自然界之美罗马花椰菜斐波纳契数列黄金螺旋
自然界中的斐波那契数
五、自然界中的费氏数：自然界中到处可见费氏数列的踪迹。
树技上的分枝数，多数花的瓣数都是费氏数：火鹤 1、百合 3、梅花 5、桔梗常为 8、金盏花 13、…等等。
费氏数列也出现在松果上。
一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺线排列：一组呈顺时针旋转，另一组呈反时针，网页上的图；仔细瞧瞧，顺时针螺线的排列数目是 8，反时针方向则为 13，而另一组常出现的数字是「5 及 8」。
向日葵也是一样，常见的螺线数目为「34 及 55」，较大的向日葵的螺线数目则为「89 及 144」，更大的甚至还有「144 及 233」。
这些全都是费氏数列中相邻两项的数值。
数数看，下图这朵向日葵的螺线数目是多少？为什么呢？植物是以种子和嫩芽开始生长；种子发芽后，很多细根会长出来，并且向地底下生长，而嫩芽则是迎向阳光。
如果用显微镜观察新芽的顶端，你可以看到所有植物的主要征貌的生长过程——包括叶子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。
在顶端的中央，有一个圆形的组织称为「顶尖」（apex）；而在顶尖的周围，则有微小隆起物一个接一个的形成，这些隆起则称为「原基」（primordium）。
成长时，每一个原基自顶尖移开（顶尖从隆起处向外生长，新的原基则在原地）；最后，这些隆起原基会长成叶子、花瓣、萼片等等。
每个原基都希望生成的花、蕊、或叶片等等，之后能够获得最大的生长空间。
例如叶片希望得到充足的阳光，根部则希望得到充足的水份，花瓣或花蕊则希望充份地自我展现好吸引昆虫来传粉。
因此，原基与原基隔得相当开，由于较早产生的原基移开的较远，所以你可以从它与顶尖之间的距离，来推断出现的先后次序。
另人惊奇的是，我们若依照原基的生成时间顺序描出原基的位置，便可画出一条卷绕得非常紧的螺线——称为「生成螺线」（generative spiral）。
之前我们提到过的左右旋螺线，虽然能够明显到让人一眼看出（植物学家称之为「斜列线」，parastichy），但那并不是植物的原基生长模式的实际表征；就某种程度而言，这些螺线只是视学上的错觉。
斐波那契螺旋(黄金分割)
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。
我们对他的生平知道得很少。
他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。
他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。
在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。
数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。
在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。
不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。
本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。
很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。
斐波那契与黄金数
无论是在古代还是在现今，数学都是一个非常神奇的领域，尤其是其中的黄金数更是一个神奇的数字。
今天我们就一起来看一下其中的美妙。
斐波那契是中世纪数学家，他对欧洲的数学发展有着深远的影响。
他生于意大利的比萨，曾经游历过东方和阿拉伯的许多地方。
1202年，斐波那契出版了他的著作《算盘书》。
在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字，将十进制计数法介绍到欧洲。
在此书中他还提出了有趣的兔子问题。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...可以将结果以表格形式列出：看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
一个数列，如果从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。
生活中有很多这样的数据，比如生活中大家常见的扑克牌，大家都知道有四种花色。
扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。
在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。
在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。
在中国，梅花有着类似的象征意义。
民间传说梅花五瓣代表着五福。
民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和。
生命之花：斐波纳契数列与螺旋，人体是宇宙的量尺
生命之花：斐波纳契数列与螺旋，人体是宇宙的量尺第八章协调斐波纳契的二元极性斐波纳契数列与螺旋为了理解为什么达芬奇人体标准中的螺旋不是黄金分割螺旋，为了找出这个螺旋是什么，我们不得不提到另一个人——不是列奥纳多·达芬奇(Leonardo da Vinci)，而是列奥纳多·斐波纳契(Leonardo Fibonacci)。
斐波纳契比达芬奇早了至少250年，他是一个修道士，常常处于冥想状态；他喜欢在繁茂的树林里，一边散步，一边冥想。
但是，显然他的左脑也很活跃，因为他注意到植物与花有共同的数学关联。
生命之花的古老秘密（30）—斐波纳契数列与螺旋他发现不同的花和植物，花瓣数有某种明显的分布。
并且对于单个植物的生长，例如珠蓍（sneezewort)，也满足这个关系。
珠蓍刚从地面长出来时，只有一片叶子，过了一段时间，还是一片叶子；当它长到高过茎的时候，就出现了两片叶子，然后3片、5片、8片，然后长出13朵花。
他可能会说：“什么?竟然和花瓣那堆数字一样！”最终他得到一个数列——1,1,3,5,8，13，21，34，55，89......这个数列的规律是，前两个数相加后等于第三个数，这就是著名的斐波纳契数列，它对生命起着决定性的作用。
下图是木槿花（hibiscus flower)，有五朵花瓣，末端的花蕊也是五个。
生命的方案黄金分割螺旋，无始无终；向内无限小，向外无穷大。
生命可以理解某些没有终点的事，但是无法理解没有开始的事。
