离散数学疑难解析——集合论部分
离散数学总结
离散数学总结离散数学学习总结一、课程内容介绍：1．集合论部分：集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。
只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。
直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。
例如B和C 是不相交的。
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交：A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}2．关系二元关系也可简称为关系。
对于二元关系R，如果∈R，可记作xRy；如果R，则记作x y。
例如R1={<1,2>,}，R2={<1,2>,a,b}。
则R1是二元关系，R2不是二元关系，只是一个集合，除非将a和b定义为有序对。
根据上面的记法可以写1R12，aR1b，aR1c等。
给出一个关系的方法有三种:集合表达式，关系矩阵和关系图。
设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。
如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改得到新的关系R'，使得R'具有自反性。
但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。
满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。
通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。
3．代数系统代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。
抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。
离散数学第1章 集合论
当n无限增大时，可以记为：
Ai
i1
iZ
Ai
＝A1∪A2∪A3∪…
Ai
i1
iZ
A
i＝
A1∩A2∩A3∩…
2023/12/1
定理1.2.5
1.等幂律:Ａ∪Ａ=Ａ；Ａ∩Ａ=Ａ； 2.交换律:Ａ∪Ｂ=Ｂ∪Ａ;Ａ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ 3.结合律:Ａ∪(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∪Ｃ；
Ａ∩(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∩Ｃ； 4.恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ； 5.零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ； 6.分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
定理1.2.2 设A、B是任意两个集合，则 AB，BA A=B
2023/12/1
真包含关系
定义1.2.2 设A,B是任意两个集合，如果 BA并且A≠B
则称B是A的真子集(Proper Subset)，记作BA， 称 “ ” 为 真 包 含 关 系 (Properly Inclusion Relation)。 如果B不是A的真子集，则记作B A。
1.2.1 集合的表示方法
集合是由它包含的元素完全确定的，为了表示 一个集合，通常有：
✓ 枚举法 ✓ 隐式法（叙述法） ✓ 归纳法 ✓ 递归指定 ✓ 文氏图
2023/12/1
1、枚举法（显示法）
--列出集合中全部元素或部分元素的方法叫枚举法 适用场景：
一个集合仅含有限个元素 一个集合的元素之间有明显关系
1、互异性－集合中的元素都是不同的，凡是相同的 元素，均视为同一个元素； {1,1,2}={1,2}
2、确定性－能够明确加以“区分的”对象； 3、无序性－集合中的元素是没有顺序的。
{2,1}={1,2}
2023/12/1
例1.2.5
离散数学形考任务2集合论部分概念及性质
离散数学形考任务2集合论部分概念及性质概念在离散数学中，集合论是一个重要的分支。
集合是由对象（元素）组成的全体，这些对象可以是任何事物。
集合论研究集合的性质、操作和关系。
集合集合是指具有相同特性或共同属性的对象的整体。
集合可以用大写字母表示，例如A、B、C。
元素集合中的对象称为元素。
一个元素可以属于一个或多个集合。
子集如果集合A的所有元素也是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集。
用符号A ⊆ B表示。
真子集如果集合A是集合B的子集且集合A不等于集合B，那么集合A是集合B的真子集。
用符号A ⊂ B表示。
并集两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，是包含所有A和B 中元素的集合。
交集两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，是同时属于A和B 的元素构成的集合。
补集给定一个集合U，集合A的补集，表示为A'或A^c，是指属于U但不属于A的元素构成的集合。
性质集合论有一些基本性质和规则，以帮助我们理解和操作集合。
1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩B = B ∩ A。
交换律：对于任意两个集合A和B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩B = B ∩ A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A ∪ B) ∪ C = A∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)。
