第5章谓词逻辑的等值和推理演算
第5章谓词逻辑的等值和推理演算
5.3.2 Skolem标准形
前束范式对前束量词没有次序要求，也没有 其他要求 如果我们要求: (1) 只保留全称量词而消去存在量词-Skolem标准形 (2) 所有存在量词都在全称量词之左 (3) 所有全称量词都在存在量词之左 不难想像，仍保持与原公式的等值性就不可 能了，只能保持在某种意义下的等值关系
(2)在{1，2}域上分析
﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x)
(3)语义上的证明
依等值式定义，A=B如果在任一解释I下A真B就真，而且 B真A就真． 若证明﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 1. 设任一解释I下有﹁(x)P(x)=T 从而(x)P(x)=F，即有一个xoD,使P(Xo)=F 于是﹁P(xo)=T 故在I下(x)﹁P(x)=T 2. 反过来，设任一解释I下有 (x)﹁P(x)=T 即有一个xoD,使﹁P(Xo)=T 从而P(Xo)=F 于是(x)P(x)=F 即﹁(x)P(x)=T
对x而言(y)Q(y)相当于命题变项，与x无关，可推得 (x)P(x)(y)Q(y)=(x)(P(x)(y)Q(y)) 对y而言，P(x)相当于命题变项与y无关，又可推得 (x)(P(x)(y)Q(y))=(x)(y)(P(x)Q(y)) 同理(x)(y)(P(x)Q(y))=(x)P(x)(x)Q(x) 然而 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的
5.2.2 量词对→的分配律
这是一组量词对→的分配律，其中p，q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件
304 谓词逻辑的等值演算
谓词逻辑的等值演算Equivalent Calculus in Predicate Logic天下乌鸦一般黑F(x)：x 是乌鸦G(x,y)：x与y一般黑原语句可表示成(∀x)(∀y)(F(x)∧F(y)⇒G(x,y))或者~(∃x)(∃y)(F(x)∧F(y)∧~G(x,y))⏹设A, B是两个谓词公式，若A⇔B 是普遍有效的公式，则称A与B等值，记作A ≡B。
⏹类似于命题逻辑，两个谓词公式A, B等值当且仅当在任何解释下，A 和B的真值都相同。
⏹谓词逻辑的等值演算仍是以基本等值式为基础，应用等值演算规则，逐步推演⏹谓词逻辑中的基本等值式主要分两类：⏹其一是从命题公式移植来的等值式，即命题逻辑中基本等值式的代换实例⏹如(∀x)F(x)⇒(∃y)G(y) ≡~(∀x)F(x)∨(∃y)G(y)⏹另一类是谓词逻辑所特有的等值式，与量词有关⏹（消去量词等值式）⏹设论域D={a1, a2, …, a m}是有限集合，则有⏹(∀x)A(x) ≡A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a m)⏹(∃x)A(x) ≡A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a m)例设论域D = {a, b, c}，消去下面公式中的量词：(1) ∀x(F(x)⇒G(x))≡(F(a)⇒G(a))∧(F(b)⇒G(b))∧(F(c)⇒G(c))(2) ∃x∀yF(x,y)≡∃x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))≡ (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))⏹（量词否定等值式/德·摩根律）⏹设A(x)是含x自由出现的公式，则~(∀x)A(x)≡(∃x)~A(x)~(∃x)A(x)≡(∀x)~A(x)当D = {a1, a2, …, a m} 时∀x A(x)≡A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a m)，∃x A(x)≡A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a m)~∀x A(x)≡~(A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a m))≡ ~A(a1)∨~A(a2)∨…∨~A(a m)≡∃x ~A(x)（量词辖域收缩与扩张等值式）设A(x) 是含x自由出现的公式，谓词公式B中不含x的出现，则有∀x(A(x)∨B) ≡∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ≡∀xA(x)∧B∃x(A(x)∨B) ≡∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ≡∃xA(x)∧B⏹（量词分配等值式）设 A (x ), B (x ) 是含 x 自由出现的谓词公式，则有∀x (A (x )∧B (x )) ≡ ∀xA (x )∧∀xB (x ) ∃x (A (x )∨B (x )) ≡ ∃xA (x )∨∃xB (x )⏹注意：∀对∨不满足分配律，∃对∧不满足分配律 当 D = {a 1, a 2, …, a m } 时 ∀x A (x )≡A (a 1)∧A (a 2)∧…∧A (a m ), ∃x A (x )≡A (a 1)∨A(a 2)∨…∨A (a m )⏹设A(x, y)是含x, y自由出现的谓词公式，则有∀x∀y A(x, y) ≡∀y∀x A(x, y)∃x∃y A(x, y) ≡∃y∃x A(x, y)⏹这组等值式表明相同量词与排列的次序无关，但是对于不同量词，不能随意更换次序，即(∀x)(∃y)A(x, y) 与(∃y)(∀x)A(x, y) 不等值⏹谓词逻辑包括以下三条等值演算规则：⏹置换规则⏹设Φ(A)是含谓词公式A的公式，Φ(B)是用谓词公式B取代Φ(A)中的A（不一定是每一处）之后得到的谓词公式，若A≡B，则Φ(A)≡Φ(B)。
全称量词消去规则
(4)举例
例1 “并非所有的动物都是猫”的表示 设 A(x)：x是动物
B(x)：x是描 原语句可表示成﹁(x)(A(x)B(x)) 依否定型公式得
例2 “天下乌鸦—般黑”的表示 设 F(x)：x是乌鸦
G(x，y)：x与y是一般黑 原语句可表示成
(x)(y)(F(x)^F(y) →G(x,y)) 不难知道与之等值的公式是
✓ 进而消去从左边数第二个存在量词(u)，因(u)的 左边有全称量词(y)(z)，需将谓词P中出现的所有 变元u均以y，z的某个二元函数f(y，z) (f未在P中出
现过，且不知道f具体是哪个函数)代入．
✓ 最后按同样的方法消去存在量词(w)，因(w)的左 边有全称量词(y)(z)和(v)，需将谓词P中出现的 所有变元w均以y，z，v的某个三元函数g(y，z，
5．3 范 式
在命题逻辑里．每一公式都有与之等值的范 式，范式是一种统一的表达形式． 对谓词逻辑的公式来说也有范式，其中前束范 式与原公式是等值的，而其他范式与原公式 只有较弱的关系。
5．3．1 前束范式
定义5．3．1 说公式A是一个前束范式，如果A中的一切 量词都位于该公式的最左边(不含否定词)且这些量词的辖 域都延伸到公式的末端，前束范式A的一般形式为 (Q1x1)…(Qnxn)M(xl，…，xn) 其中Qi为量词或(i＝l，…，n)，M称作公式A的母式(基 式)，M中不再有量词．
首先将全称量词( y)改写成存在量词( y)，其次是引入谓 词S和一个变元z，得S(x，z)，建立公式 ( x)((y)(u)(P(x，y，u)^﹁S(x，y))V(z)S(x，z)) 其中﹁S(x，y)的变元，是(y)的变元y和(y)左边存在量 词( x)的变元x, 附加的(z)S(x，z)中的变元z是新引入的 未在原公式中出现过的个体，S也是不曾在M中出现过的 谓词．
谓词公式等值演算
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 无法证明，只能理解！
1、个体域为有限集D={a1,a2,...,an},则有 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
(1)/x(A(x)B)/xA(x)B A(x)含自由x (2)/x(A(x)B)/xA(x)B B不含有自由x 5 、约束变元改名规则 将A中某量词辖域中变元的每次约束出现，全部换成公 式中未出现的字母，所得到的公式记为B，则AB 6 、置换规则：公式局部等值变换后,仍与原公式等值。
例题、x(A(x)B)xA(x)B
例题、 xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y)) pqpq
xy( (F(x)G(y))H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y))
离散数学
1、 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) 个体域为有限 xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x) x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 4、量词作用域的收缩与扩张律
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x)
当否定符“”移过时，变成、变成、变 成、变成。
交大数理逻辑课件5-1谓词逻辑的等值和推理演算
设：P(x)是含自由变元x的任意谓词公式。
q是不含变元x的谓词公式
量词分配等值式的证明
(x)(P(x)∨q) = (x)P(x)∨q 依据：若存在一个解释I，使
A真B就真，B真A就真，则
A真Þ B真
A=B
设在一解释I下，有 (x)(P(x)∨q) =T
从而对任一个x, 使 P(x)∨q =T
又①设q=T, 有 (x)P(x)∨q =T
如由：(PQ) = PQ ，得
((x)F(x)(y)G(y)) = (x)F(x)(y)G(y)) 如由： PQ = PQ
(x)F(x)(y)G(y) = (x)F(x)(y)G(y)
5.1.2 否定型等值式
设P(x)是含自由变项x的任意谓词公式。则
