高一立体几何平行垂直解答题精选演示教学

高一立体几何平行、垂直解答题精选

2017.12.18

1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN.

2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

3．在正方体1111ABCD A B C D -中， M ， O 分别是1,A B BD 的中点.

（1）求证： //OM 平面11AA D D ； （2）求证： 1OM BC ⊥.

4．如图， AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====.

（1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ；

（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由.

5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中， 13AA =， 2AB =， N 为棱AB 的中点． （1）求证： 1AC P 平面1NB C ． （2）求证：平面1CNB ⊥平面11ABB A ． （3）求四棱锥111C ANB A -的体积．

6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

(01).AE AF

AC AD

λλ==<< （1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ； （2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?

7．如图，在菱形ABCD 中， 60,ABC AC ∠=o

与BD 相交于点O ， AE ⊥平面ABCD ，

//,2CF AE AB AE ==.

（I ）求证： BD ⊥平面ACFE ；

（II ）当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为

10

时，求证： EF BE ⊥； （III ）在（II ）的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值.

8．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，23AB =，090BAD ∠=，,M O 分别为

CD 和AC 的中点，PO ⊥平面ABCD .

（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；

（2）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PN

PM

的值；如果不存在，说明理由.

9．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60,BAD N ∠=︒是PB 的中点，过,,A D N 三点的平面交PC 于M ， E 为AD 的中点，求证：

（1）//EN 平面PDC ； （2）BC ⊥平面PEB ；

（3）平面PBC ⊥平面ADMN .

10．如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面PAB ， AD // BC ，

1

2

BC CD AD ==

， E ， F 分别为线段AD ， PD 的中点. （Ⅰ）求证： CE //平面PAB ； （Ⅱ）求证： PD ⊥平面CEF ；

（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比.（结论不要求证明）

11．如图，点P 是菱形ABCD 所在平面外一点， 60BAD ∠=︒， PCD V 是等边三角形， 2AB =，

22PA =， M 是PC 的中点.

（Ⅰ）求证： PA P 平面BDM ；

（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDM ；

（Ⅲ）求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小.

12．在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ， O ， F 分别为BE ， DE 的中点. （Ⅰ）求证： AO CD ⊥.

（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE .

（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP P 平面AOF ？若存在，求出

AP

PC

的值；若不存在，请说明理由.

13．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=o

，1AB AD PD ===，2CD =．

（1）求证：//BE 平面PAD ； （2）求证：BC ⊥平面PBD ；

（3）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45o

？

若存在,求

PQ PC

的值；若不存在，请述明理由．

A

B

C

D

E

P

参考答案

1．见解析

【解析】试题分析：根据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出

GE EP =

GF

FQ

=

1

3

，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；

试题解析：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥

1 2AM，GE=

1

2

AM，GF∥

1

2

AN，GF=

1

2

AN，且CN=3AN，所以

GE

EP

=

1

3

，

GF

FQ

=

AN

NC

=

1

3

，所以

GE

EP

=

GF

FQ

=

1

3

，

所以EF∥PQ，又EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN，所以PQ∥平面BMN.

2．详见解析.

【解析】试题分析: 由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E

为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝1

4

.于是平面EMN满足要求．

试题解析:

如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．

证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.

∵C1N＝C1C，

∴C1N＝C1H.

又E为B1C1的中点，

∴EN∥B1H.

又CF∥B1H，

∴EN∥CF.