第7讲 不等式(教师与学生版)
高考数学复习第7讲基本不等式-
应用数学思想
思想：方程与函数思想 数形结合思想 等价转换思想 分类讨论思想等
基础知识回想
1、算术平均数：如果a,b R ，那么
正数的算术平均数。
ab 2
叫做这两个
2、几何平均数：如果 a,b R ，那么 ab 叫做这两个
2 2a b
2
( 2 1)(b a ) 1 ( 4b a 4) 4
a b 2 2a b
(当且仅当a=2b即a=4,b=2时取=)
3)由 2 1 1 ab
则
2
1
(
2 a
1 b
)2
1
ab
2
4
(当且仅当a=2b即a=4,b=2时取=)
2 1 ab 4
即ab 8 S
1 ab 4 2
法二 : 设直线方程:y 1 k(x 2) (k 0)
题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题， 求实数 a 的取值范围.
2、解：命题 p 为真命题 函数 f (x) lg(ax2 x 1 a) 16
的定义域为 R ax2 x 1 a 0 对任意的 x 均成立 16
a 0 时， x >0 解集非 R ，即 a≠0；
a 0
1
，
x2 1
令u 2 x2 1 1 ， x2 1
则 u 2v 1 (v x2 1) ，由函数的单调性知 u 的最小值为 3， v
故 a 3 。 答案选 C。
例 2．命题 p:函数 f (x) lg(ax2 x 1 a) 的定义域为 R ； 16
命题 q:不等式 2x 1 1 ax 对一切正实数均成立.如果命
第7讲 均值不等式
第七讲 均值不等式一、知识概要不等式是初等数学和高等数学中的重要内容之一,不等式内容丰富、应用广泛，不等式证明在数学中占有重要的地位.由于不等式问题的形式千变万化，多姿多彩，因此可以说不等式问题是数学竞赛中最吸引人、最有魅力的问题之一，本讲重点介绍平均值不等式和柯西（cauchy ）不等式, 这两个基本不等式在不等式的证明中有着特殊的地位，并且起着重要的作用，这两个不等式本身的证明、应用均涉及到解决一般不等式问题的基本方法与技巧，因此掌握和灵活应用这两个不等式对我们的数学能力培养有极大的作用.知识点1: 对于任意的非负实数a,b ,我们有20-≥ ，于是利用此结论可得到二元均值不等式：2a b+≥a=b ）其中2a b+称为几何平均值，利用此不等式两边平方，还可以推出很多常用结论，例如:2()2a b ab +≥，222a b ab +≥等其他结论. 知识点2: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,,123a a a a n 为n 个非负实数，则12na a a n+++≥123a a a a n ====）.知识点3: 设,,,123a a a a n 为n 个非负实数,n Q=12nn a a a A n+++=,n G , 12111n nnH a a a =++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当123a a a a n ====)二、习题指导例1.(1) 已知非负数a,b 若a b s +=，求ab 的最大值. (2)已知非负数a,b ，若ab p =，求a b +的最小值.拓展：已知非负数a,b,c ,若236a b c ++=，求abc 的最大值. 已知非负数a,b,c,，若abc=6，求a+2b+3c 的最小值.已知非负数a,b,c,，若3a+2b=10的最大值已知非负数a,b,c ,，若a+b+c=1，求23ab c 的最大值.例2.已知,,a b c R +∈，且a+b+c=1，求证： (1) (1)(1)(1)8a b c abc ---≥ (2) 1119a b c ++≥ (3) 22213a b c ++≥（4）127abc ≤ （5 （6≥例3. 已知实数1,,,12a b c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,证明: （1）52b a a b +≤;(2) 222252ab bc a b c+≥++. .例4 .设,,,a b c d 是正实数， 22221a b c d +++=证明：222222222222332a b cd ab c d abc d a bcd a bc d ab cd +++++≤.例5 . 设,,a b c 是正实数，且()()()8a b b c a c +++=，证明：3a b c ++≥例6．设,,,a b c d 是正实数， 2222abcd a b c d >+++，证明：8abcd a b c d >++++.三、习题演练1. 证明函数11()(1)n f n n +=+为单调递减函数，1()(1)n g n n=+为单调递增函数(()n N ∈2. 设正数,,a b c 满足32a b c ++≤，求1s abc abc=+的最小值.3.设正数,,a b c 满足111a b c a b c++≥++，证明：3a b c ++≥4.求最大的正整数n 使得不等式()1212111()9n na a a a a a +++++≤对一切正实数12,,n a a a 都成立.5.已知正数,a b 满足1a b +=，证明：221125()()2a b a b +++≥6.求最大的正实数A 使得对于任意实数x,y,z不等式4442222()0x y z x yz xzy xyz A xy yz zx +++++-++≥成立.。
第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.【解析】(1)因为1641340∆⨯⨯>＝－＝，所以方程2430x x ＋＋＝有两个不等实根x 1＝－1，x 2＝－3.所以原不等式的解集为{|3x x <-或1}x >-.(2)因为()036449()4∆⨯-⨯-=＝－，所以方程246x x --＋9=04有两个相等实根x 1＝x 2＝34所以原不等式的解集为{34x x ⎫≠⎬⎭.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选B 考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【解析】关于x 的不等式2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>．(1)当0a =时，()210x +>，解得{}|1x x >-．(2)当0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为-1和2a a -，当21a a --<，即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a ->}，当21a a--=，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-．当21a a -->，即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1x >-}，．(3)当0a <时，()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．因为方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为—1和2a a -，又因为2211a a a -=->，所以21a a--<，．即不等式()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0a <时，不等式的解集为2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0a =时，不等式的解集为{}1x x -，当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1}x >-当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a->}，考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x xx ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-【答案】ABD【解析】对于集合A ，解不等式201x x -<+，即()()21010x x x ⎧-+<⎨+≠⎩，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<.对于A 选项，()(){}{}21012x x x x x -+<=-<<，故A 正确；对于B 选项，解不等式102x x +<-，即()()12020x x x ⎧+-<⎨-≠⎩，得12x -<<，即{}10122x xx x x ⎧⎫+<=-<<⎨⎬-⎩⎭，故B 正确；对于C 选项，与集合{}12A x x =-<<比较显然错误，故C 错误；对于D 选项，()1,2-等价于{}12x x -<<，故D 正确.故选ABD考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】B【解析】当0k =时，80>恒成立，符合题意；当0k ≠时，由题意有()()2Δ6480k k k k >⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得01k <<，综上，01k ≤<.故选B.【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}xx >∣B ．{2}xx <-∣C ．{2∣<-xx 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【答案】D【解析】原式化为()()220x x -+<，即22x -<<，故不等式的解集为{22}xx -<<∣.故选D 2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】由题，一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立则()2221490k k k >⎧⎪⎨⎡⎤+-⨯<⎪⎣⎦⎩，即204510k k k >⎧⎨-+<⎩，解得1,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选B 3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<【答案】A【解析】()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴上方，①2450k k +-=时，k ＝－5或k ＝1，k ＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k ＝1时，y ＝3满足条件；故k ＝1；②k ≠－5且k ≠1时，函数为二次函数，则2450Δ0k k ⎧+->⎨<⎩，解得119k <<；综上，119k <.故选A.4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1【答案】AC【解析】A 中21410∆=-⨯<.满足条件；B 中(240∆=-->，解集不为R ；C 中264100∆=-⨯<，满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选AC5.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R【答案】AB【解析】由()()110ax x -+<，分类讨论a 如下：当0a >时，11x a-<<；当0a =时，1x >-；当10a -<<时，1x a<或1x >-；当1a =-时，1x ≠-；当1a <-时，1x <-或1x a>.故选AB.6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .【解析】(1)由题意得：－1，3就是方程250x bx c -+=的两根，∴504530b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，则1015b c =⎧⎨=-⎩，∴5b c +=-；(2)将不等式转化为()()254040x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，∴4x <-或52x ≥，∴52A x x ⎧=≥⎨⎩或}4x <-.8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【解析】(1)214450x x -+-≥即214450x x -+≤，故()()590x x --≤，解得59x ≤≤，故214450x x -+-≥的解集为[]5,9(2)()()231x x x x >+-+即22231x x x x +>-+，即2210x x -->，即()()1210x x -+>，解得1x >或12x <-，故解集为()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B【解析】依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥，故选B ．2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx mx x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞【答案】A【解析】因为22334634044x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立所以22221463x mx mx x ++<++恒成立2222463x mx m x x ⇔++<++恒成立()()226230x m x m ⇔+-+->恒成立故()()2624230m m ∆=--⨯⨯-<解之得：13m <<故选A3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-【答案】C【解析】因为不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，所以212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，所以0a b +=，故选C ．4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选C5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误；对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误；对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确.故选AD.6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确,B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >.所以D 正确；C 错误.故选ABD7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{}012a a ≤≤【解析】当0a =时，不等式为30>满足题意；当0a ≠时，需满足2120a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得012a <≤综上可得，a 的取值范围为{}012a a ≤≤8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．【答案】11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】20ax bx c ++< 的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，2∴-和3是方程20ax bx c ++=的两根且0a <，0231236a b a c a⎧⎪<⎪⎪∴-=-+=⎨⎪⎪=-⨯=-⎪⎩，即06a b a c a <⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；则20cx bx a ++>可化为260ax ax a --+>，2610x x ∴--+<，解得：12x <-或13x >，即不等式的解集为11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.【解析】(1)其中2280x x --=，即()()420x x -+=，所以14x =或22x =-，故()()420x x -+>的解集为{|4x x >或}2x <-；(2)因为240x -=，解得：12x =或22x =-，故240x -≥的解集为{}|22x x -≤≤10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.【解析】(1)解：因为关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 为方程22320x x a -+=的两根，所以21312b b a +=⎧⎨⨯=⎩，解得21b a =⎧⎨=±⎩；(2)解：不等式()2325ax x ax a R -+>-Î，即2(3)30ax a x +-->，即(3)(1)0ax x -+>，当0a =时，原不等式解集为{|1}x x <-；当0a ≠时，方程(3)(1)0ax x -+=的根为13x a=，21x =-，∴①当0a >时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|x x a >或1}x <-；②当30a -<<时，31a <-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a <<-；③当3a =-时，31a =-，∴原不等式的解集为∅；④当3a <-时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a -<<．。
高考数学复习讲义 不等式(学生版)
高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。
含参数的不等式(学生版)
第 课时内容：含参不等式的解法目标：1、使学生掌握含参不等式问题的求解策略；2、加强对函数思想和方程思想，分类讨论等数学思想方法与不等式中的联系，提高学生运用数学思想方法解决具体问题的能力。
重点：不等式问题的求解策略难点：分类讨论思想的具体应用教程：一、考点分析：当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。
下面举例说明，以供同学们学习。
二、知识整合：1、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x不等式小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。
⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。
⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x的不等式2、含参数的分式不等式的解法：例2：解关于x的不等式小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，－1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。
⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。
⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。
牛刀小试：解关于x的不等式3、含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x的不等式小结：去掉绝对值符号的方法有①定义法：②平方法：③利用同解变形：；牛刀小试：（2004年辽宁省高考题）解关于x的不等式三、强化练习：1. 已知方程有一负根且无正根，则实数a的取值范围是（ ）A. a >-1B. a=1C. a≥1D. a≤12. 设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围是（ ）3. 在R上定义运算：xy=x(1–y),若不等式（x–a）(x + a)<1对任意实数x成立。
