用MATLAB实现线性卷积运算

北京邮电大学

实验报告

实验名称：用MATLAB实现线性卷积运算学院：信息与通信工程学院

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日期：2012年5月

一、实验原理

1、算法产生背景

DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的。DFT 具备明确且合理的物理含义，适合应用于数字系统，同时可以方便地由计算机进行运算。对于线性非移变离散系统，可由线性卷积表示时域输入输出关系，即

() ()*() ynxnhn

通常采用循环卷积降低运算量，但实际中往往无法满足对信号处理的实时性要求。因此，产生了重叠相加法和重叠保留法两种典型的算法，用以快速计算线性卷积，成为了DFT 的一个重要应用。

2、算法基本思想

1）重叠相加法

重叠相加法是将待过滤的信号分割成长为N 的若干段，如图1 所示，每一段都可以和有限时宽单位取样响应作卷积，再将过滤后的各段重叠相加。

具体算法实现原理如图2 所示，建立缓存序列，每次输入N 点序列，通过计算x(n) 和h(n) 的循环卷积实现线性卷积运算，将缓存的M-1 点序列和卷积结果相加，并输出前N 点作为计算结果，同时缓存后M-1 点，如此循环，直至所有分段计算完毕，则输出序列y(n)为最终计算结果。

2）重叠保留法

重叠保留法相当于将x l(n)和h(n)作循环卷积，然后找出循环卷积中相当于线性卷积的部分。在这种情况下，将序列y(n)分为长为N的若干段(如图3所示)，每个输入段和前一段有M-1个重叠点。此时只需要将发生重叠的前M-1个点舍去，保留重叠的部分并输出，则可获得序列y(n)，算法如图4所示。

二、流程图设计

1、重叠相加法

2、重叠保留法

三、MA TLAB源代码

1、重叠相加源码

2.重叠保留源码

2、四、实验结果与分析

对两种算法采用同一序列进行测试分析。

设56421 .(56411 .)=(56411 .+1),0≤56411 .≤9;ℎ56411 .)=*−,0,+2+ 。计算y(n)=x(n)∗(n) 。

①调用conv()计算

首先利用Matlab对两序列直接运算，得出正确结果。

代码为：x=*1:1:10+,h=*-2,0,+2+,conv(x,h)

结果为: * -2 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 18 20 +

②测试重叠相加算法

代码为：overlap_add(x,h,6)

结果为：* -2.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 18.0000 20.0000 +

③测试重叠保留算法

代码为：overlap_save(x,h,4)

结果为：* -2.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 -4.0000 18.0000 20.0000 +

由此可见，两种算法运行正常，计算正确。更多的测试也正确。算法正确。-

图1.重叠相加法耗时与数据规模关系图

从上至下，依次为：N=4,10,100,10000,1000

五、讨论与总结

1、算法效率分析：

由上表和图1可以看出，随着数据规模增大，运算耗时呈线性增长，因而算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数据规模。因而重叠相加算法具有可行性和实用性。再从算法的空间复杂度来看，由于分配的缓存空间只由分段长度确定，不随数据规模的变化而变化，因而空间复杂度为O(1)。综合考察，重叠相加法具有较好的时间和空间复杂度。当数据量达到千万量级时，运算延时最少大约为2.328s，可运用于对信号的实时处理。

由上表和图2可以看出，同重叠相加法类似，随着数据规模的增大，运算耗时呈线性增长，算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数据规模。同样由于分配的缓存空间只由分段长度确定，空间复杂度为O(1)。综合考察，重叠保留法也具有较好的时间和空间复杂度。当数据量达到千万量级时，运算延时最少大约为2.335s，可运用于对信号的实时处理。

由上表和图3可以看出，调用系统自带的线性卷积运算函数conv()计算线性卷积，运算时间和序列长度也有线性关系。时间复杂度为O(n)。但此时的信号处理延时很小，当数据达到千万量级时，延时仅为0.325s，实时性非常好！

重叠保留法和重叠相加法运行效率与分段长度相关性较强。分段数和卷积运算的序列长度为非线性关系，且当分段长度维持在大约1000点左右时，获得最高的平均运行效率。内置函数conv()运行效率与分段数无关。重叠相加和重叠保留两者效率几乎一致。

在实际应用中，重叠保留和重叠相加主要用于实施信号处理，因而输入序列是连续输入，在保证实时性的要求下，输入序列的分段不能太长。设想实际情况如下：设语音信号采样率为8KHz，相当于每秒输入8000点序列，由重叠相加法处理(重叠保留法类似)。如若分段为1000点，考虑实际系统中为实时输出（Matlab算法模拟里面是将所有序列保存之后再输出），因而每分段处理延时0.00406/8s，又接收1000点延时为1/8s，故处理总延时为0.1255075s。此时接收延时起主要作用，影响实时性。减小接收延时则需要减小分段点数，同时使得处理延时增加。接收延时和处理延时两者是不可调和的矛盾。实际处理时，可根据实时性要求，折中选择分段点数，既满足实时性要求，又降低系统开销。

2、故障和问题分析

①分段问题

初始时没有考虑到分段长度的限制，导致用户输入分段小于系统冲击响应h(n)的长度时运算出错。后增加一个判断语句，当出现前述情况时，自动提升分段点数，问题解决。

②运算完整性问题

在写好代码之后的测试中，出现了一个十分奇怪的现象，即：当输入点数为1000、10000或者更大时卷积运算最后M-1个结果为0.反复测试发现，不仅1000和10000，只