大自然所做的就是，创造斐波纳契数列来解决这个问题。
斐波纳契螺旋与黄金分割螺旋只有极小的差异，你几乎察觉不到。
如果你把斐波纳契数列相邻的两个数相除，你会发现这个比值越来越接近黄金分割。
事实上，这个比值会无限接近黄金分割，但永远也不会达到。
四个方块的中心就是最初的八个细胞所在，外面的八个方块是4个螺旋的起点，不再是没有起点的无限小的螺施。
我相信，这就是生命所做的。
实际上，埃及的三座金字塔并不是排列在黄金分割螺旋，而是斐波那契螺旋，他们顺着螺旋找到了那个洞。
斐波那契数列
1. 观察数据间的大概函数关系
将以下点列显示在平面坐标系中：
(n ,F n)n , 1 ,2 , ,N
观察其中蕴涵的函数关系
查看代码
结论：曲线的形状象指数函数的曲线
2. 进一步验证上一步得到的结论
再将以下点列显示在平面坐标系中：
( n ,l o g F n ) ,n 1 ,2 ,,N
观察其中蕴涵的函数关系
意大利斐波那契(Fibonacci)，1202年
三、问题分析
兔子对的数目依次如下： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…… 称为Fibonacci数列。 所求答案：Fibonacci数列的第12项。
递推公式：Fn2 Fn1 Fn
Fibonacci数列的一般规律是什么？
四、背景知识
C2
1 5
Fn
1
2
5
n
12 5
5
n
六、化学反响中生成物的浓度问题
1、描绘生成物浓度的散点图 代码：
t=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]; y=[4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86]; y=[y,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60 ]; plot(t,y, 'r+') xlabel('时间'); ylabel('浓度'); legend('生成物浓度散点图')
构 造 数 列 ： b n F n C r n
( r 1 5 ,r 2 r 1 ) 2
可 得 数 列 b n 仍 然 满 足 那 个 递 推 公 式
上帝的指纹奇妙的斐波那契螺旋线
上帝的指纹奇妙的斐波那契螺旋线斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等。
现在，木匠保罗·塞勒斯（Paul Sellers）要和我们展示下，他是怎么通过一把凿子，自己创造美丽的斐波那契木雕花：视频：斐波那契数列的秘密斐波那契数列斐波那契数列和斐波那契螺旋线斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列的项就由之前的两数相加。
依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
这个级数（数列也叫级数）与大自然植物的关系极为密切。
几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字：菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线，它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字（如左旋8行，右旋13行）；还有向日葵花盘……倘若两组螺线条数完全相同，岂不更加严格对称？可大自然偏不！直到最近的1993年，人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释：此级数中任何相邻的两个数，次第相除，其比率都最为接近0.618034……这个值，它的极限就是所谓的'黄金分割数'。
特别指出：0不是第一项，而是第零项。
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
植物数学家
实验中的数学模块显示，植物夜 间需要消耗的淀粉数量，能通过叶片化 学物质以除法的方式运算出来。这样， 它们就可以规划好所需储备的淀粉量， 以帮助它们在黎明到来前有足够的能量。 而到了夜晚，植物能够非常精确地调整 它所需的淀粉消耗量。这种现象只能有 一种解释，在这一过程中，该植物进行 了完整的数学运算，而且进行的还是除 法。 史密斯表示：“植物实际上是通 过一种简单的化学方式，在做数学题。 当我们看到这个实验结果时，不单是欣 喜异常，准确说应该是被它们吓到了。” 他们发现，植物叶片内的组织会计算所 需的淀粉储备。通过植物体内的生物钟 完成时间信息的规划，其原理与人类的 生物钟相似。
在我国的西安地区有一种常见的小草叫作车前草。 它的叶片间的夹角正好是１３７．５°，与数学中称为 黄金角的数值相吻合。车前草按照这一角度排列的叶片， 能保证每片叶子都可以最大限度地获得阳光，从而有效 地提高植物光合作用的效率。于是，建筑师们就参照车 前草叶片排列的数学模式，设计出了新颖的螺旋式高楼， 最佳采光效果使得高楼的每个房间都很明亮。
向日葵是名符其实的数学家，我们只看到 它的外表美丽，而忽略它的了不起之处。有机 会观察一下它的葵花盘，你就会发现两组螺旋 线，一组沿着顺时针方向环绕，一组沿着逆时 针方向环绕，而且彼此镶嵌。这两组螺旋线的 数目，一般都是34和55、55和89、89和144这 三组数字。顺时针的数字小，逆时针数字大， 不信你数一数。现在正是长向日葵的季节，同 学们有机会都去数数看。
罗马花椰菜是一种可 食用的花椰菜，16世纪发 现于意大利。这种花椰菜 长相特别，花球表面由许 多螺旋形的小花所组成， 小花以花球中心为对称轴 成对排列。罗马花椰菜的 神奇在于其规则和独特的 外形，已经成为著名的几 何模型。罗马花椰菜以一 种特定的指数式螺旋结构 生长，而且所有部位都是 相似体.
大自然里的裴波那契数列螺旋
大自然里的裴波那契数列螺旋作者：来源：《大众科学》2015年第10期向日葵花盘与银河系、飓风有着相似的旋转方式，其实，在大自然里，很多事物都在依循着一个规律——裴波那契数列——黄金螺旋佛语有云“一花一世界，一叶一菩提。
”——从一朵花里就可以看出整个世界，用一片叶子就能代表整棵菩提。
那么，一朵花真的能看出一个世界吗？其实，大自然里，很多事物都在依循着一个规律——裴波那契数列——黄金螺旋。
向日葵花盘与银河系、飓风有着相似的螺旋方式。
一花真的可以看见一世界。
什么是斐波那契数列？中世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，1170～1240）发现了这一数列，它是这样一组数列：1、1、2、3、5、8、13……即后一数字为前面两个数字之和。