数学-高一-第7讲-基本不等式及其应用
专业教师辅导教案 学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F 段 主 题 基本不等式及其应用教学内容1. 掌握两个基本不等式；2. 能用基本不等式解决一些简单问题.（以提问的形式回顾）1. 利用基本不等式①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立，②(,)2a b ab a b R ++≥∈ ，当且仅当b a =时等号成立。
证明下列不等式：222()(,)42a b a b ab a b R +++≤≤∈ 当且仅当b a =时等号成立 这个不等式反应了两个数的和，积，平方和三者之间的关系，只要这三者有一个是定值，都可以用到基本不等式求最值。
2. 已知0,0x y >>，且4x y +=，求xy 的最大值；解：∵00x y >>，，且4x y +=∴42x y xy +=≥，当2x y ==时取等号∴4xy ≤，当2x y ==时取等号∴当2x y ==时，xy 的最大值为4。
3. 已知00x y >>，，且4xy =，求x y +的最小值；解：∵00x y >>，，4xy =∴24x y xy +≥=，当且仅当2x y ==时取等号∴当2x y ==时，x y +的最小值为4。
注意：①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；③基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 若0x >，则2x x+的最小值为 . 答案：22我们发现2x x 和都是正的，而且22x x⋅= 是定值，因此我们用到了基本不等式积与和的关系2(,)a b ab a b R ++≥∈这里一定要引导学生，判断符号后如何出现定值，再思考用哪个关系。
人教版初一数学下册：不等式及其性质(提高)知识讲解
不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】知识点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是()【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．【答案】D【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于16641421 333⨯==克故D选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．举一反三：【变式】【答案】类型二、不等式的解及解集2.若关于x的不等式x≤a只有三个正整数解，求a的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．【答案】3≤a＜4【解析】解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1，2，3，∴3≤a＜4，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．3.（2015春•安县期末）如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数．【答案】B【解析】解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；故选B．【总结升华】在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．举一反三：【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．【答案】4提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为224y x =-．把x ＝1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y ；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止． 类型三、不等式的基本性质4.若关于x 、y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y ＜2，则a 的取值范围是________．【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y 的值．因为x+y ＜2，故可以构建关于a 的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a 的取值范围． 【答案】a ＜4 【解析】解：将两方程相加得：4x+4y ＝4+a ． 将方程的两边同除以4得 44ax y ++=． 依题意：424a+<． 将不等式的两边同乘以4得4+a ＜8． 将不等式的两边同时减去4得a ＜4． 故a 的取值范围是a ＜4．【总结升华】解关于x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式，化简的依据是不等式的性质． 举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，则a的取值范围是 ． 【答案】a ＞1．解：关于x 的不等式（1﹣a ）x ＞3可化为，1﹣a ＜0，a ＞1.【高清课堂：一元一次不等式370042 练习3】【变式2】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b|D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D附录资料：一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系． 【答案与解析】 解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【高清课堂：第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】 举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______；(2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______；(3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______．【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①②（2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集． 【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2． 其解集在数轴上表示如图所示．（2）原不等式可变为：213(1)3(1)4x xx x+>-⎧⎨-≥-⎩①②解①得：4x<解②得：12 x≥-故原不等式组的解集为14 2x-≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组． 【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（），不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？ 【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可； （2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可． 【答案与解析】 解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本； 方案二：文学名著27本，动漫书47本； 方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【高清课堂：实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？ 【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7， ∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆； 方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆； 方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆． （2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）； 方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）； 方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）． ∴方案1运费最少，应选方案1．。
第7讲-其他不等式的解法
主 题 其他不等式的解法教学内容1. 掌握分式不等式的解法；2. 掌握含绝对值不等式的解法。
一、分式不等式：解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ，我们还可以用分类讨论的思想来求解因为满足不等式组⎩⎨⎧<->+0104x x 或⎩⎨⎧>-<+0104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？（1）0)3)(2(>-+x x（2）0)2(<-x x（3）)(0))((b a b x a x >>--（1）()()303202x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？例1. 解不等式：2113x x ->+试一试：解不等式：302x x -≥-例2. 解不等式：22331x x x ->++试一试：解不等式：2320(1)(1)x x x x +≤-++例3. 解关于x 的不等式10832<-+x x试一试：解关于x 的不等式2321>-x附2.不等式恒成立问题5．若一元二次不等式042≤+-a x ax 的解集是R ，求a 的取值范围。
6．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集为空集，求a 的取值范围。
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 不等式1|11|≥-+x x 的解集是 ． 2. 不等式02111>+-x 的解为____________. 3. 解不等式22x x x x >++。
4. 解不等式123x x ->-5. 解下列不等式4321x x ->+ |2||1|x x -<+|21||2|4x x ++-> 4|23|7x <-≤本节课主要知识点：分式不等式的解法，含绝对值不等式的解法及注意事项【巩固练习】1. 不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）..A (0,2) .B (2,0)(2,4)- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--2. 不等式211x x --<的解集是 ．3. 解下列不等式（1）2113x x ->+ （2）|2x －1|＞|2x －3|＜提高练习＞1、 对于一切实数x,a x x >++-23恒成立，则a 的取值范围是 .。
第7讲 构造函数解不等式(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)
第七讲构造函数法解决导数不等式思维导图——知识梳理脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一加减法模型构造函数思维导图-----方法梳理1.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()bkx x f x g +-=2.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值.，且为且当A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b>>围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·四川广元市·高三三模）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A．(,3)(0,3)-∞- B．()3,3-C．(3,0)(0,3)-⋃D．(,3)(3,)-∞-⋃+∞例2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(,1)(0,1)-∞-⋃D ．(1,0)(1,+)-⋃∞例3．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数()f x 是定义在−∞，∪，+∞的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A ．()()33-∞-⋃+∞，，B ．()()3003-⋃，，C ．()()3007-⋃，，D ．−∞，−∪，套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2021·安徽高二月考（理））设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()2'f x xf x >，则不等式()()()24202120212f x x f ->-的解集为（）A ．()2021,2023B ．()0,2022C ．()0,2020D ．()2022,+∞2．（2020·广州市育才中学高二月考）函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（）A ．()()9243f f >B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定3.（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞ 题型二：构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型思维导图-----方法梳理类型一：构造可导积函数1])([)]()(['=+'x f e x nf x f e nx nx 高频考点1：])([)]()(['=+'x f e x f x f e x x 类型二：构造可商函数①])([)()('=-'nxnx ex f e x nf x f 高频考点1：])([)()('=-'xx ex f e x f x f 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2021·内蒙古锡林郭勒盟）设函数()'f x 是函数()f x 的导函数，x R ∀∈，()()0f x f x '+>，且(1)2f =，则不等式12()x f x e ->的解集为（）A．(1,)+∞B．(2,)+∞C．(,1)-∞D．(,2)-∞例2.（2022·陕西榆林·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>e eD ．1(2)f +>e e例3．（2021·赤峰二中高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x >-'，()06f =，则不等式()51x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A．()0,∞+B．()5,+∞C．()(),05,-∞⋃+∞D．(),0-∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2020·贵州贵阳·高三月考（理））已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()sin sin sin sin e eB A f A f B <B ．()()sin sin sin sin e e B A f A f B >C ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B <D ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B >2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()e e 2017x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(),0∞-B ．()(),02017,-∞⋃+∞C ．()2017,+∞D ．()0,∞+3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意R x ∈满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·全国高三）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2022f x +为奇函数，则不等式()20220xf x e +<的解集是（）A．(),0-∞B．−∞,l BC．()0,∞+D．()2022,+∞例2．（2020·吉林高三月考（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞例3．（河南省多校联盟2022）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞例4．（2021·全国高三）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()0f x f x '->，2021(2021)f e =，则不等式31(ln )3f x x <的解集为（）A．6063(,)e +∞B．2021(0,)e C．2021(,)e +∞D．6063(0,)e 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e x f x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->3．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '为，且满足()()f x f x '>，则(2017)f 与e (2016)f ⋅的大小关系为（）A ．(2017)f ＜e (2016)f ⋅B ．(2017)f =e (2016)f ⋅C ．(2017)f ＞e (2016)f ⋅D ．不能确定4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且(1)e f =，则不等式()2525e 0x f x --->的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()3,+∞5．（2021·江苏高二月考）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '->，若()()2211x ax e f ax ef x +>-恒成立，则实数a 的取值范围为___________.2．（2022·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是'()f x ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin ()cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,0,266πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,,2662ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,662πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π）B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（）A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞C ．()2cos114f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜D ．6426f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜op上的奇函数，且套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫。