结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C)。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，A ∪ (B ∩ C) = (A∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。
分配律：对于任意三个集合A、B和C，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。
4. 幂集性质：对于任意集合A，A的幂集是指包含A的所有子集的集合。
2、离散数学-集合论
6.1 集合的基本概念 零星定义：
集合代数
一些事物汇集到一起组成的一个整体称为集合，而 这些事物就是这个集合的元素或成员。 集合通常用大写字母来标记，如N、Z、Q、R、 C。 集合表示方法： 列元素法 A={1,2,3,4,5}
谓词表示法 B={x | x∈N ∧1≤x≤5 }
2007-10-20 1
定义6.6 在一个具体问题中，若所涉及的集合都是某个集合的 子集，则称这个集合为全集，记作E。
2007-10-20
9
第六章
6.2 集合的运算 定义6.7
集合代数
设A，B集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补 集A-B，分别定义如下： A∪B={x|x ∈A ∨ x ∈B} A∩B={x|x ∈A ∧ x ∈B} A - B={x|x ∈A ∧ x ∉ B} 如：A={1,2,3}, B={3,4,5}，C={6,7} 则A∪B、A∩B、A-B、 C∩B、C-B、C-C分别为？？？ 两个集合的并交运算可推广至n个集合： A1∪A2 ∪… ∪An ={x|x ∈A1∨x∈A2∨…∨ x∈An } A1∩A2 ∩ …∩An ={x|x ∈A1 ∧x∈A2∧ …∧ x∈An }
2007-10-20
12
第六章
定义6.10 <了解>
作∪R ，符号化表示为：
集合代数
设R 为集合， R 的元素的元素构成的集合称为R的广义并，记
∪R ={x| ∃z(z∈R ∧x∈z)} 例：设A={{1,2,3},{1,3,4},{1,4,5}}, B={{0}}, 则 ∪A={1,2,3,4,5} ∪B={0} 不难证明：若R ={A1，A2，… ，An}，则 ∪ R = A1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n 特别强调： ∪ φ= φ
离散数学形考任务3集合论部分概念及性质
离散数学形考任务3集合论部分概念及性质本文档将介绍离散数学形考任务3中集合论部分的概念及性质。
以下是相关内容：集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合中的元素可以是任何事物，如数字、字母、符号等。
一般使用大写字母表示集合，元素用小写字母表示，并用大括号{}将元素括起来。
集合的性质1. 互异性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的每个元素只出现一次。
2. 无序性：集合中的元素没有先后之分，元素的排列顺序不影响集合本身。
3. 确定性：一个元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在中间状态。
4. 外延性：两个集合中的元素完全相同，则这两个集合相等。
5. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号{}或∅表示。
集合的运算1. 并集：将两个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
用符号∪表示。
例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。
2. 交集：两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
用符号∩表示。
例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。
3. 差集：从一个集合中排除掉与另一个集合中相同的元素，得到的新集合。
用符号-表示。
例如，A-B表示集合A和集合B的差集。
4. 补集：相对于全集U，集合A在全集U中未包含的元素组成的集合。
用符号A'表示。
例如，A'表示集合A的补集。
应用举例1. 假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}，A∩B = {2, 3}，A-B = {1}。
2. 如果全集U是整数集，A = {x | x > 0}表示大于0的整数集合，补集A' = {x | x ≤ 0}。
以上是离散数学形考任务3集合论部分的概念及性质。
希望本文档能对您有所帮助！。
离散数学中的集合论问题
离散数学中的集合论问题离散数学是一个重要的数学分支，其中集合论问题是离散数学的核心内容之一。
集合论研究的是集合的性质、操作和关系，并提供了一种描述和推理离散对象之间关系的框架。
本文将介绍离散数学中的集合论问题，包括集合的定义、运算、性质以及一些常见的集合论问题。
一、集合的定义和表示方法在离散数学中，集合可以通过定义和表示方法来描述。
集合的定义是指明集合中的元素和满足的条件，通常用大写字母表示。
例如，集合A表示为：A = {1, 2, 3, 4, 5}，表示集合A包含了元素1、2、3、4和5。
除了列举元素的方法表示集合外，还可以通过描述或表示集合中元素的性质来定义集合。
例如，集合B = {x | x 是偶数}表示B是所有偶数的集合。
集合可以用不同的表示方法来表达。
常见的表示方法包括：1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号{}中；2. 描述法：通过描述集合中元素的性质来定义集合，使用竖线或冒号表示；3. Venn图：用图形方式表示集合之间的关系，通常用圆圈或矩形表示集合。
