二次函数的平移
二次函数图像的平移问题
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二次函数图像的平移问题
疑点：二次函数的图像如何才能正确平移?
解析：平移在考试中会考，但是分值不会太大，重点是考察一般形式下的二次函数。
平移口诀：上加下减，左加右减。
一般情况下，不用担心h，k的正负情况。
只去看向上向下还是向左向右移就可以了。
1、上下平移将抛物线y=ax²向上移动k个单位，那么得到y=ax²+k
将抛物线y=ax²向下移动k个单位，那么得到y=ax²-k
2、左右平移将抛物线y=ax²向右移动h个单位，那么得到y=a(x-h)²
将抛物线y=ax²向左移动h个单位，那么得到y=a(x+h)²
记住上面4条就可以了。
例如：将抛物线y=ax²向右平行移动1个单位，再向上移动2个单位，就可以得到
y=a(x-1)²+2的图象;
也许你会担心h，k的正负情况，其实不用担心，只需遵循前面那4条，直接把h，k 的值代入式子中。
结论：上加下减，左加右减。
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二次函数的平移
二次函数的平移张尚军在考试中，有些题目是求二次函数平移后的解析式，学生做起来很不方便，普遍感到求平移后的解析式比较困难.就此，我从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.一.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k （a ≠0）时1.向右或向左平移时，解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)²+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-m-h)2+k两解析式比较可得出图像向右平移m 个单位，括号内减去m ，同理可推出向左平移m 个单位括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k.2.向上或向下平移时，解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h ，k ）变为（h ，k+n ）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2²+k 变为y=a(x-h)2+k+n. 比较两个解析式可得出向上平移n 个单位，括号外加n ，同理可推出向下平移n 个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x+m-h)2+k-n.二.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)时1.向右或向左平移时,解析式的变化规律.将抛物线向右平移m 个单位.因为y=ax 2+bx+c=a （x+a 2b ）2+ab 4-ac 42 有前面的规律可知。
y=a(x+a 2b -m)2+ab 4-ac 42 =ax 2+a 4b 2+am ²+bx-2amx-bm+c-a 4b 2=ax 2-2amx+am ²+bx-bx+c=a(x-m)2+b(x-m)+c两式比较,可得出抛物线向右平移m 个单位,自变量上减去m;同理可推出抛物线向左平移m 个单位,自变量上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c2.向上或向下平移时,解析式的变化规律.将抛物线向上平移n 个单位,因为y=ax 2+bx+c=a(x+ a 2b )2+ab 4-ac 42 由前面的规律可知 y=a(x+a 2b )2+ab 4-ac 42+n =ax 2+bx+c+n两式比较:可得抛物线向上平移n 个单位,常数项上加n;同理可推出抛物线向下平移n 个单位,自变量上减去n ，即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c -n. 综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项.当解析式为交点式y=a(x-1x )(x-2x )时，解析式的变化规律，请读者自己完成.应用这一规律，不但便于教师授课，而且更有利于学生掌握应用，解起题来更加方便快捷.发表于2012.08下旬总第132期《新课程学习》。
《二次函数的平移》课件
01 02 03 04
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$的图像 向右平移2个单位后，新的函数 表达式变为$f(x) = (x-2)^2$。
详细描述
在坐标系中，原函数$f(x) = x^2$的图像位于(0,0)，当其向 右平移2个单位后，新的函数图 像将位于(2,0)。
向上平移
总结词
当二次函数图像向上平移时，其函数 表达式的常数项会增加。
在物理中的应用
振动和波动
在物理中，二次函数的平移可以用于 描述振动和波动现象。例如，在弦振 动方程中，通过平移可以描述弦的位 移和时间的关系。
引力与势能
电路分析
在电路分析中，二次函数的平移可以 用于描述交流电的电压或电流随时间 的变化。
在研究引力或势能时，二次函数的平 移可以用来描述物体在引力场中的运 动轨迹或势能随位置的变化。
总结词 详细描述 总结词 详细描述
当二次函数图像向左平移时，其 函数表达式中的x值会增加。
平移后的函数图像与原函数图像 在x轴方向上错开，距离等于平移 的单位数。
向右平移
