ＞b ＞c . 求证：－31＜c ＜0.证明：∵a 2+b 2+c 2=1，∴（a +b ）2－2ab +c 2=1.∴2ab =（a +b ）2+c 2－1=（1－c ）2+c 2－1=2c 2－2c .∴ab =c 2－c .又∵a +b =1－c ，∴a 、b 是方程x 2+（c －1）x +c 2－c =0的两个根，且a ＞b ＞c . 令f （x ）=x 2+（c －1）x +c 2－c ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-⇒>->.0031210）（c f c c c Δ6.已知ac b 22-=1，求证：方程ax 2+bx +c =0有实数根. 证明：由a cb 22-=1，∴b =22c a +. ∴b 2=（2a+2c ）2=22a +2ac +2c 2=4ac +（2a －2c ）2≥4ac .∴方程ax 2+bx +c =0有实数根.7.设a 、b 、c 均为实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1. 证明：∵a 、b 、c 均为实数，∴21（a 21＋b 21）≥ab21≥b a +1，当a =b 时等号成立；21（b 21＋c 21）≥bc21≥c b +1，当b =c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca21≥a c +1． 三个不等式相加即得a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+ba +1，当且仅当a =b =c 时等号成立. 探究创新8.已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a +b =c +d =1，ac +bd ＞1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数. 证明：假设a 、b 、c 、d 都是非负数， ∵a +b =c +d =1，∴（a +b ）（c +d ）=1.∴ac +bd +bc +ad =1≥ac +bd .这与ac +bd ＞1矛盾. 所以假设不成立，即a 、b 、c 、d 中至少有一个负数. ●思悟小结1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，两法结合在证明不等式中经常遇到.4.构造函数利用单调性证不等式或构造方程利用“Δ≥0”证不等式，充分体现相关知识间的联系.●教师下载中心 教学点睛1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.拓展题例【例1】 已知a 、b 为正数，求证：（1）若a +1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax +1-x x＞b 成立； （2）若对于任何大于1的正数x ，恒有ax +1-x x＞b 成立，则a +1＞b . 分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax +1-x x =a （x －1）+11-x +1+a ≥2a +1+a =（a +1）2. ∵a +1＞b （b ＞0），∴（a +1）2＞b 2. （2）∵ax +1-x x ＞b 对于大于1的实数x 恒成立，即x ＞1时，［ax +1-x x ］min ＞b ， 而ax +1-x x =a （x －1）+11-x +1+a ≥2a +1+a =（a +1）2， 当且仅当a （x －1）=11-x ，即x =1+a1＞1时取等号.故［ax +1-x x ］min =（a +1）2.则（a +1）2＞b ，即a +1＞b .评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除. 【例2】 求证：||1||b a b a +++≤||1||a a ++||1||b b +.剖析：|a +b |≤|a |+|b |，故可先研究f （x ）=xx+1（x ≥0）的单调性. 证明：令f （x ）=xx+1（x ≥0），易证f （x ）在［0，+∞）上单调递增. |a +b |≤|a |+|b |，∴f （|a +b |）≤f （|a |+|b |），即||1||b a b a +++≤||||1||||b a b a +++=||||1||||||1||b a b b a a +++++≤||1||||1||b b a a +++.思考讨论1.本题用分析法直接去证可以吗?2.本题当|a +b |=0时，不等式成立；当|a +b |≠0时，原不等式即为||111b a ++≤||1||||1||b b a a +++.再利用|a +b |≤|a |+|b |放缩能证吗?读者可以尝试一下!。
高三数学不等式复习教案同步教案 新人教A版
高 三 数 学（第14讲）一、本讲进度《不等式》复习 二、本讲主要内容 1、不等式的概念及性质； 2、不等式的证明； 3、不等式的解法； 4、不等式的应用。
三、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有： （1）对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； （2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； （4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；（5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
掌握不等式的性质，应注意：（1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号； （2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.在具体条件下选择适当的形式。
3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； （2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
4、 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。
清泉州阳光实验学校高三数学总复习 不等式证明一(比较法)教案
清泉州阳光实验学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式证明一〔比较法〕教材：不等式证明一〔比较法〕目的：以不等式的等价命题为根据，提醒不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教纯熟地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：一、 复习：1．不等式的一个等价命题2．比较法之一〔作差法〕步骤：作差——变形——判断——结论二、作差法：〔P13—14〕1． 求证：x2+3>3x 证：∵(x2+3)3x=043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x2+3>3x2． a,b,m 都是正数，并且a<b ，求证：ba mb m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b+m>0,b a>0∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：假设a>b ，结果会怎样？假设没有“a<b〞这个条件，应如何判断？3． a,b 都是正数，并且a b ，求证：a5+b5>a2b3+a3b2证：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5 a3b2)+(b5 a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(a b)2(a2+ab+b2)∵a,b 都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0 又∵a b ，∴(a b)2>0∴(a+b)(a b)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b24． 甲乙两人同时同地沿同一道路走到同一地点，甲有一半时间是是以速度m 行走，另一半时间是是以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，假设m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间是是分别是t1,t2， 那么：21122,22t n S m S S n t m t =+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S,m,n 都是正数，且m n ，∴t1t2<0即：t1<t2从而：甲先到到达指定地点。
