质点动力学习题课[1]
质点动力学习题课
4. 有一单摆，用一水平力作用于 有一单摆，用一水平力作用于m 使其缓慢上升。 使其缓慢上升。当θ 由 0 增大到θ 0 时 ， 此力的功。 求: 此力的功。 F T sinθ = 0 { d θ T cos mg = 0 θ Lθ 解得： 解得： F = mg tgθ T ds ds = Ld θ m . ds = F ds cosθ dA = F F F L cos d = θ θ mg = mg tg L cos d θ θ θ θ A = ∫ mg L sin d = mg L ( 1 cos 0 ) θ θ θ 0
W = W外 +W保内 +W非保内 = Ek − Ek0
(2)功能原理 功能原理
W外 +W非保内 = E − E0 = (Ek + Ep ) − (Ek0 + Ep0 )
(3)机械能守恒定律 机械能守恒定律
W外 = 0,W非保内 = 0, E = E0或∑(Ek + Ep ) = 0
四、质点角动量及其规律 1、角动量 、 (1)质点：L = r × mv 质点： 质点 (2)质点系：L = 质点系： 质点系 2、角动量规律 、 转动动力学方程 角动量定理 角动量守恒定律
d( xy) dy dx y =x + dt dt dt
v = −gt v2 l−y= 2g 1 2 y = l − gt 2
dy v= dt
dv −g= dt
d( yv) 2 = − yg + v dt = − yg + 2(l − y)g
N = 3ρg(l − y)
6. 一篮球质量 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到 高度下落， ， 高度下落 达地面后，以同样速率反弹， 达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅 0.019s，求：对地平均冲力？ ， 对地平均冲力？ 解：篮球到达地面的速率
01 质点运动学和动力学习题答案
(2)由题知：
������������ ������ ������ = − ������ ������������
������ ������������
������ ������
∫
������0
dt dv A Bv
t
v
dt
dv
0
0 A Bv
t 1 [ln( A Bv) ln A] B
即： v A (1 eBt ) B
（2） v dy A (1 eBt ) dy A (1 eBt )dt
dt B
B
y
dy
t A (1 eBt )dt
（2）������ = |���⃑���| = 2√16������2 + 1
���⃑��� = ���������⃑⃑��� = 8���⃑���
������������
������������
32������
������������ = ������������ = √16������2 + 1
������d������， 1
������0
−
1 ������
=
−
1 2
������������2
������
=
2
2������0 + ������������0������2
4．t=1s
分析：由 an
a ，������
= ������������������， a
v2 R
可得。
大学物理习题课件2.质点动力学1
当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k
为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t
的关系为
v
mg
F
(1
kt
em
)
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间
证明：作受力图，取坐标。
f
根据牛顿第二定律，有
mg kv F ma m dv dt
a x
mg
mg kv F ma m dv dt
静摩擦力： 0 f N
摩
0
0
擦
方向：与物体相对滑动趋势的方向相反
力 滑动摩擦力： f N
方向：与物体相对运动的方向相反
判断下列情况中的摩擦力的方向：
F
F
四、牛顿运动定律的应用
1、动力学的两大类问题
（1）已知运动求力：
r r t v t
dr
at
dv
F
ma
（2）已知力求运动：
dt
dt
直角坐标系：
Fx
max
m
dvx dt
,
自然坐标系：
F
ma
m
dv , dt
Fy
may
m
dvy dt
Fn
man
m
v2
例2-1：升降机内有一固定光滑 斜面，倾角为，如
图物A所体对解示A地：沿。设的斜当A加面相升速滑对降度下于机为，斜以求面a匀 A的加对a加速地速a面a度0 0上的为升加a时速＇Y，度质。量为Am的aN0
ax＝ax＝a cos
a'
mg
ay＝ay a０＝a０ a sin
根据牛顿第二定律，有
N sin ＝macos
力学课件 质点动力学习题课
第二章教学基本要求：⒈理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿运动定律的适用条件。