二、集合的运算在集合论中，集合之间可以进行不同的运算，包括并集、交集、差集和补集。
1. 并集：两个集合A和B的并集（A∪B）是包含A和B中所有元素的集合。
符号∪表示并集。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：两个集合A和B的交集（A∩B）是包含A和B中公共元素的集合。
符号∩表示交集。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A∩B = {3}。
3. 差集：集合A减去集合B中的元素形成的集合称为差集（A-B）。
符号-表示差集。
例如，A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A-B = {1, 2}。
4. 补集：在给定的全集中，集合A的补集（A'）是包含全集中不属于A的元素的集合。
符号'表示补集。
离散数学集合论
离散数学集合论离散数学是数学的一个重要分支，主要研究离散结构和关系。
其中，集合论是离散数学的基础部分，它研究集合及其性质和关系。
在计算机科学、数学、逻辑学等领域，集合论都发挥着重要的作用。
集合是具有相同性质的一组元素的组合。
在集合论中，元素可以是任何东西，例如数字、文字、图形等。
集合本身也是一种元素，因此可以形成嵌套集合。
集合的性质和关系是离散数学中的重要概念。
集合的基本性质包括互异性、无序性、明确性和无穷性。
互异性指集合中的元素互不相同；无序性指集合中的元素没有顺序；明确性指集合中的元素必须明确；无穷性指集合可以包含无限个元素。
这些性质是集合的基本特征，也是离散数学中的基础概念。
除了基本性质，集合还具有一些重要的运算和操作。
并集、交集、差集等是常见的集合运算。
并集表示两个或多个集合中所有元素的组合；交集表示两个或多个集合中共有的元素；差集表示在一个集合中去掉另一个集合中的元素后所剩下的元素。
这些运算是离散数学中常用的工具，也是计算机科学和数学中的基本操作。
离散数学集合论在各个领域都有应用。
例如，在计算机科学中，集合论可以用于处理数据结构和关系数据库等问题；在数学中，集合论可以用于研究数理逻辑和代数结构等；在逻辑学中，集合论可以用于研究形式逻辑和推理系统等。
总之，离散数学集合论是数学中的一个重要分支，它研究集合的性质和关系，并在各个领域得到广泛应用。
通过深入了解集合论的基本概念和运算，我们可以更好地理解和应用离散数学的相关知识。
离散数学及应用离散数学及其应用离散数学是数学的一个重要分支，主要研究离散结构（如自然数、整数、图论、逻辑等）的数学规律和性质。
它的应用领域十分广泛，包括计算机科学、电气工程、物理学、化学、生物学、经济学等。
离散数学在各个领域都有着重要的作用和应用价值。
在计算机科学中，离散数学是基础课程之一。
它为程序设计语言、数据结构、算法分析等方面提供了数学基础。
离散数学中的图论为解决网络优化、软件工程等问题提供了理论支持。
离散数学PPT教学课件 集合论ppt2
-3/3
[6]
0/2 0/3 0/4
[2]
→
-3/1[11]…
3/2[12]…
1/3[8] 1/4[14]
2/3[9]
3/3…
3/4[13]…
-3/4[16]
-2/4
-1/4[15]
2/4
所以，有理数集合必是可数集合。
2018/7/1
67-30
习题类型
1. 基本概念题：涉及集合的表示；
2. 判断题：涉及元素与集合、集合与集合间的关 系； 3. 计算题：涉及集合的运算和幂集的计算； 4. 证明题：涉及集合相等以及集合间包含关系的 证明。
2018/7/1
67-31
2018/7/1
可数集合(可列集）
定义 1.3.2 凡是与自然数集合等势的集合， 统称为可数集合 ( 可列集 )(Countable Set ) 。可 数集合记为：א0 (读作阿列夫零) 。
例1.3.1 下列集合都是可数集合： 1)O+＝{x|xN，x是正奇数}; 2)P＝{x|xN，x是素数}; 3)有理数集合Q.
67-8
定理1.3.1
两个有限集合等势当且仅当它们有相同 的元素个数； 有限集合不和其任何真子集等势；
可数集合可以和其可数的真子集等势。
2018/7/1
67-9
不可数集合
定义1.3.3
开区间 (0,1) 称为不可数集合，其基数设为 (א读作阿列夫)；
凡是与开区间 (0,1) 等势的集合都是不可数 集合。
2018/7/1 67-12
1.4
离散数学疑难解析——集合论部分
离散数学疑难解析——集合论部分第一章 集合[集合的知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（Venn ）图3、序偶与迪卡尔积[集合的疑难解析]1．集合的概念因为集合的概念大家在中学阶段已经学过，这里只多介绍了一个幂集的概念，所重点要对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一个集合A 的幂集是由A 的所有子集组成的集合。
二是掌握幂集元数为2n ，其中n 是集合A 的元素个数。
2．集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
第二章 关系与映射[二元关系的知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数[二元关系疑难解析]1．关系的概念关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。
因此，大家应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2．关系的性质及其判定关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。
这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。
如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。