1091-高中数学必修五《不等式复习》教案
不等式复习第一课时 不等式性质【复习目标】熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”【复习重点】不等式性质应用【复习难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题【复习过程】不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且一、基本练习1、若0<<b a ，则下列不等关系正确的是( ) (A) b a 11> (B)ab a 11>- (C)||||b a > (D)22b a > 2、已知,0<<a x 则下列不等式一定成立的是( )(A)02<<ax x (B)22a ax x >> (C)022<<a x (D)ax a x ><223、“3041<<<+<ab b a 且”是“3110<<<<b a 且”成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件4、如果2416,4230<<<<y x ，则y x 2-的取值范围是 .yx 的取值范围是 .5、已知dc b ad c b a =>>>>,0，试比较d a + c b +(用不等号填空) 6、若b a R b a ≠∈且,，则下列不等式恒成立的是( )(A)2323b ab a >+ (B)322355b a b a b a +>+(C))1(222--≥+b a b a (D)2>+ab b a 7、已知2,=++>>z y x z y x 且，则下列不等式恒成立的是( )(A)yz xy > (B)yz xz > (C)xz xy > (D)||||y z y x >二、典型例题分析〖例1〗若0<<y x ，试比较))(())((2222y x y x y x y x +--+与的大小〖例2〗已知c ax x f -=2)(满足5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ，求)3(f 的取值范围.巩固：已知βα,满足⎩⎨⎧≤+≤≤+≤-βαβα2111，试求βα3+的取值范围. 〖例3〗在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，011>=b a ，033>=b a ，31a a ≠，试比较55b a 与的大小.【课堂小结】不等式的性质和不等式的意义是解证不等式的理论依据，应熟练掌握，在运用不等式的性质解题时要注意运用分类讨论、等价转化和函数思想，运用时特别注意乘法法则的限制条件【课外作业】： 南师大P84/典型例题1、2、3，P85/课外作业3、5第二课时 均值不等式【复习目标】明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【复习重点】均值不等式的应用【复习难点】利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【复习过程】二元均值不等式：依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”三元均值不等式：依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n (即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)一、基本练习1、已知：b n m a y x =+=+2222,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)222b a + (D)222b a + 2、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)13、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 .5、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .6、设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++b a b a (B) ab abb a 222≥+ (C)21≥+abab (D)ab b a ab ≤+2 7、设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ ８、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .９、若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) (A)18 (B)6 (C)32 (D)432二、典型例题分析〖例1〗若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a 〖例2〗某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中0>>q p经两次提价后，哪一种方案的提价幅度最大？为什么？〖例3〗是否存在常数c ，使得不等式yx y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论.注：考虑y x =的特殊情况.【课堂小结】均值不等式是证明不等式及求解最值的基本方法之一，但是在求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值，这一点请务必注意.【课外作业】：1、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---z y x 2、在某两个正数y x ,之间插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列；若插入两个数c b ,，使y c b x ,,,成等比数列，求证：)1)(1()1(2++≥+c b a3、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求425)1)(1(≥++b b a a . 4、证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+ 不等式证明不等式证明的常用方法有：比较法：通常有作差比较、作商比较两种；综合法：从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式；分析法：从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为“执果索因”放缩法：其基本原理是不等式的传递性，关健要掌握放缩的“度”，目前考得相当少,即使考到的话也往往是也可用其它方法处理的类型.第三课时 不等式性质应用及证明(1)【复习目标】熟悉证明不等式的几种常方法，能熟练应用比较法证明不等式和用分析法寻求证明不等式的基本思路.【复习重点】比较法证明不等式.【复习难点】不等式证明思路的寻求.【复习过程】一、基本练习1、设n m ≠，4334,n m n y n m m x -=-=，则y x ,的大小关系为( )(A)y x > (B)y x = (C)y x < (D)与n m ,的取值有关2、设,,,,,,+∈R n m d c b a cd ab P +=，mb nc ma Q ⋅+=，则( ) (A)Q P ≥ (B)Q P ≤ (C)Q P > (D)Q P <3、设命题甲：“50<<x ”，命题乙：“3|2|<-x ”，那么( )(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件 (D)甲既不是乙的充分条件又不是必要条件4、已知c b a ,,是三角形ABC 的三边，b b a a P +++=11，cc Q +=1，则 (A)Q P > (B)Q P < (C)Q P ≥ (D)Q P ≤5、若2,,,b a B b a A R b a +=+=∈+且，则B A 与的大小关系为 . 6、若+∈+=+=R x x x B x A ,2,21234，则B A 与的大小关系为 .7、设y x ,是满足202=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是( )(A)50 (B)2 (C)5lg 1+ (D)1二、典型例题分析〖例1〗已知,,+∈R b a 求证：22333b a b a +<+注：对于二次三项式或二次齐次式的恒正、恒负的判定一般通过配方法处理. 〖例2〗设,,R b a ∈且1≥+b a ，求证：1333≥++ab b a〖例3〗设同号且n m n m x x f ,1,12)(2=++=，求证：对任意的实数,,b a 恒有： )()()(nb ma f b nf a mf +≥+.【课堂小结】比较法是不等式证明中最重要的一种方法，在比较法中更为常用的是作差比较，其基本步骤为“作差—变形—判定差式的符号”，在判定差式的符号过程中一般应先分解因式把差式化为若干个因式的积或商，再逐个判定各因式的符号，作商比较一般适应于两个式子均为正的情形.至于分析法，其实任何一个问题的求解不可能离开分析。