⒉掌握常见力的性质和计算方法，能熟练地分析物体受力。
⒊熟练掌握运用牛顿定律和运动学知识解题的思路和步骤，并能科学地表述。
能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。
内容提要:牛顿定律第一定律: 任何物体如果不受其它物体的力的作用，就会保持静止或匀速直线运动的状态。
第二定律: )(d d vm tF =当质量m 为常量时，a m F= 在直角坐标系中，z z y y x x ma F ma F ma F ===,,在自然坐标系中，ρ2,v mF dt dv m F n t ==第三定律: 2112F F-=力学问题中的几个常见力万有引力 G 2r mM重力 mg弹簧力 f = -kx 正压力与支持力 N= -N ′ 滑动摩擦力 f μ = μN 静摩擦力 f μ ≤μN习题1：一半径为R 的环形竖直壁固定在光滑的水平面上，如题图所示，一质量为m 的物块紧靠着壁的内侧在水平面上运动。
已知物块与环形壁之间的摩擦系数为μ，0=t 时物块的速率为0v ，求物块的速率v 随时间t图2-7解： 研究对象：m 受力： 自然坐标系 方程：法向： R v m N 2= （1）切向： dt dvm f r =- （2）N f r μ= （3） 求解：由 上 述 各 式 可 得 dt dvR v =-2μ分离变量法⎰⎰-=v v t v dv R dt 020μ得： t v R Rv v 00μ+=图2-7f习题2：一细绳跨过光滑的定滑轮,一端挂一m 重物,另一端被人用双手拉着,人悬空,质量 m/2,若人以相对于绳的加速度0a 向上爬,且不打滑,求:人相对于地的加速度。
解：如图建坐标,分别选人和重物m 为对象, 受力分析,设m 对地加速度为a ： 对m ：ma mg T =-对人：)(21210a a m mg T -=- 解得：30g a a -=人相对于地的加速度为3200ga a a +=-习题3：一根弯成如图所示形状的金属丝，其上套一小环，设环与金属丝间的摩擦可略去不计.当金属丝以匀角速度ω绕竖直对称轴转动时，小环在金属丝上任何地方都能平衡，即与金属丝无相对运动，问这根金属丝要弯成什么形状?解 : 小环受力如图所示, 当小环位置坐标为x y 、时其动力学方程为 :N m xN mg sin cos θωθ==2而 x y d d tg =θ ,所以 g xx y 2d d ω=积分得y xgc=+ω222 由x =0, y =0 定出 c =0m gθN∴yxg=ω222 .此即金属丝形状所满足的方程，应为顶点即坐标原点，口向上的抛物线。
质点动力学习题课[1]
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4．对功的概念有以下几种说法： ［ ］ （1）保守力作正功时，系统内相应的势能 增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质 点作的功为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相 反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的 (B)只有(2)是正确的 (C) (2)、(3)是正确的 (D) 只有(3)是正确的
K K 2．某质点在力 F = (4 + 5 x)i (SI)的作用
下沿x轴作直线运动，在从x＝0移动到 x＝10m的过程中，力所做的功为 。
3．一质量为m的质点在指向圆心的平方 反比力F =－k／r2的作用下，作半径为r的 圆周运动。此质点的速度v =__________。 若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机 械能E =________。
2．一质点在力F= 5m(5 - 2t) (SI)的作用 下，t =0时从静止开始作直线运动，式中 m为质点的质量，t为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为 (单位m·s-1) ［ (A) 50 (B) 25 (C) 0 ］
(D) -50
3．如图所示，一个小物体，位于光滑的 水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的 另一端穿过桌面中心的小孔O。该物体原以 角速度ω 在半径为R的圆周上绕O旋转，今 将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 ［ ］ (A) 动能不变，动量改变 R (B) 动量不变，动能改变 O (C) 角动量不变，动量不变 (D) 角动量改变，动量改变 (E) 角动量不变，动能、动量都改变
∫ (C) − ∫
(A) −
l2
l1 l 2 − l0
kx d x
l1 − l0
kx d x
∫ (D) ∫
(B)
l2
