高中数学《等差数列的性质》课件
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第二课时等差数列的性质课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(3)
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
−
＝
−
(m， ∈ ∗ ，且m ≠
2.等差中项：由三个数a , A , b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
(1)条件：如果a , A , b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是: a ＋ b ＝2 A
1.等差数列实际问题
求证: + = +
分析：利用等差数列的中的两个基本量 1 , ,再根据等差数列的定义
写出 ， ， ， ，即可得证.
证明：设数列 的公差为,则
= 1 +(p − 1) ,
= 1 +(q − 1) ,
= 1 +(s − 1) ,
∴ = 2+(n − 1) 2=2n
所以数列 的通项公式是 =2n
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
典例
例4. 已知等差数列{an} 的首项a1＝2， = 8,在{an} 中每相邻两项之间都插入3
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{ }.
(1)求数列{ } 的通项公式.
(2) b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是 ，请说明理由.
问题1：求数列的通项公式需要知道哪些量？ 首项，公差
3.在等差数列{an}中，a1＋a5＝2，a3＋a7＝8，则a11＋a15＝________.
4.2.1等差数列的性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7
推论 : 若m n 2 p, 则am an 2a p .
如：a2+a8＝2a5
判断1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22 (× ) 注意：等号两侧的项数必须相同
判断2：若{an}为等差数列,am+an＝ap+aq,则m+n＝p+q (× )
an
2an 1
如：
1，，，，
2 3 4 5
d 1
3, 5, 7, 9, 11
d' 2
探究新知
一.等差数列的性质
线性运算
若 an , bn 分别是公差为d1 , d 2的等差数列，
则数列 xan ybn 为公差是xd1 yd 2的等差数列。
例题讲解
例2
[练习等差数列 {an }中, a1 a5 a9 , 则 cos(a2 a8 ) __ .
2
1
析 : 3a5 , a5 , cos(a2 a8 ) cos 2a5 cos
3
3
2
反例:常数列
探究新知
一.等差数列的性质
（2）在有穷等差数列中，与首末项“等距”的两项之和
2
2
2
观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.
等差数列{an }中, 若m n p q, 则am an a p aq (m, n, p, q N * )
证明：证明上述猜想。
证明 : am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
推论 : 若m n 2 p, 则am an 2a p .
如：a2+a8＝2a5
判断1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22 (× ) 注意：等号两侧的项数必须相同
判断2：若{an}为等差数列,am+an＝ap+aq,则m+n＝p+q (× )
an
2an 1
如：
1，，，，
2 3 4 5
d 1
3, 5, 7, 9, 11
d' 2
探究新知
一.等差数列的性质
线性运算
若 an , bn 分别是公差为d1 , d 2的等差数列，
则数列 xan ybn 为公差是xd1 yd 2的等差数列。
例题讲解
例2
[练习等差数列 {an }中, a1 a5 a9 , 则 cos(a2 a8 ) __ .
2
1
析 : 3a5 , a5 , cos(a2 a8 ) cos 2a5 cos
3
3
2
反例:常数列
探究新知
一.等差数列的性质
（2）在有穷等差数列中，与首末项“等距”的两项之和
2
2
2
观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.
等差数列{an }中, 若m n p q, 则am an a p aq (m, n, p, q N * )
证明：证明上述猜想。
证明 : am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取， 实 际 上 是 3a2,3a5,3a8… 当 然 成 等 差 数 列 ． 对 于 每 2 项 ， 4 项 ， 5 项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
数学 必修5
第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
数学 必修5
第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
数学 必修5
第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
数学 必修5
第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
高一数学上册 第三章 数列：§3.2.2等差数列优秀课件
得
又由
a2na2n11(1), a2n1a2n3(2),
a1 2,
a 2 3,
得 a2n1a2n14,
a 1 ,a 3 ,a 5 ,a 7 成 等 差 数 列 ,
a 2 n 1 a 1 4 (n 1 ) 4 n 2 .
代 入 ( 1 ) 得 a 2 n a 2 n 1 1 4 n 1 ,
求数列{ a n } 的通项公式.