总结词
当二次函数图像向右平移时，其 函数表达式中的x值会减少。
总结词
平移后的函数图像与原函数图像 在x轴方向上错开，距离等于平 移的单位数。
详细描述
例如，函数$f(x) = x^2$的图像向上 平移3个单位后，新的函数表达式变 为$f(x) = x^2 + 3$。
总结词
平移后的函数图像与原函数图像在y 轴方向上错开，距离等于平移的单位 数。
详细描述
在坐标系中，原函数$f(x) = x^2$的 图像位于(0,0)，当其向上平移3个单 位后，新的函数图像将位于(0,3)。
04
研究二次函数的平移性质
研究二次函数的平移性质二次函数是代数学中的重要概念，它可以用来描述很多现实生活中的实际问题。
在研究二次函数时，我们经常要讨论其平移性质，即改变函数图像的位置。
平移是函数图像向左、向右、向上或向下移动的过程。
接下来，我将详细讨论二次函数的平移性质。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数。
a决定了二次函数的开口方向和曲率，b决定了二次函数图像的位置，c决定了二次函数图像与y轴的截距。
首先我们来讨论二次函数图像向左或向右平移的情况。
当二次函数y=ax²+bx+c向左平移h个单位时，x的值变为x-h，实际上就是将原来的二次函数图像沿x轴方向右移h个单位。
这意味着函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x-h, y)。
同样地，当二次函数向右平移h个单位时，函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x+h, y)。
接下来我们来讨论二次函数图像向上或向下平移的情况。
当二次函数y=ax²+bx+c向上平移k个单位时，y的值变为y+k，实际上就是将原来的二次函数图像沿y轴方向上移k个单位。
这意味着函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x, y+k)。
同样地，当二次函数向下平移k个单位时，函数图像上的每一个点(x, y)都变成了(x, y-k)。
从平移的性质可以看出，平移只会改变二次函数图像的位置，而不会改变其形状或曲率。
这对于解决实际问题时十分有用。
在研究二次函数的平移性质时，我们还需要考虑平移的方向和距离。
平移的方向由平移量的正负决定，正值表示向右或向上平移，负值表示向左或向下平移。
平移的距离由平移量的大小决定，距离越大，平移得越远。
此外，我们还可以利用平移性质得到一些关于二次函数的重要结论。
例如，对于二次函数y=ax²+bx+c，如果我们知道其顶点的坐标为(h, k)，那么可以得到以下结论：1.此二次函数的顶点坐标为(h,k)。
这是因为顶点是二次函数图像的最低点或最高点，通过平移性质，我们可以将二次函数平移到顶点为原点的位置，即y=a(x-h)²+k。
二次函数的平移与垂直变换
二次函数的平移与垂直变换二次函数是高中数学中的一个重要概念，它是指一个以x的二次方作为最高次项的函数。
在图像的表示中，二次函数的平移与垂直变换是非常常见的操作。
本文将介绍二次函数的平移与垂直变换的概念和应用，并通过具体的例子进行解析。
一、平移变换平移是指将函数的图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
对于二次函数，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.水平平移水平平移是指将函数的图像沿着x轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中h表示水平平移的单位数。
当h为正数时，图像会向右移动h个单位；当h为负数时，图像会向左移动h个单位。
例如，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变h的值来实现水平平移。
当h=2时，原来的抛物线图像会向右平移2个单位，变为y=(x-2)²。
同样地，当h=-3时，图像会向左平移3个单位，变为y=(x+3)²。
2.垂直平移垂直平移是指将函数的图像沿着y轴的方向进行移动。
具体而言，当二次函数的公式为y=a(x-h)²+k时，其中k表示垂直平移的单位数。
当k为正数时，图像会向上移动k个单位；当k为负数时，图像会向下移动k个单位。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变k的值来实现垂直平移。
当k=3时，原来的抛物线图像会向上平移3个单位，变为y=x²+3。
同样地，当k=-4时，图像会向下平移4个单位，变为y=x²-4。
二、垂直变换垂直变换是指对函数的图像进行纵向的拉伸或压缩。
对于二次函数来说，这可以通过改变a的值来实现。
当a>1时，图像会被纵向拉伸；当0<a<1时，图像会被纵向压缩。
具体来说，当二次函数的公式为y=ax²时，参数a的变化会影响曲线的形状。
举个例子，考虑二次函数y=x²，我们可以通过改变a的值来实现垂直变换。
当a=2时，原来的抛物线图像将被纵向拉伸，变为y=2x²。
二次函数的平移问题
二次函数的平移问题关于二次函数的平移变换问题二次函数的平移变换可以分为上下平移和左右平移两种情况。
1.上下平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行上下平移，可以进行以下变换：向上平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c+m；向下平移m个单位，得到平移后的函数y=ax²+bx+c-m。
