基本不等式习题教师版
(word完整版)不等式的应用-教师版
整数解问题【例1】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s ，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域？【答案】3m/s【例2】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分,答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或 90分以上）则小明至少答对了 道题．【答案】24【例3】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆【答案】C【例4】 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【例5】 工程队原计划6天内完成300土方工程,第一天完成60土方,现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【解析】设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得:60(612)300x +--≥，解得80x ≥， 每天平均至少挖土80土方．【答案】每天平均至少挖土80土方【例6】 小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？不等式的应用知识讲解【解析】设他行走剩下的一半路程的速度为x ，则122.4 1.260x -≥所以6x ≥． ∴他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时．【答案】6千米/小时．【例7】 若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片），如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像?【解析】设有x 位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4x x +-≤，解得 6.8x ≥，所以至少应有7名同学参加照像．【答案】7【例8】 某工人9月份计划生产零件180个,前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【解析】这个工人改进技术后平均每天至少生产零件x 个，根据题意得：610(30102)180x ⨯+-->,263x >，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件7个．【答案】7个【例9】 八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元,西瓜每个8元,请问八戒至多能买几个西瓜？【解析】设八戒买了x 个西瓜，则35845x ⨯+≤，解得154x ≤,故八戒至多买3个西瓜． 【答案】3个【例10】 在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵,还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴ 设初三⑴班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x 的代数式表示）． ⑵ 初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【解析】⑴ 242x +;⑵ ()1242315x x +--<≤，则4044x <≤,至少有41名同学；最多有44名同学．【答案】⑴ 242x +；⑵ 至少有41名同学；最多有44名同学．【例11】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用,已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【例12】【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =．【答案】14【例13】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125%．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品;而在销售淡季按原定价的60%大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品?【解析】设进价为a 元,按原定价售出x 件，节日让利售出y 件（0100y <≤）．依题意有125%125%(1a x a y ⋅⋅+⋅⋅⋅-10%)(1000)125%60%1000x y a a +--⋅⋅⋅>，整理得432000x y +>，由于0100y <≤，所以425x >，因此按原定价至少销售426件．【答案】426件求范围以及具体数目问题【例14】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少,但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”,每一个红球都记作“3”，则总数为60,那么，白球与红球各有多少个？【解析】设白球有x 个，红球有y 个，依题意有22360x y xx y <<⎧⎨+=⎩，解得7.512x <<又由26033(20)x y y =-=-，知x 是3的倍数．故白球共有9个，红球共有l4个．【答案】白球共有9个，红球共有l4个．【例15】 “六一"儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套,那么欲5套；如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【解析】设该小学有x 个班,则奥运福娃共有()105x +套．由题意,得()()1051314105131x x x x ⎧+<-+⎪⎨+>-⎪⎩解之，得1463x <<． ∵x 只能取整数，所以5x =，此时10555x +=．【答案】5个班级，55套福娃【例16】 某企业人事招聘工作中,共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分,其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人?【解析】共有22人．设x 人得3分,y 人得4分，则得5分的共有26x y --人,则可知：()34526 4.82613x y x y x y ++--⨯⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≥解得13x y ==，，所以2622x y --= 即得5分的共有22人．【答案】得5分的共有22人．【例17】 暑假期间小张一家为体验生活品质,自驾汽车外出旅游,计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【解析】设原计划每天的行程为x 公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)x x x +>⎧⎨+>-⎩，解得256260x x >⎧⎨<⎩答：所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【例18】 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说:“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球".试问：这个班共有多少学生？