l1 l 2 − l0 l1 − l0
质点动力学习题课
求 m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。 解 取电梯为参考系
对m1 有
O'
T
对m2 有
T
m2g
m1g
一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以 匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。 求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。 解 方法（一）取地面为参考系
设物体的加速度为
竖直方向有 运动轨迹为
设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。 求 它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。 解 以地心为坐标原点，物体受万有引力
在地面附近有
可得：
把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度
发射出去，阻力忽略不计， 求 物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。 解 根据机械能守恒定律有:
平均冲力的大小和方向。
v2
30o
45o
n
v1
解法一：取挡板和球为研究对象， 由于作用时间很短，忽略重力影 响。设挡板对球的冲力为 则有： 取坐标系，将上式投影，有：
y
v2
O
30o
45o x n
v1
mv1
mv2
mv1
为 I 与 x 方向的夹角
解法二 应用余弦定理、正弦定理解三角形
mv1
mv2
mv1
m
x 方向
y 方向
y
x
方法（二） 取升降机为参考系 惯性力
x 方向 y 方向
y x
质量为2.5g的乒乓球以10 m/s 的
速率飞来，被板推挡后，又以
20 m/s 的速率飞出。设两速度在
垂直于板面的同一平面内，且
它们与板面法线的夹角分别为
第2章质点动力学习题
质点动力学练习题（一）姓名 学号 专业班级一、选择题。
1、三个质量相等的物体A 、B 、C 紧靠在一起，置于光滑水平面上，如图。
若A 、C 分别受到水平力F 1和F 2（F 1>F 2）的作用，则A 对B 的作用力大小为:( )(A) 1F ； (B) 12-F F ； (C) 122+33F F ； (D) 122-33F F ； (E) 122+33F F 2、如图所示，两物体的质量分别为m A 和m B ，一起在水平面上沿x 轴作匀减速直线运动，加速度大小为a ，A 、B 的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力F的大小和方向分别为:( )(A) μm B g ，与x 轴正方向相反； (B) μm B g ，与x 轴正方向相同；(C) m B a ，与x 轴正方向相同； (D) m B a ，与x 轴正方向相反。
3. 一质量为2 kg 的物体沿xoy 平面运动，其运动方程232.5r =t i +t j （SI ），则当t =2s 时，则该物体所受到的合力大小为：( )(A) 12 N ； (B) 13 N ； (C) 24 N ； (D) 26 N 。
二、填空题。
1、一质量为0.25 kg 的物体，受拉力F ti =，式中t 为时间。
t = 0时该质点以2v j =速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量为 ，t = 1s 时速度的大小为 m/s 。
2、如图，把一根均匀的棒AC 放置在光滑桌面上。
已知棒的质量为M ，长为L ，用一大小为F 1的力沿水平推棒的左端。
设想把棒分成AB 和BC 两段，且BC 段的长度为L /5,则AB 段对BC 段的作用力为 。
3、如图，两定滑轮与绳质量忽略不计，绳子不可伸长，不计所有摩擦，在水平外力作用下，质量分别为m 1和m 2的两物体加速度a = ，绳中张力T= 。
三、判断题1、物体所受合外力不为零，则速率必然越来越大。
（）2、牛顿第二定律仅适用于惯性系，研究对象应为低速运动的宏观物体。
高二物理竞赛课件：质点动力学习题 (1)
(1)木块的下滑过程 (2)碰撞过程
m
9
解 (1)木块的下滑过程
(M+m+地球)：机械能守恒。选弹簧原长处为零 势点，则有
求得
方向沿斜面向下。
m
1
10
(2)碰撞过程 (M+m): 只有沿斜面方向系统动量守恒:
M1-m cos=(M+m)2 解出: 2=-0.89m/s。
负号表示此速度的方向沿斜面向上。
质点动力学习题
1
例题 半球面(R 、M) , 球面和地光滑， m、M静 止，若在角处m开始脱离球面，试求：
(1) 角满足的关系式； (2)分别讨论m/M<<1和m/M>>1时cos的取值。
解 (1)小物体脱离球面的条 件是：N=0。
m相对球面作圆运动， m
离开球面的瞬间球面是惯性
系，于是沿法向有