需要注意的是，m为正数，若m为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为上加下减或上正下负。
2.左右平移对于原函数y=ax²+bx+c，若要进行左右平移，可以进行以下变换：先将函数化为顶点式y=a(x-h)²+k；向左平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h+n)²+k；向右平移n个单位，得到平移后的函数y=a(x-h-n)²+k。
需要注意的是，n为正数，若n为负数，则对应的加（减）号需要改为减（加）号。
一般称这种变换为左加右减或左正右负。
例题：1.将抛物线y=-x²向左平移一个单位，再向上平移三个单位，平移后的表达式为（）A。
y=-(x-1)²+3B。
y=-(x+1)²+3C。
y=-(x-1)²-3D。
y=-(x+1)²-32.抛物线y=x²+bx+c向右平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的抛物线表达式为y=x²-2x-3，则b、c的值分别为（）A。
b=2，c=2B。
b=2，c=0C。
b=-2，c=-1D。
b=-3，c=23.将函数y=x²+x的图像向右平移a（a>0）个单位，得到函数y=x²-3x+2的图像，则a的值为（）A。
1B。
2C。
3D。
44.已知二次函数y=x²-bx+1（-1≤b≤1），当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是（）A。
二次函数的平移与伸缩
二次函数的平移与伸缩二次函数是一种常见的数学函数，在数学和物理等领域有广泛的应用。
平移和伸缩是二次函数的重要性质，它们可以改变函数图像的位置和形状。
本文将详细介绍二次函数的平移和伸缩的概念、性质及其在图像变化中的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向上下或左右移动，而不改变函数的形状。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的一般形式可以表示为 f(x - h) + k，其中 (h, k) 表示平移的距离和方向。
1. 水平平移：当 h > 0 时，函数图像向右平移 h 个单位；当 h < 0 时，函数图像向左平移 |h| 个单位。
2. 垂直平移：当 k > 0 时，函数图像向上平移 k 个单位；当 k < 0 时，函数图像向下平移 |k| 个单位。
平移的性质：平移后的函数图像与原函数图像相似，但位置发生了变化。
平移不改变二次函数的对称轴和开口方向。
二、伸缩的概念与性质伸缩是指将函数图像在坐标轴的方向上拉长或压缩，通过改变函数的系数实现。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，伸缩的一般形式可以表示为 f(px) = a(p·x)^2 + b(p·x) + c，其中 p 表示伸缩的比例。
1. 水平伸缩：当 p > 1 时，函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < p < 1 时，函数图像在 x 轴方向上被拉长。
2. 垂直伸缩：当 a > 1 时，函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < a< 1 时，函数图像在 y 轴方向上被压缩。
伸缩的性质：伸缩后的函数图像与原函数图像相似，但形状和大小发生了改变。
伸缩改变了二次函数的开口程度，但不改变二次函数的对称轴。
三、平移与伸缩的应用1. 位置调整：通过平移可以将函数图像移动到坐标系中合适的位置，使得图像与实际问题相符合。
二次函数的平移与缩放
二次函数的平移与缩放二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在这篇文章中，我们将探讨二次函数的平移和缩放以及如何在二维平面中对其进行图形变换。
一、平移平移是指将函数图像沿着坐标轴上下左右方向移动的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，平移可以通过改变常数b和常数c实现。
1. 沿x轴平移当我们想要将二次函数沿x轴平移时，只需要改变常数c的值即可。
若c>0，则图像向上平移；若c<0，则图像向下平移。
平移的距离与常数c的绝对值成正比。
2. 沿y轴平移相对于沿x轴平移，沿y轴平移需要更改常数b的值。
当b>0时，图像向右平移；当b<0时，图像向左平移。
平移的距离与常数b的绝对值成正比。
3. 综合平移如果我们需要进行综合平移，即同时沿x轴和y轴方向移动，我们可以同时改变常数b和常数c的值。
二、缩放缩放是指通过改变二次函数中的参数a的值来改变函数图像的形状和幅度。
1. a的绝对值大于1当a的绝对值大于1时，函数图像会在x轴的方向上发生压缩，图像将变得更瘦高。
a的绝对值越大，图像的压缩程度也越高。
2. 0 < a的绝对值 < 1当0 < a的绝对值 < 1时，函数图像会在x轴的方向上发生伸展，图像将变得更矮胖。
a的绝对值越小，图像的伸展程度也越高。
3. a的值为负数当a的值为负数时，函数图像将上下翻转。
这种情况下，函数图像的顶点将变为最低点，变为最低点处的y值也会变为最高点处的y值。
三、综合平移与缩放在实际应用中，我们常常需要同时进行平移和缩放来对二次函数进行变换。
这样可以更好地适应我们的需求，并绘制出我们想要的图像形状和位置。
综上所述，二次函数的平移与缩放是通过改变函数中的常数a、b和c的值来实现的。