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版
七年级数学下册不等式与不等式组教案人教新课标版一、教学目标：知识与技能：使学生掌握不等式的概念、性质和基本运算；学会解一元一次不等式及不等式组。
过程与方法：通过观察、实验、探究等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生克服困难、自主学习的品质。
二、教学内容：第一课时：不等式的概念与性质1. 不等式的定义2. 不等式的性质第二课时：不等式的基本运算1. 不等式的加减法2. 不等式的乘除法第三课时：解一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法2. 解不等式组的策略第四课时：不等式应用举例1. 应用不等式解决实际问题2. 不等式组在实际问题中的应用第五课时：复习与拓展1. 复习不等式、不等式组的解法及应用2. 拓展练习三、教学重点与难点：重点：不等式的概念、性质，解一元一次不等式及不等式组的方法。
难点：不等式的性质，解一元一次不等式，不等式组在实际问题中的应用。
四、教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学素养。
五、教学过程：第一课时：1. 导入新课：通过生活中的实例引入不等式概念。
2. 讲解不等式的性质。
3. 练习不等式的基本运算。
第二课时：1. 讲解不等式的加减法运算。
2. 讲解不等式的乘除法运算。
3. 练习不等式的基本运算。
第三课时：1. 讲解一元一次不等式的解法。
2. 讲解解不等式组的策略。
3. 练习解一元一次不等式及不等式组。
第四课时：1. 举例讲解应用不等式解决实际问题。
2. 举例讲解不等式组在实际问题中的应用。
3. 练习不等式及不等式组在实际问题中的应用。
第五课时：1. 复习不等式、不等式组的解法及应用。
2. 拓展练习。
六、教学评价：采用课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等方式进行教学评价。
重点关注学生对不等式及不等式组的掌握程度，以及在实际问题中的应用能力。
七、教学策略：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示不等式的性质和运算过程。
第7讲 一元一次不等式组（含答案点拨）
第7讲 一元一次不等式(组)考纲要求命题趋势1．了解不等式(组)有关的概念． 2．理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．3．能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.不等式(组)在中考中以解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主．而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用，更是中考的热点内容，且难度大，综合性强.知识梳理一、不等式的有关概念及其性质 1．不等式的有关概念：(1)不等式：用符号“＜”或“＞”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式． (2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有__________，组成这个不等式的解集．(3)解不等式：求不等式的________的过程叫做解不等式． 2．不等式的基本性质：(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__________，即若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c (或a －c ＜b －c )．(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向__________，即若a ＜b ，且c＞0，则ac ______bc ⎝⎛⎭⎫或a cb c . (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向__________，即若a ＜b ，且c＜0，则ac ______bc ⎝⎛⎭⎫或a cb c . 二、一元一次不等式(组)的解法1．一元一次不等式：只含有__________未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的基本步骤：去分母、__________、移项、__________、系数化为1.3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．5．一元一次不等式组解集的确定方法． 若a ＜b ，则有： (1)⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，x >b 的解集是__________，即“同大取大”． (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x <b 的解集是__________，即“同小取小”． (3)⎩⎪⎨⎪⎧ x >a ，x <b 的解集是__________，即“大小小大中间夹”． (4)⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x >b 的解集是__________，即“大大小小无解答”． 三、不等式(组)的应用1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)检验解是否符合实际情况；(7)写出答案(包括单位名称)．自主测试1．如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a ＋c ＞b ＋c B ．c －a ＞c －bC ．ac ＞bcD ．a c ＞bc2．不等式2x ＋1＞－3的解集在数轴上表示正确的是( )3．一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如下图，则该不等式组的解集是( )A ．－1≤x ＜3B ．－1＜x ≤3C ．x ≥－1D ．x ＜34．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13x ＋1>0，2－x ≥0的解集是( )A ．－13＜x ≤2 B ．－3＜x ≤2C ．x ≥2D ．x ＜－35．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg ，每捆材料重20 kg ，电梯最大负荷为1 050 kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载__________捆材料．考点一、不等式的性质【例1】已知a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是( ) A ．a ＋c ＞b ＋c B ．c －a ＜c －bC ．a c 2＞bc 2 D ．a 2＞ab ＞b 2解析：∵a ＞b ，∴－a ＜－b ，根据不等式性质一知，A ，B 均正确．∵c ≠0，∴c 2＞0，根据不等式性质二知C 项正确．D 项中当a ＝1，b ＝－2时，a 2＜b 2，故D 不正确．答案：D方法总结 不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．触类旁通1 下列不等式变形正确的是( )A ．由a ＞b ，得ac ＞bcB ．由a ＞b ，得－2a ＜－2bC ．由a ＞b ，得－a ＞－bD ．由a ＞b ，得a －2＜b －2 考点二、不等式(组)的解集的数轴表示【例2】不等式8－2x ＞0的解集在数轴上表示正确的是()解析：不等式8－2x ＞0的解集是x ＜4，故选C. 答案：C方法总结 不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向，大向右，小向左．触类旁通2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≤3，x >－3的解集在数轴上表示正确的是()考点三、不等式(组)的解法【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来⎩⎪⎨⎪⎧－3(x －2)≤4－x ，1＋2x 3>x －1.解：⎩⎨⎧ －3(x －2)≤4－x ，1＋2x3>x －1.①②解不等式①，得x ≥1， 解不等式②，得x ＜4.所以，不等式组的解集为1≤x ＜4. 在数轴上表示为方法总结 1．解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向．2．解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误．3．在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”．触类旁通3 求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5>1，3x －8≤10①②的整数解．考点四、确定不等式(组)中字母的取值范围 【例4】关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋152>x －3，2x ＋23<x ＋a只有4个整数解，则a 的取值范围是( )A ．－5≤a ≤－143B ．－5≤a ＜－143C ．－5＜a ≤－143D ．－5＜a ＜－143解析：解原不等式组，得2－3a ＜x ＜21.由已知条件可知2－3a ＜x ＜21包含4个整数解，这4个整数解应为17,18,19,20，这时2－3a 应满足16≤2－3a ＜17，解得－5＜a ≤－143，故应选C.答案：C方法总结 根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值范围．触类旁通4 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥0，1－2x >x －2有解，则a 的取值范围是( )A ．a ＞－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ＜1 考点五、不等式(组)的应用【例5】某家电商场计划用32 400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？解：(1)设购进电视机、冰箱各x 台，则洗衣机为(15－2x )台．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧15－2x ≤12x ，2 000x ＋2 400x ＋1 600(15－2x )≤32 400.解得6≤x ≤7.∵x 为正整数，∴x ＝6或7.方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台； 方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．(2)方案1需补贴：(6×2 100＋6×2 500＋3×1 700)×13%＝4 251(元)；方案2需补贴：(7×2 100＋7×2 500＋1×1 700)×13%＝4 407(元)． ∴国家财政最多需补贴农民4 407元．方法总结 1．利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．触类旁通5 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4 120元．(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4 100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？1．(湖北武汉)在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是( )2．(山东临沂)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜5，3x －12＋1≥x 的解集在数轴上表示正确的是( )3．(四川凉山)设a ，b ，c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c4．(四川广安)不等式2x ＋9≥3(x ＋2)的正整数解是__________．5．(山东济宁)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52>x ，x －3(x －1)≤5，并在数轴上表示出它的解集．6．(湖南益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．(1)若购进A ，B 两种树苗刚好用去1 220元，问购进A ，B 两种树苗各多少棵？ (2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省．．．．的方案，并求出该方案所需费用．1．若a ＞b ，则( )A ．a ＞－bB ．a ＜－bC ．－2a ＞－2bD ．－2a ＜－2b2．不等式x ＞1在数轴上表示正确的是( )3．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>1，4－2x ≤0的解在数轴上表示为( )5．关于x 的不等式－2x ＋a ≤2的解集如图所示，那么a 的值是( )A ．－4B ．－2C ．0D ．26．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝1＋a ，x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＜2，则a 的取值范围为__________．7．关于x 的不等式3x －a ≤0，只有两个正整数解，则a 的取值范围是__________．8．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ＋2，4x ＋5y ＝6m ＋3的解x ，y 都是正数，求m 的取值范围．参考答案导学必备知识自主测试1．A 2．C 3．A4．B 解13x ＋1＞0，得x ＞－3，解2－x ≥0，得x ≤2，所以不等式组的解集是－3＜x≤2.5．42 设最多还能搭载x 捆材料，由题意，得20x ＋210≤1 050，解得x ≤42，故该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料．探究考点方法触类旁通1．B 运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘以或者除以一个负数，不等式的方向要改变．触类旁通2．A 因为由2x ＋1≤3，得x ≤1， 所以－3＜x ≤1.触类旁通3．解：解不等式①，得x ＞－2. 解不等式②，得x ≤6.在同一数轴上表示不等式①②的解集如下：∴原不等式组的解集为－2＜x ≤6.∴原不等式组的整数解为x ＝－1,0,1,2,3,4,5,6.点评：求不等式组的特殊解时，首先应先求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后再寻找出符合条件的特殊解．触类旁通4．A 解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－a ，x <1，因为“大小小大中间找”，满足有解的条件，所以－a ＜1，解得a ＞－1.触类旁通5．解：(1)设每台电脑机箱的进价是x 元，液晶显示器的进价是y 元，得⎩⎪⎨⎪⎧ 10x ＋8y ＝7 000，2x ＋5y ＝4 120.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝800.答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元． (2)设购进电脑机箱z 台，得⎩⎪⎨⎪⎧60z ＋800(50－z )≤22 240，10z ＋160(50－z )≥4 100，解得24≤z ≤26. 因为z 是整数，所以z ＝24或25或26.利润10z ＋160(50－z )＝8 000－150z ，可见z 越小利润就越大，故z ＝24时利润最大为4 400元．答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4 400元．点评：在列方程组解应用题时，关键是找相等关系，可结合图象法、列表法等，将题目的已知和结论借助一些辅助工具分析，从而快速找出相等关系；而在列不等式解决实际问题时，要找准题目当中的“大于”“不小于”“超过”“不足”“住不满”等一些表示不等关系的“关键词”．品鉴经典考题1．B 解不等式x －1＜0得x ＜1，数轴上是圆圈，且在1的左边．2．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<5，①3x －12＋1≥x ，②由①得x ＜3，由②得x ≥－1，∴不等式组的解集为－1≤x ＜3，在数轴上表示为故选A.3．A 由图可知，2c ＝b ，b ＜a ，所以c ＜b ＜a . 4．1,2,3 解不等式得x ≤3，所以正整数解是1,2,3. 5．解：⎩⎨⎧x ＋52>x ，①x －3(x －1)≤5.②由不等式①得x ＜5， 由不等式②得x ≥－1. 把①②的解集在数轴上表示为所以，原不等式组的解集为－1≤x ＜5. 6．解：(1)设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗(17－x )棵，根据题意得：80x ＋60(17－x )＝1 220，解得x ＝10，∴17－x ＝7.答：购进A 种树苗10棵，B 种树苗7棵．(2)设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗(17－x )棵，根据题意得：17－x ＜x ，解得x ＞812，购进A ，B 两种树苗所需费用为80x ＋60(17－x )＝20x ＋1 020， 则费用最省需x 取最小整数9，此时17－x ＝8，这时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元)．答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵．这时所需费用为1 200元． 研习预测试题 1．D 2．C3．C 设甲种运输车x 辆，由题意，得5x ＋4(10－x )≥46，解得x ≥6，所以甲种运输车至少应安排6辆．4．C 解2x －1＞1，得x ＞1，解4－2x ≤0，得x ≥2，故选C.5．C 解不等式－2x ＋a ≤2，得x ≥a －22，从数轴看出它的解集为x ≥－1，所以a －22＝－1，即a ＝0.6．a ＜4 由两方程相加得4x ＋4y ＝4＋a ，所以x ＋y ＝1＋a4＜2，解得a ＜4.7．6≤a ＜9 解不等式3x －a ≤0，得x ≤a 3，由题意得2≤a3＜3，∴6≤a ＜9.8．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝m ＋2，4x ＋5y ＝6m ＋3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m ＋7，y ＝2m －5.因为x ，y 都是正数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋7>0，2m －5>0.解这个不等式组，得52＜m ＜7.所以m 的取值范围是52＜m ＜7.。
第7 讲不等式中的构造思想(解析版)
【2020秋】快数学高考讲义 一轮复习 理科 即函数 在 上单 减 又因为 所以 即 故
考点5 构造函数解决不等式问
例13
★★★☆☆ 2018
对于任意
且
有
则实数 最大值为
A.