¬(x)P(x) = (x)¬P(x)
¬(x)P(x) = (x)¬P(x) 设个体域为实数R
从语义上说明
P(x): x是有理数
¬(x)P(x)：并非所有的x都具有性质P，
相当于至少存在一个x不具有性质P，即(x)¬P(x)
所以：¬(x)P(x) = (x)¬P(x)
¬(x)P(x)：并不存在一个x具有性质P
相当于没有x具有性质P，即(x)¬P(x)
所以，¬(x)P(x) = (x)¬P(x)
则A=B
A真Þ B真
设任一解释I下有 ¬(x)P(x)=T
则 (x)P(x)=F 即存在一个x0,使P(x0)= F 于是，¬P(x0)= T ∴在解释I下 (x)¬P(x)=T
B真Þ A真
设任一解释I下有 (x)¬P(x)=T
即存在一个x0,使¬P(x0)=T 于是， P(x0)=F 则 (x)P(x)=F 即 ¬(x)P(x)=T
谓词逻辑的等值和推理演算-PPT精选文档
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
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例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
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量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
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量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !
2-5谓词演算的等价式
F(x)→G(y)⇔¬ ⇔¬F(x)∨G(y) ⇔¬ ∨
2-5.2 量词与联结词¬之间的关系 量词与联结词¬ (quantifier)
定理：量词否定等价式（ 定理：量词否定等价式（P67） ） (1)¬ (∀x)P(x) ⇔(∃x)¬P(x) ¬ ∀ ∃ ¬ (2) ¬ (∃x)P(x) ⇔(∀x)¬P(x) ∃ ∀ ¬ 可以在有限个体域中得到证明。 可以在有限个体域中得到证明。
2-5. 3 量词作用域扩张与收缩
定理：量词作用域扩张与收缩等价式 定理：量词作用域扩张与收缩等价式(P68) (1) (∀x)(A(x)∨B) ⇔ ((∀x)A(x)∨B) ∀ ∨ ∀ ∨ (∀x)(A(x)∧B) ⇔ ((∀x)A(x)∧B) ∀ ∧ ∀ ∧ (∃x)(A(x)∨B) ⇔ ((∃x)A(x)∨B) ∃ ∨ ∃ ∨ (∃x)(A(x)∧B) ⇔ ((∃x)A(x)∧B) ∃ ∧ ∃ ∧ 说明: 中不含x的出现 说明 B中不含 的出现 中不含
例1: (∀x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∀x)F(x)∨G(y) ∀ ∨ ∀ ∨ 例2: (∀x)(∀y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∀ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∀y)G(y)) ∀ ∧∀ ⇔ (∀x)F(x)∧(∀y)G(y) ∀ ∧∀ 例3: (∃x)(F(x)∨G(y)) ⇔ (∃x)F(x)∨G(y) ∃ ∨ ∃ ∨ 例4: (∀x)(∃y)(F(x)∧G(y)) ∀ ∃ ∧ ⇔(∀x)(F(x)∧(∃y)G(y)) ∀ ∧∃ ⇔(∀x)F(x)∧(∃y)G(y) ∀ ∧∃
2-5谓词演算的等价式 谓词演算的等价式
定义2：谓词逻辑有效 永真 永真)式 定义 ：谓词逻辑有效(永真 式 (tautology)： ： 给定任意谓词公式wff A，其个体域为 ， 给定任意谓词公式 ，其个体域为E， 对于A的所有赋值 的所有赋值， 都为真， 对于 的所有赋值，wff A都为真，则称 都为真 则称wff A 上是有效 在E上是有效（永真）式。 上是有效（永真） 命题逻辑永真式（重言式）: 命题逻辑永真式（重言式） 给定一个命题公式， 给定一个命题公式，若无论对分量作怎样 的指派，其对应的真值永为T， 的指派，其对应的真值永为 ，则称命题公式 为重言式或永真公式。 为重言式或永真公式。
谓词逻辑的等值和推理演算
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
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谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
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11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
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12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