另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若()()()R a a R a a R a a i i ∈∈∈-,,,,,,13221 ，则()R a a i ∈,1。
《离散数学》第3章集合
(5) A B (6) ~ (A B)
{2, 4,5} {3}
(7) (A B) ~ C
{1, 3, 5}
(8) (A B) (A C) {1, 4}
二、文氏图 (John Venn)。
1、文氏图。
(1) 用大矩形表示全集 E，
(2) 矩形内的圆表示集合， (3) 除特殊情形外，一般表示两个集合的圆是相交的， (4) 圆中的阴影的区域表示新组成的集合。
其中 A, B 分别表示 A、B的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定
理表述：
设A1, A2 , A为n 有限集合，其元数分别为 A1 , A2 ,, An ，则
n
A1 A2 An Ai Ai Aj
Ai Aj Ak
i 1
1i jn
解： P(A) ,{,2},{2}, A
第二节 集合的运算
内容： 集合的运算，文氏图，运算律。 重点：(1) 掌握集合的运算
A B, A B, A B, ~ A, A B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算，
(3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。
例1、 ，A 0,1, B a,b,c
求 A B，B A，A A，A， B。
解：A B 0, a , 0,b , 0, c , 1, a , 1,b , 1,c
(1) A 解： P(A) {}
(2) A {} 解： P(A) {, A}
(3) A ,{}
解：P(A) ,{},{}, A
(4) A 1,{2,3}
解：P(A) ,{1},{2,3}, A
(5) A {, 2},{2}
离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
18
• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结
离散数学第三章集合的基本概念和运算知识点总结集合论部分第三章、集合的基本概念和运算3.1 集合的基本概念集合的定义与表⽰集合与元素集合没有精确的数学定义理解：⼀些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表⽰列元素法A={ a, b, c, d }谓词表⽰法B={ x | P(x) }B 由使得P(x) 为真的x构成常⽤数集N, Z, Q, R, C 分别表⽰⾃然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意0 是⾃然数.元素与集合的关系：⾪属关系属于∈，不属于?实例A={ x | x∈R∧x2-1=0 }, A={-1,1}1∈A, 2?A注意：对于任何集合A 和元素x (可以是集合)，x∈A和x?A 两者成⽴其⼀，且仅成⽴其⼀.集合之间的关系包含（⼦集）A?B??x (x∈A→x∈B)不包含A?B??x (x∈A∧x?B)相等A = B?A?B∧B?A不相等A≠B真包含A?B?A?B∧A≠B不真包含A?B思考：≠和?的定义注意∈和?是不同层次的问题空集?不含任何元素的集合实例{x | x2+1=0∧x∈R} 就是空集定理空集是任何集合的⼦集Ax (x∈?→x∈A) ?T推论空集是惟⼀的.证假设存在?1和?2，则?1??2 且?1??2，因此?1=?2全集E 相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即?A (A?E )幂集定义P(A) = { x | x?A }实例P(?) = {?}，P({?}) = {?,{?}}P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数如果|A| = n，则|P(A)| = 2n3.2 集合的基本运算集合基本运算的定义??-~⊕并A?B = { x | x∈A∨x∈B }交A?B = { x | x∈A∧x∈B }相对补A-B = { x | x∈A∧x?B }对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)= (A?B)-(A?B)绝对补~A = E-A⽂⽒图（John Venn）关于运算的说明运算顺序：~和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推⼴到有穷个集合上，即A1?A2?…A n= {x | x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈A n}A1?A2?…A n= {x | x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈A n}某些重要结果A-B?AA?B ?A-B=?（后⾯证明）A?B=??A-B=A命题演算法证X?Y：任取x ，x∈X?… ?x∈Y 例3 证明A?B?P(A)?P(B)任取xx∈P(A) ?x?A?x?B ? x∈P(B)任取xx∈A ? {x}?A ? {x}∈P(A) ? {x}∈P(B){x}B x∈B包含传递法证X?Y：找到集合T 满⾜X?T 且T?Y，从⽽有X?Y例4 A-B ? A?B证A-B ? AA ? A?B所以A-B ? A?B利⽤包含的等价条件证X?Y：例5 A?C∧B?C ?A?B?C证A?C?A?C=CB?C?B?C=C(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C(A?B)?C=C ?A?B?C命题得证反证法证X?Y：欲证X?Y, 假设命题不成⽴，必存在x 使得x∈X 且x?Y. 然后推出⽭盾.