平移是通过改变常数b和常数c的值来实现图像在坐标轴上的上下左右移动。
缩放是通过改变常数a的值来改变函数图像的形状和幅度。
二次函数的平移翻折与缩放
二次函数的平移翻折与缩放二次函数的平移、翻折与缩放是数学中常见的概念，它们描述了二次函数图像相对于原点的位置、方向和大小的变化。
在本文中，我将详细介绍二次函数的平移、翻折与缩放的概念和公式，并通过实例来说明其应用。
一、平移平移是指二次函数图像在平面上沿着坐标轴的平行方向上移动一定的距离。
对于二次函数y = a(x-h)² + k，其中(h, k)表示原点O到新的位置的平移向量。
横向平移：当平移向量为(h, 0)时，图像将沿x轴方向移动h个单位。
若h>0，图像向右移动；若h<0，图像向左移动。
纵向平移：当平移向量为(0, k)时，图像将沿y轴方向移动k个单位。
若k>0，图像向上移动；若k<0，图像向下移动。
通过改变平移向量的值，我们可以观察到二次函数图像在平面上不同位置的变化。
例如，考虑二次函数y = x²，若将其向右平移3个单位，则新的函数为y = (x-3)²。
图像向右移动了3个单位，其形状保持不变。
二、翻折翻折是指二次函数图像关于坐标轴进行对称。
分为横向翻折和纵向翻折两种情况。
横向翻折：当翻折轴为x轴时，二次函数图像关于x轴进行对称。
对于二次函数y = a(x-h)² + k，进行横向翻折后，新的函数为y = -a(x-h)² + k。
此时，形状不变，但图像位于原来位置的上方。
纵向翻折：当翻折轴为y轴时，二次函数图像关于y轴进行对称。
对于二次函数y = a(x-h)² + k，进行纵向翻折后，新的函数为y = a(-x-h)² + k。
此时，形状不变，但图像位于原来位置的左侧。
通过翻折操作，我们可以将二次函数图像在平面上不同位置进行对称变换。
例如，考虑二次函数y = x²，若将其关于x轴翻折，则新的函数为y = -x²。
图像关于x轴对称，形状保持不变。
三、缩放缩放是指二次函数图像在平面上根据比例因子进行拉伸或压缩。
二次函数图象的左右上下平移
3
变换后的图象
经过同时进行的平移变换后，二次函数图象在平面上发生了水平和垂直方向上的 移动。
练习题举例
例题1
已知二次函数图象表示为y = x^2 + 2，进行向右 平移2个单位。
例题3
已知二次函数图象表示为y = x^2 - 4，进行向上 平移4个单位。
例题2
已向 左平移3个单位。
2
向下平移
将二次函数图象整体向下平移，纵坐标减小，表示向下移动。
3
平移距离
平移距离由平移量确定，平移量为正时向上平移，为负时向下平移。
同时进行的平移规律及图象
1
水平和垂直同时平移
可以同时进行水平和垂直方向的平移变换，改变二次函数图象的位置。
2
平移距离
水平方向和垂直方向的平移距离由平移量决定，正值表示向右上方移动，负值表 示向左下方移动。
二次函数图象的左右上下 平移
二次函数的标准式
二次函数的基本形态
标准形态
二次函数图象呈现典型的抛物线 形态，开口方向由函数的二次项 系数决定。
尖峰或平坦
当二次项系数大于零时，抛物线 开口向上，呈现尖峰形态；当二 次项系数小于零时，抛物线开口 向下，呈现平坦形态。
平移变换
通过平移变换，可以改变抛物线 的位置，使其在平面上上下左右 移动。
例题4
已知二次函数图象表示为y = -x^2 + 2，进行向 下平移2个单位。
左右平移规律及图象
1
向左平移
2
将二次函数图象整体向左平移，横坐标
增加，表示向负方向移动。
3
向右平移
将二次函数图象整体向右平移，横坐标 减小，表示向正方向移动。
平移距离
高中数学二次函数图像平移分析方法
高中数学二次函数图像平移分析方法二次函数是高中数学中的重要内容，它的图像具有很多特点和性质。
其中，平移是二次函数图像的一种常见变化，也是考试中经常出现的题型。
本文将介绍二次函数图像平移的分析方法，并通过具体的例题来说明。
一、平移的概念与性质平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变其形状。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移：当二次函数图像沿x轴方向平移h个单位时，函数的表达式变为y = a(x - h)^2 + bx + c。
其中，h为平移的距离，当h大于0时表示向右平移，当h小于0时表示向左平移。
2. 垂直平移：当二次函数图像沿y轴方向平移k个单位时，函数的表达式变为y = ax^2 + bx + (c + k)。
其中，k为平移的距离，当k大于0时表示向上平移，当k小于0时表示向下平移。
二、平移的考点与解题技巧平移是二次函数图像的重要性质，考试中经常会涉及到平移的题目。
以下是一些常见的考点和解题技巧。
1. 平移的基本性质：平移不改变二次函数的开口方向和顶点位置，只改变函数图像在坐标平面上的位置。
2. 平移的关键点：对于二次函数y = ax^2 + bx + c来说，顶点是平移的关键点。
通过观察顶点的横坐标和纵坐标的变化，可以确定平移的方向和距离。
3. 平移的图像分析：在解题过程中，可以通过绘制函数图像来进行分析。
首先，绘制原始的二次函数图像，然后根据平移的要求，将图像进行移动。
三、例题分析下面通过具体的例题来说明二次函数图像平移的分析方法。
例题1：已知二次函数y = x^2 + 2x + 1的图像经过平移得到y = (x - 1)^2 - 2的图像，请分析平移的过程和结果。
解析：首先，观察函数表达式的变化，可以得知平移的距离h为1，表示向左平移1个单位。
其次，通过比较两个函数的顶点，可以发现顶点的纵坐标发生了变化，由1变为-2，说明进行了垂直平移。
二次函数的平移规律
.