离散数学第五章__谓词逻辑详述
5.2.2 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一部 分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A的 x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元； B(x)中不是约束出现的其它个 体变元的出现称为自由出现，这些个体变元称 为自由变元。
5.1 个体、谓词和量词
在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈 述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和 谓语两部分组成。在谓词逻辑中，为揭示命 题内部结构及其不同命题的内部结构关系， 就按照这两部分对命题进行分析，并且把主 语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义5.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个 体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分， 称为谓词。
称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其
中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表 达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量词； 在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后跟条 件式，存在量词(x)后跟合取式。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
例如，在命题“张明是位大学生”中， “张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张明”的性质。设S：是位大学生，c： 张明，则“张明是位大学生”可表示为
S(c)，
或者写成
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一 起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总 论域，为深入研究命题提供了方便。
离散数学ch5[1]谓词逻辑的等值
![离散数学ch5[1]谓词逻辑的等值](https://img.taocdn.com/s3/m/ac54a64ffe4733687e21aa4e.png)
x(┐A(x)B(x)) x (A(x) →B(x))
量词的蕴涵式I16
含有量词的等价式和蕴涵式
例：证明xA(x)→Bx(A(x)→B) (即E31)
证明: xA(x)→B ┐xA(x)B x┐A(x)B x(┐A(x)B) x(A(x)→B) 量词辖域扩张及收缩律E29
把命题演算中的等价、永真性、可满足性等 概念加以推广，扩展到谓词演算中; 并给出获得谓词公式永真式的两个途径。
本节三个主要部分
1.基本定义 2.谓词演算的基本永真公式 3.谓词公式中的范式
基本定义:谓词公式的等价
定义：遍及客体域E等价
给定任何两个谓词公式A和B,E是它们共同的客体域。
在公式A和B中，若用确定的命题取代各个命题变元， 并给谓词公式的每个客体变元指派E中的每一个客体名称 由公式A和B所得到的命题都具有同样的真值， 则称谓词公式A和B遍及E是等价的，并记作遍及E有 A B。
基本定义
一般用真值表难以判定谓词公式种类。 最有效的方法是使用推理。 先介绍基本的谓词公式永真公式。
谓词演算的基本永真公式
谓词演算中的永真式可以通过下面的两 种途径获得：
一、由永真命题公式获得 二、由已知永真公式通过转换公式获得
命题演算的永真公式也是 谓词演算的永真公式
一.由命题公式获得谓词演算中的永式：
把xF(x)和 yG(y)分别用P和Q表示 则原式 P→(PQ) P→(PQ)为永真命题公式 故原式永真
基本定义
(4) ┐(F(x,y)→R(x,y))R(x,y)
把F(x,y)和 R(x,y)分别用P和Q表示
则原式 ┐(P→Q) Q ┐P ┐Q P 0 故原式永假
离散数学
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
00
第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
离散数学_屈婉玲_耿素云_张立昂_主编_高等教育出版社_课后最全答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q 前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
第5章 基于谓词逻辑的机器推理172页PPT