这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的（a[n+2]=a[n+1]+a[n]）。
而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割1.618，或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618。
这样映射出的斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，那么，这一数列螺旋和自然界有什么关联呢？请耐心点，答案马上为你揭晓！自然界中，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都是非常符合斐波那契数列的。
细致观察可以发现，向日葵的花盘中有两组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。
虽然不同的向日葵品种中，这些顺逆螺旋的数目并不固定，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数，很有趣吧！这样排列的目的，是为了让植物最充分地利用阳光和空气，繁育更多的后代。
在大自然里还有许多斐波那契数列。
例如，树木的生长。
由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
斐波那契数列
斐波那契数列的探究如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由1对出生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？每月底兔子对数是：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……， 50个月后是12586269025 对．这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……●观察斐波那契数列项数之间有什么关系？从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用F n 表示第n 项，则有F n =F n -1+F n-2（n ≥3）．通过递推关系式121(1,2)(3)n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩，可算出任意项，不过，当n 很大时，推算是很费事的．必须找到更为科学的计算方法．能否找到通项公式，并给予证明？ 1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式n a =n )251(+-n )251(-]，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称之为——比内公式．1．下面研究一下该通项公式的来历已知：数列{a n }满足a 1=a 2=1, a 3=2，且a n+2 = a n+1+ a n (n≥3),求a n 证明：（利用等比数列性质求解）构造常数A 、B ，使之211()n n n n a Aa B a Aa +++-=-整理得：21()n n n a A B a ABa ++=+-与21n n n a a a ++=+比较得⎩⎨⎧=-=+11AB B A 解之得：A=251±、 B=251μ 不妨取A=251+、 B=251-得：211111()222n n n n a a a a +++++-=-∴1n n a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以21a -=251-为公比的等比数列。
神奇的植物与数学------斐波那契数列
神奇的植物与数学------斐波那契数列自古以来，人类就从植物中看到了数学特征：花瓣对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称形状，叶子沿着植物茎秆相互叠起，有些植物的种子是圆的，有些呈刺状，有些则是轻巧的伞状……所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
科学家发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）它广泛存于在现代物理、准晶体结构、化学等领域，列昂纳多·斐波那契（1170---1250）是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他也是斐波那契数列的发明者，一个不平凡的意大利数学家。
美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载斐波纳契数列方面的研究成果。
你看，向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。
仔细观察向日葵花盘，你会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此镶嵌。
虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字就是斐波那契数列中相邻的两个数。
前一个数字是顺时针盘绕的线数，后一个数字是逆时针盘绕的线数。
还有，雏菊的花盘也有类似的数学模式，只不过数字略小一些，菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜。
挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片。
常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行，美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行……如果是遗传决定了花朵的花瓣数和松果的鳞片数，那么为什么斐波那契数列会与此如此的巧合?这也是植物在大自然中长期适应和进化的结果。
斐波拉契数列展示全解
斐波那契数列定义斐波那契数列指的是这样一个数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368这个数列从第2项开始，每一项都等于前两项之和。
下面的就是斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。
