偏微分方程去噪
基于高阶偏微分方程的非线性去噪算法
基于高阶偏微分方程的非线性去噪算法罗 峰1,殷海青2(1.济宁师范专科学校 山东济宁 273100;2.西安电子科技大学理学院 陕西西安 710071)摘 要:提出了一种将小波分析与高阶偏微分方程相结合的非线性方法。
这种方法利用小波分析的时频局部性和高阶偏微分方程的平缓图像轮廓的特性对图像进行处理,不仅很好地抑制了噪声,而且使图像保留了尽可能多的细节,看起来更平滑自然。
实验结果表明了该方法的有效性。
关键词:四阶偏微分方程;PeronaMalik 方程;小波分析;非线性去噪中图分类号:TN911173 文献标识码:B 文章编号:1004373X (2006)1513003A Nonlinear Noise R emoval AlgorithmB ased on the High Order Partial Differential Equ ationsL UO Feng 1,YIN Haiqing 2(1.Jining Teachers College ,Jining ,273100,China ;2.College of Science ,Xidian University ,Xi ′an ,710071,China )Abstract :In this paper ,a nonlinear method for combining wavelet transform with high order partial differential equation is proposed.By using the properties of time f requency of wavelet transform and smoothing the outline of images of high order partial differential equation ,the method can not only well restrain noise but also keep much more details of images.The test re 2sults show the effectiveness of the method.K eywords :fourth order partial differential equation ;PeronaMalik equation ;wavelet analysis ;nonlinear noise removal收稿日期:200602191 引 言小波分析和偏微分方程是图像处理和分析中的两个最新进展。
基于偏微分方程扩散系数的图像去噪研究
基于偏微分方程扩散系数的图像去噪研究赵银善;吐尔洪江·阿布都克力木【摘要】在偏微分方程P-M模型图像去噪过程中,扩散系数的选择会影响图像去噪的效果;为此提出了一个新的扩散系数模型来实现图像去噪.首先分析讨论了P-M 模型中扩散系数和梯度阈值的选取对图像去噪的重要性;并对比了两个扩散系数的优点和缺点,在此基础上提出一个新的扩散系数;并应用到正则化P-M模型和四阶偏微分方程YK模型中进行数值离散实验.实验结果表明,采用新的扩散系数在正则化的P-M模型和YK模型的去噪效果教好,提出的扩散系数能够有效地进行图像去噪.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2015(015)001【总页数】4页(P263-266)【关键词】偏微分方程;P-M模型;正则化P-M模型;YK模型;扩散系数;图像去噪【作者】赵银善;吐尔洪江·阿布都克力木【作者单位】武汉大学数学与统计学院,武汉430072;新疆农业职业技术学院,昌吉831100;新疆师范大学数学科学学院,乌鲁木齐830054【正文语种】中文【中图分类】TP391.41近年来，基于偏微分方程的图像去噪方法成为图像研究的一个热点[1—4]。
它从分析图像去噪的机理入手，结合变分方法、泛函分析、微分几何、数学形态学、射影几何等数学工具，建立了图像去噪和偏微分方程相关的公理体系。
偏微分方程与图像去噪的结合产生了两大类模型：一是面向对象，通过建立能量泛函[5]，由泛函的极值问题导出相应的偏微分方程模型；二是面向过程，把图像去噪过程和某种具体的物理过程联系起来，建立相应的偏微分方程模型。
1990年，Perona和Malik以各向异性扩散代替高斯平滑，建立了P-M模型[6]，取得了非常好的去噪效果，激励了偏微分方程在图像处理领域的应用研究，然而P-M模型的解不唯一。
1992年，Cattle、Lions、Morel 和Coll提出了正则化的P-M模型[7]，在数学上解决了解的唯一性，完善了其理论，但是P-M模型和正则化的P-M模型的处理结果容易产生“块效应”，图像轮廓过度尖锐。
偏微分方程在图像去噪中的应用_王正明
应 用 数 学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A2005,18(2):219~224*偏微分方程在图像去噪中的应用王正明,谢美华(国防科技大学理学院系统科学与数学系,湖南长沙410073)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文介绍用于图像去噪的偏微分模型、方法的发展历程.从理论上分析了线性模型、简单非线性模型、复杂非线性模型、多步处理模型出现的背景和优缺点,并从空域和频域上对偏微分方程模型的去噪原理进行了分析.最后,指出了偏微分方程去噪与小波去噪结合的途径,据此对偏微分方程未来的发展方向进行了展望.关键词:偏微分方程;模型;扩散;正则化;去噪中图分类号:T P391 AMS(2000)主题分类:35R文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0219 06光学图像成像过程中的噪声污染通常来自于CCD成像器件、图像传输设备及处理设备的背景光子散粒噪声、暗电流散射噪声、读出噪声、热噪声、放大器噪声等,其中最终起限制作用的是光子散粒噪声,统计上服从高斯或泊松分布.同时图像数字化过程中的量化以及其它人为的因素也会导致噪声的产生,这种CCD传感器噪声和量化噪声可以仿真成 加性的或乘性的 , 信号相关的或信号无关的 以及 有色的或白色的 ,它们的存在极大地影响了图像的质量.这里只考虑加性的与信号无关的白噪声.此时,图像的成像模型可描述为g(x,y)=f(x,y)+ (x,y),(1)其中f(x,y)为不含噪的真实图像,g(x,y)为实际观测到的图像, ~N(0, 2).那么,图像去噪问题就相当于,寻找合适的算子F R R,使得F(g(x,y))=f(x,y).(2)由于噪声是随机性的,事实上我们只能得到f(x,y)的近似估计,而不可能使(2)式完全成立.因此,在评价算法的优劣时,通常以下述峰值信噪比作为评价指标.PSNR=10*lg2552 m ni,j(f(i,j)-f*(i,j))2,(3)其中f*(x,y)为采用某算法去噪后的图像,m,n为图像的尺寸.传统的图像去噪方法,如中*收稿日期:2004 05 08基金项目:全国优秀博士论文作者专项基金(200140),国家自然科学基金资助项目(60272013)作者简介:王正明,男,汉,湖南长沙人,教授,博导,国防科技大学理学院院长,主要研究方向为图像处理中的数学方法、装备试验分析与评估.值滤波、均值滤波,主要将图像的高频成分滤除.由于图像的细节如边缘纹理等也分布在高频区域,所以总是在对噪声进行滤除的同时将图像的边缘部分模糊了.事实上,数字图像在本质上可看成是R 2 R 的以图像的边缘为边界的分片连续的映射.基于这一性质,可以以图像的边缘为边界采用分片连续的函数来逼近图像中的真实信号,抑制其中的随机性噪声,如二元多项式就是一种可选的基函数,由于逼近是在图像的内区域进行的,所以不会造成对边缘的模糊,图像去噪的偏微分方程(PDE)方法就是基于这一性质构建的.令u 0 R 2 R 表示一个含噪的灰值图像.对u 0(x ,y )去噪相当于极小化能量函数[1]E (g)= 2 (u -u 0)2d x d y + |u 2x +u 2y |d x d y ,(4)其中 为正则化参数, 为图像的支撑域, 称为正则化参函数,是梯度的增函数,满足 0.(1)式中的前一项用以约束去噪图像与原图像的逼近程度,而后一项用以约束图像的光滑程度.它的含义是将图像近似为分片连续的零阶多项式.对极值问题(4),应用Eluer 方程,并采样最速下降法引进时间参数t,可转化为求解如下偏微分方程u t=F[u(x ,y ,t)],(5)其中u(x ,y ,t) R 2 [0, ] R 是随时间演化的图像,F R R 表示一个特定算法对应的算子.根据F 定义的不同可分为线性扩散、非线性扩散、各向异性扩散等.其中,最早出现的是如下线性扩散模型 t u = u,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ),(6)它对应于方程(4)中 =0, (s)=s 2/2的情形.(6)式是一个解热传导方程的Cauchy 问题,通过对其进行Fourier 变换,可求得其解为u(x ,y ,t)=u 0(x ,y )(K *u 0)(x ,y) t =0t >0,K (x ,y ,t)=1(4 t )3/2ex p -x 2+y 24t ,(7)显然这就是对应图像的高斯光滑,即利用高斯函数对邻域内的点进行加权平均来实现去噪.(7)式给出的解可从空域上理解(6)式去噪的含义,下面从分离变量法的角度给出方程(6)的解[7],从频域上理解(6)式去噪的含义.设初始图像u 0(x ,y )按正弦函数可以展开成如下级数u 0(x ,y )=M k =1 N l =1Ak,l sin k x M sin l y N ,(8)其中N ,,M 分别为u 0(x ,y )沿x ,y 方向的离散采样点的个数.则(6)式的解可表示为u(x 1,x 2,t)= M k=1 N l =1A k,l e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2sin k x 1M sin l x 2N .(9)从(9)式可以看出,经过(6)式去噪后的图像的正弦级数系数等于u 0(x ,y )的正弦级数的展开系数乘以一个与扩散时间相关的压缩因子w (k,l)=e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2,因为随着k,l 的增大w (k ,l)不断减小,因此(9)式对u 0(x ,y )的高频成分保留很少,因而能够实现对噪声的抑制.