• 分析：把把x轴，y轴分别向上、向右平移2个 单位，也可以看成把抛物线向下，向左平移2 个单位.
例3.如果要得到 y x2 6x 7 的图像，需
将 y x2 的 图像（ ）
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
B.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度
例1.在平面直角坐标系中，将抛物线 y 2x 2
向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位
长度，所得抛物线的解析式是
.
y 2x2向下平移3个单位得 y 2x2 3
y 2x2 3
例2.在平面直角坐标系中，如果抛物线 y 2x2 不动， 而把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在
新坐标系下抛物线的解析式是
D.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单 位长度二次函数一般式直接平移
• 例4.已知抛物线 y x2 2x 1 向右平移
3个单位长度，向下平移2个单位长度得到
的函数解析式是
.
总结：二次函数的平移规律： 上下平移后变化，上加下减； 左右平移括号里面变化，左加右减. 也可以说成： 上下平移函数值y变化，上加下减； 左右平移自变量x变化，左加右减
九年级数学上册
二次函数的平移规律
二次函数的平移规律
• 二次函数的解析式一共有5种形式
1 y ax2 2y ax2 k
3y ax h2
4y ax h2 k
5y ax2 bx c
1 y ax2 2y ax2 k 3y ax h2 4y ax h2 k 5y ax2 bx c
由（1）经过上下平移得到（2）， 即上下平移后变化，上加下减 由（1）经过左右平移得到（3） 即左右平移括号里面变化，左加右减. 由（1）经过上下平移和左右平移得到（4） （4）式和（5）式可以互相转化.
二次函数的平移操作
二次函数的平移操作二次函数是数学中的一类重要的函数类型，其基本形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在函数图像上进行平移操作，可以改变函数图像的位置，使其在平面坐标系中发生移动。
下面将分别介绍二次函数图像的水平平移和垂直平移两种操作。
一、水平平移操作水平平移操作是指在平面坐标系中，沿水平方向使二次函数图像整体发生平移。
水平平移操作的实现方法是通过改变函数中x的值来实现。
1. 向右平移要使二次函数图像向右平移，可以通过在函数中的x上加一个常数。
具体而言，假设要将函数y=ax^2+bx+c向右平移h个单位，即新的函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
这样，原本在x轴上的点(x, y)将被移动到(x+h, y)的位置。
2. 向左平移如果要将二次函数图像向左平移，可以通过在函数中的x上减去一个常数来实现。
例如，将函数y=ax^2+bx+c向左平移h个单位，即新的函数为y=a(x+h)^2+b(x+h)+c。
这样，原本在x轴上的点(x, y)将被移动到(x-h, y)的位置。
二、垂直平移操作垂直平移操作是指在平面坐标系中，沿垂直方向使二次函数图像整体发生平移。
垂直平移操作的实现方法是通过改变函数中y的值来实现。
1. 向上平移要使二次函数图像向上平移，可以通过在函数中的常数c上加一个值。
具体而言，假设要将函数y=ax^2+bx+c向上平移k个单位，即新的函数为y=ax^2+bx+(c+k)。
这样，原本在y轴上的点(x, y)将被移动到(x, y+k)的位置。
2. 向下平移如果要将二次函数图像向下平移，可以通过在函数中的常数c上减去一个值来实现。
例如，将函数y=ax^2+bx+c向下平移k个单位，即新的函数为y=ax^2+bx+(c-k)。
这样，原本在y轴上的点(x, y)将被移动到(x, y-k)的位置。
总结通过以上介绍，我们可以看到，二次函数的平移操作可以通过改变函数中的常数来实现。
二次函数的平移与对称性
二次函数的平移与对称性二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。
1. 平移的概念平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。
对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。
1.2 垂直平移垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其中k为平移的距离。
2. 平移的影响平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。
2.1 平移对顶点的影响顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。
当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。
对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。
2.2 平移对对称轴的影响对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。
当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。
对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。
2.3 平移对图像形状的影响平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。
二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。
平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。
3. 对称性的概念对称性是指图像在某种变换下仍旧保持原样。