【答案】设该班共有x 名学生,由题意可得()6247x x x x -++<，∴3628x<，即56x <又∵x 、2x、4x 、7x 都是整数，∴28x = 答：这个班有28名学生方案决策问题【例19】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:(1)若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票,问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？【解析】(1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票()15x -张．得：()10005001512000x x +-=，解得：9x = ∴151596x -=-=（2)设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为()152y -张，得8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩解得：2545714y ≤≤． 由y 为正整数可得5y =，1525y -=【答案】 （1）男篮门票9张，则乒乓球门票6张； (2)乒乓球、足球门票、男篮门票各5张.【例20】 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元,在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．⑴请写出此车间每天所获利润y （元)与x （人）之间的关系式;⑵若要使每天所获利润不低于24000元,你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？【解析】（1）依题意,得()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤．(2）依题意得，4002600024000x -+≥．解得5x ≤，2020515x -=-=．答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 【答案】（1）()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤（2）至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．【例21】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．(1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分)？（2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【解析】(1）设企业每套奖励x 元，由题意得：20060%150450x +⨯≥．解得： 2.78x ≥．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y 套,由题意得：20051200y +≥, 解得200y ≥．【答案】（1）2.78元；（2）200【例22】 2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B ，两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：（1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2）根据计算判断:哪种购票方案更省钱?【解析】(1)由题意：()()6001201550001152x x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤≥ 解得：2053x ≤≤∵x 为整数，∴56x =，∴共两种购票方案：方案一：A种船票5张,B种船票10张方案二：A种船票6张,B种船票9张(2)因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少．∴第一种方案省钱，为5600120104200⨯+⨯= (元)【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张(2）第一种方案省钱【例23】某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价—进价）不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案．【解析】(1）商品进了x件,则乙种商品进了80x-件，依题意得()+-⨯=1080301600x x解得：40x=即甲种商品进了40件，乙种商品进了804040-=件．（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为()80x-件，依题意可得：()()()-+--≤≤6001510403080610x x解得：38≤x≤40即有三种方案，分别为：第一种方案：甲38件，乙42件；第二种方案：甲39件，乙41件；第三种方案：甲40件,乙40件．【答案】（1）甲种商品进了40件,乙种商品进了40件．(2)有三种方案，分别为：第一种方案:甲38件，乙42件；第二种方案:甲39件，乙41件;第三种方案:甲40件,乙40件．【例24】 某饮料厂开发了A B ，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B ，两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶,解答下列问题:⑴ 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程;⑵ 如是A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低?原料名称 饮料名称甲乙Ａ 20克40克Ｂ30克 20克【解析】⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，生产B 种饮料100x -瓶．则()()2030100280040201002800x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≤，解得2040x ≤≤,由x 为整数，共有21组解， 所有符合题意的生产方案共有21种．⑵ ()2.6 2.8100y x x =+-，整理得0.2280y x =-+，∵x 的系数为0.2-, ∴y 随x 的增大而减小．当40x =时,成本总额最低．【答案】（1)21；（2）0.2280y x =-+，当40x =时，成本总额最低．【例25】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小 亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴ 求每支钢笔和每本笔记本的价格；⑵ 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【解析】⑴ 设每支钢笔x 元，每支笔记本y 本．3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴35x y =⎧⎨=⎩． ⑵ 设购买钢笔a 支，笔记本b 个．4835200a b a b b a+=⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥,∴2028a b ⎧⎨⎩≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24a b =⎧⎨=⎩．【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．(5）五种方案:20,21,22,23,2428,27,26,25,24 ab=⎧⎨=⎩【例26】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解析】⑴设搭配A种造型x个,则B种造型为(50)x-个，依题意,得：8050(50)34904090(50)2950x xx x+-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3331xx≤⎧⎨≥⎩,∴3133x≤≤∵x是整数,∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．