高三数学一轮复习精品教案2：第2讲 证明不等式的基本方法教学设计
第二节 证明不等式的基本方法考纲传真了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：(基本不等式)如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b ．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．1．(教材改编题)已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的反设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a 、b 、c 不全是正数D ．abc ＜0『解析』 a ＞0，b ＞0，c ＞0的否定是：a ，b ，c 不全是正数． 『答案』 C2．四个不相等的正数a 、b 、c 、d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d 2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2与bc 的大小不确定『解析』 ∵a ＋d ＝b ＋c ，且正数a ，b ，c ，d 不相等． ∴a ＋d 2＝b ＋c2＞bc . 『答案』 A3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 间的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．a >c >b 『解析』 由42＋2>46＋2>47＋3，得a >c >b . 『答案』 D 4．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．m ≤n『解析』 ∵|a |＋|b |≥|a ＋b |， ∴n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥1，又|a |－|b |≤|a －b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤1，因此n ≥m .『答案』 D5．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．『解析』 由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．『答案』 4比较法证明不等式已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 『思路点拨』 (1)作差变形，化为因式乘积的形式；(2)注意到a ＋b ＞0也可作商，转化为判定商值与1的大小．『尝试解答』 法一 ∵(a b ＋ba)－(a ＋b ) ＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝（a －b ）（a －b ）ab ＝（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，∴a b ＋ba ≥a ＋b .法二 由于a b ＋ba a ＋b ＝a a ＋b bab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a －ab ＋b ）ab （a ＋b ）＝a ＋b ab －1≥2abab－1＝1.又a ＞0，b ＞0，ab ＞0. ∴a b ＋ba≥a ＋b .,1．在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a ＞b 转化为证明ab＞1(b ＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．『证明』 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2) ＝(a 3－a 2ab )＋(b 3－b 2ab ) ＝a 2a (a －b )－b 2b (a －b ) ＝(a －b )(a 5－b 5)． 当a ≥b ≥0时，a ≥b 且a 5≥b 5， 当b ＞a ≥0时，a ＜b 且a 5＜b 5， ∴a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)≥0， ∴a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).综合法证明不等式(2013·大连调研)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．『思路点拨』 考虑待证不等式的结构特征，a 2＋b 2＋c 2与1a ＋1b ＋1c 分别运用基本不等式；相加后，再用基本不等式，并根据等号成立的条件确定a ，b ，c 的值．『尝试解答』 因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以(1a ＋1b ＋1c )2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立； 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．因此当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．,1．综合法证明的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法证明不等式，利用已证的不等式为基础，例如：a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，|a ＋b |≤|a |＋|b |及其变形等，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．(2013·徐州模拟)设a 、b 、c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.『证明』 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥3 31a 3·1b 3·1c 3， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc.所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .又3abc＋abc ≥2 3abc·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.分析法证明不等式已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.『思路点拨』 观察待证不等式两边的特征：①左边是无理式，右边是有理式．②两边均非负．可考虑用分析法，通过平方寻找它成立的充分条件．『尝试解答』 要证原不等式，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2，∵a >0，∴两边均大于零． 因此只需证a 2＋1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22(a ＋1a)，只需证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需证2(a 2＋1a 2)≥a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a 2≥2，又a 2＋1a 2≥2显然成立，∴原不等式成立．