例6 证明A?C ∧ B?C ? A?B?C证假设A?B ? C 不成⽴，则?x (x∈A?B∧x?C)因此x∈A 或x∈B，且x?C若x∈A, 则与A?C ⽭盾；若x∈B, 则与B?C ⽭盾.利⽤已知包含式并交运算：由已知包含式通过运算产⽣新的包含式X?Y ?X?Z?Y?Z, X?Z?Y?Z 例7 证明A?C?B?C ∧ A-C?B-C ? A?B证A?C?B?C，A-C ? B-C上式两边求并，得(A?C)?(A-C) ? (B?C)?(B-C)(AC)(A~C) (BC)(B~C)A(C~C) B(C~C)AE BEA B命题演算法证明X=Y：任取x ，x∈X ?… ?x∈Yx∈Y ?… ?x∈X或者x∈X ?… ? x∈Y例8 证明A?(A?B)=A （吸收律）证任取x,x∈A?(A?B) ? x∈A∨ x∈A?Bx∈A ∨ (x∈A ∧ x∈B) ? x∈A等式替换证明X=Y：不断进⾏代⼊化简，最终得到两边相等例9 证明A?(A?B)=A （吸收律）证(假设交换律、分配律、同⼀律、零律成⽴)A?(A?B)=(A?E)?(A?B) 同⼀律=A?(E?B) 分配律=A?(B?E) 交换律=A?E 零律=A 同⼀律反证法证明X=Y：假设X=Y 不成⽴，则存在x 使得x∈X且x?Y，或者存在x 使得x∈Y且x?X，然后推出⽭盾.例10 证明以下等价条件A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A-B=?(1) (2) (3) (4)证明顺序：(1) ?(2), (2) ?(3), (3) ?(4), (4) ?(1)(1) ?(2)显然B?A?B，下⾯证明A?B?B.任取x，x∈A?B ? x∈A∨x∈B ? x∈B∨x∈B ? x∈B因此有A?B?B. 综合上述（2）得证.(2) ?(3)A=A?(A?B) ? A=A?B（将A?B⽤B代⼊)(3) ?(4)假设A-B≠?, 即?x∈A-B，那么x∈A且x?B. ⽽x?B ? x?A?B.从⽽与A?B=A⽭盾.(4) ?(1)假设A?B不成⽴，那么x (x∈A ∧ x?B) ? x∈A-B ? A-B≠?与条件（4）⽭盾.集合运算法证明X=Y：由已知等式通过运算产⽣新的等式X=Y ? X?Z=Y?Z, X?Z=Y?Z，X-Z=Y-Z 例11 证明A?C=B?C ∧ A?C=B?C ? A=B证由A?C=B?C 和A?C=B?C 得到(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)从⽽有A⊕C=B⊕C因此A⊕C=B⊕C ? (A⊕C)⊕C =(B⊕C)⊕CA⊕(C⊕C) =B⊕(C⊕C) ?A⊕?=B⊕?? A=B3.3 集合中元素的计数集合的基数与有穷集合集合A 的基数：集合A中的元素数，记作card A有穷集A：card A=|A|=n，n为⾃然数.有穷集的实例：A={ a,b,c}, card A=|A|=3；B={ x | x2+1=0, x∈R}, card B=|B|=0⽆穷集的实例：N, Z, Q, R, C 等包含排斥原理：定理设S 为有穷集，P1, P2, …, P m是m 种性质，A i 是S中具有性质P i的元素构成的⼦集，i=1, 2,…, m.则S中不具有性质P1, P2, …, P m 的元素数为证明要点：任何元素x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为１，否则为０证设x不具有性质P1, P2, … , P m ,x?A i, i= 1, 2, … , mx?A i?A j, 1≤i < j ≤m…x?A1?A2?…?A m,x 对右边计数贡献为1 - 0 + 0 -0 + … + (-1)m· 0 = 1例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5 和6 整除，也不能被8 整除的数有多少个？解：S ={ x | x∈Z, 1≤x ≤1000 },如下定义S的3 个⼦集A, B, C：A={ x | x∈S, 5 | x }，B={ x | x∈S, 6 | x }，C={ x | x∈S, 8 | x }对上述⼦集计数：|S|=1000,|A|= ?1000/5? =200, |B|=?1000/6?=133，|C|= ?1000/8? =125,|A?B|= ?1000/30? =33, |B?C| = ?1000/40? =25,|B?C|= ?1000/24? =41,|A?B?C| = ?1000/120? =8,代⼊公式N = 1000-(200+133+125)+(33+25+41)-8=600例224名科技⼈员，每⼈⾄少会1门外语.英语：13；⽇语：5；德语：10；法语：9英⽇：2; 英德：4；英法：4；法德：4 会⽇语的不会法语、德语求：只会1 种语⾔⼈数，会3 种语⾔⼈数x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1, y1=4, y2=3, y3=2。
《离散数学》《集合论》作业２：等价关系部分题解
１．｛１，２，３，４｝上的等价关系有多少？解：∵４＝１＋３＝１＋１＋２＝２＋２＝１＋１＋１＋１∴集合｛１，２，３，４｝的划分有：１＋Ｃ４１＋Ｃ４２＋Ｃ４２／２＋１＝１＋４＋６＋６／２＋１＝１５（种）∵集合的划分与集合上的等价关系一一对应∴集合｛１，２，３，４｝上的等价关系有１５种２．Ｘ＝｛１，２，３，４｝，Ｘ的划分Π＝｛｛１，２，３｝，｛４｝｝：①求由Π诱导的等价关系②计算Π的全部加细解：①由Π诱导的等价关系Ｒ＝｛１，２，３｝×｛１，２，３｝∪｛４｝×｛４｝＝｛<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>｝②Π的加细有：｛｛1,2,3｝,｛4｝｝｛｛1,2｝,｛3｝,｛4｝｝｛｛1,3｝,｛2｝,｛4｝｝｛｛2,3｝,｛1｝,｛4｝｝｛｛1｝,｛2｝,｛3｝,｛4｝｝３．Ａ是非空集合，Ｒ１、Ｒ２是Ａ上的等价关系，下列关系是否等价关系？为什么？