斐波那契螺旋线的应用斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”,是根据斐波那契数列画出来的螺旋。
这种形状在自然界中无处不在。
该原理和黄金比例紧密相连，你会发现，用后一项除以前一项，比例会越来越接近1.618:1。
常见于各种摄影构图、设计理念、建筑物当中，自然界中也有很多如贝类的螺旋轮廓线、向日葵轮廓、银河等这种天然的“黄金螺旋”。
飓风、银河系、向日葵和人的耳朵的共同特点是什么？看似毫无关联，但实际上它们都有着与“黄金螺旋”几乎吻合的形状，“黄金螺旋”是人类通过计算得出的最完美的螺旋形状。
将飓风的卫星云图和银河的形状摆放在一起作对比，会发现它们有着惊人的相似性。
飓风、银河系、向日葵和人的耳朵的共同特点是什么？看似毫无关联，但实际上它们都有着与“黄金螺旋”几乎吻合的形状，“黄金螺旋”是人类通过计算得出的最完美的螺旋形状。
将飓风的卫星云图和银河的形状摆放在一起作对比，会发现它们有着惊人的相似性。
银河系实际上，在自然界中存在着大量美丽、神奇的天然黄金螺旋结构，这是大自然的精妙设计。
图中显示的是银河系的斐波那契螺旋线，同样也完美地符合“黄金螺旋”的形状。
多肉植物甚至像芦荟这样的多肉植物也会呈现出“黄金螺旋”的形状。
植物以“黄金螺旋”的形式生长出新的细胞，然后就会呈现出这种形状。
这种方式让植物的新生叶子与旧叶子互相之间不会相互遮挡太多，能最大程度地享用阳光和雨露。
仙人掌呈现“黄金螺旋”形状的证据似乎并不明显，但是仔细观察仙人掌上长出的针，它们的排列方式居然与向日葵与多肉植物的形状很相似。
罗马花椰菜
罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的不规则碎片形蔬菜。
它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。
不规则碎片形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。
它通过多次重复不规则碎片形生成等式，形成美丽的图案。
我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契(LeonardoFibonacci ),生于公元1170年，卒于1240年，1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci) 一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8 13、21、34这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和斐波那契数列通项公式与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。
而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割1.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 ）1 十1=1, 2- 1=2, 3-2=1.5 , 5-3=1.666... , 8-5=1.6 , ........ ,越到后面，这些比值越接近黄金比.奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前一一比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1, 每个偶数项的平方都比前后两项之⑴积多1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1,第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
D a已口屯令香口口比隐藏斐波那契数列将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、公式表示如下：f ⑴=C(0,0)=1。
生活中的美妙分形
从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。
分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。
如果将一个分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。
分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。
通过多次迭代或重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。
地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以飨读者。
1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli）这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约束，Φ值即黄金分割率。
旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。
世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。
结痂的盐层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。
3. 菊石缝合线已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。
斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中独一无二。
和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自然界中颇为常见。
西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。
4. 山脉地质构造作用力向上抬升地壳，侵蚀再将地壳撕得支离破碎，山脉从此形成，同时也产生了分形图案。
上图是喜马拉雅山脉（Himalayan Mountains）的高空图像，地球上许多最高的山峰都集中在这一带。
造山运动始于7000万年前，随着印度板块和欧亚大陆板块的不断碰撞，喜马拉雅山脉还在被抬升。
斐波那契螺旋线
斐波那契螺旋线
斐波那契螺旋线的介绍分析如下：
斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案。
斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。
作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。
它来源于斐波那契数列又称为黄金分割数列。
西藏阿里地区2024高三冲刺(高考数学)统编版能力评测(综合卷)完整试卷
西藏阿里地区2024高三冲刺（高考数学）统编版能力评测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（）A ．米B．米C．米D．米第(2)题若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（）A．B．C．D．第(3)题二项式的展开式中，常数项为（）A．-4B．4C．-6D．6第(4)题斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的母线长为（）A．13B．8C．21D．5第(5)题设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是A．B．C．D．第(6)题下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为( )A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6第(7)题是虚数单位等于A．B．C．D．第(8)题三棱柱，底面边长和侧棱长都相等．，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）A．的图象关于点对称B ．函数的图象关于直线对称C．函数的周期为2D．第(2)题已知函数的最小正周期为，若，则（ ）A ．在上单调递增B ．在上有两个零点C ．直线是曲线的对称轴D ．直线是曲线的切线第(3)题若双曲线，分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的离心率为B ．点的运动轨迹为双曲线的一部分C ．若，，则.D．存在点，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知椭圆=1的左、右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点M ，设M 的坐标为，若，则下列结论序号正确的有______．①+＜1②+＞1③+＜1④第(2)题已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．第(3)题设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB=2，则|AB|=____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数的定义域为，其导函数．(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；(2)若，满足，且，求的取值范围．第(2)题在中，角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若为锐角三角形，为边的中点，求线段长的取值范围.第(3)题已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆E 的离心率为，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E的方程；(2)若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程．第(4)题如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．(1)求证：面PAD；(2)求二面角的正弦值；(3)设点G在PB上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面．第(5)题的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D为BC中点，，求AD的长.。
云南省怒江傈僳族自治州2024高三冲刺(高考数学)部编版真题(培优卷)完整试卷
云南省怒江傈僳族自治州2024高三冲刺（高考数学）部编版真题(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．则点的轨迹所包围的图形的面积等于（）A．B．C．D．第(2)题为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则该班成绩的平均分是（）A．B．C．D．第(3)题设是定义在R上的函数，若是奇函数.是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（）（1）当时，（2）（3）若，则实数m的最小值为（4）若有三个零点，则实数A．1个B．2个C．3个D．4个第(4)题在梯形中，，且，点是的中点，则（）A．B．C．D．第(5)题已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A．B．C．D．第(6)题.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．第(7)题斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的母线长为（）A．13B．8C．21D．5第(8)题定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（）①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个.A．①③④B．①②④C．②③D．①④二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．B．C．D．第(2)题学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔9天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了5次，他发现这5次的日期中没有星期天，则小明同学在这5次中第一次去北园食堂可能是（）A．星期一B．星期三C．星期五D．