⑵(法1)：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：338001796042720⨯+⨯=(元）(法2)：方案①需成本：318001996043040⨯+⨯=(元）方案②需成本：328001896042880⨯+⨯=（元)方案③需成本:338001796042720⨯+⨯=（元）【答案】（1)可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．(2)方案③成本最低,最低成本为:42720(元)【例27】在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后,仍有旅客继续前来排队同步练习检票进站,设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人,检票速度为每个检票口每分钟检票y 人,5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口依题意得30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+≤⋅⎩①②③②3⨯-①，得15a y =,代入①便得30a x =，再把所求的x 、y 代入③便有63a aa n +≤⋅ 因为0a >，所以11163n +≤⋅,即 3.5n ≥,n 取最小的整数,所以4n =答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例28】 某高速公路收费站有m （0m >)辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min 才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
7.5不等式的综合应用(教师版)
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 7.5不等式的综合应用【典型例题】一、简单线性规划的实际应用：例1、（2012 四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元*2122120,0,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩，最大利润为max 300400,430044002800z x y z =+=⨯+⨯=.变式训练：（2012 江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50501.20.9540,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，最大收入为40.5560.3 1.20.90.9z x y x y x y =⨯+⨯--=+，则z 在区间(30,20)处取最大值.二、基本不等式的简单应用：例2、某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.假定当天所买饲料当天用不需要保管与其他费用.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%），问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？（1）设该厂应隔*()x x N ∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y .由于饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036⨯=元，故x 天饲料的保管与其他费用总共是：26(1)6(2)...633x x x x -+-++=-元所以21300(33300)200 1.83357417y x x x x x=-++⨯=++≥ 当且仅当3003,10x x x ==即时取等号 （2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔*(25,)x x x N ≥∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为z ， 则：2*1300(33300)200 1.80.853303,(25,)z x x x x x N x x=-++⨯⨯=++≥∈ 由于23003z x'=-+，故当25x ≥时，0z '>，即函数z 在[25,)+∞为增函数. 故当25x =时，z 有最小值min 390417z =<故该厂可以接受此优惠条件变式训练：某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（1）当0m =时，1x =，故2k =；所以231x m =-+； 而每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元 因此81616[1.5](816)[(1)]29,(0)1x y x x m m m x m +=⨯-++=-+++≥+ （2）16[(1)]2921629211y m m =-+++≤-+=+，当且仅当16(1),31m m m =+=+即万元时取等号.【课后反思】。
第六章第3讲基本不等式(教师)
第3讲基本不等式
a＋b1．ab 2
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y
有最小值是(简记：积定和最小)
2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy．(简记：和定积最大) [做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
a＋b2?解析：由基本不等式得a＋b≥ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤?2＝
11a＝b＝
421答案：2 4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≥2(a，b同号)． ab
a＋b2a＋b2a2＋b2??ab≤?2(a，b∈R)；?2≤2(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
a＋b2．“a>0且b>0”是“ab”成立的( ) 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A。
高一秋-03-不等式的性质与基本不等式-教师版
知识点一、不等式的性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a . （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . （3）可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .（4）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . （5）加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .（7）乘方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （8）开方法则：0a b >>⇒n n a b >(n ∈N ，n ≥2)． （9）倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<；a >b >0，0<c <d ⇒a b c d >.（10）重要不等式：若a >b >0，m >0，则b b ma a m+<+. 知识点二、比较大小的方法（1）作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b −后比较a b −与0的关系，进一步比较a 与b 的大小．