由于方程(6)采用的正则化参函数 (s)=s 2/2,这就要求图像的梯度在整幅图像上实现最小,当扩散时间T 趋向于无穷时,得到的是用一个常数对图像进行逼近的结果,这无疑会导致对图像如边缘等微细结构的模糊.为了避免这种模糊的产生,人们采用了一种非线性的正则化参函数,利用分片连续的平面对图像进行逼近.此时参函数 的选取可以有很多形式,如 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k)2),或220应 用 数 学2005当 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k )2)时,(5)式对应典型的非线性扩散方程-P M 扩散[2],此时 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ), 或 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ).(10)本着在边缘处扩散系数g(s)小的准则,一般选取g(s)使之满足如下条件:g(0)=1,g(s)为减函数,且lim sg(s)=0.而且,在参数的选取上一般选取 为严格凸函数,这是因为定理1 当势能函数 (| u |)为严格凸函数时,能量函数E(u)=(| u |)d x 正好有一个最小值.证 令 (| u |)= ( ( u))=g(| u |2) u,由 (| u |)为严格凸函数可知 严格单调递增,又 (0)=0,从而当| u |>0时,有 (| u |)>0,从而 (| u |)是严格单调递增的.对一个常值图像 u 而言,其梯度恒等于零,而 (| u |)是关于| u |的严格单调增函数,因此任给u,| u | 0,必有 (| u |)> (| u |),又因为 (| u |) 0,从而有E(|u |)>E (| u |),因而 u 是E (u)的唯一最小值.定理证毕.当定理1成立时,不必进行非凸优化所涉及的复杂的计算,而可使用标准的有限元近似来获得稳定的解.(10)式所示的非线性方程能根据图像的梯度| u |来判断边缘位置,使边缘处的扩散系数小,降低对边缘的模糊程度.但是,在| u |> 的情况下,其势能函数是非凸的,从而使得边缘等处的处理表现出不稳定性.而且,由于边缘处扩散系数很小,边缘处的噪声得不到有效抑制.由于正则化参函数 选取的不恰当,线性模型与非线性模型都有各自的缺点.为克服这一缺点,在后续的研究中人们将更多的精力投入到了 函数的选取上.其发展主要沿两个方向进行.第一,由简单方程到复杂方程的转变,这种复杂方程的复杂性主要体现在参函数的形式上,如考虑采用高阶方程[3]、逆扩散方程[4],以及增加约束条件[5]等;第二,由偏微分方程的一步实现到多重实现的转变,这种多重实现指的是多次运用简单方程来实现复杂的操作[6,7].目前,偏微分方程去噪研究的重点仍放在这两方面.但是,由于采样复杂的参函数会增加约束参数的个数和模型的复杂性,给处理带来较大的麻烦,所以其前景较偏微分方程的多重实现差.高阶偏微分方程 在能量函数(4)中,考虑对图像的二阶导数的约束有如下能量泛函[3]E(u)=f (| u |)d (11)时它所对应的偏微分方程为u t= [g(| u |) u].(12) 这是一个四阶偏微分方程,它的含义是将图像近似为分片连续的一阶多项式.使用四阶方程较前面的二阶偏微分方程的好处是能克服二阶方程常出现的 块状 (blocky )的效果.前向 后向扩散方程 考虑逆扩散方程t u (x ,t)=-c 2u(x ,t),c >0,(13)这等价于一个高斯去卷积过程,当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的作用.这一方程由于其数值不稳定性而被认为是病态的,但是Gilboa,Zeevi,Sochen 认为在局部范围内使用逆扩散过程不会破坏其稳定性,因此,提出了一种前向 后向扩散方程[4].即取扩散系数g(s)满足221第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(s)=1-(s/k f )n ,[((s -k b )/w )2m -1],0, 0 s k f ,k b -w s k b +w ,else.(14)前向 后向扩散方程的优点是能在光滑区域内部的同时锐化边缘,缺点是参数选取困难.除了这些形式的方程所对应的参函数以外,还有复扩散方程[5]、基于边缘检测的扩散方程、约束曲面面积扩散方程、拐点增强扩散方程,以及基于特殊边缘增强的藕合模型、稳健扩散、自适应扩散、多重网格等等.偏微分方程多步实现的代表是各向异性扩散方程.其中具有代表性的有边缘增强扩散和相干增强扩散.边缘增强扩散是为了对边缘处的噪声进行处理,而相干增强扩散是为了凸现图像的线状结构.在引入各向异性扩散模型之前,先介绍如下定理.定理2 设u 0为原始图像,D 为连续的2 2扩散矩阵,p 1,p 2为其规范正交的特征向量分别对应图像的梯度方向和边缘方向, 1, 2为其相应的特征根,考虑如下扩散平滑问题t u =div [D u],u(0,x ,y )=u 0(x ,y),(15)则利用(7)式对u 0进行光滑近似于分别以 1, 2的速度沿p 1,p 2方向光滑.证 设p 1=(p 11,p 12)T ,p 2=(p 21,p 22)T ,由于图像的边缘方向在小范围内基本不变,所以p 1,p 2在一定范围内取常值,此时u t= (p 211u xx +2p 11p 12u xy +p 212u yy )+ 2(p 221u xx +2p 21p 22u xy +p 222u yy )= 1p 11 (p 11u x +p 12u y ) x +p 12 (p 11u x +p 12u y ) y+ 2p 21 (p 21u x +p 22u y ) x +p 22 (p 21u x +p 22u y ) y = 1 (p 11u x +p 12u y ) p 1+ 2 (p 21u x +p 22u y ) p 2= 1 2u p 21+ 2 2u p 22.因此,u 沿p 1,p 2方向扩散的速度分别为 1, 2,定理证毕.各向异性扩散方程采用(7)式所对应的模型,其中扩散张量D 的特征向量p 1平行于梯度矢量,p 2垂直于梯度矢量.边缘增强扩散以 u u = u u T 为边缘定向算子,D 与u u 有相同的特征向量,其中u =u( ,t)*K ,K ( )=12 2 ex p -| |22 2.而D 的特征根为[6] 1=1, 2=l 2/(l 2+| u |2),其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.显然该方程是先利用了一次线性方程对边缘定向,然后再利用非线性扩散方程实现了沿边缘方向的扩散,是分两次利用偏微分方程.边缘增强扩散的优点是考虑到了扩散系数沿边缘方向和垂直边缘方向的不同,缺点是所采样的边缘定向算子 u u 不能正确的对边缘定向.与边缘增强扩散不同,相干增强扩散采用了一个新的边缘定向算子J 来对图像边缘定向,其扩散张量D 的特征向量与J 相同,其中[7]J ( u )=K *( u u ), 0.(16)扩散张量D 的特征值取为1 2,(17)222应 用 数 学20051, 2为 u u 的特征值.C 为大于零的常数, (0,1),常取一个很小的值.对应每一个J ,其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.相干增强扩散的优点是所采样的边缘定向算子能准确的描述边缘方向,缺点是其特征根的选取不适合平坦区域的去噪,会导致虚假边缘的产生.改变结构描述算子(16)的特征值的取值(17)还可以实现许多其他结构的定向增强.为了进一步完善算子,[8]对扩散模型的最优停止时间进行了讨论,采用了一种最小化噪声协方差的去相关准则来实现最优停止.为解决去噪问题(1),人们从不同的角度提出了很多不同的方法,其中主要的有正则化方法、小波系数伸缩法、总变分方法以及偏微分方程方法,文献[10]的研究指出这些不同方法之间存在某种程度的统一,并指出这种统一有利于综合利用这些方法的优点获得更好的去噪效果.前面也说明了偏微分扩散方程可以通过Euler 方程与正则化方法联系在一起.下面对偏微分方程与小波伸缩之间的相互关系进行讨论.在应用最速下降法引入时间参数t 后,偏微分方程去噪每一步迭代的值可以看成空间{u t }的一个元素,可以证明{u t }满足尺度空间性质,于是偏微分方程一步扩散的结果就可以对应小波去噪的一步伸缩.文献[9]证明了H aar 小波的伸缩函数与非线性扩散方程的扩散系数之间存在一对一的关系,这种相互关系可通过下述过程获得(i)给出偏微分方程进一步扩散的离散表达式.为方便记,我们考虑一维处理的情况,设所采用的偏微分方程的扩散系数为g,则离散化后的偏微分方程进一步扩散的表达式为u n +1(i)=u n (i)+ (g |u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i+1)-u n (i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)).(18) (ii)给出H aar 小波去噪的一步分解与重构的离散表达式.设所采用的H aar 小波的伸缩函数为S ,则在一维情况下,基于H aar 小波一步分解与重构的离散化后地的表达式为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+122S u n (i)-u n (i +1)2-122S u n (i -1)-u n (i)2.(19)(iii)对比(i),(ii),可得到两者之间的相互转换关系.将(18)式重写为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+u n (i)-u n (i +1)4-u n (i -1)-u n (i)4+ (g(|u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i +1)-u n(i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)))=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+(u n (i)-u n (i +1))(1/4- (g(|u n (i)-u n (i +1)|)))-(u n (i -1)-u n (i))(1/4- (g(|u n (i -1)-u n (i)|))).