B.
.
:B
:已
则
因为
所以பைடு நூலகம்
令
有
则
故
.
单增 则
例14
★★★★☆ 2018
1令
单区
2 对任意
且
有
恒
成
实数 取值 围
:1 则 令
则
得
且在
单 减在
单增
因为
即
;
所以 必定有
即
故
例5
★★★☆☆ 2019
A.
则
B.
则
.
则
.
则
-4-
:A : 对于
函数 意可
所以 则 对于
导后可 所以 据已 故
【2020秋】快数学高考讲义 一轮复习 理科 可 其为增函数
函数 与在 式无 判断
上均不是单 函数 大小
例6 已 A.
★★★☆☆
且 B.
则下列 .
:A
2020
堂义
【2020秋】快数学高考讲义 一轮复习 理科
第7讲
不等式中的构造思想
本讲义由作业帮 周永亮 老师独家编撰 侵权必究
知导
1 三种 蔽性较强的构造思
1
方两
;
2
不 式两
;
3
志性 式
2 构造函数比较大小问
在很多 及到 大小 中 很多时候我们很 接 大小
是
人教版中考数学讲本 第二单元 方程(组)与不等式(组) 第7讲 一元一次不等式(组)及应用
【C要.x－点1提＞炼y－】不D等.x＋式1两＞边y 加（或减）同一个数（或式子）不，
不变1等号的方向 ＋1 ；不等式两边乘（或除以不）变同一个正
数，不等号的方向
；不等式改两变边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向
.
考点梳理 典例研究
考点三 一元一次不等式的解法
D.x＜2
D
A.x＞－2 B.x＜－2
13.灯现最用多甲可、降乙价两种运输车元将. 46 t抗旱物资运往灾区，甲种运 输车载重5 t，乙种运输车载重4 t，安排车辆不超6过10辆， 【则要甲点种提运炼输】车列至不少等应式安解排决实际问辆题. 的步骤：审（审题）、 找（找不等关系）、设（设未知数）、列（列不等式）、解 （解不等式）、验（检验不等式的解是否符合实际）、答 （作答）.
考点梳理 典例研究
【方法归纳】利用不等式解决实际问题时，要注意问题中的限制条 （1）取解时必须使实际问题有意义.如：人数、次数、物体 的个数等为正整数，长度、面积等为正数； （2）利用不等式在限制条件下探究方案时，注意挖掘问题 中的隐含条件，由其解集范围内的正整数解来确定方案.
考点梳理 典例研究
考点梳理 典例研究
考点五 一元一次不等式的实际应用 11.某校网课学习的要求是每周听课时长至少达到480 min
算合格.张飞前3天平均每天 D.90×3＋2x＞480
A A.90×3＋ 2x≥480 B.90×3＋ 2x≤480 C.90×3＋2x
考点梳理 典例研究
12.（2022·山西）某品牌护眼灯每个进价为240元，商店以每 个320元的价格出售.“五一节”期间，该商店为让利于顾 客，计划以利润率不低于203%2 的价格降价出售，则该护眼
高考数学讲义不等式.版块七.恒成立与有解问题.教师版
目m［蛀知识内容版块一.不等式的性质1 .用不等号（，）表示不等关系的式子叫做不等式.2. 对于任意两个实数 a 和b,在a b,a b,a b 三种关系中，有且仅有一种关系成立.3. 两个实数的大小比较：对于任意两个实数 a,b,对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数作差比较法：a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.其中符号表示它的左边与右边能够互相推出.4. 不等式的性质：性质1 ：（对称性）如果a b ，那么b a ;如果b a ,那么a b . 性质2：（传递性）如果a b,且b c,则a c . 性质3：如果a b,则a c b c .推论1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论2：如果a b, c d,则a c b d .我们把a b 和c d （或a b 和c d ）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等推论2说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向. 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 性质4：如果a b, c 0,则ac bc;如果a b , c 0,则ac bc.实数大小的作商比较法：当 b 0时，若^ 1,且b 0,则a b ；若^ 1,且b 0, 则a b • 推论1 ：如果a b 0,c d 0，则ac bd .推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同 向. b 0 ,则 a n b n (n N , n 1). b 0 ,则寸^ 呢(n N , n 1)对于任意两个实数a,b ,有a b 0 a b ； a b 0 a b ；a b 0 a b,这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序.由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它 们的差的符号.这是不恒成立与有解问题推论2:如果 推论3:如果＜教师备案＞1 .1比较,等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据. 在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与但这时要注意分母的正负情况.2.比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法. 它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者.这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便.3.可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减.对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质4的推论3可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识.版块二.均值不等式1.均值定理：如果a,b R （R表示正实数），那么土^ > 70b，当且仅当a b时，有2等号成立.此结论又称均值不等式或基本不等式.2.对于任意两个实数a,b , J^叫做a,b的算术平均值，J OE叫做a,b的几何平均值.2均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.3.两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.〈教师备案>1.在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值. 否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值.运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等.2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦.⑴对于任意正实数a,b，作线段AB a b,使AD a,DB b;⑵以AB为直径作半圆O，并过D点作CD AB于D , 且交半圆于点C;a b⑶连结AC,BC,OC，贝U OC ，2. • AC BC,CD AB••• CD AD BD ab ,当a b时，在Rt COD中, 有OC ^-^ CD Tab .-G/a 而)2 > 0 4,当且仅当a b ”时等号成立.ab临，当且仅当a b ”时等号成立.了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍.板块三.解不等式1 .含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决.其方法大致有：①用一元二次方 程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值， ③变更主元利用函数与方程的思想求解.当且仅当a b 时，O,D 两点重合，有 OC 史上 CD <ab .23.已知：a 、b R （其中R 表示正实数），a b 法展扼 2222有以下不等式：> yf ab >2 , 2a b其中J —2—称为平方平均数, a b——称为算术平均数,2 构称为几何平均数,乌称为调和平均数. 1 b2证明:一2 ~Z2a b 2.. a 、 b2 .2a b2—，当且仅当 a2 b ”时等号成立.(a b) 一 ab 2ab .ab(a b 2、ab)2b,当且仅当 a b ”时等号成立.2.解不等式⑴解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2 bx c 0或ax 2成c 0 (a 0)的形式，然后求出对应方程的根(若有根的话)，再写出不等式的解：大于 0时两根之 夕卜，小于0时两根之间； ⑵分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； ⑶高次不等式主要利用“序轴标根法”解.【例1】 关于x 的不等式x 1 |x 2 < a 2 a 1的解集为空集，则实数 a 的取值范围是【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，广东湛江高三月考【解析】不等式x 1 x 2 < a 2 a 1的解集为空等价于a 2 a 1 (x 1 x 2 )min ,而结合几何意义知(x 1 x2 ) min 1 , 即 a 2 a 1 1 ,解得 1 a 0 .【答案】(1 , 0)【例2】 若不等式 x - > a 2 1对一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的最大值是【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】x1的最小值为2,当|a 2 1 < 2时，不等式恒成立.此时|a 2 < 1,解得1 < a< 3.【答案】3【例 3】 设函数 f (x) x 2 1,对任意 x - , , f — 4m 2f(x)V f(x 1) 4f (m)恒3m成立，则实数m 的取值范围是 .1 一 1 . 5昌隹典例分析典例分析【考点】恒成立与有解问题【难度】4星【题型】填空【关键字】2010,天津高考 【解析】略 【答案】，笠U 史,2 2【例4】 若不等式ax 1 2 x 2 0的解集为R ，则a 的范围是()1- 1A. a 0B. a —C. a —D. a 088【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无1【解析】a0,且 18a0,故a -.8【答案】C已知不等式——L — -log a a 1n 1 n 2 2n 12都成立，试求实数a 的取值范围【考点】恒成立与有解问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略1 1 1一 一.【答案】设f n 一； —- L —(n N 且n > 2).因为1 1 1 1----- -------- ------- -------------------- 0 2n 1 2n 2 n 1 2n 1 2n 2f n ,即f n 是关于n 的递增函数. 2 二，即f n 的最小值是—.1212因为a 1 ,所以a 1 —，解之得1 a —-—.2-对于一切大于1的自然数n【例5】所以 故有一，，一 1 2要使f n —log a a 1 一对于一切n > 2的自然数n怛成立，则必须12 31 2 7—log a a 1 -一，即有log a a 1 1.12 3 12 _【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【答案】(2,2]2【例7】f (x) ax ax 1在R 上怛物足f (x) 0,则a 的取值氾围是()A a < 0B. a 4C. 4 a 0D. 4 a < 0【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无a0【解析】a 0时满足；普4a °时也满足，解得 4 a 0.综合知 4 a < 0.【答案】D【例8】 若对于x R ,不等式mx 2 2mx 3 0恒成立，求实数m 的取值范围. 【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】此题需要对 m 的取值进行讨论，设 f (x) mx 2 2mx 3 .①当m 0时，3 0 ,显然成立.②当m 0时，则 时，显然不等式不恒成立.由①②③知m [0, 3).【例6】若不等式(a 2)x 2 2(a 2)x0对x R 恒成立，则a 的取值范围是【解析】若a2,不等式变为：4 0,a 22满足题意;故有: 综上知:2 ,结合题意知二次函数a202，解得2 a4(a 2)2 16(a 2) 02)x 4的图象在x 的下方,2,0 m 3.③当 m 0【例9】不等式x2 ax 1 > 0对一切x 0,-成立，则a的最小值为(2A. 0 B . 