分析：n 为奇数，说明 n+1 为偶数，即
a 2 a 1 1 ,a 4 a 3 1 ,a 6 a 5 1 ,
n 为偶数，说明 n+1 为奇数，即
a 3 a 2 3 ,a 5 a 4 3 ,a 7 a 6 3 ,
h
9
解：由
a1 a2 5, a2 a1 1
bn
1 an
2
得
an
22(nN*). n
h
5
练习：求下面数列得通项公式
（1）在数列 { a n } 中，a12,anan12an11;
（2）在数列
{
a
n
}
中，a1
1,an1
2an ; an 2
（3）在数列 { b n } 中，b 1 2 ,b n 1 b n b n 1b n .
解：（1） a n a n 1 2a n 1 1 (a n 1 1 )2 , 又 a1 2, a n 0. an an1 1, 即an an1 1.
性质4：设 n N*，则a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 .
性质5：设 c, b 为常数，若数列 { a n } 为等差数列，则数 列 {a n b}及 {can b}为等差数列.
性质6：设 p, q 则数列
《等差数列的性质》课件
等差数列的性质
公差定义
等差数列中，相邻两项之间的差值称为公差。
性质2：中间项等于前后两项之和的一 半
等差数列的中间项等于前ห้องสมุดไป่ตู้两项之和的一半。
性质1：差是固定值
任意两项的差是一个固定值。
性质3：前n项和公式
等差数列前n项和的公式是Sn = (n/2)(2a1 + (n 1)d)。
等差数列的应用
等差中数的求解
通过等差数列的中项公式，可以求解等差数列中任 意位置的值。
等差数列和的应用
等差数列的求和公式可以在金融领域中使用，计算 利息和投资回报等。
总结
1 等差数列是什么？
等差数列指的是每个相邻项之间的差值是恒定的数列。
2 等差数列有哪些性质？
等差数列具有固定公差、任意两项的差为固定值，中间项等于前后两项之和的一半等性 质。
3 等差数列有什么应用？
等差数列的应用包括求解等差中数和计算等差数列的前n项和，还可在金融领域中进行利 息和投资回报的计算。
《等差数列的性质》PPT 课件
欢迎来到《等差数列的性质》PPT课件！本课程将带您深入了解等差数列的基 本概念和重要性质，以及其在数学和实际生活中的应用。
什么是等差数列
等差数列是一种数学序列，其中每个相邻的项之间的差值是恒定的。 等差数列的通项公式是：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例分析
例 2 (1)三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数； (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为 2,首末两项的积为-8,求这四个数．
解：(1)设这三个数依次为 a－d，a，a＋d，则
a－d＋a＋a＋d＝9， a－da＝6a＋d，
解得
a＝3， d＝－1.
∴这三个数为 4,3,2.
都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn }.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)b29是不是数列{an }的项? 若是, 它是{an }的第几项? 若不是, 说明理由.
解1:
解2:
由(1)知,b29 2 29 58, 令an 2 8(n 1) 58,
解得n 8
思考：其他条件不变，若 am＋an＝ap＋aq，能得到 m＋n＝p＋q 吗？
反例： 常数列
推广：(1)特别地，当 m＋n＝2k(m, n, k∈N*)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首末两项的和，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
解: 设数列{bn}的公差为 d,
由题意知,b1 a1 2, b5 a2 2 8 10，
由b5 10 b1 4d 2 4d, 解得d 2
d 8 d d
31
k 1
所以bn 2 (n 1) 2 2n
所以,数列{bn}的通项公式是 bn 2n.
典例分析
例4 已知等差数列{an}的首项a1 2,公差d 8,在{an}中每相邻两项之间
A.14
B.21
C.28
D.35
3.已知数列{an}是等差数列，若a4+a8＝20，a7＝12，则a4= 6 ．
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
第28页，共46页。
【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
第31页，共46页。
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
第44页，共46页。
【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
第45页，共46页。
第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
第42页，共46页。
第43页，共46页。
4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
1.2.1《等差数列的性质》课件(北师大版必修5)
•
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24， 求这三个数； • (2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2， 首末两项的积为－8，求这四个数．
• [规范作答]
•
(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公 差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
• 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
an＝a1＋(n－1)d， ．等差数列的通项公பைடு நூலகம்_________________
(n∈N＋) ________．
或an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．
2.等差中项 (1)如果在 a 与 b 中插入一个数 A，使 a，A，b 等差数列 成_________，那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项， a＋b A＝ 2 且_______. 或2A=a+b (2)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有 前一项 穷等差数列的末项除外)都是它的________与 an－1＋an＋1 后一项 _______的等差中项，即 an＝ 或 2an 2 ＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)．
• • • • •
1．等差数列增减性 对于数列an＝a1＋(n－1)d (1)当d＞0时，{an}为 递增数列 ； (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
•若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则 a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23. 你能看出有什么规律吗？
• 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
• 即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6 或6,2，－2.