(20)对比(19)与(20)有122S (x /2)=x (1/4- g (|x |)).从而S 与g 之间的相互关系可表述为S (x )=x (1-4 g (21)223第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(|x|)=14-24 xSx2,(22)由(21),(22)两式可在小波伸缩函数与扩散系数之间进行转换,从而可综合利用二者.参考文献:[1] W eickert J.A R eview o f N onlinear Diffusion F ilter ing in Scale space T heor y in Computer V ision[M].Berlin:Spring er,1997.[2] Per ona P,M alik J.Scale space and edg e detect ion using a niso tro pic diffusion[J].IEEE T r ansactio n onP attern A nalysis and M achine Intellig ence,1990,12(7):629~639.[3] L ysaker M,L under vo ld A,T ai X C.N oise remov al using fo ur th or der partial differential equatio n w ithapplicat ions to medical magnetic resonance imag es in space and time[J].IEEE T ransactions o n Imag e P ro cessing,2003,12(12):1579~1590.[4] G ilbo a G,Zeevi Y Y,So chen N A.F orw ard and backwar d diffusion pro cesses fo r adaptiv e image enhancement denosing[J].IEEE T ransaction on Image P rocessing,2002,11(7):689~703.[5] G ilboa G,Zeev i Y Y,Sochen N plex diffusion pr ocess for imag e filter ing[C].Scale Space,2001,L N CS2106,Ber lin:Spr inger Ver lag,2001.[6] W eicker t J.T heoret ical foundatio ns of naisotr opic diffusio n in imag e pro cessing[J].Co mputing,1996,11:221~236.[7] Weicker t J.Coherence Enhancing diffusio n filter ing[J].Inter national Jo ur nal o f Comput er V ision,1999,31(2/3):111~127.[8] M r azek P,N avara M.Selectio n o f optimal st opping time fo r nonlinear diffusio n filter ing[J].InternationalJour nal of Computer V isio n,2003,52(2/3):189~203.[9] Steidl G,W eicker t J.Br ox T,M razek P,W elk M.O n the equivalence o f so ft wavelet shr inkag e,to tal var iation diffusio n,total var iatio n regularizatio n,and SIDEs[J].SIA M Journal on N umer ical Analysis,2004, 42(2):686~713.A Review of the Application ofPartial Differential Equation in Image DenoisingWAN G Zheng ming,X I E M ei hua(Dep ar tment of Math.,Science College,N ational Univ er sity of Def ense T echnology,H u nan Changsha410073,China)Abstract:This paper g ives an o verview o f the development of partial differential equation models for image deno ising.We sketch basic ideas behind the different filter m odels,such as linear model,simple nonlinear model,complex no nlinear m odel and its m ulti steps realiza tion,and analysis the denoising pr inciple of partial differential equation fro m spatial dom ain and fr equency dom st,w e point out a strateg y of com bining w avelet and partial differ ential equation,and give a pr eview of its development.Key words:Partial differential equation;M odel;Diffusion;Regularizatio n;Denoising224应 用 数 学2005。
基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进
基于偏微分方程的图像去噪算法对比和改进作者：刘会林罗聪秦琴张紫茵来源：《数码设计》2017年第03期摘要：对比主流图像去噪算法模型并利用信噪比衡量图像中所含噪声比例，先用高斯噪声模型对图像进行加噪得到含噪声的噪声图像，再采用三种去噪算法对该噪声图进行去噪最后对比实验结果做出改进。
实验结果表明，运用全变分去噪方法能够更好地权衡图像边缘信息及细节纹理特征之间的关系，且参数更具有稳定性。
改进的全变分去噪算法继承了原有偏微分方程算法的优点，提高了传统全变分算法的运行效率，在边缘区域实现了扩散的同时保护了边缘并且可以较为明显地提高信噪比以及直观的视觉质量。
关键词：图像去噪；偏微分方程；噪声模型；全变分中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）03-0015-05Abstract： Comparing with the mainstream image denoising algorithms and using SNR （signal-to-noise ratio） to measure the noise ratio of the image. Firstly， adding noise to the image by using Gaussian noise model to get a noisy image. And then， using three kinds of mainstream denoising algorithms to denoise the noisy image and making improvements by comparing the experimental results. The experimental results show that the total variational denoising method can balance the relationship between image edge information and detail texture features in a better way，and the parameters are more stable. The improved total variational denoising algorithm inherits the advantages of the original partial differential equation algorithm， improves the efficiency of the traditional total variational algorithm， achieves anisotropic diffusion in the edge region and protects the edges of the image， and can obviously improve signal-noise ratio and visual effects.Key words： image denoising； partial differential equation； noise model； total variation引言图像噪声是在信息传输过程中由于各种原因对图像造成的污染且很大程度上影响了图像细节的真实性，所以必须对这些噪声进行有效去除[1]。
偏微分方程---图像去噪
基于偏微分方程(PDE)的图像去噪/ZJ r 目录 Z 7辭微分方程图像处理发展过程 戈石微分方程图像处理数学基础唇•三、偏微分方程图像处理的优缺点及应用■■结构• ■、偏微分方程去噪问题的研究• 4.1各向同性扩散（热扩散模型）4・2 P ・M 非线性扩散•五、偏微分方程其他方面的简略介绍在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像处理研究领域占据着重要地位。
徧微分方程图像处理发展过程•使刑偏微分方程处理图像的思想可以追溯Gabor 和Jain。
