基本不等式习题教师版

基本不等式 基础梳理

1．基本不等式：ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2

＋b 2

≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．

3．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b

2

，几何平均数为ab ，可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2

4

.(简记：和定积最大)

一个技巧

用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2

＋b 2

≥2ab 逆用就是ab ≤

a ＋

b 2

；

a ＋b

2

≥ab (a ，b ＞0)逆用就是

ab ≤⎝

⎛

⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形

(1)a 2＋b 22≥

⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；

(2)

a 2＋

b 22

≥

a ＋b

2

≥ab ≥

21a ＋

1

b

(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．

这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意

(1)用基本不等式求最值，失误的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1

x

(x ＞0)的值域为A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)

解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1

x

≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C

2．下列不等式：①a 2

＋1＞2a ；②

a ＋

b ab

≤2；③x 2

＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

解析 ①②不正确，③正确，x 2

＋

1x 2

＋1＝(x 2

＋1)＋1x 2＋1

－1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.1

2 B ．1 C ．2 D ．4

解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1

2

. 答案 A

4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1

x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4

解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋

1

x －2

＋2≥2 x －2×

1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1

x －2

(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C

5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝

t 2

－4t ＋1t ＝t ＋1

t

－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 考向一 利用基本不等式求最值

【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2x

x 2＋1

的最大值为________．

[审]第(1)问把1x ＋1

y

中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等

式．

解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x

y

时，取等号．

(2)∵x ＞0，∴f (x )＝

2x x 2

＋1＝2x ＋

1x

≤22＝1，当且仅当x ＝1

x

，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋2 2 (2)1 方: 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平

方．

【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋

1x －1的最小值为________．(2)已知0＜x ＜25

，则y ＝2x －5x 2

的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1

x －1

＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．

(2)y ＝2x －5x 2

＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，

∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. 答案 (1)3 (2)1

5

(3)18

(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8

x

＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭

⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x

y

＝10＋2⎝⎛⎭

⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×

4y x ·x

y

＝18，

当且仅当

4y x ＝x

y

，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.

考向二 利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：

bc a ＋ca b ＋ab

c

≥a ＋b ＋c . [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．

证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴

bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c

≥2 ca b ·ab

c

＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭

⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c .

方法总结:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等

式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．

【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1

c

≥9.

证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b

c

＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭

⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时，取等号．

考向三 利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，

x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

[审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x

x 2＋3x ＋1

(x ＞0)的最大值小于等于a 即可．

解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝

1

x ＋1

x

＋3≤1

2

x ·

1x

＝1

5

，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞答案

⎣⎡⎭

⎫15，＋∞