不等式专题——不等式的解法

专题复习——不等式的解法

知识回顾

1．一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解集情况是

（1）当0>a 时，解集为}|{a b x x >

（2）当0

b x x <

类型（设b a <） 解集 数轴表示 b x >

a x <

b x a <<

φ

一元二次不等式可利用一元二次方程02与二次函数c bx ax y ++=2

的有关性质求解，具体见下表：

0>a ，ac b 42-=∆

0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

的图象

一元二次方程 02

=++c bx ax 的根

有两实根

21x x x x ==或 有两个相等的实根

a

b x x x 221-

=== 无实根

一元二次不

等

式解集

不等式

02>++c bx ax 的解集

}|{21x x x x x ><或

}|{1x x x ≠

R

不等式

02<++c bx ax 的解集

}|{21x x x x <<

Φ

Φ

（1） 把二次项的系数a 变为正的．（如果0a 且0>∆时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” ． 三、含有绝对值的不等式的解法 基本口诀：“小于号取中间，大于号取两边” （1）()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<< （2）()()()()f x g x f x g x >⇔<-或()()f x g x > （3）()()()()2

2f x g x f

x g x <⇔<

（4）零点分段法：x a x b k -++-

一元高次不等式0)(>x f （或0)(

b x a

x >>

a

b

b

x a

x <<

a

b

b

x a x <>

b x a

x ><

a

b

a

b

（1）将)(x f 的最高次项的系数化为正数；

（2）将)(x f 分解为若干个一次因式的积；（注意：确保每个因式x 系数为正） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；（注意：“奇穿偶不穿”） （4）根据曲线显现出)(x f 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若n a a a a <<<<Λ321，则不等式0)())((21>---n a x a x a x Λ 或0)())((21<---n a x a x a x Λ的解法如下图（即“数轴标根法”）：

五、分式不等式的解法

对于解a x g x f a x g x f ≥<)(')

()

()('''或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成

)0(0)()()0(0)()(≤≥<>x g x f x g x f 或的形式，再转化为整式不等式求解。

（1）

0)()(0)()(>•⇔>x g x f x g x f （2）0)()(0)()

(<•⇔

六、指数、对数不等式的解法

1、指数不等式 （1）当01a <<时，()

()

()()f x g x a a

f x

g x <⇔>

（2）当1a >时，()

()

()()f x g x a

a

f x

g x <⇔<

（3）换元法 形如：()

(

)

()

()

2

200f x

f x f x t a m a

na

l mt nt l =++>−−−→++> （注意0t >）

2、对数不等式（一定注意真数大于零，底数大于零且不等于一）

（1）当01a <<时，()()()()()0

log log a a g x f x g x f x g x >⎧⎪<⇔⎨>⎪⎩

（2）当1a >时，()()()()()0

log log a a f x f x g x f x g x >⎧⎪<⇔⎨<⎪⎩

（3）换元法 形如：()

()

()()2

log 2log log 00a t f x

a a m f x n f x l mt nt l =++>−−−−→++>

注意：解指数、对数不等式主要用①“同底法”将不等式化成底数相同的指数或对数式;②换元法，注意中间

变元的取值范围。解指数、对数不等式应和分式不等式一样，需先将非标准形式化成标准形式再求解，解对数真数、底数的取值范围。

例题精解 【】解下列不等式组，并在数轴上表示出它们的解集： （1） （2）

【点评】解不等式的一个基本功就是能熟练运用数轴解决不等式的解集交并关系。

⇔≥0)()(x g x f 0)()(≥•x g x f 0)(≠x g ⇔≤0)()

(x g x f 0)()(≤•x g x f 0)(≠x g 234131

2+->-x x 4)1()1(22-+>-x x

02>-x 05>-x 0

8<-x