,,\x(\a\al( 1.(1)分析法是寻找结论成立的充分条件，对于无理不等式去根号，分式不等式去分母，采用分析法是常用方法．(2)此题证明的关键是在两边非负的条件下平方去根号．,2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q ⇐P 1))→P 1⇐P 2)→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件.ＫＫ(2013·盐城调研)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m.『证明』 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0. 欲证(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m 成立．只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 只要证明a 2－2ab ＋b 2≥0，又a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0显然成立， 故(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m.不等式其他证明方法已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.『思路点拨』 当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明． 『尝试解答』 假设三式同时大于14，即b －ab ＞14，c －bc ＞14，a －ac ＞14.三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164.①∵0＜a ＜1，∴(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14.同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.又(1－a )a ，(1－b )b ，(1－c )c 均大于零． ∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，②因此①式与②式矛盾．故假设不成立，即原命题成立．,1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法． 2．凡涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．设m 是|a |、|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋bx2|＜2.『证明』 ∵m 是|a |，|b |和1中的最大的一个． ∴|x |＞m ≥1，|x |＞m ≥|b |， ∴|x 2|＞m 2＞|b |. 又|x |＞m ≥|a |， 因此|a x ＋b x 2|≤|a x |＋|b x 2|＝|a ||x |＋|b ||x 2|＜|x ||x |＋|x 2||x 2|＝2.一种原则“正难则反”原则．当直接证明有困难时，常采用反证法．一个程序反证法证明步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)利用假设进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．两种方法1.分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(结论)．(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．2．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(已知)．(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．从近两年高考命题看，做为新课标选考的重要内容，不等式证明严格按考试说明要求命题，试题难度不超过中等．着重考查比较法、综合法与分析法证明不等式，在证明中要注意放缩法的应用．创新探究之十四新定义型不等式及其证明(2013·常州质检)若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m.(1) 若x2－1比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab.『规范解答』(1)由题意知|x2－1－0|＞|1－0|，即|x2－1|＞1，所以x2－1＜－1或x2－1＞1，解得x＞2或x＜－2，所以x的取值范围是{x|x＞2或x＜－2}．(2)要证明a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab ab，即证|a3＋b3－2ab ab|＞|a2b＋ab2－2ab ab|，因为a ≠b ，故a 2b ＋ab 2＞2a 2bab 2＝2ab ab ， a 3＋b 3＞2a 3b 3＝2ab ab .所以只需证a 3＋b 3－2ab ab ＞a 2b ＋ab 2－2ab ab . 即证明a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＞0， 化简得(a －b )2(a ＋b )＞0显然成立， 所以a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .创新点拨：(1)本题是在题设情境上进行创新，定义新概念“x 比y 远离m ”；(2)注重新知识的接受、迁移能力，是对再学习能力的很好考查，并考查绝对值不等式的解法及不等式的证明．应对措施：(1)认真审题，吃透概念，抓住“x 比y 远离m ”，建立不等式；(2)“万变不离其宗”，增强自信，平时强化迁移能力的培养，善于把“新概念”，“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行操作．1．(2013·合肥调研)若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.『解析』 令a ＝b ＝1，排除②④； 由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确． 『答案』 ①③⑤2．(2013·济南模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b >2，求证：1＋b a ，1＋ab 中至少有一个小于2.『证明』 假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab ≥2，∵a >0，b >0，∴1＋b ≥2a ，1＋a ≥2b ， 两式相加可得1＋b ＋1＋a ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤2. 这与已知a ＋b >2矛盾，故假设不成立． 因此，1＋b a ，1＋ab 中至少有一个小于2.。
人教版上学期高三数学文科 不等式复习 不等式证明 教案
2005-2006年上学期高三数学文科 不等式复习 不等式证明一. 考试内容：不等式，不等式的基本性质，不等式证明，不等式的解法，含绝对值的不等式。
二. 考试要求：1. 理解不等式的性质及其证明。
2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单的应用。
3. 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
4. 掌握不等式的解法。