(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首
末两项的积为－8，求这四个数．
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1(第2课时)等差数列的性质及应用 课件
am+an=ap+aq
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
课堂总结
1复习 2拓展 3例题 4课堂练习
板书设计
1温故知新 2拓展
3例4~6
4课堂练习
新知导入 问题：
等比中项与等差中项的区别? 提示： (1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项 (2)两个数 a,b 的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等 比中项有两个
新知讲解 拓展
两个等比数列合成数列的性质
若数列{an},{bn }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列
(2)若{an}等比数列，公比为
,证明数列{log₃an} 为等差数列.
证明：
( 1 ) 由a₁=3,d=2,
得{an}的通项公式为an=2n+1.
设bn=3an,
则
又
b所₁=以3³，=2{73an}是以27为首项，9为公比的等比数列.
合作探究
例5已知数列{an}的首项a₁=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2, 证明数列{3an}为等比数列；
合作探究 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an},{bn}.
由题意，知 an=1050×1.05n-1
bn=1-[90%+0.4%(n-1)] =0.104—0.004n
其 中 ，n=1,2,..,24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1×(0.104-0.004n)
设BA=a₁,AA₁=a₂,A₁A₂=a₃,…,A₅A₆=a₇ ,
则
解： 等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2, 所 以
AB=BA=a₁=2
同理 故数列{an}是首项a₁=2, 公 比 的等比数列，
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等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
等差数列的性质公开课PPT课件
};
(2
){an
2
};
(3
1 ){
an
};
(4){an
an1};
(5){a2k1}
第15页/共26页
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【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
第17页/共26页
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
第25页/共26页
感谢您的观看！
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C．2
D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋ c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
第23页/共26页
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围． 错解：设an的公差为 d，第 n 项为 an，则 a9
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.1 第2课时 等差数列的性质
{c+an}(c为任一常数)、{can}(c为任一常数)、{an+an+k}(k为常数,k∈N+)均
为等差数列.
2.方法归纳:利用对称性设等差数列的项,建立等差数列模型解决问题.
3.注意事项:若{an}是等差数列,且m+n=p(m,n,p均为正整数),则am+an≠ap,将
实际问题转化为等差数列模型要注意条件.
变式探究
将本例题中的条件改为“已知三个数成等差数列,若这三个数的和为6,积为
-24”,求此数列.
(-) + + ( + ) = 6,
解 设所求数列为:a-d,a,a+d,依题意,得
(-)( + ) = -24,
3 = 6,
= 2,
= 2,
化简,得 3
解得
或
2
=4
- = -24,
5.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40=
90
.
解析 由等差数列的性质可知,a10,a20,a30,a40成等差数列.
故由a10=30,a20=50,可得a30=70,a40=90.
1 2 3 4 5 6
6.已知三个数成等差数列,它们的和为6,且第三个数是第一个数的三倍,求
7
A.3斤
7
B.2斤
5
C.2斤
D.3 斤
解析 由题意可设金棰由粗到细各尺质量构成的等差数列为{an},首项
a1=4,a5=2,则公差
5 - 1
d=
5-1
=
2-4 1
=- ,故
5-1 2
7
a2=a1+d= .故选
2
为等差数列.
2.方法归纳:利用对称性设等差数列的项,建立等差数列模型解决问题.
3.注意事项:若{an}是等差数列,且m+n=p(m,n,p均为正整数),则am+an≠ap,将
实际问题转化为等差数列模型要注意条件.
变式探究
将本例题中的条件改为“已知三个数成等差数列,若这三个数的和为6,积为
-24”,求此数列.