2 C . - D . 32【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】：x 0 ,故本题的条件等价于a > x -对x 0,2恒成立.此时x -的最大值为5 ,故a的最小值为5 .【答案】C【例10】不等式|x 3| |x 1|< a2 3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A. , 1 U 4,B. , 2 U 5,C. [1 , 2]D. , 1 U 2,【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】选择【关键字】2009年，重庆高考【解析】x 3 x 1的最大值为4 ,故a2 3a > 4时满足题意，解得a > 4或a < 1 .【答案】A【例11】对任意a [ 1 , 1],函数f(x) x2(a 4)x 4 2a的值恒大于零，则x的取值范围为.【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】填空【关键字】无2 2【解析】设g(a) x (a 4)x 4 2a (x 2)a (x 2),q( 1) 0 一则g(a)的图象为一直线，在a [ 1, 1]上怛大于0 ,故有，即g(1) 03,2x5x 6 02 x 3x 2 0'解得: x 1或x 3 x 的取值范围是(，1)U(3 ,). 【答案】(，1)U(3,) 【例12】若不等式lg2ax lg(a x) 【考点】恒成立与有解问题 1在x [1, 2]时恒成立，试求a 的取值范围. 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 …… x > 1 【解析】由题设知2ax 0得a 0 ,可知a x 1，所以lg(a x) 0 . 原不等式变形为lg 2ax lg(a x). 2ax a x,即(2x 1)a x .又 x [1,2],可得 2x 1 0 1 1 ,, 1 ------- 恒成立. 2 2x 1 1 七 ----- ,在x 2x 1 2 3 x• a ------- 2x 1 设 f(x)12 综上知【例13】若x 3x 【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】l a amax3x 9x3x 1 1 9x31得u21 22 x令ya a3 "9x2 . 2 [1, 2]上为减函数，可得f(x)min f (2)—,知a -3 3 a 2 9x 0恒成立，求实数a 的取值范围.则有u 2 u (设 u 3 ).y u 2 u 在u 3, 上最大值为12 ,代入①得，a a 2 12 ,解得3 a 4.故实数a 的取值范围为a| 3 a 4 .【答案】a| 3 a 4设F x f x a x 2 2ax 2 a ，则问题转化为当x 1, 时，F x > 0 恒成立. ⑴当 4 a 1 a 2 < 0,即 2 a 1时，对一切x 1, ,总有F x > 0成立. ⑵若 4 a 1 a 20时，由图1可知，F x > 0的充要条件是a 1 a 2 0F 1 > 0 a 3 > 03 < a 22aa < 11 2综上所述可知，a 的取值范围是a 3 , 1 .【答案】a 3, 122a . a 12x log 2log 2 — 0 怛成业,a 1 4a求a 的取值范围【考点】恒成立与有解问题 【难度】4星【例14】设f x x 2 2ax 2，当x 1,范围.【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 时，都有f x > a 恒成立，求a 的取值【例15】设对所有实数x不等式x 2 log 2【题型】解答【关键字】无 【解析】由题意得4 a 1log 2 ---------------⑴a 2a 1lo g^r^-4a2a2log 2 ---- 0a 1-2ax 4x【考点】恒成立与有解问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【例17】已知关于x 的不等式x 2 x 【考点】恒成立与有解问题t 0对x R 恒成立，贝U t 的取值范围是三0a 1 ,4 a 1 或⑵ log 2 --------------------a22log 2 竺 a 1 4 a 14log 2 --------------a 2a 1log 2 --------- ----- 04a 2易见⑴的解集为 .下面我们解⑵.令Ja由③有iog 22t「一、一一 a 1t,②可变为log 2 4 log 2 ---------------------a 0,即 2 log 2t 0联立解之得t所以当0 a【答案】0 a 14log 2t 5 0 2，即 J 2 ,a 1时不等式恒成立解得0 【解析】原不等式可化为(a2)x 2 4x (a 1)> 0⑴当a 2 0，即a 3 ...........................................................2时，①式可化为x> -，不满足对任意实数 x 恒成立，故4⑵当a2 0时,欲使①式对任意实数x 恒成立必须满足a *°，a即242 2 …，解得a > 2 .4(a 2)(a 1) < 0故实数 【答案】［2,)a 的取值范围为［2,【例16】已知不等式a 对任意实数恒成立，求实数 a 的取值范围.【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】t (x 2 x) 1—,对x R 怛成立，故t4【例18】如果|x 1| |x 9| a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是(8} A. {a | a 【考点】恒成立与有解问题.{ a | a 8}【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】x 1 x 9的最小值为 8,故a 8即可.【例19】在R 上定义运算 y).若不等式(x a) (x a) 1对任意头数x 成立， 则()A. 1 a 1B. 0 a 2 - 1 3- 3 1C a — D. - a — 2 2 2 2 x(1xy 【考点】恒成立与有解问题 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】2005年，辽宁高考 【解析】• (x 成立,a) (x a) (x a)(1 a)， 不等式 (x a) (x a) 1对任意实数x则(x a)(1 a) 1对任意实数x 成立，即使 0对任意实数x 成1 4( 1) 0,解得―a ',故选C.2 2 【例20】设不等式x 2 2axa 2 < 0的解集为M ，如果M [1,4]，求实数a 的取值范围.【考点】恒成立与有解问题【难度】4星【题型】解答【关键字】无【解析】M [1,4]有两种情况：其一是M ，此时0;其二是M ，此时0或0 ;故分二种情况计算a的取值范围.设f(x) x2 2ax a 2 ,有(2a)2 4(a 2) 4(a2 a 2),①当0 时，1 a 2, M [1,4];②当0时，a 1或2;当a 1 时，M { 1} [1,4]；当a 2 时，M {2} [1,4]；•■-a 2满足题意；③当0时，a 1或a 2 .设方程f (x) 0的两根x1,x2，且x1 x2 ,f(1) > 0,且f (4) > 0 那么M [**] , M [1,4] 1< x V x2< 4 Q,1 < a < 4,且0a 3 > 018 7a> 0 18即/ / ，解得2 a <空.1 < a < 4 7a 1 或a 2综上知：M [1,4]时，a的取值范围是(1,18].7【答案】18(1项【例21]如果关于x的不等式2kx2kx 30对一切实数x都成立，贝U k的取值范围8是.【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】填空【关键字】2009,福建省上杭二中08 — 09学年单元质量检查必修5数学试题【解析】略【答案】 3 k < 0【例22】已知函数f (x) x 1g (&1 x),若不等式f(m 3x) f (3x 9x 2) 0对任意x R 恒成立，求实数m 的取值范围.【考点】恒成立与有解问题【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】因为f(x)是奇函数且在R 上是递增函数，所以f(m 3x ) f( 3x9x 2),化为 32x (m 1)3x 2 0 .令3x t 0,则原不等式化为t 2 (m 1)t 2 0. 2令g(t) t (m 1)t 2 , |可题转化为当t 0时，使二次函数g(t) 0怛成立的实数 m 的取值范围. 借助二次函数的图象与性质，且注意到g(0) 2 0,△A 02问题转化为△ 0或m 1 ，即(m 1)2 8 0或(m 1)8» 0 .解各----- < 0 m 1 < 02m (, 2 亶 1). 【答案】m (, 2 2 1)【难度】4星 【题型】解答 【关键字】2008年，广东惠州模拟 【解析】略【答案】⑴ 2X X 2 X 1X 2 < ------------- 2 X 22时等号成立,故u 的取值范围为⑵ 方法一：(函数法) 111X 1— x2—XX 2 X I X 2X I X 2 X 2XXX 2X X 22 2X X 2X X 2k 2 1 - x 1x 2 - 2X X 2【例23】已知集合D |X X 2 k (其中k 为正常数).⑴设u X X 2 ,求u 的取值范围；⑵求证：当k a 1时不等式 1 xX立； (1)1⑶求使不等式 一X — X 2 AXX 2围.2—x 2 < —— 对任意 x , x 2D 恒成X2 kk 2,…o--对任息 X , X 2 D 怛成立的k 的范J 2 uk 2 一 2u < —，又 k > 1, k 24 所以 X i X i 即当 k 2 1 0,X 2X 2k>1时不等式 解法二: XX 2将k 2 X 1 . . X 1 k 2 . .............—上是增函数,4k 2 1X 2 X 2k 2 1 4_2成立.（不等式证明的作差比较法 22k X 2X 2 X 1X 2 4 I? X >2X 2 X1X 2 k 2~r~2k x 1x 2竺X4史2 4 4x 1 X 2k 24x 1 X 2 X 1 X 2X 24X 1X 24x 1 X 2 X 1X 2 X 2 2 X 22 .X 2代入得 A1时, 4 k 2x 1x 2 4k 2X24k 2x 1x 2 … ，一… 1 即当ka1时不等式 一 X1 X 24 k 2x 1x 24k 2X 1⑶ 方法一：（函数法）记 2X 1X 22k x 1x 2 4k 2k 22k X 1&0,X 2X 22成立.X 2fl 即求使 0,恒成立的由⑵知, 要使 X 2X 2D 恒成立，必有因此1 k 2 k 2上递减，在上递增,要使函数f ，一k 2 在0,—上怛有4方法二：（不等式证明的作差比较法，，— 1由⑵可知一X1X1 X2要不等式恒成立，必须k2，一k由0 XX2 v—得一 v4 解得0 k2 < 4格一 (1)因此不等式-4 8. X iX i【例24】若关于x的方程9X 【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析］法一: (4当且仅当3X2时,k2X2——2k42k华24k24£.2 '即k24> 0恒成立，即X i X2—2 _ _16k 16 < 0 ,X2X2(4 a)3X2 2 2X X2 4 k XX2 4k4k2X1X22<44k恒成立，k2恒成立的k2的范围是0 k2 < 4炳 8.4 0有解，求实数a的取值范围.•■-a < 8法二：3X t(t 0), ..t2(a 4)•■- 2(a 4)【答案】a < 84X43XA 2.33X三,此 a 4<4(4a)t 4 0 ,a4a <8或a s 04 ,•■- a < 8 9X 4a)—— 3X0 …,解得16 > 0【例25】已知a R ,若关于X的方程x2 a 0有实根，则a的取值范围【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】填空【关键字】2008,广东高考【解析】方程即10,-4利用绝对值的几何意义（或零点分段法进行求解）可得实数，一’，.， (1)a的取值范围为0，—48x 4 a 0在1 x 4内有解，则实数a的取值范围是【例26】若关于x的不等式2x2()A. a 4B. a 4C. a 12D. a 12【考点】恒成立与有解问题【难度】3星【题型】选择【关键字】安徽省涡阳一中2008年必修5数学期中考试卷【解析】法一：由已知条件有，函数y 2x2 8x 4 a的对称轴为x 2,数形结合，知< 0时一定成立，即a < 12成立，若0，即a 12，要使2x2 8x 4 a 0在1 x 4内有解，只需f(4) 0,解得：a 4.法二：由已知有a 2x2 8x 4 ,设g(x) 2x2 8x 4，且x 1,4 ，则g(x) 12, 4 ,则a 4 .【答案】A【例27】已知函数f (x) x a .⑴ 若不等式f (x) < 3的解集为x| 1 < x < 5，求实数a的值；⑵在⑴的条件下，若f (x) f(x 5) > m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 【考点】恒成立与有解问题【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，福建高考【解析】略【答案】解法一：(1)由f (x) < 3 得x a < 3 ,解得a 3 < x < a 3 .,一一、…… a 3 1,…又已知不等式f(x) < 3的解集为x| 1 < x< 5 ,所以解得a 2 .a 3 5,⑵当a 2时，f(x) x 2 .设g x f x f(x 5),2x 1, x 3, 于是g x x 2 x 3 5, 3 < x < 2 ,2x 1, x 2.所以当x 3时，g x 5 ;当3 < x < 2 时，g x 5；当x 2 时，g x 5 .综上可得，g x的最小值为5 .从而，若f x f x 5 > m即g x > m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为，5 .解法二：⑴同解法一.⑵当a 2 时，f (x) x 2 .设g(x) f (x) f (x 5).由|x 2 |x 3 > x 2 x 3 5 (当且仅当3< x< 2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.f(x) f(x 5) A m即g(x) A m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为，5 .从而，若。