5. 理解不等式ba b a b a +≤+≤-【典型例题】[例1] 设0>a ，1≠a ，)1(1)(2nna a a a n f --=，*N n ∈，2≥n ，求证：n n f >)( 证明：原不等式等价于12211-⋅>--n n a n a a224222111-++++=--n n a a a a a ，设22421-++++=n a a a S 22421-++++=n a a a S 1624222++++=--- n n n a a a S以上两式相加，则有)1()()()1(26262442222++++++++=----n n n n a a a a a a S 由均值不等式定理，则有12221-->+n n a a14222-->+n n a a a… …12221-->+n n a a以上各式相加，则有122->n na S 即1->n na S 得证[例2] 已知b a ,均为正数，求证：133≥+++a b bb a a证明：要证133≥+++a b bb a a ，只需证)3)(3()3()3(a b b a b a b a b a ++≥+++只需证)3)(3()3)(3(2)3()3(a b b a b a a b ab b a b a b a ++≥++++++ 即证ab b a a b ab 4)3)(3(≥++ 只需证：ab b a a b 16)3)(3(≥++即证ab b a ab 16331022≥++ 也即证：ab b a 222≥+以上不等式成立，原不等式得证[例3] 已知实数c b a ,,，满足210≤≤≤<c b a ，求证：)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤- 证明：由)](1)[()1()1(a c a c a a c c +--=---由a c ≥，则0≥-a c 由]21,0(,∈a c ，则0)(1≥+-a c 故0)](1)[(≥+--a c a c 所以0)1()1(>-≥-a a c c则)1(1)1(1a a c c -≤-，同理)1(1)1(1b b c c -≤- 故)1(1)1(1)1(2b b a a c c -+-≤-又由)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -----+-0)1111)(11(≤----=b a b a 则)1(1)1(1)1(1)1(1a b b a b b a a -+-≤-+- 所以)1(1)1(1)1(2a b b a c c -+-≤-得证[例4] 设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0>a ），方程0)(=-x x f 的两根1x ，2x 满足a x x 1021<<<。
高中数学教案不等式
高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。
教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。
教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。
教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。
二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。
三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。
四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。
五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。
六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。
七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。
教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。
要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。
高三数学总复习 第三章 不等式教案
芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：第三章不等式 教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，理解并会证明不等式的根本性质ⅠⅡ。
过程：一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称〔例略〕1．“同向不等式与异向不等式〞2．“绝对不等式与矛盾不等式〞三、不等式的一个等价关系〔充要条件〕1．从实数与数轴上的点一一对应谈起2．应用：例一比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：〔取差〕)5)(3(-+a a )4)(2(-+a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二x 0,比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：〔取差〕22)1(+x)1(24++x x ∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三比较大小1．231-和10解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++),,(+∈R m b a 解：〔取差〕a b m a m b ++)()(m a a a b m +-=∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小 解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：假设b a>，那么a b <；假设a b <，那么b a >〔对称性〕 证：∵b a >∴0>-b a 由正数的相反数是负数2．性质2：假设b a>，c b >那么c a >〔传递性〕 证：∵b a >，c b >∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数∴+-)(b a 0)(>-c b 0>-c a ∴c a >由对称性、性质2可以表示为假设b c <且a b <那么a c <五、小结：1．不等式的概念2．一个充要条件3．性质1、2六、作业：P5练习P8习题1—3补充题：1．假设142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -=22y x +201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin 与sin2的大小(0<<2)略解：2sin sin2=2sin (1cos )当(0,)时2sin (1cos )≥02sin ≥sin2当(,2)时2sin (1cos )<02sin <sin2 3．设0>a且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小 解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a。
湖南省师范大学附属中学高三数学总复习 不等式证明教案
湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式证明教材：不等式证明综合练习目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程：一、 简述不等式证明的几种常用方法比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
解一：[][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xxx aa +--=11log )1(log 2∵0 < 1 - x 2< 1, 1110<+-<x x ∴011log )1(log 2>+--xx x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-解二：2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log xxx x x x x xx x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(log 121x x --=+∵0 < 1 - x 2< 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++- ∵0 < 1 - x 2< 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-变题：若将a 的取值范围改为a > 0且a ≠ 1，其余条件不变。
高三数学总复习 不等式证明的基本方法教案