对于二次函数来说，有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
3.1 轴对称轴对称是指图像相对于某一条直线对称。
对于二次函数来说，其图像关于对称轴对称。
对称轴的方程是x = -b/(2a)，这条直线将图像分为左右两部分，两部分关于该直线对称。
二次函数的平移
二次函数的平移二次函数是数学中的一种基本函数，其代数表达式形式为f(x) =ax^2 + bx + c（a ≠ 0）。
在平面直角坐标系中，二次函数的图像通常呈现出一种弧形，这种弧形被称为抛物线。
二次函数的平移就是将原来的抛物线在平面上移动或改变位置的过程。
一、平移的基本概念平移是指将图形在平面上按照某个方向和距离进行移动，而不改变其形状和大小。
在二次函数中，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1. 水平平移水平平移是指将二次函数图像沿着x轴的正方向或负方向进行移动。
当把二次函数f(x) = ax^2 + bx + c沿x轴正方向平移h个单位时，新的函数表达式变为f(x) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
其中，h为平移的距离。
当h为正值时，表示向右平移；当h为负值时，表示向左平移。
2. 垂直平移垂直平移是指将二次函数图像沿y轴的正方向或负方向进行移动。
当把二次函数f(x) = ax^2 + bx + c沿y轴正方向平移k个单位时，新的函数表达式变为f(x) = a(x^2 + b + c + k)。
其中，k为平移的距离。
当k为正值时，表示向上平移；当k为负值时，表示向下平移。
二、平移对二次函数图像的影响平移操作会改变二次函数图像的位置，进而影响图像的顶点和轴对称性。
1. 顶点的变化二次函数图像的顶点是图像的最高或最低点，其坐标为顶点坐标（h, k）。
在进行水平平移时，顶点的横坐标会发生变化，新的顶点坐标为（h + X, k）。
在进行垂直平移时，顶点的纵坐标会发生变化，新的顶点坐标为（h, k + Y）。
2. 轴对称性的变化二次函数图像相对于顶点有一条垂直于x轴的对称轴。
进行平移操作后，对称轴的位置也会发生变化。
在进行水平平移时，对称轴的方程为x = h + X。
在进行垂直平移时，对称轴的方程为y = k + Y。
三、示例假设原二次函数为f(x) = x^2，在水平方向上平移3个单位，垂直方向上平移2个单位。
二次函数的平移与翻折
二次函数的平移与翻折二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在学习二次函数的过程中，我们不仅需要掌握它的基本性质和图像，还需要了解二次函数的平移与翻折的概念和方法。
本文将详细介绍二次函数的平移与翻折的概念，以及如何应用这些概念解决实际问题。
一、二次函数的平移平移是指二次函数图像在平面上上下左右移动的过程。
平移可以改变函数图像的位置，但不会改变函数的形状。
在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中，平移的规律如下：1. 当b>0时，二次函数图像向左平移；2. 当b<0时，二次函数图像向右平移；3. 当c>0时，二次函数图像向上平移；4. 当c<0时，二次函数图像向下平移。
例如，考虑函数y = x^2，当我们加上一个正数c，即y = x^2 + c，这样二次函数的图像会向上平移c个单位；若我们加上一个负数c，即y = x^2 - c，二次函数的图像则会向下平移c个单位。
二、二次函数的翻折翻折是指由二次函数y = ax^2 + bx + c得到二次函数y = -ax^2 + bx+ c的过程。
翻折只改变了二次函数图像的形状，而不改变其位置。
类似于平移，二次函数的翻折也有规律：1. 当a>0时，二次函数图像开口朝上，翻折后开口朝下；2. 当a<0时，二次函数图像开口朝下，翻折后开口朝上。
例如，考虑函数y = x^2，当我们在其系数a前加上负号，即y = -x^2，二次函数的图像将翻折，开口由朝上变为朝下。
同样地，若我们在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中加上负号，即y = -ax^2 + bx + c，则二次函数图像也会发生翻折。
三、平移和翻折的综合应用在实际问题中，我们经常需要根据具体情况对二次函数进行平移和翻折，以求得更加准确的结果。
例如，考虑一个抛物线y = x^2，现在我们要将其向右平移3个单位，并使开口朝下。
二次函数的平移与反转
二次函数的平移与反转二次函数是数学中的一个常见函数，具有一些特殊的性质，其中包括平移和反转。
在本文中，我们将详细探讨二次函数的平移和反转。
一、平移平移是指将二次函数沿着坐标轴上下或左右移动。
平移的方向和距离由参数决定。
具体来说，二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
为了实现平移，我们可以通过改变c的值来实现。
1. 上下平移：当c的值为正时，二次函数向上平移；当c的值为负时，二次函数向下平移。
平移的距离即为c的绝对值。
例如，考虑函数y = x^2，若我们将c的值从0变为1，则函数图像将向上平移一个单位。
2. 左右平移：当c的值为正时，二次函数向左平移；当c的值为负时，二次函数向右平移。
平移的距离即为c的绝对值。
例如，考虑函数y = x^2，若我们将c的值从0变为-1，则函数图像将向右平移一个单位。
二、反转反转是指将二次函数关于x轴或y轴进行翻转。
反转的方式和参考的轴线有关。
1. 关于x轴的反转：要将二次函数关于x轴进行反转，只需要将函数中的x换成-x即可。
例如，考虑函数y = x^2，若我们将其变为y = (-x)^2，则函数图像将关于x轴进行反转。
2. 关于y轴的反转：要将二次函数关于y轴进行反转，只需要将函数中的x换成-x，且将y前面的系数取负即可。
例如，考虑函数y = x^2，若我们将其变为y = -(x^2)，则函数图像将关于y轴进行反转。
通过平移和反转，我们可以改变二次函数图像的位置和方向，从而得到更多不同的函数图像。
这对于解决实际问题、分析数据等都有着重要的作用。
总结起来，二次函数的平移可以通过改变常数c的值来实现，其方向和距离由c的正负决定；而二次函数的反转可以通过改变函数中的x和y的符号来实现，其参考轴线决定了反转的方式。