【初一数学下学期课件】第7讲：不等式与不等式的基本性质
2
不等式和它Байду номын сангаас基本性质
3.判断正误：
(1)∵a+8＞4 ∴a＞-4 ( ) √
(2)∵3＞2 ∴3a＞2a(×)
(3)∵-1＞-2
(4)∵ab＞0
∴a-1＞a-2 (√ ) ∴a＞0,b＞ 0(× )
1 1、若 1 x 0, 求x, x , 的大小关系。 x
2
2、若( x y 1) 2 | x 4 | 0, 求2 x与 3 y的大小关系。
2 2
不等式和它的基本性质
归纳小结： 1.本节重点 (1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3； (2)能正确应用性质对不等式进行变形； 2.注意事项 （1）要反复对比不等式性质与等式性质 的异同点； （2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是 负数；对于未给定范围的字母，应 分情况讨论.
不等式和它的基本性质
8.依题意列不等式：
（1）a的3倍与7的差是非正数；
（2）x与6的和大于9且小于12.
解：（1）3a-7≤0 （2）9＜x+6＜12
不等式和它的基本性质
小结：
1.掌握不等式是否成立的判断方法；
2.依题意列出正确的不等式. （注意：表示不等关系的词语要用
不等号来表示，“不大于”即“≤”， “不小于”即“≥” ）
2 1/x<x<x
x=4,y=-3 2x=8,-3y=9 1 a -a-b>-a>-a+b
c≠0
3、若解不等式ax b，得到x ，则求 的值。 2 b
a<0 0, 求a/b=2 b, a的大小关系。 4、若b a b, a
学而思初一数学春季班第7讲-目标中考满分班-教师版
不等式2级 含参不等式不等式3级不等式的应用方程6级不等式4级方程与不等式综合应用春季班 第八讲春季班 第五讲一半吗？漫画释义满分晋级阶梯7不等式的应用编写思路：本讲主要训练学生寻找题目中不等关系的能力。
当题目中涉及多个不等关系的时候，通过列不等式组、解不等式组解答。
对于题目中表示不等关系的字眼，让学生充分理解和体会，正确列出不等式。
对于通过图形给出的不等关系，联系结论和图形，找到不等关系。
列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤： 审：分析题意，弄清题目中的相等关系和不等关系； 设：用字母（如x ）表示题目中的未知数； 列：根据数量关系列出不等式（组）； 解：解不等式（组），求出未知数的取值范围；答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案．【引例】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：例题精讲思路导航知识互联网题型一：一元一次不等式的应用在已确定调用5辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【解析】 设至少还需要B 型车x 辆，依题意得：20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =，答：至少还需要调用B 型车14辆.【例1】 ⑴ 亮亮准备用节省的零花钱买一台复读机，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则符合题意的不等式是（ ） A ．3045300x +≥ B ．3045300x -≥ C ．3045300x +≤ D ．3045300x -≤（北京二中分校期中）⑵ 某商品进价是1000元，售价为1500元．为促销，商店决定降价出售，但保证利润率不低于5%，则商店最多降 元出售商品.⑶ 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1cm /秒，人跑步的速度为5m /秒，则导火线的长（单位：厘米）应满足的不等式是： ．⑷ 我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用．张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股 元时才能卖出？（精确到0.01元） ⑸ 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2a b+的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ） A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．无关a 、b 大小【解析】 ⑴ A.⑵ 设最多降x 元出售商品根据题意得150010005%1000x --≥，解得450x ≤⑶ 依题意得，操作人员跑的路程大于400米，即54001.1x⋅>．⑷ 设至少涨到每股x 元时才能卖出．根据题意得：1000(50001000)0.5%50001000-+⨯+x x ≥，解这个不等式得1205199x ≥，即 6.06x ≥．⑸A.【拓展】苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元.x 典题精练【解析】 设售价至少为每千克x 元，苹果的总量为m kg ，根据题意得()15% 3.8mx m -≥解得4x ≥，故售价至少为每千克4元.【点评】此题方法为辅助设元法，虽然有关两个未知量，但是可以消去辅助元并求得要求的未知数的范围.根据题意列出几个不等式，分别求解，求出解集，根据具体情况分类讨论．【引例】 为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积 （单位：m 2/个） 使用农户数 （单位：户/个） 造价（单位：万元/个）A15 18 2 B20 30 3已知可供建造沼气池的占地面积不超过2365m ，该村农户共有492户． ⑴ 满足条件的方案共有几种?写出解答过程． ⑵ 通过计算判断，哪种建造方案最省钱．【解析】 ⑴ 设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池()20x -个依题意得：()()152020365183020492x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≥解得：79x ≤≤.∵x 为整数,∴7x =，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种． ⑵ 由⑴知共有三种方案，其费用分别为：方案一：建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个， 总费用为7213353⨯+⨯=（万元）方案二：建造A 型沼气池8个，建造B 型沼气池12个， 总费用为：8212352⨯+⨯=（万元）方案三：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个，例题精讲思路导航题型二：一元一次不等式组的应用总费用为：9211351⨯+⨯=（万元） ∴方案三最省钱．【例2】 ⑴ 已知一个矩形的相邻两边长分别为3厘米和x 厘米，若它的周长小于14厘米，面积大于6平方厘米，则x 的取值范围是 ．⑵ 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中；② 将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③ 再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ） A ．320cm 以上，330cm 以下 B ．330cm 以上，340cm 以下C ．340cm 以上，350cm 以下 D. 350cm 以上，360cm 以下⑶ 一个小于40的两位数，个位数字比十位数字的2倍小1，如果将个位数字与十位数字对换，对换后所得到的两位数大于50，求原来的两位数.【解析】 ⑴ 依题意得2(3)<143>6+⎧⎨⎩x x ，解得2<<4x ．⑵ 根据图示和物理知识可设每颗玻璃球的体积为x ，得不等式组4300<5005300>500+⎧⎨+⎩x x ，解得：40＜x ＜50，故应选C.⑶ 设十位数字为x ，则个位数字为21x -.根据题意得 10+21<4010(21)+>50x x x x -⎧⎨-⎩，解得652<<3712x因为x 是整数，所以=3x .故原来的两位数是35.【例3】 “六一”期间，各商场举行“六一欢乐购”的促销活动.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分8折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过部分9折优惠.两个商场恰好都有小明所需要的商品.⑴如果小明要买的东西是160元，去哪个商场会便宜一些？⑵请你帮小明计算一下购物为多少元时在乙商场比在甲商场便宜？【解析】 ⑴甲;⑵设小明购物为x 元，①当050x <≤时，甲乙两商场一样；典题精练②当50x <≤100时，由已知可知乙商场便宜；③当100x >时，由题意可知甲商场总价为 1000.8(100)0.820x x +-=+， 乙商场总价为500.9(50)0.95x x +-=+；由题意可知，乙比甲便宜可得：0.950.820x x +<+ 解得100150x <<综上所述，②③符合条件可得50150x <<.【例4】 某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：⑴ 冰箱厂有哪几种生产方案？⑵ 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？【解析】 ⑴ 设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100)48000-+--⨯x x ≤≤，解得：37.540x ≤≤.x 是正整数，∴x 取38，39或40．⑵ 设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+（方法一）将x =38、x =39、x =40分别代入上式，求出当40x =时，y 有最小值． 即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. （方法二）22002600(100)400260000y x x x =+-=-+ ∵4000-<,∴y 随x 的增大而减小. ∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱60台，该厂投入成本最少. 此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()+=⨯⨯⨯元 注意：学生未学一次函数，教师可根据班级学生掌握情况自行选择解法.根据题意设未知数，按照等量关系列出方程（组），并求解，从而为列不等式做准备．【例5】 商场正在销售帐篷和棉被两种防寒商品，已知购买1顶帐篷和2床棉被共需300元，购买2顶帐篷和3床棉被共需510元.⑴ 求1顶帐篷和1床棉被的价格各是多少元？⑵ 某学校准备购买这两种防寒商品共80件，送给青海玉树灾区，要求每种商品都要购买，且帐篷的数量多于棉被的数量，但因为学校资金不足，购买总金额不能超过8500元，请问学校共有几种购买方案？（要求写出具体的购买方案）（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 设一顶帐篷x 元，一床棉被y 元，由题意得：230023510+=⎧⎨+=⎩x y x y ，解得：12090=⎧⎨=⎩x y .∴一顶帐篷120元，一床棉被90元.