但是这种方法真正建立起来是Koenderind 丁和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺」度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把】一组图像同时在多个尺度上表述。
•他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方程图像处理理论的基础。
在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑来获得的，这等价于利用经典的热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流』匸在0）年代末，Hummel提出热传导方程并不厂是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原则的演化方程就可以定义一个尺度空间。
• Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这个领域最具有影响力。
他们提出用一个保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。
他们的工作引发了很多理论和实际问题的研究。
• Osher和他的研究小组提出了几何制约的偏k微分方程，其中最著名的是曲率流。
,•曲率流是“纯粹的”各向异性扩散模型，'它使图像灰度值的扩散只发生在图像梯度的正交方向上，在保持图像轮廓精确位置和清晰的同时沿轮廓进行平滑去噪。
■^psher和Rudin关于激波的研究以及关于TV 旷模型的研究工作更突出了偏微分方程在图\ 像处理中的重要性，这些方法成功之处在于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片光滑函数（曲面），从而与某种偏微分方程的分片光滑解联系起来。
基于偏微分方程的医学图像去噪
代入极值条件方程可以得到一个二阶微分方程
∇ u −∇ • + λ (u − ∇ u
这样求最优的 ｕ 的问题就转化为求解此微分方 程的问题。求解此微分方程有多种方法如剃度下法 ， 法等这里我们用剃度下降法。我们将
∇u β =
∇u ∂u = ∇ ⋅ ∂t ∇ u
利用离散快速迭代算法如下 ：
Á
这样就可以把此迭代过程看作一个非线性滤波
过程， 对于边缘的像素点， u 较大， 就可以保持原始 图像上的像素值。迭代次数的确定可以根据所要求的 精度， 由前后两次迭代的最小误差确定， 误差越小去 噪能力越强 ， 此时的运算速度也会相应增加。
对这种方法进行了实验 ， 实验对一含有噪声的膀
胱结石图像进行了去噪处理实验结果如图 （ ａ ） （ｂ）所示
∫ u 到的结果 仍然有很多 噪声 ， 而由范 数 ∇u d Ω 的结 ∫
最优准则求出的结果并不理想。由范数
Ω Ω
∫ u
Ω
Á
dΩ 或
２ ＴＶ 滤 波 器 去 噪 原 理 及 实 现
衡量 的尺度。函数的 ＴＶ 定义为积分 “最优”
ＴＶ（Ｔｏｔａｌ Ｖａｒｉａｔａｉｏｎ）准则是用图像函数的 ＴＶ 作为
这样定义的优点是对于超平面上的不连续函数 ＴＶ 仍 变成在上述两个约束条件下求使 ＴＶ 能量最小的 ｕ 用 ＴＶ 模型可以定义图像的能量函数为
软件天地
文章编号 ：１００８－ ０５７０（２００６）０９－ １－ ０２７６－ ０２
中文核心期刊 《 微计算机信息》（ 测控自动化 ）２００６ 年第 ２２ 卷第 ９－１ 期
基于偏微分方程的医学图像去噪
Ｍｅ ｄ ｉｃａ ｌ Ｉｍ ａ ｇ ｅ Ｄｅ ｎ ｏ ｉｓ ｉｎ ｇ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ＰＤＥ
偏微分方程论文 去噪
偏微分方程的应用——浅谈偏微分方程在图像去噪方面的应用前言：实话来说，对于这么纯粹的数学学科，我实在是没有什么信心学好，当初的常微分方程已经让我头疼不已了，更何况现在变成了偏微分。
它从名字上就已经把我打到了。
对它实在是有些畏惧。
不过看到这个论文题目还是让我很欣喜的，因为把它同现实联系了起来，不再是呆板的解题计算，而是真切的去了解这门学科在我们的生活中，或者是其他学科中的应用。
这样一来，它就不再是有些枯燥的数学了，而是一种赋予生活气息的学科。
摘要：图像去噪一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处理应用的预处理过程。
传统的图像去噪方法在去除噪声的同时往往会破坏边缘、线条、纹理等图像特征，基于偏微分方程的算法在图像去噪的同时，能够很好的保持图像的细节特征，因此，近年来受到越来越多的关注。
一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
二、偏微分方程在现代学科中的应用偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。
一种改进偏微分方程的图像去噪模型
长春师范大学学报Journal of Changchun Normal University 2020年12月Dec.2020第39卷第12期Vol.39No.12•种改进偏微分方程的国像去噪模型朱洪军，伍祥，朱伟杰，吴锦华，刘晴晴，余星星(安徽信息工程学院计算机与软件工程学院，安徽芜湖241000)［摘要］基于偏微分方程(PDE)的图像处理方法在图像去噪和去模糊等方面有着良好的应用效果。
针对R0F模型的梯度效应和YK模型的边缘模糊和图像亮点提岀一种改进偏微分方程的图像去噪模型°根据泛函极值和变分的相关定理推导了模型的Euler-Lagrange方程，利用最速下降法将模型的Euler-Lagrange方程转化为等价的扩散方程，并用中心差分和五点差分推导其数值迭代算法。
实验分别对benchmark和lenna噪声图片应用R0F、YK和改进的模型去噪，结果显示,改进的模型峰值信噪比(PSNR)提升率达到89.51%和37.42%，超过R0F和YK的提升率°改进的模型抑制了二阶偏微分方程模型的梯度效应，有效去除四阶偏微分方程模型的图像噪点并较完整保留图像边缘细节,是一种有效的图像去噪模型°［关键词］图像去噪;偏微分方程;最速下降法;信噪比;峰值信噪比［中图分类号］TP391［文献标志码］A［文章编号］2095-7602(2020)12-0041-06近年来，图像处理已成为数学和计算机交叉领域的研究热点，并广泛应用于科学探索、生物医学、工业生产等领域。
图像恢复作为图像处理中一项基本而关键的内容，主要包括图像去噪和去模糊。
图像恢复可以简单表述为以下模型：z_Ku+8,(1)这里,K为模糊算子,5为高斯白噪声,u为原始图像,z为待恢复图像°当模糊算子K_1时，图像不模糊，式(1)可表示为只带噪声的图像。
本文主要研究图像去噪问题°传统图像去噪分为空间域处理和频率域处理，空域去噪的主要思想是对噪声图像使用平滑滤波进行平滑处理，主要方法包含中值滤波［1］、均值滤波［2］和非局部平均滤波［3］等。
基于方向四阶偏微分方程的荧光显微图像去噪
２１ ０ ２年 ８月 第 ３ ３卷 第 ８期
计 算机 工程与设计
Ｃ０Ｍ ＵＴＥ Ｅ Ｒ ＮＧＩ ＥＲＩ ＮＥ ＮＧ ＡＮＤ ＤＥＳ ＧＮ Ｉ
Ａｕ ． ０ ２ ｇ ２ １
Ｖｏ ３ Ｎｏ ８ Ｌ３ ．
基于方 向四阶偏微分方程 的荧光显微 图像去噪
王 瑜 ，薛 红
（ 北京 工 商大 学 计 算机 与信 息 工程 学 院 ，北京 １ ０ ４ ） ０ ０ ８
摘 要 ：荧光 显微 图像 由于光学成像 系统 的 自身物理缺 陷，光电转换 ，样本 组织结构 以及 人为误 差等 因素 的影响 ，噪 声无
法避免 ，为此 ，一种基 于方向四阶偏 微分方程 的荧光显微 图像 去噪 方法被提 出，主要 考虑 两个方 面，一是基 于 变分方法 ， 二是控制 滤波模 型的扩散 方向。在人 工合成和真 实荧光显微 图像 上进 行的 实验 结果表 明， 同传统二 阶偏 微分 方程扩散模 型 相 比 ，应 用所提 出的方法进 行去噪 ，不管是主观视 觉，还是客观评价 ，均表现 出了更好的性能 。
Ａｂ ｔａ ｔ Ｎｏｓ ｈ ｌ ｏ ｅ ｃ ｎ ｅｍ ｉ ｏ ｃ ｐ ｃｉ ｇ ｓ ｃ ｎ’ ｔｂ ｖ ｉ ｅ ｅ ａ ｓ ｆ ｍ ｐ ｒｅ ｔ ｐ ｉ ｌ ｍ ａ ｉ ｇ ｓ ｓ ｅ ，ｐ ｏ ｏ ｌｃ ｓｒｃ ： ｉｅｉ ｔ ｅ ｆ ｒ ｓ ｅ ｃ ｃ ｓ ｏ ｉ ｍａ ｅ ａ ｎ ｕ ｒ ｅ ａ ｏｄ ｄ ｂ ｃ ｕ ｅ ｏ ｅ ｆｃ ｔｃ ｇ ｎ ｙ ｔｍ ｉ ｏ ａｉ ｈ ｔ ｅｅ — ｔ ｉ ｃ ｎ ｅ ｓ ｎ，ｓ ｅ ｉ ｎ ｔｓ ｕ ｔｕ ｔ ｒ ｎ ｕ ｎ ｅ ｒ ｒ ｔ ．ｄ ｒｎ ｈ ｏ ｒ ｅ ｏ ｐ ｉａ ｍａ ｉ ｇ Ｔｈ ｒ ｆ ｒ ，ａ ｎ ｗ ｅ ｏ－ ｒｃ ｏ ｖ ｒ ｉ ｏ ｐ ｃｍｅ ｉｓ ｅ ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ａ ｄ ｈ ｍａ ｒｏ ｓ ｅ ｃ ｕ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｕ ｓ ｆｏ ｔｃ ｌ ｉ ｇｎ ． ｅｅｏ ｅ ｅ ｄ ｎ ｉ ｓｎ ｅｈ ｄ ｉ ｐ ｏ ｏ ｅ ａ ｅ ｎ ｏ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ｈ ｏ ｄ ｒｐ ｒｉ ｌ ｉｆｒ ｎ ｉｌ ｑ ａ ｉｎ ＰＤＥｓ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ ｃ ｃ ｏ ｃ ｐ ｃｉ ｇ ｓ ｉ ｇ ｍ ｔ ｏ ｓ ｒ ｐ ｓ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｒｅ ｔ ｄ ｆ ｕ ｔ － ｒ ｅ ａ ｔ — ｆｅ ｅ ｔ ｕ ｔ ｓ（ ａ ｄ ａｅ ｏ ）ｆ ｒｆ ｏ ｅ ｃ ｎ ｅｍｉｒ ｓ ｏ ｉ ｌ ｍａ ｅ ， ｉ ｉｈ ｔ ｓ ｅ ｔ ｒ ｏ ｓｄ ｒ ｄ Ｏｎ Ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ａ ｉｔ ｎ ｌｍｅ ｈ ｄ．ｔ ｅ ｏ ｈ ｒ ｉ ｂ ｓ ｄ ｏ ｏ ｔ ｏ ｌ ｇ ｄ ｆｕ ｉ ｎ ｄｒ ｃ ｉｎ ｎ ｗｈ ｃ ｗｏ ａ ｐ ｃｓ ａ ｅ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ． ｅ ｉ ａ ｅ ｎ ｖ ｒａ ｉ ａ ｔ ｏ ｏ ｈ ｔ ｅ Ｓ ａ ｅ ｎ ｃ ｎ ｒ ｌｎ ｉ ｓｏ ｉｅ ｔｏ ． ｉ ｆ