城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习不等式证明的根本方法教案A版选修4-41.设a、b∈R＋，试比较与的大小．解：∵()2－＝≥0，∴≥.2.假设a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解：(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为.3.设a、b、m∈R＋，且<，求证：a＞b.证明：由<，得－＝＜0.因为a、b、m∈R＋，所以b－a＜0，即b＜a.4.假设a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．解：∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.5.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈N*)的过程中，用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k 时左边的代数式的结果是A，求代数式A.解：当n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋，故左边增加的式子是＋－，即A＝.1.不等式证明的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式的一种最根本的方法，也是一种常用方法，根本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细表达．(2)综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的根本不等式出发，不断用必要条件交换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果〞，在使用综合法证明不等式时，常常用到根本不等式．(3)分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件交换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因〞．2.不等式证明的其他方法和技巧(1)反证法从否认结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2)放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或者者缩小，借助一个或者者多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用传递性到达证明的目的．(3)数学归纳法[备课札记]题型1用比较法证明不等式例1求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.证明：∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0.∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.a>0，b>0，求证：＋≥＋.证明：(证法1)∵－(＋)＝＋＝＋＝＝≥0，∴原不等式成立．(证法2)由于＝＝＝－1≥－1＝1.又a>0，b>0，>0，∴＋≥＋.题型2用分析法、综合法证明不等式例2x、y、z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.证明：(证法1：综合法)因为x、y、z都是正数，所以＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.(证法2：分析法)因为x、y、z均为正数，要证＋＋≥＋＋.只要证≥，只要证x2＋y2＋z2≥yz＋zx ＋xy，只要证(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0，而(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．a>0，求证：－≥a＋－2.证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．题型3均值不等式与柯西不等式的应用例3求证：≥.证明：∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴≥，即≥.假设实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，求x2＋y2＋z2的最小值．解：∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．证明：(1)当n＝5时，25>52，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N，k≥5)时，结论成立，即有2k>k2，那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝2·2k>2·k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)2＝右边.∴也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．∴由(1)、(2)可知，不等式2n>n2对n∈N，n≥5时恒成立．例4求函数y＝＋的最大值．解：∵y2＝(＋·)2≤[12＋()2](1－x＋2＋x)＝3×3，∴y≤3，当且仅当＝时取“＝〞号，即当x＝0时，ymax＝3.(2021·改编)设x、y∈R，求的最小值．解：由柯西不等式，得≥(1＋2)2＝9.∴的最小值为9.1.(2021·)a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm＋an)的最小值．解：利用柯西不等式求解，(am＋bn)(an＋bm)≥(＋)2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且仅当＝m＝n时取最小值2.2.(2021·)设x、y、z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z的值．解：由柯西不等式可知(x＋2y＋3z)2＝14≤(x2＋y2＋z2)·(12＋22＋32)，因为x2＋y2＋z2＝1，所以当且仅当＝＝时取等号．此时y＝2x，z＝3x代入x＋2y＋3z＝得x＝，即y＝，z＝，所以x＋y＋z＝.3.(2021·)a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－2ab2＋a2b＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，又a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b≥0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.4.(2021·新课标Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.1.正数a、b、c满足abc＝1，求证：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.证明：(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3··3··3·＝27·＝27(当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立)．2.函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)假设a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＋＋＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.3.x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)假设2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)假设2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．解：(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)(＋＋)≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当＝＝时取“＝〞．