⑵ 设准备购买帐篷a 顶，那么购买棉被()80a -床， 根据题意可知：()12090808500+-a a ≤，解得1433a ≤，∵帐篷的数量多于棉被的数量且a 为正整数，∴a =43、42、41.所以购买方案有三种：方案一：购买帐篷43顶，棉被37床，购买总金额8490元； 方案二：购买帐篷42顶，棉被38床，购买总金额8460元；方案三：购买帐篷41顶，棉被39床，购买总金额8430元.【例6】 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元． ⑴求大、小车每辆的租车费各是多少元？⑵若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案． 【解析】 ⑴ 设大车每辆的租车费是x 元、小车每辆的租车费是y 元．可得方程组2100021100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得400300x y =⎧⎨=⎩答：大车每辆的租车费是400元、小车每辆的租车费是300元．典题精练思路导航题型三：方程（组）与一元一次不等式（组）的应用⑵ 由每辆汽车上至少要有1名老师，汽车总数不能大于6辆； 由要保证240名师生有车坐，汽车总数不能小于234648=459+辆， 综合起来可知汽车总数为6辆． 设租用m 辆大车，6m -辆小车则租车费用400300(6)Q m m =+-1001800m =+， 依题意有：45+30(6)24010018002300m m m -⎧⎨+⎩≥≤，解得45m ≤≤， 所以有两种租车方案， 方案一：4辆大车，2辆小车； 方案二：5辆大车，1辆小车． 观察式子发现m 越大，Q 越大， ∴当4m =时，Q 最少为2200元．故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车．【例7】 某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元.⑴ 若购买这批小鸡苗共用了4500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只； ⑵ 若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只；⑶ 相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只，总费用最小是多少元. （清华附中期末考试）【解析】 ⑴设甲、乙两种小鸡苗各购买了x 只、(2000)x -只，根据题意得 23(2000)4500x x +-=解得 1500x =故甲种小鸡苗购买了1500只，乙种购买了500只.⑵设应选购甲种小鸡苗至少x 只，根据题意得23(2000)4700x x +-≤ 解得1300x ≥真题赏析故应选购甲种小鸡苗至少1300只； ⑶设应选购甲种小鸡苗x 只，根据题意得94%99%(2000)96%2000x x +-≥解得1200x ≤又总费用23(2000)6000W x x x =+-=- 则当1200x =时总费用最小为4800元.故应选购甲种小鸡苗1200只，乙种小鸡苗800只；总费用最小是4800元.以下对分配问题进行变式和拓展，供教师选择讲解.【拓展1】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，其中一间不空也不满，则宿舍有 间，学生有 人.【解析】 设宿舍有x 间，则学生有420x +人，根据题意可得不等式04208(1)8x x <+--<解得5＜x ＜7 因为x 为整数，所以x=6. 故宿舍有6间，学生有44人.【变式】若干名学生分宿舍，每间4人余20人，每间8人，则有一个房间还有空位.学校可能有几间房可安排多少学生住宿? 【解析】 设有x 间房间，根据题意得()0420818x x +--<≤ 解得57x <≤.∴67x =，.当6x =时，共有44人； 当7x =时，共有48人.【点评】宿舍分配问题重点分析第二个条件，根据语意列出准确的不等式. 不空也不满，意思是最后一个房间学生人数不能为0也不能为8，即可得到不等关系两边均取不到等号；而变式中还有空位，意思是最后一个房间学生人数可以为0，但不能为8.【拓展2】把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生能得到苹果但不超过2个，则学生人数是 . 【解析】 设有学生x 个，则苹果数有43x +个，则0436(1)2x x <+--≤解得3.5 4.5x <≤， ∵x 是整数， ∴4x =． ∴学生人数是4．【变式】把m 个练习本分给n 个学生，如果每人分3本，那么余80本；如果每人分5本，那么最后一个同学有练习本但不足5本，n 的值为 .（清华附中期末考试）【解析】 根据题意得380m n =+ 03805(1)5n n <+--< 解得4042.5n << ∴41,42n =当41n =时，练习本为203个；当42n =时，练习本为206个.【变式】幼儿园几个小孩分一箱苹果，每人分3个，则余7个；每人分5个，最后一个分到的苹果不足5个，问：有多少个小孩？多少个苹果？ 【解析】 设有x 个小孩，则()037515≤x x +--< 解得3.56≤x <. ∴ 45，x =或6.当4x =时，苹果个数为19个. 当5x =时，苹果个数为22个. 当6x =时，苹果个数为25个.【点评】注意区别这三道题中由于题目条件的变化引起的不等符号的变化. 如“不超过2个”，即大于等于0且小于等于2；“有但不足5个”，即大于0且小于5，两边都不可取等号；而条件变成“不足5个”，那么意思就是大于等于0且小于5. 建议教师给学生多练习这样的条件，一定要注意何时能取等号.【拓展3】我校八年级安排部分同学外出社会实践活动，并将他们编成8个组，如果分配给每组的人数比预定人数多1名，那么外出学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么外出学生人数不到90人，则预定每组分配的人数为 . 【解析】 设预定每组分配x 人，根据题意得：8(1)1008(1)90x x +>⎧⎨-<⎩∵x 为整数， ∴12x =．【拓展4】韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未满；若全部安排B 队的车，每辆车4人，车不够，每辆坐5人，有 的车未满，则A 队有出租车（ ）A 、11辆B 、10辆C 、9辆D 、8辆【解析】B; 设A队有出租车x辆，B队有(3)x+辆依题意可得5566564(3)565(3)56xxxx<⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩；化简得111519311185xxxx⎧<⎪⎪⎪>⎪⎨⎪<⎪⎪>⎪⎩解得19113x<<，∵x为整数，∴10x=，故选B.另解：由题意可得不等式组为5656655656354xx⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩.【点评】此题其实不难，和前面的题目不同的是人数是已知的，只是根据语言环境确定不等关系.关键抓住不等关系的语句，列出不等式并且答案要使实际问题有意义.题型一一元一次不等式的应用巩固练习【练习1】某学校准备添置一些“中国结”挂在教室．若到商店去批量购买，每个“中国结”需要10元；若组织一些同学自己制作，每个“中国结”的成本是4元，无论制作多少，另外还需共付场地租金200元．亲爱的同学，请你帮该学校出个主意，用哪种方式添置“中国结”的费用较节省？【解析】设需要中国结x个，则直接购买需10x元，自制需(4200)x+元．分两种情况：⑴若104200x x+≤，得1333x≤，即少于等于33个时，到商店购买更便宜；⑵若104200x x>+，得1333x>，即多于33个时，自已制作更便宜．答：当添置“中国结”少于等于33个时，到商店购买更便宜；当添置“中国结”多于33个时，自已制作更便宜．题型二一元一次不等式组的应用巩固练习【练习2】乘坐益阳市某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元．按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如记费器上的数字显示范围大于或等于复习巩固9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘 车路程的范围．【解析】 设小红这次乘车路程为x 千米，由题意知费用应为4 1.5(2)x +-元，即1.51x +（2x ≥）元．因为8介于7.5至8.5范围内，所以7.5 1.518.5x +<≤，解得1353x <≤．答：小红这次乘车路程的范围是1353x <≤千米．【练习3】 响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．． 132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000 元/台．⑴ 至少购进乙种电冰箱多少台？⑵ 若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【解析】 ⑴ 设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱(803)x -台.由题意得：120021600(803)2000132000x x x ⨯++-⨯≤ 解得：14x ≥.∴至少购进乙种电冰箱14台．⑵ 根据题意，得2803x x -≤，解得：16x ≤．由⑴知14x ≥． ∴1416x ≤≤． 又∵x 为正整数， ∴141516x =，，． 所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台； 方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．题型三 方程（组）与不等式（组）的应用 巩固练习【练习4】 某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册 作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本 相册．⑴ 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？⑵ 有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【解析】 ⑴ 设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则925200x y x y -=⎧⎨+=⎩解得3526x y =⎧⎨=⎩．答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元． ⑵ 设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤，解得20023099t ≤≤． ∵t 为正整数，∴t =23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元； 第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元； 第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．【练习5】 为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案.【解析】 ⑴ 设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，得=+8010+4=2000y x x y ⎧⎨⎩ 解得120200x y =⎧⎨=⎩∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元 （2）设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有16000800001202020024000m m -⨯-⨯≤≤ 解得，7821241313m ≤≤∵m 为整数，∴22m =、23、24，有三种购买方案：第十四种品格：信念我想有一座农场因为父亲是位马术师，一个男孩必须跟着父亲走南闯北东奔西跑。
第7讲基本不等式及其应用—拔高—讲义【学生版】
基本不等式及其应用 知识定位 本讲义从以下两方面展开：1. 利用基本不等式解决极值问题基本不等式是高中一种常用的不等式，其第一大用处就是在于解决一些极值问题，这在高考与会考中是极其常见的。
2. 基本不等式相关的证明题基本不等式的另一大用处就是在于通过基本不等式，我们可以导出其他的不等式。
在高考中，有关不等式的证明往往要用到基本不等式。
知识诊断1. （★★☆☆）求函数)0(>+=a xa x y 在0>x 时的最小值。
知识梳理➢ 知识点一：基本不等式二元基本不等式：当,0a b > ，根据完全平方的展开式，有：()220a b ab a b +-=-≥ ，从而我们得到二元的基本不等式：2a b ab +≥ ，等号成立当且仅当a b = .二元基本不等式是高中所学的第一个特殊的不等式，是很多不等式内容的基础。
当然，需要注意的就是其等号成立的充要条件是a b = .n 元基本不等式对于n 元的情况，我们也有类似的基本不等式：当21,,,0n a a a ≥ ，我们有：()11212nn n a a a n a a a +++≥ ，等号成立当且仅当这n 个数都相等。