基于偏微分方程的混合噪声去噪研究
２ ０ １ ３年 ６月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ６
Ｊ ｕ ｎ ．２ ０ １ ３
基 于偏 微 分 方 程 的 混 合 噪 声 去 噪性 能相 比现有 方法 有一 定程度 的改善 。
关 键词 ：图像 去噪 ；全 变分模 型 ；能量泛 函 ；阶梯效 应 ；显式差 分 中图分类 号 ：Ｔ Ｐ ３ ９ １ 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ：１ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — １ ８ ９ ９ — ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ． ０ ７ ９
Ｍｉ ｘ ｅ ｄ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｄ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｄ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
ａ ｎ ｄ ｃ ａ ｎ ｎ ｏ ｔ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｍｉ ｘｅ ｄ ｄｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ． Ｔｈ ｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ａ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍｉ ｘ ｅ ｄ ｎ ｏｉ ｓ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｅ ｘ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ， ｔ ｈ ｅ ｎ ｕｓ ｅ ｄ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｔ ｏ ｇ ｅ ｔ ｔ ｈ ｅ Ｅｕ ｌ ｅ ｒ — Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｍｏ ｄ ｅ １ ． Ｆ ｕｒ ｔ ｈｅ ｒ ｍｏ ｒ ｅ，
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(PDE)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。
本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。
关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差1 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。
随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。
图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。
而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。
基于偏微分方程(PDE)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。
这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。
他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。
然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。
改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。
本文详细介绍了现存的基于PDE的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。
2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。
该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。
但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。
另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差TV(Total Variation)模型[4]就是这一类。
图像去噪偏微分方程扩散系数保真项并行算法论文
基于四阶偏微分方程的并行图像去噪研究【摘要】在图像处理领域中,不可避免的是大量的待处理数据和各类复杂的数据计算。
如今,数字图像的处理速度已难以满足实时性的要求。
而并行计算是提高图像处理速度最为有效的技术。
并行图像处理技术就是为了加快图像处理的速度,扩大图像处理的规模,以此来解决单处理器串行计算无法满足大规模计算的需求。
图像去噪是图像处理中的基本问题,四阶偏微分方程图像去噪方法具有良好的去噪效果,但其计算量大,影响其实时性。
因此,对四阶偏微分方程去噪算法进行并行化研究是当前非常重要和有价值的方向。
本文主要研究基于四阶偏微分方程的并行图像去噪算法。
首先,给出了一个改进的四阶偏微分方程去噪模型。
该改进模型利用四方向导数信息和对数图像处理(LIP)数学模型,构造了四方向LIP度量算子来全面客观地度量图像信息,能够有效地去除噪声和保护边缘细节信息,同时减少了误差,更符合人类视觉;根据人类视觉系统的结构化特性,利用噪声可见度函数构造保真项系数,进一步保持了图像的边缘细节并避免了人为的估计噪声水平。
实验结果表明:该改进模型能够更好地去除噪声,保护边缘、细节等特征,在视觉效果和客观评价指标上都明显优于原方法。
其次,对改进模型设计并行算法。
通过分... 更多还原【Abstract】 Massive processing data and complicatedcalculation is inevitable in image processing area. At present, the digital image processing speed is difficult to satisfy therequirements of real-time. The parallel computing is the most effective technology in terms of improving image processing speed. Image denoising is a basic problem in image processing. Fourth-order partial differential equation denoising method has a good noise reduction effect, but its massive calculation affects real-time. Image ... 更多还原【关键词】图像去噪；偏微分方程；扩散系数；保真项；并行算法；【Key words】Image denoising；PDE；Diffusion coefficient；Fidelity term；Parallel algorithm；【索购全文】Q联系Q：138113721 Q联系Q: 139938848付费即发摘要3-4ABSTRACT 4-5第一章绪论8-121.1 研究背景与意义81.2 国内外研究现状8-111.2.1 偏微分方程图像去噪的研究现状8-91.2.2 并行计算技术的研究现状9-101.2.3 并行图像处理技术10-111.3 论文内容与结构11-12第二章并行图像去噪理论基础12-242.1 引言122.2 传统的图像去噪方法12-142.2.1 均值滤波去噪12-132.2.2 中值滤波去噪13-142.3 偏微分方程图像去噪方法14-162.3.1 热方程扩散模型14-152.3.2 P-M 非线性扩散15-162.4 并行计算基本理论16-232.4.1 并行计算机分类16-192.4.2 并行算法分类19-202.4.3 并行算法的基本设计技术及实现20-222.4.4 并行算法的性能评估22-232.5 本章小结23-24第三章改进的四阶偏微分方程图像去噪模型24-363.1 引言243.2 对称四阶偏微分方程去噪模型24-253.3 存在的问题253.4 本文提出的改进模型25-313.4.1 改进的图像信息度量算子26-283.4.2 改进的保真项系数λ28-293.4.3 模型的数值计算29-303.4.4 串行算法的流程描述30-313.5 实验结果与分析31-353.6 本章小结35-36第四章改进模型的并行算法设计36-634.1 引言364.2 改进模型的并行性分析36-374.3 改进模型的并行算法37-474.3.1 分治策略374.3.2 数据划分37-394.3.3 超级步的划分39-404.3.4 并行算法的流程描述40-414.3.5 实验结果与分析41-474.4 并行算法的优化47-594.4.1 多粒度并行优化策略47-494.4.2 混合并行时间模型49-524.4.3 优化并行算法的流程描述52-534.4.4 优化并行算法的实验结果与分析53-594.5 优化并行去噪算法在天气预报领域的应用59-624.6 本章小结62-63第五章结论与未来的工作63-655.1 结论63-645.2 未来的工作64-65致谢65-66攻硕期间从事的科研工作及取得的研究成果66-67参考文献。
偏微分方程---图像去噪
• 国防科技大学的谢美华等从偏微分方程去 噪模型出发 ，论述了噪声抑制的原理。
• 考虑到传统的各向异性扩散模型无法正确 的对边缘定向，提出了一种基于边缘定向 增强的各向异性扩散去噪方法，首先利用 基于非线性光滑算子的边缘定向算子对边 缘定向然后利用边界信息确定扩散张量， 从而达到既保护边界又具有良好的去噪效 果。