Vx
N
m
1
11
例题 要从地面以初速o发射卫星m进入离 地心为r的圆轨道，求o =？(地球: me、Re，
不计空气阻力)
解 圆轨道： 机械能守恒：
12
例题 质点作园周运动，半径为r，受力： (k为常量) ，方向指向园心。取无穷远为零势 点，求该质点的机械能。
解 r
o
机械能
13
讨论：(1)当r=Re时,
中的x、是m对地的速度。
m
R M
N
mg r
4
由速度合成定理: (4)
(5)
(1)
y
解上述式子得:
(2)
x m
N
(3)
Vx
R
M mg r
5
(2) 当m/M<<1，即M>>m时,
大学物理质点动力学课后答案名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
2-26 (1) 水平方向动量守恒 mv0 (m M )v
v mv0 mM
p Mmv0 mM
(2) 子弹旳动量：
p m2v0 mM
(3) 根据动量定理： I M v 0 Mmv0
mM
2-30 x ct2 t x c
v dx 2ct dt
f k v2 4kc2t2 4kcx
W ex W非in E2 E1 功能原理
0
Ek2 Ep2 Ek1 Ep1 机械能守恒定律
习 题 课（二）
2-1 质量为m旳质点，以不变速率v沿图中正三角形
ABC旳水平光滑轨道运动。质点越过A角时，轨道作
用于质点旳冲量旳大小为
A
(A) mv
(B) 2mv
✓(C) 3mv
(D) 2mv
B
vB
F t2 m2
vA
F t2 F t1
m2
m1 m2
2-8 量为
r一 质a量cos为mt 旳i 质b点sin在xtoyj平(S面I)上。运式动中，a，其b位，置 是矢
正值常数， 且a > b。
(1) 求质点在A点(a，0) 和B点(0，b) 时旳动能。
(2) 求质点所受旳作用力 F 以及质点从A点运动到B
W
l
0
fdx
l 0
4kcxdx
2kcl2
2-28 水平方向动量守恒
(P Q)v0 cos Pv Q(v u)
v (P Q)v0 cos Qu
PQ
v0
cos
Qu PQ
Δx vt v0 cos t
Qu t PQ
Quv0 sin
(P Q)g
t v0 sin
g
质点运动学和动力学习题课
达式： 达式：( (1)
dv =a dt
D
) dr v = aτ dt
（A）只有 、4是正确的； 是正确的； ）只有1、 是正确的 (C)只有 是正确的； 只有2是正确的 只有 是正确的；
(B)只有 、4是正确的； 只有2、 是正确的 是正确的； 只有 (D)只有 是正确的。 只有3是正确的 只有 是正确的。
∫ dx = ∫
0 0
x
2 m ln 2
vB e
−
t 2m
dt
x = −2mvB e
t 2 m ln 2 − 2m 0
1 = −2mvB ( − 1 ) = mvB = 14( m) 2
1.一 物 体 在 外 力 F = 2 + 6（ N ） 作 用 下 沿 X轴 x 正 方 向 运 动 ， 当 物 体 从 x =0处 移 到 x = 3 m处 的 过程中，外力F对物体作功多少？
1 2 由 解： mgR = mvB 2
得 vB = 2 gR = 7(m / s )
v dv dv 法一： f = − = m = mv 2 dt dx
∫
x
0
dx = ∫
vB 2
vB
vB − 2mdv, x = −2m( − vB ) = 14( m) 2
法二：冲量定理
mvC − mvB = ∫
2-4 一质点在X-Y平面内运动，其运动方程分别为 x = 3cos 4t，y = 3sin 4t SI）， （ 试求： 1.质点任一时刻的速度和加速度的表达式； 2.质点的切向加速度和法向加速度的大小。 解：（1） dx dy
vx = dt dt dv dv ax = x = −48cos 4t，a y = y = −48sin 4t dt dt = −12sin 4t，v y = = 12 cos 4t
大学物理习题课1 质点动力学
v
6k /(mA )
大学物理习题课（一）
6.一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮的辐条上 装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动．一轻弹簧一端固 定在飞轮转轴上，另一端与滑块联接．当飞轮以角速度ω旋转时， 弹簧的长度为原长的f倍，已知ω＝ω0时，f ＝f0，求ω与f的函数 关系． 解：设弹簧原长为 l ，劲度系数为 k ，r 为运动半径
2 0
大学物理习题课（一）
(2)根据功能原理有:
1 2 mgh mv fs 2 1 2 mv mgh mgh ctg
2
v 2 gh(1 ctg ) 8.16m / s
1
2
大学物理习题课（一）
l
v0
v M
m
大学物理习题课（一）