该不等式的证明我们不作要求。
注意到，我们可以把上述不等式等价变形为：()11212n n n a a a a a a n +++≥，我们一般将12n a a a n +++称为这n 个数的算术平均值； 将()112n n a a a 称为这n 个数的几何平均值。
所以，基本不等式就可以描述为算术平均值大于等于几何平均值。
常见题型和方法解析1. 利用基本不等式解决极值问题例1（★☆☆☆）） 已知+∈R y x ,，S y x =+，P xy =，求证：（1）如果P 是定值，那么当且仅当y x =时，S 的值最小；（2）如果S 是定值，那么当且仅当y x =时，P 的值最大。
例2 （★☆☆☆）求函数)0(>+=a xa x y 在0>x 时的最小值。
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第7讲 不等式【知识梳理】1. 比较大小的方法：(1) 作差比较法：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.步骤：作差——变形——定号——结论. (2) 作商比较法：若0b >，则1;1;1a a aa b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. (3) 性质法；(4) 单调性法； (5) 图象法； (6) 特值法 (选填题) .2.不等式的性质：(1)对称性：a b b a >⇔<.(2)传递性：,a b b c a c >>⇒>.(3)可加性：a b a c b c >⇔+>+.(4)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<. (5)加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+. (6)乘法法则：0,0a b c d ac bd >>>>⇒>.(7)乘方、开方法则：00rra b a b >>⇒>>(r 为正有理数) . (8)倒数法则：11,0a b ab a b>>⇔<，同号取倒反向. 3. 一元二次不等式的解法：数形结合：开口方向、根的情况⇔解集. 4.基本不等式：(1) 若,a b R ∈，则222a b ab +≥(和转积).当且仅当a b =时等号成立.变形：若,a b R ∈，则：①222a b ab +≥ (和转积)；②222a b ab +≤(积转和)；③22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭(和转和)，记忆：平方均不小于均平方.(2) 均值不等式：若0,0a b >>，则2a b+≥和转积)，当且仅当a b =时等号成立.变形：若0,0a b >>，则：①a b +≥和转积)2a b+≤(积转和)；③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(积转和) .(3) 不等式链：若0,0a b >>，则22ab a b a b +≤≤≤+5．求最值:如果,x y 都是正数，那么:(1) 若积xy 是定值P ,则当x y =时，和x y +有最小值(2) 若和x y +是定值S ，则当x y =时，积xy 有最大值22S ⎛⎫⎪⎝⎭.点拨：(1) 正、定、等三个条件缺一不可；(2) 关键是获得定值条件，常需拆项、添项、配凑、“1” 代换等; (3) 多次放缩必需同时取等号才可取得最值.【典例精析】例1. (1)设0,0>>y x ，1x y A x y +=++，11x yB x y=+++，则A B 、的大小关系为 ．(2)已知三个不等式：①0>ab ，②bda c >，③ad bc >。
以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．(3)设实数,x y 满足238xy ≤≤,249x y ≤≤，则34x y的最大值是______．例2.若0>a 且10,1<<≠x a ，试比较|log (1)|a x -与|log (1)|a x +大小．例3. 解关于x 的不等式：12)1(≥++x x a ．例4. 若002a b a b >>，，＋＝，则下列不等式对一切满足条件的a b ，恒成立的个数为( )1ab ≤①；≤222a b ≥③＋；333a b ≥④＋；112a b≥⑤＋.A ．1B ．2C ．3D ．4例5. (1)若0>≥b a ，求b b a a )2(42-+的最小值及相应的,a b 的值.(2)若a 是正实数，且103222=+b a ，则22b a +的最大值是(3)设z y x ,,为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是(4)已知00228x y x y xy >>，，＋＋＝，则2x y ＋的最小值是 例6. (1)若c b a 、、＞0且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为（ ） A.13- B.13+ C.232+ D.232- (2) 已知0,0a b >>，且a 是b 21+与b 21-的等比中项，则22aba b+的最大值为（ ）A ．1552 B ．42 C ．55D ．22(3)已知不等式2229t t a t t +≤≤+在(0,2]t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．]1,61[ B ．]1,132[C ．]134,61[ D ．]22,61[(4)设0>>b a ，则)(112b a a ab a -++的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例7.在算式“()[]304-=⨯”中的()，[]中分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，求这两个数及相应的最小值思考：求()()21022f x x x x=+<<-的最小值 例8.设(n S n n =++求证:2)1(2)1(2+<<+n S n n n【过关精练】一、选择题1.有如下几个命题：①若b a >，则a 1＜b1；②若22bc ac >，则b a >； ③若0,0<<<<d c b a ，则bd ac >；④若b a <，则a b ＜xa xb ++．这四个命题中，正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知01a ＜＜，log log a a x =+，1log 52a y =，log log a a z =- 则( )A ．x y z ＞＞B ．z y x ＞＞C ． y x z ＞＞D ．z x y ＞＞3.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A B C 、、的 机动车辆数如图所示，图中123x x x ，，分别表示该时段单位时间通过路段AB ，BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )4.设+∈R m b a ,,，且b a <，则下列不等式中不成立的是（）123.A x x x ＞＞231.C x x x ＞＞132.B x x x ＞＞321.D x x x ＞＞1y 2y 3yA ．b a ＜mb m a ++＜1 B ．b a ＞mb m a ++ C ．1≤++≤mb m a b aD ．1＜ma mb ++＜a b二、填空题 5．函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．6．已知x y ∈R ＋，，且满足=134x y+，则xy 的最大值为________．7．若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是________． 三、解答题8．已知a b c ，，为不全相等的正数，求证：bc ac aba b c a b c++＞＋＋.9．已知003a b ab a b >>，，＝＋＋，求： (1)ab 的最小值； (2)a b ＋的最小值．10．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为224 m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？第7讲 参考答案例1. (1) B A <； (2)3 ；(3) 27．例2.解：法1. ()()22|log (1)||log (1)|log 1log (1)log 1log (1)a a a a a a x x x x x x --+=-++⋅--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()21log 1log 1a axx x-=-⋅+． 01x <<,2011x ∴<-<,1011x x -<<+()2log 1a x ⇒-与1log 1a xx-+同号．22|log (1)||log (1)|0|log (1)||log (1)|a a a a x x x x ∴--+>⇒->+．法2. 2(1)(1)(1)|log (1)|1|log (1)|log (1)log |log (1)|1a x x x a x x x x x x+++--=-=--=-++ 22(1)(1)(1)log (1)log (1)1log (1)x x x x x x +++=+--=-- 1> |log (1)||log (1)|a a x x ∴->+例3. 解： ()()12(1)(1)1100222a x a a x a x x x x ---++≥⇔-≥⇔≥+++()()()202120x x a x a +≠⎧⎪⇔⎨+---≥⎡⎤⎪⎣⎦⎩． 综上知: 当0<a 时，解集为2(2,]1aa ---; 当0=a 时，解集为∅; 当10<<a 时，解集为2[,2)1a a ---; 当1=a 时，解集为)2,(--∞ 当1>a 时，解集为2(,2)[,)1aa --∞-+∞-． 例4. C例5. (1) 当a b ==, bb a a )2(42-+取最小值4； (2) 364； (3) 3 ；(4) 4.例6. (1) D ；(2) B ； (3) B ；(4) D例7.解：设()[]304x y -=⨯，则()4300,0x y x y +=>>()1111114345303010y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当()44300,0y xx yx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=>>⎩即10,5x y ==时，min 11310x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.例8.证明:由212)1()1(+=++<+<n n n n n n (利用均值不等式放缩) 得2)1(2222)1(2)1(22+<+=++<<+n n n n n n S n n n .一、选择题1.C ；2.C ；3.C ；4.B .二、填空题 5.40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭；6.3；7. 15a ≥； 三、解答题8．证明：0,>0,0,bc ac a b c c a b >>∴+≥,同理：2,2ac ab bc ab a b b c a c+≥+≥ 又a b c ，，不全相等，故上述符号至少有一个不成立． ∴bc ac aba b c a b c++＞＋＋. 9．解：(1)0033a b ab a b ab >>∴≥，，＝＋＋∴)23003--≥>⇔≥,∴9ab ≥.等号成立的条件是a b ＝且9ab ＝，即3a b ＝＝，故ab 的最小值为9.(2)2200322a b a b a b ab ab a b ++⎛⎫⎛⎫>>≤∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，＝＋＋2()4()12062()a b a b a b a b ∴≥∴≥≤＋－＋－，＋或＋－舍去当且仅当22303a b a a a b ＝且－－＝，即＝＝时取等号． ∴当3a b ＝＝时，a b ＋取得最小值6.10．解：(1)设每间虎笼长为m x ，宽为m y ，则由条件知4636x y ＋＝，即2318x y ＋＝.设每间虎笼面积为S ，则S xy ＝.由于2x+3y ≥，∴18≤，得27xy 2≤，即27S 2≤，当且仅当23x y ＝时等号成立．由2318 4.5233x y x x y y =⎧⎧⇒⎨⎨=⎩⎩＋＝＝ 故每间虎笼长为4.5 m 、宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知24S xy ＝＝.设钢筋网总长为l ，则46l x y ＝＋.∵2324x y ≥＋, 当且仅当23x ＝时等号成立． 由236244x y x xy y ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 故每间虎笼长为6 m 、宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．。