对于二次函数的平移和反转，我们需要理解其概念和原理，并能够在实际问题中应用。
二次函数平移、对称规律、最值、恒成立等问题
6、函数思想的应用
举例：求方程 的根的情况
虽然是三次方程，但是可以通过函数角度思考问题
转化成求 与 的交点问题（对于方程两边同除以 ）
当 时， ；当 时，
4、关于恒成立问题
关于恒大于或恒小于的问题（两个函数的比较）考查的是 的时候与 轴没有交点的两种情况，可以推广到两个函数的比较大小。
举例： 对于任意的 都成立，求 的取值范围
可以转换成：对于任意的 ， 都成立
5、关于动态直线问题
静态表达式看成动态的直线
举例： 可以看成 沿y轴上下平移的动态直线
1、二次函数图象平移变换规律：
平移规律：上加下减，左加右减，上下平移变常数，左右平移变
向左平移 个单位
向上平移 个单位
向左平移 个单位
向上平移 个单位
平移时，抛物线的开口方向和形状一定不会发生变化，因此 永远不变
2、二次函数图象对称变换规律
关于 轴对称
系数全变号
关于 轴对称
系数变中间
关于原点对称
系数变两头
关于顶点对称
关于（ ）对称
对称时，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变
3、二次函数图象求最值方法
（1）若自变量 的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取最大值、最小值
① ，当 时，
② ，当 时，
（2）若自变量的取值范围是 内
①若 在自变量的取值范围是 内
当 时， ；当 时，
①若 不在自变量的取值范围是 内
二次函数图像的平移规律
7．把二次函数y=2x2-4x+5的图像, 如何平移 可得到y=2x2+4x+1的图像.
y 2x 12 6
4 4
2 2
y 2x 62 1
-10 -10
-5 -5
OO
5 5
10
xx 10
y 2x 12 1
-2
-2
y 2yx27x2312 5
-4 -4
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向 上平移３个单位，得到_y_=_(_x_+_1_)_2+__3_的图像；
y 2x －162
24Biblioteka y 2x 32上下左右
-10
-5
y
y=x2+4
8
6
4
y=x2
2
y=x2-2
O
5
x 10
-2
-4
y
8 6 4 2
-10
-5
O
5
x 10
y 2x 62 2
-2
y 2x2 2 y 2x 52 2
-4
y 2x 62 6
yy
8 8
y 2x 32 1
6 6
（2）把二次函数_y_=_x_2_+_3_的图像，沿y轴向 下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像。
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像，沿x轴向 左平移３个单位，得到_y_=__(x_+_4_)_2_的图像； （2）把二次函数__y_=_(_x_+_2_)_2+__1_的图像，沿 x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像。
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《二次函数的平移》教学设计杜军涛
一、教材分析
1、教材分析
本节课是北师大新版初中数学九年级下册第二章第三节二次函数的平移的一个延伸和拓展，也是陕西中考近几年的一个热点和难点。
本节课是在八年级下册第三章学习了图形的平移之后，在九年级下学习了二次函数的图像和性质，a,b,c对图像的影响，二次函数的平移的基础上的进一步专题研究。
通过本节课的学习为后面二次函数的旋转变换，对称变换提供了一定的研究思路，也为后面二次函数其他的专题研究打下了基础，同时又为高中的数学学习做好了铺垫，具有承上启下的作用。
2、学情分析
学生的身心特点：九年级的学生他们有着强烈的求知欲，具有一定的观察能力，模仿借鉴能力，思维和思辨的能力。
他们喜欢动手操作，独立思考，合作交流，他们乐于在课堂上展
示自己的想法和做法。
因此，本节课我将留出充足的时间和思维空间让学生进行自主探索学习，合作交流，展示自己独特的想法。
从认知状况来说：九年级学生学生在此之前已经学习了图形（包括直线，抛物线）的平移，对二次函数的平移已经有了初步的认识，但是部分学生对于二次函数的平移只是记住了平移
规律，对于平移的本质理解不够深刻。
对于二次函数平移与几何图形相结合的问题（由于其
抽象程度较高，）仍有一定的困难，因此本节课会将重心放在引导分析以上两个问题。
基于以上对教材和学情的认识，我设计了如下的教学目标
二、教学目标分析
教学目标：理解并掌握在平移过程中图像的变化对a,b,c的影响
通过对二次函数平移的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归
纳概括的能力；
情感、态度和价值观：通过数学活动让学生学会与人相处，养成自主探索，合作交流的良好学习习惯。
教学重点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。
教学难点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。
三、教学方法分析
按照新课标的理念；本节课我将采用启发式、讨论式的教学方法，以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，始终在学生知识的“最近发展区”
设置问题，给学生留出足够的思考时间和思维空间，让学生进行自主探索和合作交流，从真正意义上完成对知识的自我建构。
四、学习方法分析：
通过开展自主探索，合作交流，展示等活动，培养学生分析问题，解决问题的能力
五、教学过程：
新课标指出，教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，
是师生共同发展的过程。
为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
(1) 复习导入（2分钟）
同学们，在前面我们已经学习了平移，那么什么叫平移？平移有哪些特点?