①（Ａ×Ａ）－Ｒ１②Ｒ１－Ｒ２③ r（Ｒ１－Ｒ２）④Ｒ１oＲ２⑤Ｒ１oＲ１解：①（Ａ×Ａ）－Ｒ１不是等价关系：不自反②Ｒ１－Ｒ２不是等价关系：不自反③ r（Ｒ１－Ｒ２）不是等价关系：有可能不传递例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}④Ｒ１oＲ２不是等价关系：有可能不对称例：A={1,2,3}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}⑤Ｒ１oＲ１是等价关系：（１）∵R1是等价关系∴R1自反,对称,传递∀x∈A ∵R1自反∴<x,x>∈R1 ∴<x,x>∈R1oR1 ∴R1oR1自反（２）∀<x,y>∈R1oR1 存在z∈A使<x,z>∈R1且<z,y>∈R1∵R1对称∴有<z,x>∈R1且<y,z>∈R1∴<y,x>∈R1oR1 ∴R1oR1对称（３）∀<x,y>,<y,z>∈R1oR1存在u∈A使<x,u>∈R1且<u,y>∈R1 存在v∈A使<y,v>∈R1且<v,z>∈R1∵R1传递∴有<x,y>∈R1且<y,z>∈R1∴<x,z>∈R1oR1 ∴R1oR1传递10.2 A={<1,2>,<2,4>,<3,3}, B={<1,3>,<2,4>,<4,2},求: ①A∪B ②A∩B ③dom(A) ④dom(B) ⑤ran(A) ⑥ran(B) ⑦dom(A∪B) ⑧ran(A∩B) 解：①A∪B = {<1,2>,<1,3>,<2,4>,<3,3>,<4,2>}②A∩B = {<2,4>}③dom(A) = {1,2,3}④dom(B) = {1,2,4}⑤ran(A) = {2,3,4}⑥ran(B) = {2,3,4}⑦dom(A∪B) = {1,2,3,4}⑧ran(A∩B) = {4}10.3 求证：①dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)证明：设R和S是从A到B的关系①∵∀x∈A, 有x∈dom(R∪S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∪S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∨ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈R) ∨ (∃y)(y∈B ∧ <x,y>∈S)<＝> x∈dom(R) ∨ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∪dom(S))∴dom(R∪S) ＝ dom(R)∪dom(S)②∵∀x∈A, 有x∈dom(R∩S)<＝> (∃y)( y∈B ∧ <x,y>∈R∩S )<＝> (∃y)( y∈B ∧ (<x,y>∈R ∧ <x,y>∈S) )<＝> (∃y)( (y∈B ∧ <x,y>∈R) ∧ (y∈B ∧ <x,y>∈S) )＝> (∃u)(u∈B ∧ <x,u>∈R) ∧ (∃v)(v∈B ∧ <x,v>∈S)<＝> x∈dom(R) ∧ x∈dom(S)<＝> x∈(dom(R)∩dom(S))∴dom(R∩S) ≤ dom(R)∩dom(S)10.5 列出所有从A={a,b,c}到B={d}的关系解: 应该有23×1 = 8种关系即A×B={<a,d>,<b,d>,<c,d>} 的所有子集:Φ{<a,d>}{<b,d>}{<c,d>}{<a,d>,<b,d>}{<a,d>,<c,d>}{<b,d>,<c,d>}{<a,d>,<b,d>,<c,d>}10.8 R={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求: ①RoR ②R↑{1} ③R-1↑{1} ④R[{1}] ⑤R-1[{1}]解: ①RoR = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}②R↑{1} = {<1,2>,<1,3>}③R-1↑{1} = {<1,0>}④R[{1}] = {2,3}⑤R-1[{1}] = {0}10.9 A = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }求: ①AoA ②A-1③A↑Φ④A↑{Φ} ⑤A↑{Φ,{Φ}} ⑥A[Φ] ⑦A[{Φ}] ⑧A[{Φ,{Φ}}] 解: ① AoA = { <{Φ} , {Φ,{Φ}}> }② A-1 = { < {Φ,{Φ}},Φ> , <Φ,{Φ} > }③ A↑Φ = Φ④ A↑{Φ} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> }⑤ A↑{Φ,{Φ}} = { <Φ,{Φ,{Φ}}> , <{Φ},Φ> }⑥ A[Φ] = Φ⑦ A[{Φ}] = { {Φ,{Φ}} }⑧ A[{Φ,{Φ}}] = { {Φ,{Φ}} , Φ }10.10 R,S,T是A上的关系, 求证Ro(S∪T) = (RoS)∪(RoT)10.11 S是从X到Y的关系, T是从Y到Z的关系, A和B是集合求证: ① S[A] ≤Y② (ToS)[A] ＝ R[S[A]]③ S[A∪B] ＝ S[A]∪S[B]④ S[A∩B]≤S[A] ∩S[B]10.12 对A上的关系R, 以及集合A1和A2 ,求证: ① A1≤A2 => R[A1]≤R[A2]② R↑(A1∪A2) = R↑A1 ∪ R↑A210.18 对A上的关系R, 以下结论为真则证明,为假则举一反例:①若R1和R2自反，则R1oR2也自反②若R1和R2反自反，则R1oR2也反自反③若R1和R2对称，则R1oR2也对称④若R1和R2传递，则R1oR2也传递解: ①为真。
数学离散数学常见题型解析
数学离散数学常见题型解析数学离散数学是一门研究数学中离散性、不连续性的分支学科，它与连续性数学形成鲜明对比。
离散数学的研究对象包括离散结构和离散现象，如集合、关系、逻辑、图论等。
在离散数学中，常见的题型有集合论题、逻辑题、图论题等。
本文将对这些常见题型的解题方法进行详细的解析。
一、集合论题解析集合是离散数学的基础概念之一，集合论题主要考察集合的性质和运算。
其中常见的题型包括求交集、并集、补集等。