星期六第(3)题已知抛物线：的焦点为F，直线与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，MN垂直准线于N，则下列结论正确的是（）A．若，则直线的倾斜角为B．点M到准线距离为C．若直线经过焦点F且，则D．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的定义域是_____________.第(2)题若，则__________．第(3)题甲先生接到某快递公司快递员乙的电话通知，约定于下午2点~3点之间到某小区便利店门口签收货物．由于甲先生从写字楼出来的时间不确定，快递员乙也在边送其他快递边往约定地点赶，两人约定到达后需要等待对方20分钟，假设两人都在下午2点~3点之间的任意时刻到达约定地点，不考虑其他因素的影响，则甲先生能签收到货物的概率是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．(1)求C的方程；(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．第(2)题已知函数（1）求不等式的解集；（2）若，，，且，证明：.第(3)题在直角坐标系中，已知定点、，动点满足，设点的曲线为，直线与交于两点.（1）写出曲线的方程，并指出曲线的轨迹；（2）当，求实数的取值范围；（3）证明：存在直线，满足，并求实数的取值范围.第(4)题在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.第(5)题一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？。
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3.告知性通报：用于传达上级重要指示精神、重要会 议精神、交流工作情况和经验教训，指出工作的重点 或必须关注的问题。
★时效性：如处置突发事件的情况通报等。
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十、报告： 用于向上级机关汇报工作、反映
情况、回复上级机关的询问。
★严肃性：“谨慎出令，令出准行”。
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四、公报：用于公布重要决定或者重大事项。
主要特点：
★内容上的重要性：公报所涉及的内容应是党内外、国 内外普遍关心的重大事项或重要决定。
★形式上的多样性：以新闻的形式，党和国家的名义， 两个或多个政党的名义形成联合公报。
★使用上的习惯性：一般为公布重要会议情况、重大事 件，公布人口普查、经济发展和国家计划执行情况等 。
秉持规则理念、培养规则意识、遵循公文 规则、践行公文规则。这是公文处理人员 的必备素养。
将每一件公文制作得标准、规范、美观， 甚至像一件“艺术品”。这是公文处理人员 应当追求的最高境界。
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第二部分：机关公文的种类
公文种类变化概述:
国务院《关于公文名称和体式的意见》（1956）：12种 国务院《国家行政机关公文处理办法》（1981）: 15种 国办《国家行政机关公文处理办法》 （1987）：15种 国办《国家行政机关公文处理办法》 （1993）：12种 中办《中国共产党机关公文处理条例》（2019）：14种 国务院《国家行政机关公文处理办法》（2000）：13种
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中办、国办《党政机关公文 处理工作条例》（2019）
公文种类（15种）：决议、决定、命令
（令）、公报、公告、通告、意见、通知、 通报、报告、请示、批复、议案、函、纪要 。
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与原《条例》和原《办法》的不同
注重继承保留，文种数量相对减少
通知与通报：内容的侧重点不同。
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机关公文的组成：
◆ 公文拟制（起草、审核、签发） ◆ 公文办理（收文、发文、整理归档） ◆ 公文管理（密级、印发传达、翻印
复印汇编、撤销废止、清退销毁等全过程管 理）
三者之间相互关联、衔接有序、 有机统一。
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机关公文的特点：
◆权威性和政策性。 ◆针对性和指导性。 ◆规范性和约束性。 ◆程序性和严密性。 ◆对应性和定向性。
自然界之美：罗马花椰菜——斐波纳契
数列（黄金螺旋）
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1
自然界之美：孔雀羽毛
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2
自然界之美：蜜蜂蜂巢
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3
上述图片体现：自然界的
规则之美！
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4
由自然界 社会生活：
交通规则：美国一场赛车比赛后，公路一
边是长达60公里的空无一人的通畅道路，而仅 仅路中央一条白线之隔的另一边却是车辆拥堵排 成了长龙，但却无一人走捷径去逾越那条白线， 其壮观景象令人震憾。这就是规则的神圣与庄严 ，这就是人人遵守规则的魅力与美丽所在。
、询问和答复问题、请求批准和答复审批事项。
主要特点：
★广泛性：使用范围广、使用频率高、简便灵活，平 行机关和不相隶属机关都可使用。
★灵活性：凡是申请事项、建议咨询、商洽工作、通 知事项、催办事情、答复询问、报送材料都可用 函，还可用来请求批准和答复审批有关事项。
★单一性：一函一事，简短明了。
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★层级性：请示原则上必须逐级请示，不得越级行文， 特殊情况需越级请示，要抄送被越过的上级机关。
★单一性：一事一请示；一般为一个主送单位。 ★呈批性：原则上主送有隶属关系的直接上级机关，无
论同意与否，上级机关都要给予答复。 ★隶属性：请示者和受理者应是一级机关或组织，并具
有隶属关系或业务指导关系。 ★事前性：必须是事前请示，不能先斩后奏。