本节课我们就来进一步学习“二次函数中的平移问题”
(2)基础练习（自主学习环节）(5分钟）
例1：已知抛物线4)1(2+--=x y ，向右平移2各单位，再向下平移3个单位，所得抛物
线的解析式为__________.
变式1：已知抛物线4)1(2+--=x y ，经过平移后的抛物线的解析式为1162+--=x x y ,
请写出平移方向和距离________.
变式2：已知抛物线4)1(2+--=x y 向上（下），或向左（右）平移m 个单位，使平移后
的图像恰好经过原点，则m 的最小值为__________.
设置意图：以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，同时引导学生理解“线”的平移的本质就是“点”的平移，一般抓关键点（如顶点或交点），同时也为后面的旋转变换和对称变换打好基础，初步渗透数形结合的思想方法。
（3 )例题讲解 (自主学习环节）（10分钟）
变式3:（2016年陕西中考第24题变形）
例2：已知: 如图抛物线L: 经过点A （-1，0）和B （3，0）与y 轴交于点C (0，3) ①求抛物线的解析式
②平移抛物线L ，使平移后的抛物线经过点A （-1，0） 且与y 轴交于点E ，同时满足以A 、O 、E 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
24
3217
4
学生可能存在的问题：
问题1： 学生不知道怎样才能得到平移过程？
问题2: 学生容易忽略平移过程中的不变量a=-1，A(-1，0)这些已知条件？
问题3: 学生对等腰直角三角形的认识不足（特别是点A 和点E 的位置理解不清）？ 问题4： 学生考虑不全面？
设计意图：引导学生从代数的角度，和几何的角度寻找等量关系并求解，渗透数形结合和分类讨论的数学思想方法。
变式4：拓展提升（2013年陕西中考第24题变形）（合作交流10分钟）
已知抛物线的顶点为P （1，0），且经过点（0，1）．
（1）求该抛物线对应的函数的解析式；
（2）将该抛物线向下平移m 个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若△ABC 为等边三角形．求m 的值；
∵由△ABC 为等边三角形，
∴BH=HC=12
BC ，∠CAH=30°，
∴HC 即m =，
由m ＞0，
解得：m=3
（3）将2(1)y x =-向下平移m 个单位得2(1)y x m =-- ①若90PBC ∠=，此时抛物线经过原点， 把（0,0）代入2(1)y x m =--中得， m=1
②若BPC 90∠=，则此时点B 一定在x 轴负半轴.
当y=0时 22(1)-0x m -=即
C(1+可证△BOP ∽△POC
∴OC 2=OAOB
2
= 1=m-1 , 解得 m=2
11)
③若BCP90
∠=，则此种情况不存在.
综上所述：m=1或m=2
变式五：
已知抛物线L：y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B（3，0），该抛物线的对称轴为直线x=1．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线L平移得到抛物线L'，如果抛物线L'经过点C时，那么在抛物线L'上是否存在点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，应将抛物线L怎样平移；若不存在，请说明理由
设置意图:强化学生对图形的认知能力，学会举一反三，一题多变（例如：平移前后抛物线上的关键点构成的四边形若为平行四边形，或矩形，菱形，正方形其方法不变）
六、小结归纳，拓展深化（3分钟）
①通过本节课的学习，你学会了哪些知识；
②通过本节课的学习，你最大的体验是什么；
③通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
七、布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点，设计必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的进一步延伸。
总的设计意图是反馈教学，巩固提高。
八、板书设计
一：平移的特点例2：三：课堂小结：1,2,3
二：例题讲解变式4：
例1：变式5：四：作业布置：
变式1：
变式2
九、教学反思：。