(-) + + ( + ) = 6,
解 设所求数列为:a-d,a,a+d,依题意,得
(-)( + ) = -24,
3 = 6,
= 2,
= 2,
化简,得 3
解得
或
2
=4
- = -24,
5.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50,则a40=
90
.
解析 由等差数列的性质可知,a10,a20,a30,a40成等差数列.
故由a10=30,a20=50,可得a30=70,a40=90.
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6.已知三个数成等差数列,它们的和为6,且第三个数是第一个数的三倍,求
7
A.3斤
7
B.2斤
5
C.2斤
D.3 斤
解析 由题意可设金棰由粗到细各尺质量构成的等差数列为{an},首项
a1=4,a5=2,则公差
5 - 1
d=
5-1
=
2-4 1
=- ,故
5-1 2
7
a2=a1+d= .故选
2
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝r，m，n，r∈N*，则 am＋an＝ar.( × ) (2)若数列{an}是等差数列，则 a1，a3，a5，a7，a9 是等 差数列．( √ ) (3)两个等差数列的和仍是等差数列．( √ )
15
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【跟踪训练 1】 (1)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10
＝30，则 a3－2a5 的值为( )
A．10
B．－10
C．15
D．－15
(2)等差数列{an}中，已知 a2＋a3＋a10＋a11＝36，则 a5
＋a8＝___1_8____.
(3)若等差数列{an}中，a5＝a，a10＝b，则 a15＝__2_b_－__a__.
解析 (1)∵数列{an}为等差数列， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a2＋2 a4＝52 (a2＋a4)＝52×6＝15.
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解析 (1)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10， 而 a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. (2)解法一：根据题意，有 (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36， ∴4a1＋22d＝36，则 2a1＋11d＝18. 而 a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋ a8＝18. 解法二：根据等差数列性质，可得 a5＋a8＝a3＋a10＝a2 ＋a11＝36÷2＝18.
8
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2．做一做
(1)(教材改编 P39T5)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30
B．15
C．5 6
D．10 6
9
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(2)在等差数列{an}中，a3＝2，公差 d＝－1，则 a10＝ ___－__5___.
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探究2 灵活设项求解等差数列 例 2 (1)三个数成等差数列，它们的和为 21，它们的 平方和为 155，求这三个数； (2)已知四个数成等差数列，它们的和为 28，中间两项 的积为 40，求这四个数．
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解 (1)设这三个数为 a－d，a，a＋d. 则aa－－dd＋2＋a＋a2a＋＋da＝＋2d12，＝155， 解得ad＝ ＝72， 或ad＝ ＝7－，2， ∴这三个数为 5,7,9 或 9,7,5.
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第二章 数列
2．2 等差数列 第2课时 等差数列的性质
1
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1.等差数列的性质
(1)等差数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系)
解法二：因为 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以 a8＝24， 而 2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
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[变式探究] 若本例中条件不变，求 a3＋a13 的值又如 何？
解 由例题解知，a8＝24，由等差数列的性质知 a3＋a13 ＝2a8＝48.
列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 08 pd1＋qd2 的
等差数列．
6
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□ (3)等差数列{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来
的顺序排列，构成的新数列仍然是 09 等差数列．
7
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拓展提升 等差数列性质的应用技巧
(1)适用情景 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某 项． (2)常用性质 利用已知 m，n，p，q∈N*，若 m＋n＝p＋q，则 am＋ an＝ap＋aq 或若 m＋n＝2r，则 am＋an＝2ar 将题目条件转化．
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探究1 等差数列的性质应用
例 1 等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值是( )
A．20
B．22
C．24
D．－8
12
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课后课＋a15＝120，可得 5a1＋35d ＝120，即 a1＋7d＝24，又 2a9－a10＝a1＋7d，所以 2a9－a10 ＝24.
①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 05 d 的等差数列．
5
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□ ②{can}(c 为任一常数)是公差为 06 cd
③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 差数列．
的等差数列．
□07 2d 的等
□ (2)若数列{an}，数列{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数
4
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②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和
□ 等于首末两项的和，即 a1＋an＝a2＋ 03 an－1 ＝…＝ak＋ □04 an－k＋1 ＝….
2．等差数列的常用结论
□ (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列：
an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)
3
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(2)等差数列项的运算性质
□若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝
01 ap＋aq .
□①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝
02 2ak .