矩形菱形练习题及答案

矩形、菱形

知识考点：理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。 精典例题：

【例1】如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠EAC 的度数。

分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。 解略，答案450。

例1图

E O

D

C

B

A

例2图

F

E

D

C

B A

例3图

【例2】如图，已知菱形ABCD 的边长为3，延长AB 到点E ，使BE ＝2AB ，连结EC 并延长交AD 的延长线于点F ，求AF 的长。

分析：本题利用菱形的性质，结合平行线分线段成比例的性质定理，可使问题得解。 解略，答案AF ＝4.5。

【例3】如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 上的一动点，DE ⊥AM ，垂足为E ，3AB ＝2BC ，并且AB 、BC 的长是方程02)2(2

=+--k x k x 的两根。

（1）求k 的值；

（2）当点M 离开点B 多少时，△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请说明理由。 分析：用韦达定理建立线段AB 、AC 与一元二次方程系数的关系，求出k 。

略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ，AB ·BC ＝k 2，又由BC ＝

2

3

AB 可消去AB ，得出一个关于k 的一元二次方程0123732

=+-k k ，解得1k ＝12，2k ＝3

1，因

AB ＋BC ＝2-k ＞0，∴k ＞2，故2k ＝3

1

应舍去。

（2）当k ＝12时，AB ＋BC ＝10，AB ·BC ＝k 2＝24，由于AB ＜BC ，所以AB ＝4，

BC ＝6，由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM 。易证△AED ∽△MBA 得MB AE

＝AM

AD ，

设AE ＝a 3，AM ＝a 4，则MB ＝2

2a ，而AB 2＋BM 2＝AM 2，故2

4

2

1644a a =+，解得2

a ＝2，MB ＝2

2a ＝4。即当MB ＝4时，DEM AED S S ∆∆=3。

评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化，这类综合题既有几何证明中的分析和推

理，又有代数式的灵活变换、计算，其解题过程层次较多，步骤较复杂，书写过程也要加强训练。

探索与创新：

【问题一】如图，四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝35-，CD ＝6，且∠ABC ＝

1350，∠BCD ＝1200，你知道AD 的长吗？

分析：这个四边形是一个不规则四边形，应将它补割为规则四边形才便于求解。 略解：作AE ⊥CB 的延长线于E ，DF ⊥BC 的延长线于F ，再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350，∴∠ABE ＝450

∴△ABE 是等腰直角三角形

又∵AB ＝6，∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200，∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6，CF ＝3，DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8，FG ＝AE ＝3 从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中，∠AGD ＝900

∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192

【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE 是什么图形，并证明你的猜想。

分析与结论：本题根据题设并结合图形猜想该四边形是等腰梯形，利用对称及全等三角形的有关知识易证。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。

2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm ，则较短的对角线长是 cm 。

3、如图，矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若AE ⊥BD 于E ，且OE ∶OD ＝1∶2，AE ＝3cm ，则DE ＝ cm 。

4、如图，P 是矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝ 。

5、如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝600，∠BAE ＝200，则∠CEF ＝ 。

第3题图

E O D

C

B

A

第4题图

5

43

P D

C

B

A 第5题图

F

E

D

C B

A

二、选择题：

6、在矩形ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，使EFGH 为矩形，则这样的矩形（ ）

问题一图

G

D

问题二图

A 、仅能作一个

B 、可以作四个

C 、一般情况下不可作

D 、可以作无穷多个

7、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝12cm ，P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，二点同时出发，待P 点到达D 点为止，在这段时间内，线段PQ 有（ ）次平行于AB 。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

•

•

第7题图

Q

P

D

C

B

第8题图

G

F

E

D

C

B

A

8、如图，已知矩形纸片ABCD 中，AD ＝9cm ，AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（ ）

A 、4cm 、10cm

B 、5cm 、10cm

C 、4cm 、32cm

D 、5cm 、32cm

9、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（ ）

A 、①②

B 、③④

C 、③

D 、①②③④

10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、等腰梯形 三、解答题：

11、如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上一点，AF 的延长线交DC 的延长线于点G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

第11题图

G F

E

D

C

B

A

第12题图

E

B

A

第13题图

C

12、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，∠BAC 的平分线AE 交CD 于F ，EG ⊥AB 于G ，求证：四边形GECF 是菱形。

13、如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF 。请回答下列问题（不要求证明）：

（1）四边形ADEF 是什么四边形？

（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？

（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？