1.求交集求交集即求两个或多个集合中共有的元素。
解题时需要列出各个集合的元素，然后找出它们的公共元素，即为交集。
例如，已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的交集。
解答如下：交集A∩B={2,3}。
2.求并集求并集即求两个或多个集合中所有的元素的集合。
解题时需要列出各个集合的元素，然后将它们的元素合并起来即可。
例如，已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A和B的并集。
解答如下：并集A∪B={1,2,3,4}。
3.求补集求补集即求一个集合中不包含在另一个集合中的元素。
解题时需要明确补集的参照集合。
例如，已知参照集合U={1,2,3,4,5}，集合A={2,3,4}，求A相对于U的补集。
解答如下：补集A'={1,5}。
二、逻辑题解析逻辑题主要考察命题逻辑和谓词逻辑的推理和判断。
常见的题型包括命题的合取、析取、蕴含关系等。
1.命题合取命题合取即多个命题同时成立，才能得出最终结论为真。
解题时需要逐个判断每个命题的真假，并根据合取关系得出最终结论。
例如，已知命题p：明天下雨，命题q：今天是周二。
判断命题p 合取q的真假。
解答如下：根据实际情况判断，如果p和q都为真，则p合取q为真；反之则为假。
2.命题析取命题析取即多个命题中至少有一个成立，就能得出最终结论为真。
解题时需要逐个判断每个命题的真假，并根据析取关系得出最终结论。
例如，已知命题p：明天下雨，命题q：今天是周二。
判断命题p析取q的真假。
离散数学 集合论
应用
例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？
解：S ={ x | xZ, 1 x 1000 }, 如下定义 S 的 3 个子集 A, B, C： A={ x | xS, x /5}， B={ x | xS, x /6}， C={ x | xS, x /8}
B={在1~2000中能被3整除的数}， |B|=2000/3=666，
C={在1~2000中能被5整除的数}， |C|= 2000/5 =400, |AB|= 2000/(2·3) =333, |AC| = 2000/(2·5) =200,
|BC|= 2000/(3·5) =133, |ABC| = 1000/(2·3·5) =66,
=31+36+29-39+5=62
所以一项奖都没有得的学生数为70-62=8人。
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思考2：75个儿童到游乐场去玩，他们在那里可以骑旋转木 马，坐滑行铁道车，乘宇宙飞船，已知有20人这三个项目都 坐过，有55人至少乘坐过其中的两种，若每项乘坐一次的费 用为5元钱，公园游乐场总共收入700元。试确定多少儿童没 有乘坐过其中任何一种。
(1) 在1~2000中至少能被2、3、5之一整除的数有 |A B C|= |A|+ |B|+ |C|- |AB| - |AC|- |BC|+ |AB C|
=1000+666+400-333-200-133+66=1466 (个) (2)在1~2000中仅能被2、3、5中两个数同时整除的数有
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思考1：有70名学生参加体育比赛，短跑得奖者31人，投掷
得奖者36，弹跳得奖者29人；三项都得奖者5人；仅得两项
离散数学之集合论
第二篇集合与关系集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。
随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。
1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。
现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。
集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。
集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。
本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。
第2-1章集合及其运算§2-1-1 集合的概念及其表示一、集合的概念“集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。
一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。
构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。
例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。
离散数学中的集合论知识点解析
离散数学中的集合论知识点解析集合论是数学中的一个重要分支，研究的是集合的性质、操作和关系。
在离散数学中，集合论占据着重要的地位，我们将在本文中对离散数学中的集合论知识点进行解析。
1. 集合的概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母表示集合，元素用小写字母表示。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是由1,2,3,4,5这些元素组成的集合。
集合中的元素不重复，具有唯一性。
2. 基本运算在集合论中，常用的基本运算包括并、交、差和补。
并集：表示两个或多个集合中的所有元素的总和，用符号"∪"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
交集：表示两个或多个集合中共有的元素，用符号"∩"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