• 在局部坐标意义下我们可以更加直观的从
几何意义上分析其处理效果。
• 设 ξ 代表图像在某像素处的梯度方向，η
代表与梯度垂直的方向，那么上述扩散方
程可以在由 ξ 和 η 张成的局部坐标系下
表示为:
• 对于PM扩散模型，在图像的平坦区域，
C1(u) C2 (u) 进行各项同性扩散；
• 在图像的边界或纹理等梯度比较大的像素
• 只有在空间定义域和灰度值上都离散化了 的图象才能被计算机处理，这种离散化图 象称为数字图象，空间离散化称为空间采 样，灰度离散化称为灰度量化。
目录
• 离散图象的模型用u: xΩ [0,255]表示，
这里x=(x,y)是离散的，[0, 255]表量化的 256个灰度级。
• 尽管图象在计算机中以上述离散形式存储 ，但由于在空间采样与灰度量化上这种离 散化都足够精细，从而可以用连续(或分段 连续)的数学函数近似。
在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像 处理研究领域占据着重要地位。
• 使用偏微分方程处理图像的思想可以追溯 到Gabor和Jain。
• 但是这种方法真正建立起来是K源自enderind 和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺 度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把 一组图像同时在多个尺度上表述。
处，C1(u) = C2 (u) 此时图像沿着与几乎与
用于图像去噪的一个四阶偏微分方程
文章编号:100025889(2002)0420119203用于图像去噪的一个四阶偏微分方程耿修瑞1,黎锁平2(1.北京航空航天大学应用数学系,北京 100083;2.甘肃工业大学理学院,甘肃兰州 730050)摘要:用偏微分方程给图像去噪,传统上方程都是二阶的,Y u2Li和M.K aveh提出的一个四阶偏微分方程,在去噪的同时,更好地保持并近似了图像的边界,但Y u2Li和M.K aveh所提出的偏微分方程对椒盐噪声却无能为力,并且容易造成光滑区域不平整的现象.针对这个现象,作者修改Y u2Li 和M.K aveh方程中的一个扩散项的系数,得到了一个去噪效果更好的方程,并且可以消去椒盐噪声.关键词:变分;偏微分方程;图像去噪;椒盐噪声中图分类号:O29;TP391.41 文献标识码:AA forth2order partial differential equation used for image denoisingGE NG X iu2rui1,LI Suo2ping2(1.Dept.of Applied Mathematics,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100083,China;2.School of Sciences,G ansu Univ.of T ech.,Lanzhou 730050,China)Abstract:PDE used for image denoising is traditionally a second2ordered one.Y u2Li and M.K aveh proposed a fourth2 order partial differential equation for noise rem oval last year.Their m odel can rem ove G aussion noise and keep image’s approximate boundary,but can not get rid of salt2pepper noise and,therefore,may cause unsm oothing phenomenon due to noise rem oval.S o,we m odify the coefficient of diffusion term in their PDEs,obtaining a partial differential equation which can denoise very well and rem ove salt2pepper noise,als o.K ey w ords:variation;partial differential equation;image denoising;salt2pepper noise 基于变分问题:E(u)=∫f(| 2u|)dΩ(1)Y u2Li和M.K aveh于2000年在文[1]中提出了如下的四阶偏微分方程:5u5t=- 2[c(| 2u|) 2u](2)式中,c(・)是正的非增函数,f(・)满足c(s)=f′(s)/s,且f(・)是非负非减函数.在这个方程中,Y u2Li和M.K aveh取c(s)=11+(s/k)2,从而f(s) 收稿日期:2002203225 基金项目:国家自然科学基金(69831040) 作者简介:耿修瑞(19762),男,河南新乡人,硕士生.=k22ln1+s2k2,其中k为一常数.(2),其最大的优点在于用分段斜面(对于平面曲线是分段斜线)来近似边界,从而消除了二阶非线性扩散方程所造成的集块现象,可以得到效果更好的图像.此方程的缺点是在滤去本来是平滑区域的噪声时,会造成不平整的现象,同时对于椒盐噪声,此方程没有任何去除的能力.若要除去椒盐噪声还需要对处理过的图像进行中值滤波.因此,需要对式(2)改进.1 改进的模型在变分问题式(1)中,E(u)实际上代表了图像的某种能量,但这种能量的物理意义却并不十分清第28卷第4期2002年12月甘 肃 工 业 大 学 学 报Journal of G ansu University of T echnologyV ol.28N o.4Dec.2002楚[2].但注意到当给图像加了噪声,对于平面曲线来说是增加了曲线的长度,而对于空间曲面来说是增加了曲面的面积.这样就可以在图像的能量极值问题中以图像的体积代替式(1)中的E (u )[3].从而有:E (u )=∫d Ω(3)式中,d Ω代表积分曲面的面积元素.对于平面曲线,式(3)即为E (u )=∫1+u 2x d x(4) 对于空间曲面,式(3)即为E (u )=∫1+u 2x +u 2y d x d y(5) 用梯度下降法[4],可以得到式(4)所对应的偏微分方程为u t =K(6) 而式(5)所对应的偏微分方程为u t =H(7)这里,K 代表平面曲线的曲率,H 代表空间曲面的平均曲率[5].由于有显著的物理背景,用式(7)给有噪声的图像去噪有显著的优点,即能迅速地滤去噪声,使有噪声的平滑区域迅速恢复平整.当然它也有明显的缺点,即它在保持边界的能力上是极差的.注意到式(5)中f (s )=1+s 2,其中s =| u|.结合Y u 2Li 和M.K aveh 的思想,现构造如下函数代替式(1)中的f (・),即取f ( 2u )=1+( 2u )2(8)这样就可以将Y u 2Li 和M.K aveh 的模型(2)改进为5u 5t =- 211+( 2u )2 2u (9) 改进后的模型(9)相当于取式(1)中的c (s )=11+s 2,于是相应能量泛函中的函数就变为f (s )=1+s 2.模型(9)兼具有方程(2)和方程(7)的优点,其性能远优于模型(2).随后的实验证明:新的四阶偏微分方程(9)不但可以很好地去除高斯噪声保持边界,还可以去除Y u 2Li 和M.K aveh 方程无能为力的椒盐噪声,具有非常好的去噪性能比.对新方程(9)的优越性能,从分析学的角度也可做进一步的解释:由式(1)可以证明E (u )与f (s )有相同的凹凸性,于是f (s )是凹函数,即满足对所有的s ≥0,f ″(s )≥0时,平面图像是式(1)的唯一一个全局最小值解,因为能量泛函E (u )在此条件下也是凹函数,因此方程(2)的演化是一个图像变得越来越平滑的过程直至变为平面图像.而f (・)不是凹函数时,即存在或对于所有的s 有f ″(s )<0,这时能量泛函E (u )就可能不是凹的.这样就有可能存在别的局部或全局最小解.当f (s )=k22ln 1+s 2k 2时,f ′(s )=s1+s 2/k 2,f ″(s )=1-s 2/k 21+s 2/k 22,显然f (s )非凹函数.由于在椒盐噪声处,s =| 2u |是一个非常大甚至是无穷大的数,而f ′(s )s →∞0,于是函数f (s )在椒盐噪声处可以认为是不变的,从而式(1)中E (u )在椒盐噪声处可以认为是不变的.这正是理论上Y u 2Li 和M.K aveh 方程对椒盐噪声无能为力的原因所在.当f (s )=1+s 2时,f ′(s )=s1+s2,f ″(s )=1(1+s 2)3/2.显然f (s )是凹函数,此时式(2)中的能量泛函E (u )有唯一的全局最小解,这正是方程(9)可以去除椒盐噪声的根本原因,又由于能量泛函中用拉普拉斯算子代替梯度算子,方程(9)又可以很好地保持边界.2 模型的数值处理方程(9)可以用下面迭代方法求出数值解.假定时间间隔为τ,空间网格的尺寸为h ,先量化时间、空间坐标如下:t =nτ (n =0,1,2,…)x =ih (i =0,1,2,…,I )y =jh (j =0,1,2,…,J )这里,Ih ×Jh 是图像的支集的大小.下面用3个步骤计算微分方程(9)的右边项.1)计算Δu 的值Δu = 2u n i ,j =u n i +1,j +u n i -1,j +u n i ,j +1+u n i ,j -1-4u n i ,jh2以及相应的对称边界条件u n -1,j =u n 0,j ,u n I +1,j =u nI ,j (j =0,1,2,…,J )u n i ,-1=u n i ,0,u n i ,J +1=u n i ,J (i =0,1,2,…,I ) 2)计算下面函数的值:g ( 2u )=c ( 2u ) 2ug n i ,j =g ( 2u n i ,j ) 3)计算Δg (Δu ):2g n i ,j=g n i +1,j +g n i -1,j +g n i ,j +1+g n i ,j -1-4g n i ,jh2・021・ 甘肃工业大学学报 第28卷边界条件为g n -1,j =g n 0,j ,g n I +1,j =g nI ,j (j =0,1,2,…,J )g n i ,-1=g n i ,0,g n i ,J +1=g ni ,J (i =0,1,2,…,I ) 最后得到微分方程(9)的差分格式为u n +1i ,j -u ni ,jτ=- 2g ni ,j(10)3 实验结果由于方程(9)严格的非线性,理论上得到确保差分格式(10)收敛的τ是非常困难的,经过实验,在τ=0.2,h =1.2时,得到很好的效果,实验结果如下.3.1 曲线的情况由图1可以看到,方程(2)与(9)在去除高斯噪声时效果接近,但对于椒盐噪声,方程(9)明显优于方程(2).