定理证明器：它是研究一切可判定问题的证明方法。 鲁滨逊的归结原理。
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5.0 机器推理概述（3）
基于归结原理的自动定理证明已过知前程提：：
定理证明问题。
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5.0 机器推理概述（2）
自动定理证明的基本方法：
自然演绎法：该方法依据推理规则从前提和公理中可以 推出许多定理，如果待证明的定理在其中则定理得证。 典型代表：LT程序、证明平面几何的程序。
判定法：该方法是对一类问题找出统一的计算机上可实 现的算法。典型代表：数学家吴文俊教授——吴氏方法。
命题（proposition）：是具有真假意义的语 句。命题代表人们进行思维时的一种判断，或 者是否定，或者是肯定。
命题可以用命题符号表示，如：
P:今天天气好
Q:去旅游
S1：我有名字
S2：你有名字
用命题符号可以表示简单的逻辑关系和推理。
PQ：表示如果今天天气好，就去旅游。
此时，如果P（今天天气好）成立，则可以得到结论Q（去旅游）
第5章 基于谓词逻辑的机器推理
07.01.2020
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目录
5.0 机器推理概述 5.1 一阶谓词逻辑 5.2 归结演绎推理 5.3 应用归结原理求取问题答案 5.4 归结策略 5.5 归结反演程序举例* 5.6 Horn子句归结与逻辑程序 5.7 非归结演绎推理
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5.0 机器推理概述（1）
例5.3：某些人对某些食物过敏
x y(M(x)N(y)G(x,y))
05-L.02 谓词逻辑的归结推理
离散数学基础2017-11-19•一些基本定义：−谓词公式中原子或原子的否定形式称为文字。
−文字的析取式称为子句。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
»空子句是不可满足的。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理：谓词公式的子句集化归−任何谓词公式都可应用谓词逻辑等值式及推理规则化成相应的子句集。
−过程（构造性证明）：(1)蕴涵消去：消去条件蕴涵符号；(2)否定词深入：否定词直接作用在原子上；(3)变量标准化：处于不同量词辖域的约束变量根据易名规则使用不同的变量名；(4)消去存在量词：对不受约束的存在量词，使用常量符号例化；对被约束的存在量词，引入Skolem函数建立依赖；(5)化为前束形： （前缀）（母式），前缀包含全称量词串，母式中不包含任何量词；(6)将母式化为合取范式；(7)消去全称量词（自由变量默认全称量化）；(8)由(6)中各极大项构成子句；(9)变量分离：使各子句不含同名变量。
•例：∀xP(x)→∀x∃y((P(x)∨Q(x))→R(x, y))¬ ∀xP(x) ∨ ∀x∃y(¬(P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x, y)) 蕴涵消去∃x¬P(x) ∨ ∀x∃y ((¬P(x) ˄ ¬Q(x)) ∨ R(x, y))否定词深入∃x¬P(x) ∨ ∀z∃y ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, y))变量标准化¬P(c) ∨ ∀z((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))消去存在量词∀z(¬P(c) ∨ ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))) 化为前束形∀z((¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z)) ˄(¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z)))将母式化为合取范式¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z), ¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z) 消去全称量词 {¬P(c) ∨ ¬P(u) ∨ R(u, f Skolem(u), ¬P(c) ∨ ¬Q(v) ∨ R(v, f Skolem(v)} 变量分离−说明：»子句中的变量总是被默认为全称量化的；»化归得到的子句集不等价于原公式；»考虑到量词消去和引入规则的应用，若公式 A 在逻辑上遵循公式集 S，则也遵循由 S 变换成的子句集。
一阶逻辑等值演算与推理
方法：利用换名规则及代替规则求前束范式
例:求下列公式的前束范式. １、(x)P( x) (x)Q( x)
解：原式 xP(x) xQ(x)
x(P(x) Q(x))
要求： 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之