解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位 置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向， 故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平 速度为 v 有:
mv0 mv Mv
2
v m(v0 v) / M 3.13m / s T Mg Mv / l 26.5N
mrw2 k (r l ) mfw2 k ( f 1)
2
r fl
（1）
mf0 w0 k ( f0 1) （2）
ω与f的函数关系：
fw2 f 1 2 f0 1 f 0 w0
大学物理习题课（一）
7.质量为M的木块在光滑的固定斜面上，由A点从静止开始下滑， 当经过路程 l 运动到B点时，木块被一颗水平飞来的子弹射中，子 弹立即陷入木块内．设子弹的质量为m，速度为 v ，求子弹射中 木块后，子弹与木块的共同速度．
质点动力学习题课
平，试求：剪断绳AB前后瞬间，绳BC中的张力比 T :T
解：
AB断前：T cos mg 0
C
A
T1
B
T
m
AB断，小球绕C点作圆周运动
mg
法向运动方程为
C
T mg cos 0
T
:T
1 cos2
T
A
Bm
mg
动量和冲量习题 冲量的计算：
选2-15题
I
t2 t1
F
dt
mv2
-
mv1
解：用质点动量定理求解
合外力的冲量等于质点动量的增量
F(N) 30
(F mg)t mv - 0
t 4s, v 4m/s t 7s 时
(4 7) 30 mgt mv - 0
2 v 2.5 m/s
o
4 7 t(s)
面积等于冲量
但这不是合力的冲量
Ft2 m2
知道力随时间变化的函数关系，求冲量
一子弹在枪筒里前进时所受的合力为 F 400 4105 t (SI) 3
子弹从枪口射出时的速率为300 m/s，子弹离开枪口时合力刚好 为零。求：
(1) 子弹走完枪筒所用时间
由F = 0求得 t 0.003 s
(2) 子弹在枪筒中所受力的冲量
I t (400 4105 t)dt 0.6 N.s
知道初、末动量，求冲量
求质点过B角时，轨道作用于质
点的冲量大小，根据质点动量定理
I
Ft
mv
-
mv
B v
作矢量图如图,由图有
A
mv
600 I
C mv
I mv sin 600 3 mv
2
大学物理第二章习题课
6
作业. 两块并排的木块A和B，质量分别为m1和m2，静止地放置在光滑的水 平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为t1 和t2，木块对子弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度为______， 木块B的速度大小为_______.
F t1 m1 m2
F t1 F t2 m1 m2 m2
u dt
l
船岸
0
M m 0 狗船
M m
S
狗离岸的距离为 S S0 S
S
L l
S
S0
S
S0
M M
m
l
S l L l(1 m ) M l M m M m 17
17
作业. 有两个自由质点，质量分别为 m1和m2 ，他们之间只有万有引 力作用，开始时，两质点相距为 l ,处于静止状态。求当它们相距 l /2
[ C]
(A) ①、②是正确的。
(B) ②、③是正确的。
(C) 只有②是正确的。
(D) 只有③是正确的。
势能与保守力作功的一般关系： W Δ E p
物体沿闭合路径运动一周时, 保守力对它所作的功等于零。 l F保 d r 0
功不仅与力有关，还与位移有关！
5
2.填空题
教材、作业. 质量为m的小球，用轻绳AB、
L1
Δ
L
质点系的角动量定理（积分形式）：作用于质点组的合
外力矩的冲量矩等于质点组角动量的增量。
4
教材. 对功的概念有以下几种说法：
① 保守力作正功时，系统内相应的势能增加。
② 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
③ 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的
大学物理-质点力学习题课ppt课件
x1
顿第二定律，小球的运动方程可以得到：
f2 G
x
mdd2tx21 kx1mgF(t)， 即dd2tx21m kx1gFm (t)
令 2=k/m，将F(t)代入，可以得到：
d 2 x1 dt2
2 x1
g
at m
此方程对应的齐次方程的通解为(c1cos t+c2sin t)，
其中c1、c2为两个任意常数，非齐次方程的特解为
• 加速度是位置的函数a=a(x):即a=(F0 / m)+(k/m)x,
d vd v d x d v x
v
a v , a d x v d v
d t d x d t d x 0
v 0
(3)力是速度的函数F=F(v):一质量为m的轮船C在停靠码头之 前关闭发动机这时的速率为v0，设水的阻力与轮船的速率 成正比,比例常数为k，求发动机停机后, C所能前进的最大 距离。
;并讨论. d d r t、 d d r t、 d d r t； d d v t、 d d v t、 d d v t 各式的含义.