另外,虽然理论上方程(2)对椒盐噪声无能为力,但在数值计算时仍不免对其产生影响(如图1d ,图1f ),因此对方程(2)处理后的图像再实施中值滤波,将不会得到好的效果.3.2 图像的情况由图2可以看到方程(9)和方程(2)都可以比较快地去除噪声,方程(2)保持边界的能力稍强,但容易造成原本平整区域的麻点现象. (a )原始曲线 (b )加噪声的情况 (c )方程(9)在n =200时的情况 (d )方程(2)在n =200时的情况 (e )方程(9)在n =1000时的情况 (f )方程(9)在n =2000时的情况图1 曲线实验结果 (a )原始图像 (b )加了噪声 的图像 (c )方程(9)在n =30时的图像(d )方程(9)在n =50时的图像(e )方程(2)在n =30时的图像(f )方程(2)在n =50时的图像图2 图像实验结果 本文通过修改Y u 2Li 和M.K aveh 方程中的扩散项的系数,得到了一个改进的四阶偏微分方程模型.用此模型给图像去噪,克服了Y u 2Li 和M.K aveh 方程不能消去椒盐噪声的缺点,同时可以使原本光滑的区域基本恢复平整.数学分析和实验结果都证明本模型是一个去噪、保持边界俱佳的偏微分方程模型.参考文献:[1] Y u 2Li Y ou ,K aveh M.F ourth 2Order partial differential equa 2tions for noise rem oval [J ].IEEE T rans Image Processing ,2000,(9):172321730.[2] Peronaand P ,Malik J.Scale 2space and edge detection usinganis otropic diffusion [J ].IEEE T rans Pattern Anal Machine Intell ,1990,(12):6292639.[3] K enneth R C.Digital image processing [M ].Englew oodCliffs :Prentice 2Hall International ,Inc.,1988.[4] 李哲岩,张永曙.变分法及其应用[M].西安:西北工业大学出版社,1989.[5] 梅向明,黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社,1995.・121・第4期 耿修瑞等:用于图像去噪的一个四阶偏微分方程 。
偏微分方程(PDEs)在图像去噪中的运用
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类
在二维图像处理中， 自变量为像素坐标(x,y)， 涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方 程，其一般形式是[12]：
a11 u xx +2 a12 u xy + a 22 u yy +F (x, y, u x , u y )=0
2
(2)
0
记 Δ （x,y）= a12 - a11 a 22 ,可得二阶半线性两个方程在点 x ∈ Ω 的分类： 1) 双曲型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）>0。双曲型方程的第一标准型为
∂u ( x, y, t ) = Δu ( x, y, t ) ∂t
（初值为u 0 =u(x,y,0)）
(14)
式（14）中 Δu ( x, y , t ) 是图像的拉普拉斯算子。上式实际上是热传导方程。其解为：
u ( x, y, t ) = Gt * u ( x, y,0)
这里的 ∗ 表示卷积， G t ( x, y ) = Ct
0
∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u =A +B +Cu,第二标准型为 2 - 2 =A1 +B1 + C1 u. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂s ∂t ∂s ∂t
如波动问题. 2) 椭圆型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）<0。椭圆型方程的标准型为
0
2
因为在边界 ∂D 上函数v=0，方程（6）中第二个积分为零。而函数v=v(x,y)在域D内不为零， 要使方程（6）为零的必要条件是
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( )− ( ) =0 ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q
(7)
即函数u(x,y)使泛函（3）取极值的必要条件是满足偏微分方程（7） 。这就是具有两个独立
基于小波域的偏微分方程的图像去噪算法
图像 在 获 取 、 输 和 存 储 过 程 中 ， 何 对 受 噪 传 如
声 污 染 的 图 像 进 行 去 噪 处 理 ， 人 们 一 直 致 力 于 研 是 究 的 问 题 。通 常 ， 个 较 好 的 去 噪 方 法 应 该 是 在 消 一
线 性各 向异 性扩 散方 程 ：
除噪 声 的 同 时 ， 能 保 留 图像 的 原 有 信 ， １ ９ 又 ｅ。 ９０ Ｊ 年 ， ｅｏ ａ和 Ｍａｉ Ｐ ｒｎ ｌ ｋ提 出以各 向异性 平滑 （ —Ｍ 方 Ｐ 程 ） 代 高 斯平 滑 （ 当于 各 向 同性 分 布 ） 利 用 ¨取 相 ，
这里 ， ｒ 表 着 中心 像 素 ｓ相邻 的 区 域 ， ￡ ｋ代 △ 为 迭代 过 程 的 时 问 步 长 ， 为 迭 代 次 数 。Ｐ ｒｎ ｅｏ ａ和 Ｍａｉ 出 了上 述 两 种 扩 散 系 数 函数 ， 中一种 的 ｌ ｋ提 其 函数 的离散 形式 是 ：
去 除噪声 以及 具有 解 的存 在 、 一 、 定 性 特 点 ， 唯 稳 并
边 缘 信 息 和 图像的 细 节 信 息 。
［ 关键 字］ 偏 微分 方程 ； 定的逆 扩散 方程 ； 稳 小波 变换 ［ 中图分 类号］ ＴＮ １ ． ３ ９ １７ ［ 文献标 识码 ］ Ａ
的基本 思 想 可 归 结 为 求 解 初 始 值 为输 入 图像 的非
线 性 扩 散 方 程 。 Ｐ ｒｎ ｅｏ ａ和 Ｍ ａｉ［ 提 出 了 如 下 的 非 ｌ １ ｋ
胡 莹
（ 苏 科技 大 学 电子 信 息 学 院 江 苏镇 江 ２ ２ ０ ） 江 １０ ３
［ 要］ 文章 提 出了一 种基 于小波域 的偏 微 分方 程 的 图像 去噪 算 法 ； 算 法利 用 了 Ｐ 摘 该 —Ｍ 方程 能保 留
基于Priwitt算子的偏微分方程图像去噪模型
基于Priwitt算子的偏微分方程图像去噪模型作者：刘西林王泽文邱淑芳来源：《计算机应用》2012年第12期摘要：利用归一化的Priwitt微分算子作为权重，提出了两种融合Gauss曲率和平均曲率扩散的偏微分方程去噪模型，使得它们在去除噪声的同时能保持图像的重要特征。
首先，对噪声图像进行Gauss滤波并计算滤波后图像的Priwitt微分算子；然后，新模型根据归一化的Priwitt微分算子自适应地平衡于高斯曲率扩散去噪与平均曲率扩散去噪之间，从而去除图像的噪声。
利用偏微分方程有限差分法给出了新模型的离散迭代格式，并进行了数值实验。
实验结果表明，新模型不仅迭代收敛的速度快，而且在均方误差和峰值信噪比两个评价指标上均优于单一曲率扩散去噪模型，并更好地保持了图像的细节特征。
关键词：图像去噪；高斯曲率；平均曲率；Priwitt算子中图分类号： TP391.41文献标志码：APDE-based image noise removal models based on Priwitt operatorLIU Xi-lin，WANG Ze-wen*，QIU Shu-fangSchool of Science，East China Institute of Technology，Nanchang Jiangxi 330013，ChinaAbstract：Using the normal Priwitt operator as weights， two denoising models based on Partial Differential Equation （PDE）， which integrated the Gauss curvature and mean curvature diffusion， were proposed for keeping important features effectively while removing noises. First，the normal Priwitt operator of the filtered image obtained by the Gauss filter from noise image was calculated； second， the proposed models adaptively obtain the balance between the Gauss curvature diffusion noise removal and the mean curvature diffusion noise removal， thus removing noises of image. The iterative schemes of the proposed models were presented by the difference method of PDE. Then some numerical experiments were carried out. Results of experiments show that the proposed models not only converge quickly， but also are better than the denoising model based on single curvature diffusion， and better maintain the image features.英文关键词Key words：image denoising； Gauss curvature； mean curvature； Priwitt operator0 引言图像处理的偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）方法大约是从20世纪90年代兴起。