间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
一、量词否定等值式
例：设P(x)：X今天去过操场 （1）不是所有人今天去过操场
根据上式亦有：
x(A(x) B(x)) x(A(x)) x(B(x))
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
四、多个量词的使用
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) yxA(x,y)
即((x)A(x) (x)B(x)) (x)(A(x) B(x)) 故有：
(x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
下列推理是否严密？
(1) (x)((y)(S( x, y) M( y) (z)(P(z) R( x, z)))) P
(2) (y)(S(b, y) M( y) (z)(P(z) R(b, z))) US(1)
(3) (z)P(z)
05第五章一阶逻辑等值演算与推理
3 存在量词引入规则（EG） A(c)
xA( x) 成立条件： （1）c为特定的个体常项 （2）x不能在A(c)中出现
4 存在量词消去规则（EI） xA( x) A(c)
成立条件： (1) c是使A为真特定的个体常项 (2) c不在A( x)中出现， （3）A( x)中除自由出现的x外，无其他自由出现的 个体变项
xy(F ( x) G( y) L( x, y))
5.2 一阶逻辑前束范式
定义（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式，若具有如下形式
Q1 x1Q2 x2 L Qk xk B 则称A为前束范式，其中Qi (1 i k)为或， B为不含量词的公式
定理（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现的又是自由出现的个体变项 (1) xF ( x, y, z) yG( x, y, z) (2) x(F ( x, y) yG( x, y, z)
例 设个体域D {a, b, c}，将下面公式的量词消去： (1) x(F ( x) G( x)) (2) x(F ( x) yG( y)) (3) xyF ( x, y)
5.3 一阶逻辑的推理理论
推理定律
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 重要推理定律 (1) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) (2) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (3) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (4) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (5) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x)
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑的推理演算
谓词逻辑是一门重要的数学学科，它是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，其中包括如何推理和证明其定理。
谓词逻辑最初是由古希腊哲学家克里特拉提出的，他提出了一组谓词符号，用来表示语句的真假性。
他也创造了一种推理机制，用来从已知事实推断出新的结论。
谓词逻辑的推理演算是由一系列规则构成的，这些规则用来说明在谓词逻辑中可以从已有的结论推出新的结论的过程。
该过程可以分成三个步骤：推断，证明和验证。
首先，我们需要从已知的事实和结论中推断出新的结论。
然后，我们需要用谓词逻辑规则来证明这个结论是正确的。
最后，我们需要验证这个结论是正确的，以确保我们的推理是正确的。
谓词逻辑的推理演算是一种非常强大的工具，可以用来推断出各种复杂的数学定理。
它可以让我们更加深入地理解一些概念，并证明它们的正确性。
它也可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
谓词逻辑的推理演算是用来研究可以用谓词符号表示的各种数学语言中的定理，它是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解数学概念，从而推断出新的结论。
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(4) 举例
例1 “并非所有的动物都是猫”的表示 设 A(x)：x是动物 B(x)：x是描 原语句可表示成﹁(x)(A(x)B(x)) 依否定型公式得
举例
例2 “天下乌鸦一般黑”的表示 设 F(x)：x是乌鸦 G(x，y)：x与y是一般黑 原语句可表示成 (x)(y)(F(x)F(y) → G(x,y)) 不难知道与之等值的公式是 ﹁(x)(y)(F(x)F(y)﹁G(x,y)) 即不存在x, y是乌鸦但不一般黑．这两句话含义是相同 的．经计算有