解： (1)不y正确，以圆周x运R动c为os例t ：
t x
yRsint r x2y2 R vddrt0,add22 rt 0
结果不正确，做圆周运动的物体的速度和加速度显然
质点力学
运动学的基 本物理量 r,v,a
动力学的基本物 理量之一——力
复习
质点运动的描述 〔在直角坐标系 和自然坐标系）
运动学的两类问题
难
新 内 容
点新
兼
内 容
重
牛顿第二定律的 描述〔在直角坐
切向 法向
点
积分微分 问题
标系和自然坐标 系）
质点力学习题课
解： ( 1 )a
F m
3
4t 10
( 2 )a
F m
3
4 10
x
0.3 0.4x
0. 3 0. 4t a x 3m 1.5m/s2
a t 3s 1 . 5 m / s2
A
3
0
Fdx
3( 3
0
4x)dx
27
I
3( 3
0
4t)dt
27
I mv mv0 mv 10v
v t 3s 2. 7m /s
（C）匀变速直线运动 （D）一般曲线运动
解：
y
b a
x
v
dr dt
2 a ti
2btj
a
dv dt
2ai
2bj
【例】一质点沿半径为R的圆周运动，且加速度 a与速度v之间的夹角θ保持不变，已知初速率 为v0,试求质点速率v随时间的变化规律。
解：an
at
tgθ
v2 R
dv dt v2 Rtgθ
• 解：由质点动量定理：
7
0
F
dt
mv
0
mv
7
0
F
dt
1 2
7
10 35
7 F dt
0
m
35 1
35 m/s
F(N) 10
t(s)
0
57
【例】某汽车启动后牵引力变化如图，其中 曲线部分恰好是四分之一圆弧，求汽车启动 后行驶7米牵引力所做的功。
• 解：以启动位置为坐 标原点。
由功的定义：
Ao c
则
mivi
C
i
b
a
F
dr
质点和质点系动力学习题课
质点和质点系动力学习题课例：1m ，2m ，l ，相互作用符合万有引力定律 12 求：两质点间距变为l /2时V 2V两质点的速度1m 2/l 2m解：02211=-V m V m2/21212122221121l m m G V m V m l m m G -+=- l m m G m V )(22121+=，lm m G m V )(22112+= 例：在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用， 且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统（A ）动量与机械能一定都守恒（B ）动量与机械能一定都不守恒（C ）动量不一定守恒，机械能一定守恒（D ）动量一定守恒，机械能不一定守恒例：恒力F ，1m 自平衡位置由静止开始运动 求：AB 系统受合外力为零时的 速度，以及此过程中F A 、T A解：A B 系统受水平方向合外力k F x kx F /0=⇒=- k F Fx A F /2==222121)(21kx V m m A F ++=， )(21m m k F V += =T A 21212221222121m m m m k F kx V m ++=+例：三艘船（M ）鱼贯而行，速度都是V ，从中间船上同时以 相对船的速度u 把质量都为m 的物体分别抛到前后两艘船上 m求：抛掷物体后，三艘船的速度？解：以第二艘船和抛出的两个物体为系统，水平方向动量守恒 V V V u m V u m MV V m M =⇒+-+++=+2222)()()2( 以第一船和抛来物体为系统1)()(V M m V u m MV +=++，mM mu V V ++=1 以第三船和抛来物体为系统3)()(V M m V u m MV +=+-+，mM mu V V +-=3例：子弹射中A 后嵌入其中求：（1）A V =？?=B V （2）?max =B V解：（1）子弹射中A 后子弹与A 组成的系统动量守恒A V m m mV )2121(21+=，2V V A =，0=B V （2）2/V V A =，B A m m =，2/max V V B =例：光滑水平面上放一小车 车上放一木箱，恒力F 将木箱从小车一端拉致另一端，第一次小车固定，第二次小车不固定， （1）两次F 作功相同（2（3）两次木箱获得动能相同（4）两次因摩擦产生热相同解：（1）错，第一次F 作功Fl ，第二次F 作功)(s l F +（2）错，第一次f 对箱子作功fl -，第二次)(s l f +-（3）错，第一次合力对箱子作功l f F )(-，第二次))((s l f F +-（4）正确，第一次f 的总功fl -，第二次fl fs s l f -=++-)(例：容器自O 点（平衡位置）左端l 处从静止开始运动，每经过一次从上方滴入一质量为m 的油滴求：（1）滴到容器n 滴后，容器 运动到O 点的最远距离 （2）第n +1滴与第n 滴的时间间隔解：（1）从开始到O 点，机械能守恒 2202121MV kl = 每次经过O 点，动量数值不变 V nm M MV '+=)(滴入n 滴后到最远距离机械能守恒 2221)(21kx V nm M ='+ 22222222021)(21)(2121kx V nm M MV V nm M V M kl ⋅'+⋅='+⋅⋅ 0)/(l nm M M x ⋅+=（2）k nm M T t t n n n /)(211+==-+π 例：链条kg m 10=，cm l 40= l l m 32120l