差集：表示一个集合减去另一个集合中共有的元素，用符号"-"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
补集：表示全集中不属于某个集合的元素构成的集合，用符号"'"表示。
例如，集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A'={4,5}。
3. 子集和集合相等子集是指一个集合的所有元素也同时属于另一个集合，用符号"⊆"表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}，则A⊆B。
集合相等是指两个集合的元素完全相同，用符号"="表示。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,2,1}，则A=B。
4. 集合的基数集合的基数是指集合中元素的个数，用符号"|"表示。
例如，集合A={1,2,3}，则|A|=3。
5. 幂集幂集是指一个集合的所有子集所构成的集合。
离散数学集合论
离散概率分布
概率分布
在离散概率论中，概率分布是指随机变量取各个可能 值的概率，通常用表格或函数形式表示。
离散概率分布
离散概率分布是指随机变量只能取离散的数值，并且 每个数值出现的概率是确定的。
常见离散概率分布
常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布、超几何 分布等。
离散统计学的基本概念
总体与样本
在统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中抽取的 一部分。
离散数学集合论
汇报人：
202X-12-23
• 集合论基础 • 关系 • 函数 • 集合论的应用 • 离散概率论与离散统计学
01
集合论基础
集合的定义与表示
总结词
集合是由确定的、种，如列举法、描述法等。
详细描述
集合是一个不与任何其他概念交叉的总体。它是由确定的、不同的元素所组成，这些元素之间没有重 复。表示一个集合的方法有多种，如列举法、描述法等。列举法是将集合中的所有元素一一列举出来 ，而描述法则通过给出元素的共同特征来描述集合。
了解社会现象和人类行为。
05
离散概率论与离散统计学
离散概率论的基本概念
离散概率
离散概率是指在离散随机试验中，某一事件 A发生的可能性大小，通常用概率值0和1表 示。
样本空间
在离散随机试验中，所有可能结果的集合称为样本 空间，通常用大写字母表示。
事件
在样本空间中，满足一定条件的样本点的集 合称为事件，通常用小写字母表示。
在经济学中，集合论可以用来研究资源的分 配和市场的供需关系。例如，可以将市场上 的商品看作是集合，商品的价格和数量则是 集合的元素和属性。通过分析这些元素的性 质和关系，可以对市场进行预测和决策。
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离散数学疑难解析——集合论部分
第一章 集合
[集合的知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（Venn ）图
3、序偶与迪卡尔积
[集合的疑难解析]
1．集合的概念
因为集合的概念大家在中学阶段已经学过，这里只多介绍了一个幂集的概念，所重点要对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一个集合A 的幂集是由A 的所有子集组成的集合。
二是掌握幂集元数为2n ，其中n 是集合A 的元素个数。
2．集合恒等式的证明
通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
第二章 关系与映射
[二元关系的知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）
4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质（单射、满射、双射）
8、复合函数与反函数
[二元关系疑难解析]
1．关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。
因此，大家应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2．关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。
这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。
如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。
另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若()()()R a a R a a R a a i i ∈∈∈-,,
,,,,13221 ，则()R a a i ∈,1。
如若()()R a b R b a ∈∈,,,，则有()R a a ∈,，且()R b b ∈,。
3．关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。
关键是熟记三个定理的结论：定理2 ()A I R R r ⋃=；定理3 ()1-⋃=R R R s ；定理4的推论 () n i i R
R t 1==。
4．半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。
哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。
这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
5．映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。
判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。