前束范式
定理5.3.1 谓词逻辑的任一公式都可化为与 之等值的前束范式．但其前束范式并不唯一 举例给出化前束范式的过程
举例
前束范式
经过这几步，便可求得任一公式的前束范式．由于每 一步变换都保持着等值性，所以，所得到的前束形与 原公式是等值的 这里的S(a，b，x，y，z)便是原公式的母式。其中 a,b是自由个体变项 由于前束中量词的次序排列，以及对母式都没有明确 的限制，自然前束范式不是唯一的，如例1的前束范式 也可以是 (x)(z)(y)(S(a,b,x,y,z) P) 其中P可以是任一不含量词的普遍有效的公式
5.3.2 Skolem标准形
前束范式对前束量词没有次序要求，也没有 其他要求 如果我们要求: (1) 只保留全称量词而消去存在量词-Skolem标准形 (2) 所有存在量词都在全称量词之左 (3) 所有全称量词都在存在量词之左 不难想像，仍保持与原公式的等值性就不可 能了，只能保持在某种意义下的等值关系
解释性的说明． 如下规定解释I: x=1时, P(1)=T而Q(1)=F. x=2时, P(2)=F而Q(2)=T. 对其他x属于D，只要求P(x), Q(x)中只有一为T 在这个I下， (1) 有(x)(P(x)Q(x))=T 而没有(x)P(x)(x)Q(x)=T (2) 有(x)P(x)(x)Q(x)=T 而没有(x)(P(x)Q(x))=T
作业一
P84 习题五 1(1, 5, 9) 2(4, 8)
5.3 范式
在命题逻辑里．每一公式都有与之等值的范式 范式是一种统一的表达形式、当研究一个公式的特 点(如永真、永假)时，范式起着重要的作用 对谓词逻辑的公式来说也有范式，其中前束范式与 原公式是等值的，而其他范式与原公式只有较弱的 关系
说明
可看出对的分配律，只涉及到和交换律，这是 没有问题的，对的分配律，涉及到和，这是 对分配律不成立的原因 从{1，2}域上的观察，可知 (x)P(x)(x)Q(x)⇒(x)(P(x)Q(x)) 是成立的 将会看到该蕴涵关系在任意论域D上也是成立
证明
(4) 分析一下，对分配律不成立的原因
证明
(2) 证明对的分配律 设在一解释I下, (x)(P(x) Q(x))=T 于是有x0D 使P(x0) Q(x0)=T 从而有P(x0)=T或Q(x0)=T也即 (x)P(x)或(x)Q(x)为T 故有(x)P(x) (x)Q(x)=T 反推回去，易知在一解释I下，只要 (x)P(x) (x)Q(x)=T 必有(x)(P(x) Q(x))=T
证明
(3) 分析一下对分配律不成立的原因 先从{1，2}域上看．有 (x)(P(x)Q(x))=(P(1)Q(1)) (P(2)Q(2)) =(P(1)P(2)) (Q(1)Q(2)) (P(1)Q(2)) (Q(1)P(2)) 而(x)P(x) (x)Q(x) = (P(1)P(2)) (Q(1)Q(2)) 于是有 (x)(P(x)Q(x)) =(x)P(x)(x)Q(x)(P(1)Q(2))(Q(1)P(2)) 然而(x)(P(x)Q(x))=(P(1)Q(1))(P(2)Q(2)) =(P(1)P(2))(Q(1)Q(2))=(x)P(x)(x)Q(x)
说明
﹁(x)P(x)与(x)﹁P(x)不等值 如P(x)表示x是有理数 前者的语义是并非所有的x都是有理数 后者的语义是说所有的x都不是有理数 这两句话是不同的 ﹁(x)P(x)与(x)﹁P(x)也不等值 ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) (x)﹁P(x)=﹁(x)P(x)
5.1.2 否定型等值式(摩根律的推广)
﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 形式上看这对公式，是说否定词”﹁”可越 过量词深入到量词的辖域内，但要把所越过 的量词转换为，转换为
(1)从语义上说明
﹁(x)P(x)语义上表示的是，并非所有的x都具 有性质P．这相当于，有一个x不具有性质P，这 正是(x)﹁P(x)的含义. 由语义分析知﹁(x)P(x) 与(x)﹁P(x)表示的 是同一命题，自然有 ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) (x)P(x)=﹁ (x)﹁P(x) 类似的有﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) (x)P(x)=﹁(x)﹁P(x)
说明
可看出对的分配律，只涉及到和交换律，仍然 是没问题的．对的分配律，涉及到和，这是 对分配律不成立的原因 从{1，2}域上的观察，可知 (x)(P(x) Q(x))⇒(x)P(x) (x)Q(x) 是成立的． 将会看到该蕴涵关系在任意论域D上也是成立的
说明
这是当P(x)，Q(x)都含有个体变元x时，量词 对，量词对所遵从的分配律．然而对，对 的分配律一般并不成立
证明
(1) 证明对的分配律 设在一解释I下，(x)(P(x) Q(x))=T 于是对任一x D，P(x) Q(x)=T 即P(x)=Q(x)=T 从而有(x)P(x)=(x)Q(x)=T 故有(x)P(x) (x)Q(x)=T 反推回去，易知在一解释I下，只要 (x)P(x) (x)Q(x)=T 必有(x)(P(x) Q(x))=T