cm l l <==，kg m 101=求：链条全部滑到桌面时 系统的速度及加速度解：21111111()222m gl mg l m m V -=+ m m =1，2/1l l =s m gl V /21.183== a m m g m )(11+=，2/9.42/s m g a ==已知m ，M ，H h ，θ 所有接触面光滑 求：m ，M 脱离接触时 M 的速度及m 对M 的速度 x解：V v v r+= V v v r x -=θcosθsin r y v v -=0=-MV mv x2222221)(212121)(MV v v m MV mv h H mg y x ++=+=- )sin )((cos )(222θθm M m M h H g m V ++-=，θ2sin ))((2m M m M h H g v r ++-=例：已知m ，M ，θ，所有接触面光滑 求：M 的加速度a am 对M 的加速度a ' 及m M 之间的作用力解：以M 为参照系m 受一惯性力m 相对M 只沿斜面运动对m ： a m ma mg '=+θθcos sin （1）0c o s s i n=-+θθmg ma N （2） 对M ，以地面为参照系Ma N =θsin （3）θθθ2s i n c o s s i n m M mg a +=，θθ2s i n s i n )(m M g m M a ++='，θθ2s i n s i n m M M m g N +=。
大连理工大学质点动力学习题
⼤连理⼯⼤学质点动⼒学习题质点动⼒学11.如图所⽰，⼀单摆被⼀⽔平细绳拉住⽽处于平衡状态，此时摆线与竖直⽅向夹⾓为θ。
若突然剪断⽔平细绳，则在此前后瞬时摆线中张⼒T （前）与/T （后）之⽐//T T 是（）A. θ2cos /1B.1C. θcosD. θtan2.质量分别为m 和M 的滑块，A 、B 叠放在光滑⽔平桌⾯上，如图所⽰，A 、B 间地静摩擦系数为0µ，滑动摩擦系数为µ，系统原处于静⽌。
今有⽔平⼒F 作⽤于A 上，要使A 、B 间不发⽣相对滑动，则（） A. F 可以为任意值 B. mg M m F ????+≤10µ C. g M m F )(0+≤µ D. M mg M m F /)(0+≤µ3.质量为m 的猴，原来抓住⼀根⽤绳吊在天花板绳的质量为M 的直杆，悬线突然断开，⼩猴沿杆竖直向上爬以保持它离地⾯地⾼度不变，此时直杆下落地加速度为（）A. gB. Mmg C. g M m M + D. g m M m M -+ 4.⼀根细绳跨过⼀光滑的定滑轮，⼀端挂⼀质量为M 的物体，另⼀端被⼈⽤双⼿拉着，⼈的质量2/M m =，若⼈相对绳以加速度0a 向上爬，则⼈相对于地⾯的加速度（以竖直向上为正，滑轮质量不计）是（）A. 3/)2(0g a +B. )3(0a g --C. 3/)2(0g a +-D. 0a5.如图所⽰，⽔平转台可绕过中⼼的竖直轴匀速转动，⾓速度为ω，台上放⼀质量为m 的物体，它与平台之间的摩擦系数为µ，如果m 在距轴的R 处不滑动，则ω满⾜地条件是________。
6.飞船绕地球作匀速圆周运动，已知地球质量为M ，半径为R ，飞离地⾯⾼度为R 。
飞船内质量为m 的宇航员对桌椅的压⼒N 等于________。
7.摩擦⼒是否⼀定阻碍物体的运动？请举例说明。
8.在光滑的⽔平冰⾯上，放着⼀根长m L 10=，质量为km M 500=的均匀圆钢。
大学物理 质点运动学动力学习题课
的直线运动的叠加（矢量加法）。
——运动的独立性原理或运动叠加原理
2
第一、二章习题课
自然坐标系中的速度和加速度
v
v
ds
dt
a
a
an
dv
dt
v2
n
a
a
an
圆周运动中的切向加速度和法向加速度
a dv v2 n
dt R
3
二、圆周运动的角量描述 t A 角位置 t t B 角位移
r
v
a
dxri
yj
dx
i
zk
dy
dt
dv
dt
dv x
i
dt
dv y
dt dt dt
j
j
dz dt
dvz dt
k
k
vxi vy j vzk
axi ay j azk
任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独立
4m/s的速率从北面驶近A船。
(1)在湖岸上看，B船的速度如何？
(2)如果A船的速度变为6m/s(方向不变)，在A船上看B
船的速度又为多少？
解：(1)设B船岸的上速的度人为看v到BA船A的船速看度到为B船v的A 速度为 v
vA
vA
由伽利略速度变换，可有
v
vB
v vB vA
的速度的大小。
y
H Ox
解：建立如图坐标，t时刻头顶
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K K 2．某质点在力 F = (4 + 5 x)i (SI)的作用
下沿x轴作直线运动，在从x＝0移动到 x＝10m的过程中，力所做的功为 。
3．一质量为m的质点在指向圆心的平方 反比力F =－k／r2的作用下，作半径为r的 圆周运动。此质点的速度v =__________。 若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机 械能E =________。