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第一部分：机关公文的内涵
机关公文的概念：
“经国之枢机，为政之先要。”——梁代·刘勰
公文是党政机关实施领导、履行职能、处理公务的 具有特定效力和规范体式的文书。
公文的质量，直接反映机关的思想深度、政策水平 和对社情民意、重大问题分析掌控能力，直接关系党 和国家大政方针的传达贯彻成效，直接体现机关干部 的能力素质和工作水准。
企事业单位、人民群众了解知晓某些事项，自觉规 范自己的行为，共同维护社会公共管理秩序。 ★通俗性：通告的内容应当尽量使用明确、流畅、通 俗易懂的语言表达，以达到“周知”与“遵守”的行文 目的。
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七、意见：用于对重要问题提出见解和处理办法。
主要特点： 重要性：所涉及的内容必须是重要问题，方针政策性的
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二、决定：用于对重要事项作出决策和部署、
奖惩有关单位和人员、变更或者撤销下级机关不适当 的决定事项。
主要特点：
★适用范围广泛：适用于各级组织和领导机关。
★适用方式比较灵活：既可用于解决重大的方针政策 、决策部署，也可用于处理具体的人和事。
★具有很强的约束力：一旦作出决定，有关组织和个 人必须遵照执行，不可轻易改变。
一、决议：用于会议讨论通过的重大决策事项。
主要特点：
★程序上的规范性：必须经集体讨论和表决后形成。
★内容上的针对性：主要对某一重要工作或重大事项。 ★效力上的权威性：一经发布，应坚决执行。 ★对象上的普遍性：所属组织、团体、个人均不得例外。 ★时效上的长期性：决议的效用一般时限较长。
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原《条例》和原《办法》共18个文种；新《条例 》确定的文种15个，去掉了“指示”、“条例”、 “规定”等文种。
原则上不区分党政机关文种适用对象
只有命令（令）、议案两个文种例外。
文种适用范围表述变化
对决议、决定、命令（令）、公报等9个文种适 用范围作出修改。
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15个文种适用范围及其特点
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公文处理工作：
“规则”特征更为突出，更要 强调和体现“规则”、“格式” 的规范要求。
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规则之美
——浅学《党政机关公文 处理工作条例》
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学习的主要内容
第一部分：机关公文的内涵 第二部分：机关公文的种类 第三部分：机关公文的格式 第四部分：公文的行文规则
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近似文种异同辨析
决议与决定：主要区别是是否经过会议集体讨论
并表决通过。
决定与命令：使用权限、使用和表达上有区别。
公告与公报：公告多用于宣布重大消息，内容简
要，公报较具体。
公告与通告：使用者、发布内容、公布范围上有
区别。公告可面向国内外，通告面向国内。
通知与通告：主要是适用对象有区别。
重大事项和主要问题，特别是新问题。 特定性：写作形式不仅要有“见解”，而且要有“处理
的办法”。 指导性：意见用于下行文时，具有指示的性质，对下级
机关开展工作具有指导作用。 针对性：就某一重要问题，对下级机关起帮助和解决问
题的作用。 原则性：一般是从宏观上提出原则性意见。
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七、意见：可用于下行文、上行文和平行文
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十五、纪要：用于记载会议主要情况和议定
事项。
主要特点： ★纪实性：如实记载会议情况和议定事项。 ★概括性：纪要不同于记录，只需要集中、精要反映
会议的精神实质。 ★内部性：会议纪要使内部文件，可以印发参会单位
和相关单位，但不需要向社会公开。 ★ 不得以会议纪要代替有关行政执法文书或文件，不
得直接作为行政管理的依据。
的15个文种以外的其他文种，如准则、条例、办法、 细则、要点、规划、纲要、方案等，用“印发性通知”。 ★ 人事任免也多选用通知这个文种。
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九、通报：用于表彰、批评、传达重要精神和告
知情况。 主要特点：
★目的性：介绍典型事例，有的放矢，目的明确。
1.表彰性通报：用于表扬先进集体和个人，表彰先进 事迹，评价典型经验；
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三、命令（令）： 用于公布行政法规和
规章，宣布实行重大强制性措施、批准授予和晋升 衔级、嘉奖有关单位和人员。
主要特点：
★权威性：发布机构须有一定的权威性，使用权限受
到严格限制，限定在行政机关及其法定代表，其他 单位和个人不能发布命令（令）。
★强制性：命令发布后在适用范围内需遵照执行。
主要特点： ★广泛性：适用范围广泛。 ★陈述性：内容以陈述为主。 ★单向性：下级机关向上级机关单向行文，上级机
关只知晓报告内容，可批复亦可不批复。 ★事后性：“事前请示，事后报告”。
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十一、请示：用于向上级机关请示指示、批准 。
主要特点：
★规定性：内容一般是需要上级机关给予指示、指导、 批准、答复或帮助解决的事项。
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十二、批复：用于答复下级机关请示事项。
主要特点：
★针对性：必须针对请示事项，表明的态度、提出的 意见都具有很强的针对性。
★权威性：批复提出的决策、意见对下级机关具有法 定的约束力；下级机关必须遵照执行。
★简明性：批复内容简明扼要，对请示件中的请求事 项只作原则性、结论性的表态、指示、决定，或提 出方向性意见，无须作具体的分析和阐述。
，以及被授权的部门。 ★公布内容的庄重性：体现国家及其权力机关的威严。 ★告知范围的广泛性：面向国内外。 ★传播方式 的公开性：通过报纸、广播、电视等传播。