5.1 否定型等值式
若给定了两个谓词公式A，B，说A和B是等值的，如果在公式 A，B的任一解释下，A和B都有相同的真值 在谓词逻辑中，需要给出解释的内容包括(见P65): (1) 论域 (2) 谓词变项 (3) 命题变项 (4) 函数 (5) 自由个体 等价的说法: A，B等值当且仅当AB是普遍有效的公式 记作A＝B或AB
举例
例3 求公式 (x)(y)(z)(u)(v)(w)P(x, y, z, u, v, w)的Skolem标准形 将一公式化成Skolem标准形，首先也要求 出前束形．这个例子已是前束形了，便可直 接求Skolem标准形了
例3 (x)(y)(z)(u)(v)(w)P(x, y, z, u, v, w)
对x而言(y)Q(y)相当于命题变项，与x无关，可推得 (x)P(x)(y)Q(y)=(x)(P(x)(y)Q(y)) 对y而言，P(x)相当于命题变项与y无关，又可推得 (x)(P(x)(y)Q(y))=(x)(y)(P(x)Q(y)) 同理(x)(y)(P(x)Q(y))=(x)P(x)(x)Q(x) 然而 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的 (x)(y)(P(x)Q(y))与(x)(P(x)Q(x))是不等值的
5.2.4 变元易名后的分配律
这两个等值式，说明了通过变元的易名，仍可实现 对，对的分配律 证明是容易的．首先有变元易名等值式 (x)P(x)= (y)P(y) (x)P(x)= (y)P(y) 于是 (x)P(x)(x)Q(x)=(x)P(x)(y)Q(y)
分配律
5.2.2 量词对→的分配律
这是一组量词对→的分配律，其中p，q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件
证明
先证明其中的第一个等式．
依5.2.1的等值式 依5.1.2的等值式
证明
再证明其中的第三个等式
依5.2.1的等值式
其余两个等值式同样可证
5.2.3 量词对、量词对的分配律
举例
5.2 量词分配等值式 5.2.1 量词对、的分配律
这是一组量词对、的分配律，其中q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件 我们仅对第一个等式给出证明，其余三个同样可 证
(x)(P(x)q)=(x)P(x)q
设在一解释I下，(x)(P(x)q)=T，从而对任 一x D ，有P(x)q=T 若q＝T，则(x)P(x)q=T 若q＝F，从而对任一x D ，有P(x) =T ，即有 (x)P(x)=T，故仍有(x)P(x)q=T 反过来，设在一解释I下，(x)P(x)q=T 若q=T，则(x)(P(x)q)=T 若q=F，必有(x)P(x)=T，从而对任一xD有 P(x) =T，于是对任一x D有P(x)q=T, 故 (x)(P(x)q)=T
第5章 谓词逻辑的等值和推理演算
谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律，普 遍有效式是最重要的逻辑规律 等值和推理演算是谓词逻辑的基本内容 同命题逻辑相比，由于量词谓词的引入，使 谓词演算有着广泛的应用 这章的讨论，主要是以语义的观点进行的非 形式的描述，而严格的形式化的讨论见第6 章所建立的公理系统
Skolem标准形
仅保留全称量词的前束形 定理5.3.3 谓词逻辑的任一公式A，都可化成相 应的Skolem标准形(只保留全称量词的前束形)， 并且A是不可满足的当且仅当其Skolem标准形是 不可满足的 这定理是说对不可满足的公式，它与其Skolem标 准形是等值的，而一般的公式与其Skolem标准形 并不是等值的．自然仅当A是不可满足的方使用 Skolem标准形
5.3.1 前束范式
定义5.3.1 说公式A是一个前束范式，如果 A中的一切量词都位于该公式的最左边(不 含否定词)且这些量词的辖域都延伸到公式 的末端，前束范式A的一般形式为 (Q1x1)…(Qnxn)M(x1，…，xn) 其中Qi为量词或(i＝1，…，n)，M称作 公式A的母式(基式)，M中不再有量词
(2)在{1，2}域上分析
﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)﹁P(2) =(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x) =﹁(P(1)P(2)) =﹁P(1)式定义，A=B如果在任一解释I下A真B就真，而且 B真A就真． 若证明﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 1. 设任一解释I下有﹁(x)P(x)=T 从而(x)P(x)=F，即有一个xoD,使P(Xo)=F 于是﹁P(xo)=T 故在I下(x)﹁P(x)=T 2. 反过来，设任一解释I下有 (x)﹁P(x)=T 即有一个xoD,使﹁P(Xo)=T 从而P(Xo)=F 于是(x)P(x)=F 即﹁(x)P(x)=T