4．人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近 地点为A，远地点为B。A、B两点距地心分 别为r1 、r2 。设卫星质量为m，地球质量为 M，万有引力常量为G。则卫星在A、B两点 处万有引力势能之差EPB －EPA= 卫星在A、B两点的动能之差 EPB－EPA＝ 。
地心 r1 r2 B A
；
三、计算题
K K K 开始时粒子A的速度 v A 0 = 3i + 4 j ，粒 K K K 子B的速度 v B 0 = 2i − 7 j ；在无外力作
∫ (C) − ∫
(A) −
l2
l1 l 2 − l0
kx d x
l1 − l0
kx d x
∫ (D) ∫
(B)
l2
l1 l 2 − l0 l1 − l0
kx d x kxdx
二、填空题
1．设作用在质量为1 kg的物体上的力 F＝6t＋3（SI）。如果物体在这一力的作 用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲 量大小Ｉ＝_____________。
用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A的
1．粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，
K K K 速度变为 v A = 7i − 4 j
的速度？
，则此时粒子B
2．质量为m的雨滴下降时，因受空气阻 力，在落地前已是匀速运动，其速率为 v = 5.0 m/s。设空气阻力大小与雨滴速率 的平方成正比，问：当雨滴下降速率为 v = 4.0 m/s时，其加速度a多大？
G (2)求质点所受的合外力 F 以及当质点从A G G G 点运动到B点的过程中 F 的分力 Fx 和 Fy 分
别作的功。
思考题：
在光滑水平面上，平放着固定半圆形屏 障，质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向 从一侧进入屏障，滑块与屏障间的摩擦系 数为μ，求滑块从屏障另一侧滑出时，摩 擦力所做的功。
G G G G Δr = 4i − 5 j + 6k (SI)，其中一个 移为： G G G G 力为恒力：F = −3i − 5 j + 9k (SI)，则
此力在该位移过程中所作的功为 ［ (A) -67J (B) 17J (C) 67J ］ (D) 91J
5．一个质点同时在几个力作用下的位
6．有一劲度系数为k的轻弹簧，原长为 l0，将它吊在天花板上。当它下端挂一托 盘平衡时，其长度变为l1。然后在托盘中 放一重物，弹簧长度变为l2，则由l1伸长至 l2的过程中，弹性力所作的功为［ ］
4．对功的概念有以下几种说法： ［ ］ （1）保守力作正功时，系统内相应的势能 增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质 点作的功为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相 反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的 (B)只有(2)是正确的 (C) (2)、(3)是正确的 (D) 只有(3)是正确的
2．一质点在力F= 5m(5 - 2t) (SI)的作用 下，t =0时从静止开始作直线运动，式中 m为质点的质量，t为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为 (单位m·s-1) ［ (A) 50 (B) 25 (C) 0 ］
(D) 50
3．如图所示，一个小物体，位于光滑的 水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的 另一端穿过桌面中心的小孔O。该物体原以 角速度ω 在半径为R的圆周上绕O旋转，今 将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 ［ ］ (A) 动能不变，动量改变 R (B) 动量不变，动能改变 O (C) 角动量不变，动量不变 (D) 角动量改变，动量改变 (E) 角动量不变，动能、动量都改变
质点动力学
习题课
一、选择题
1．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运 动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和 B。用L和EK分别表示卫星对地心的角动量 及其动能的瞬时值，则应有 ［ ］ (A) LA>LB，EKA>EKB (B) LA=LB，EKA<EKB (C) LA=LB，EKA>EKB (D) LA<LB，EKA<EKB
3．物体质量为m，受到的合外力为： F= － kv2t，k为常数，假设其初速度为 v0，求速度减为v0 /2所经历的时间。
4．质量m＝2 kg的物体沿x轴作直线运 动，所受合外力F＝10＋6x2 (SI)。如果在 x=0处时速度v0＝0；试求该物体运动到x＝ 4 m处时速度的大小。
5 ．质量为m的质点在Oxy平面上运动， G G G 其位置矢量为：r = a cos ω t i + b sin ω t j (SI)式中a、b、ω是正值常量，且a＞b。 (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的 动能；