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.4.(1)求函数y＝＋的最大值；(2)假设函数y＝a＋最大值为2，求正数a的值．解：(1)∵(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8,∴＋≤2.当且仅当1·＝1·即x＝3时，ymax＝2.(2)(a＋)2＝2≤(a2＋4)(x＋1＋－x)＝(a2＋4)，由(a2＋4)＝20得a＝±2，又∵a>0，∴a＝2.1.算术—几何平均不等式假设a1，a2，…，an∈R＋，n>1且n∈N*，那么叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数．根本不等式：≥(n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)．2.绝对值三角形不等式假设a、b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.推论1：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.推论2：假设a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3.柯西不等式假设a、b、c、d为实数，那么(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.4.三角不等式设x1、y1、x2、y2∈R，那么＋y)＋＋y)≥.[备课札记]。
高三数学一轮复习教案第20讲 不等式性质及证明
∵，＞，＞，∴，＜ ，＜ ，
显然当且仅当，即 时，等号成立。
证法三：(比较法)
∵，＞，＞，∴≥ ，∴≤ ，
综合法证明不等式的逻辑关系是： ，及从已知条件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论。
（）分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。
推论：如果 ，那么 。
定理：如果 ，那么 。
．基本不等式
定理：如果 ，那么 （当且仅当 时取“”）。
说明：（）指出定理适用范围： ；（）强调取“”的条件 。
定理：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“”）
说明：（）这个定理适用的范围： ；（）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
定理．如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。
推论：如果 且 ，那么 。
说明：（）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（）推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。
．常用的证明不等式的方法
（）比较法
比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。
（）综合法
利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。
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湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：不等式证明 教材：不等式证明综合练习
目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程：
一、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
二、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的
大小。
解一：[][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+-- x
x x a a +--=11log )1(log 2
∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-<x x ∴011log )1(log 2>+--x x x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-
解二：2
111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(log 121x x --=+
∵0 < 1 - x 2
< 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-
解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a
∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++-
∵0 < 1 - x 2
< 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-
变题：若将a 的取值范围改为a > 0且a ≠ 1，其余条件不变。
例二、已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd 证一：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数
∴要证：xy ≥ac + bd
只需证：(xy )2≥(ac + bd )2
即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd
展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd
即： a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立
∴xy ≥ac + bd
证二：（综合法）xy =22222222222
2d b d a c b c a d c b a +++=++ ≥bd ac bd ac d
b abcd
c a +=+=++22222)(2
证三：（三角代换法） ∵x 2 = a 2 + b 2
，∴不妨设a = x sin α, b = x cos α y 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β
∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β)≤xy
例三、已知x 1, x 2均为正数，求证： 2
2122
2121211⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+++x x x x 证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：
4214
112112122212221
2221x x x x x x x x +++≥++++++ 即：2122211)1)(1(x x x x +≥++
再平方：2
22121222121)1)(1(x x x x x x ++≥++ 化简整理得：2122212x x x x ≥+ （显然成立） ∴原式成立 证二：（反证法）假设22122
21212
11⎪⎭⎫ ⎝⎛++<+++x x x x 化简可得：2122212x x x x <+ （不可能）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形ABCD ，
使AB = CD = 1, BP = x 1, PC = x 2
当∠APB = ∠DPC 时，AP + PD 为最短。
取BC 中点M ，有∠AMB = ∠DMC , BM = MC =221x x + ∴ AP + PD ≥ AM + MD
即：2
212212*********⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+++x x x x x x ∴22122
2121211⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≥+++x x x x 三、 作业： 2000版 高二课课练 第6课 四、。