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摘要：通过分析整体变分模型的去噪原理和效果，提出一个新的四阶偏微分方程去噪模型，用于克服二阶偏微分方程去噪后使图像分块的缺点，同时保持去噪后图像的高保真性，并发展一个基于四邻域系统的对称离散化算法用于求解新模型，应用中值滤波去除四阶偏微分方程去噪所引起的亮点。
实验结果表明，与传统方法相比，以该算法去噪后的图像具有更好的质量和视觉效果。
关键词：图像去噪；整体变分模型；四阶偏微分方程模型Symmetric Fourth-order Partial Differential Equations De-noising Algorithm CHEN Bo1, ZHANG Li-wei2 (1. College of Mathematical and Computational Science, Shenzhen University, Shenzhen 518060; 2. Shenzhen Institute of Advanced Technology, Chinese Academy of Sciences, Shenzhen 518067) 【Abstract】This paper analyses the theory and effects of Total Variation(TV) model for noise removal and proposes a new fourth-order Partial Differential Equations(PDE) de-nosing model to avoid the blocky effects of second-order PDE model, while preserving edges.A symmetric discrete algorithm based on four-neighbor system is developed to solve the new model. Median filtering is applied to alleviate the speckle effects in the processed image at last. Experimental results show that the new algorithm is better, compared with traditional methods. 【Key words】image de-noising; Total Variation(TV) model; fourth-order Partial Differential Equations(PDE) model1 图像去噪是图像处理中的基本问题，是很多机器视觉任务(如物体检测和识别)重要的预处理阶段，目标是从退化图像中尽可能地估计出原始图像。
给定一个退化图像u0 ∈ Rn ，不妨考虑加性噪声，即u = u true + n ，其中，utrue是真实图像；n是噪声。
图像去噪的0 概述目标是尽可能准确地恢复出真实图像utrue，同时在近似图像u 中，保持原始图像重要的特征信息。
也就是说，去噪过程的难点之一是保持和加强原图像的重要特征。
对图像而言，图中物体的边界是最普遍和重要的特征之一。
通过线性滤波去噪通常效果不佳，这是因为噪声和边缘都有高频的特性。
因此，非线性滤波方法是必要的。
中值滤波[1]是典型的非线性滤波，基于小波分析的滤波器[2-3]也发展迅速。
同时，基于偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE)的非线性散射滤波模型[4-8] 也在图像去噪领域取得了巨大的成功。
其中，比较著名的如整体变分(Total Variation, TV) 模型[9-10] ，在图像恢复问题中有很多成功的应用，不仅能解决基本的图像去噪难题，而且能用于图像去模糊、图像修补等。
变分框架将这些图像处理问题转变为最小化一个特定的能量泛函，然后应用变分方法使其转化为求解一个有一定边界条件的偏微分方程问题。
如图 1 所示，传统去噪方法(如维纳滤波、中值滤波)在去除噪声的同时会模糊图像，而TV 模型在去噪的视觉效果和边缘等细节的保持上优于传统滤波。
去噪模型本质上是TV 一个针对图像本身的二阶偏微分方程处理模型，但二阶偏微分方程模型在进行图像去噪时会产生分块效应，如图1(e)、图1(f)所示。
—188— (a)均值为0、方差为0.01 的高斯噪声图像(b)0.04 的乘积噪声图像(c)对图1(a)的维纳滤波图像(d)对图1(b)的维纳滤波图像(e)TV 模型对图1(a)的滤波图像(f)TV 模型对图1(b)的滤波图像图 1 去噪效果比较为了解决这一问题，可以考虑使用四阶偏微分方程[11]。
基金项目：深圳大学科研启动基金资助项目(200863) 作者简介：陈波(1979－)，男，讲师、博士，主研方向：图像处理，模式识别；张立伟，博士研究生对于灰度渐变的区域，四阶PDE并不会像二阶PDE那样把图像变成几个灰度值不同的色块，而是将它平滑成一个灰度渐变的区域，在这块区域内梯度恒定。
虽然与真实图像的灰度变化不一定相同，但它一般不会产生额外的边缘，与二阶PDE 相比，四阶PDE具有更好的视觉效果。
行了实验。
通过信噪比(PSNR)比较图像质量。
对于上文的Lena 图像，分别加入方差为0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 的高斯白噪声，然后分别应用文献[11]的算法和本文算法进行恢复。
在实验中，2 种算法都取λ = 0.01, ?t = 2 。
图3 给出了比较结果，可以看出，本文的算法是有效的。
26.0 25.5 2 一种新的四阶PDE 去噪模型考虑如下能量函数：E ( u ) = ∫∫? ( f ? u + 2 信噪比/dB ( ) λ 2 | u ? u | )dxdy 0 2 (1) 25.0 24.5 24.0 23.5 23.0 22.5 22.0 0.01 本文方法其中，?是图像区域；调节参数λ(>0)是一个Lagrange 乘数，且是一个预先给定的常数，定义了能量函数中 2 项所占的权重；u0为带噪图像；?2 表示拉普拉斯算子；f必须是非负函数且严格单调递增。
最小化这样一个能量函数相当于找一个最小的? u ，即平滑图像u，且保持u与u 接近。
其对应的2 文献[11]方法0 Euler-Lagrange方程为? 2 ( f ' ( ? 2u ) sign ( ? 2u )) +λ (u ? u 0 ) = 0 ，其中，sign 为符号函数，从而得到? (f ' ? u 2 2 0.02 0.03 噪声方差0.04 0.05 图3 与传统算法去噪效果的比较( ) ? u ) +λ (u ? u ) = 0 0 2 ? 2u 令c(s) = f '( s ) ? 2 (c ? 2u ? 2u ) +λ (u ? u 0 ) = 0 ( s ，则上面方程化为对加入方差为0.01 高斯白噪声的Peppers 图进行恢复，如图 4 所示。
分别用文献[11]方法和本文算法去噪，其中的参数均取λ = 0.01, ?t = 2, k = 5 ，经过30 次迭代。
通过实验知(2) ) 引入时间t ，应用梯度下降法求解上述Euler-Lagrange 方程，得?u = ??2 (c ? 2u ? 2u ) ? λ (u ? u 0 ) ?t 道，本文算法的视觉效果优于传统方法。
最后用简单的中值滤波去除恢复后图像中的亮点，如图4(d)所示。
( ) (3) 最后离散化迭代求解上述方程即可。
3 在保证离散化的正确性的同时，应使离散化结果尽量简单对称。
这里应用一个基于四邻域结构(如图 2 所示)的简单对称差分程序进行离散化迭代求解。
(i-1, j) 新模型的对称离散化(a)均值为0、方差为0.01 的高斯噪声图像(b)以文献[11]的方法恢复后的效果(i, j-1) (i, j) (i, j+1) (i+1, j) 图2 2 四邻域图像结构(c)用本文方法恢复后的效果(d)对图4(c)中值滤波后的效果在中心点，离散化? u 为?u 2 i, j 图4 Peppers 去噪效果= ui+1, j + ui?1, j + ui , j +1 + ui , j ?1 ? 4ui , j h2 (4) 其中，h 为离散化空间步长。
将式(3)离散化后，迭代公式为u n+1 = u n ? ?t (? 2 (c ? 2u n ? 2u n ) +λ (u n ? u 0 )) ( ) (5) 表1 显示了在对Peppers 图像去噪时，时间步长t 与参数k 对算法效果的影响(均应用30 次迭代，效果通过信噪比体现)。
由表1 可知，当t=1, k=7 时，去噪效果较好。
表1 t k=5 25.483 0 26.035 4 25.172 8 其中，?t 为离散化时间步长。
类似于文献[11]，可以令c (s) = 1 1+ ( s / k ) 2 参数对去噪效果的影响信噪比/dB k=6 k=7 26.237 4 26.458 2 25.555 4 25.0519 24.499 3 23.923 1 k=8 26.382 8 24.623 1 23.467 3 (6) 1 2 3 其中，k 为参数。
因此，对称四阶PDE 可以归结为：(1)给定参数λ, k、离散化空间步长h、时间步长△t，初始化u；(2)应用式(4)计算? 2u 及? 2u ；(3)应用式(6)计算c ? 2u n ；(4)应用式(5)进行迭代计算；重复步骤(2)~步骤(4)，直到收敛。
5 ( ) 4 实验结果和分析本文应用Matlab 对不同的图像，不同高斯白噪声强度进图像恢复通常是图像分割、压缩等后续处理中必要的预处理步骤，除非能为驱动方程选择恰当的参数并用合适的数值算法进行离散化，否则基于变分框架的图像处理效果不佳。
为了保持去噪后图像的高保真性、解决去噪后图像分块的问（下转第209 页）—189—结束语。