（2）作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小．题型一：用不等式（组）表示不等关系【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v 的最大值为120km/h ，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ） A ．120km/h v ≤且10m d ≥B ．120km/h v ≤或10m d ≥第3讲 不等式的性质与基本不等式知识梳理例题分析模块一：不等式的性质~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C ．120km/h v ≤且10m d >D ．120km/h v <或10m d >【难度】★ 【答案】A【解析】由速度v 的最大值为120km/h ，故120km/h v ≤，由车间距d 不得小于10m ，故10m d ≥，即有120km/h v ≤且10m d ≥.【例2】某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【难度】★ 【答案】D题型二：利用不等式的性质判断命题真假【例1】已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22ac bc >B ．22a b >C ．2211ab a b >D ．22b a a b<【难度】★ 【答案】C【例2】下列说法正确的是（ ）. A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c> C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+ D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a−>− 【难度】★ 【答案】D【例3】若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b >>，则11b ba a+<+ C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b >【难度】★ 【答案】D【解析】选项A ，若0,0a b <>，则结论错误，故选项A 错误； 选项B ，根据糖水不等式可知，10,1b ba b a a+>>>+，故选项B 错误； 选项C ，当0c =时，220ac bc ==，故选项C 错误；选项D ，22,ac bc >可知20c >，a b ∴>，故选项D 正确.【例4】 若0a b <<，则下面有六个结论：①22a b >，②33a b >，③11a b<，④1>ab ，⑤11a b a>−，⑥a b >−中，正确结论的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①④⑥【解析】因为0a b <<，则0a b −>−>，所以()()22a b −>−，即22a b >，故①正确； 由22a b >，不等式两边同时乘a 时，32a b a <，对于a b <，两边同乘2b ，可得23b a b <，故323a b a b <<，即33a b <，则②错误；因为0a b <<，所以0ab >，则10ab >，所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，则③错误；由11b a <，不等式边同时乘a ，得1a a b a>=，故④正确； 由()()()11a a b ba b a a b a a b a −−−==−−−，因为0,0a b a −<<，所以()0a b a −>，又因为0b <，所以110a b a −<−，即11a b a<−，故⑤错误； 由0a b <<可得，a b b >=−，故⑥正确；因此，正确结论的序号是①④⑥.题型三：利用不等式的性质比较大小【例1】已知0a b >>−（填“＞”“＜”或“＝”） 【难度】★ 【答案】<【解析】()(22a b b −−=，因为0a b >>，所以20abb b >，所以()20a b −−<，()2a b <−，0>，0a b −【例2】在下列空格上填适当的不等号： （1）若x y ≠，则()x x y − ()y x y −； （2）若0a b <<，0c >，则a b 1；a c bc．【难度】★【答案】 > > <【解析】（1）由于x y ≠，故()()()20y x y x x x y y −−=−−>，即()()y x x x y y −>−，（2）由于0a b <<，则1>ab，又0c >，a b c c <，【例3】若0,0a b c d >><<，试比较()2ca c −和()2cb d −的大小.【难度】★★ 【答案】()()22cca cb d >−−【详解】0c d <<，0c d ∴−>−>，又0a b >>，∴0a c b d −>−>，∴()()22a cb d −>−，∴()()2211a cb d <−−，又∵0c <，∴()()22cca cb d >−−.题型四：作差（作商）法比较大小【例1】设x 是实数，比较()()211x x x +−+与()()211x x x −++的值的大小.【难度】★【解析】23(1)(1)1x x x x −++=−，23(1)(1)1x x x x +−+=+，因为()331120x x +−−=>，所以3311x x +>−，即22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +−+>−++.【例2】已知1a ≥−，求证：321a a a +≥+. 【难度】★★【解析】()()()()()()()32221111121a a a a a a a a a a a +−+=+−+−+=+−+()()211a a =+−，因为1a ≥−，所以10a +≥，又()210a −≥，所以()()()()2321110a a a a a +−+=+−≥，所以321a a a +≥+.【例3】原有酒精溶液a （单位：g ），其中含有酒精b （单位：g ），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x （单位：g ），新溶液的浓度变为b xa x++.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若0a b >>，0x >，则1b b x a a x+<<+. 试加以证明. 【难度】★★【解析】因为0a b >>，0x >，所以0a x b x +>+>，所以1b xa x+<+； 又()()()()()ab bx ab ax x b a b b x a a x a a x a a x +−+−+−==+++， 因为0a b >>，0x >，所以()0x b a −<，()0a a x +>， 所以()()0x b a b b x a a x a a x −+−=<++，即b b xa a x +<+ 综上，1b b xa a x+<<+.【例4】设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【难度】★★【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【详解】依题意，,a b R +∈， 当a b =时，a b b a a b a b =；当ab 时，a ba b b a a b a a b b −⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >−>，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<−<，所以1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b −⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.题型五：利用不等式的性质证明不等式【例1】已知a 、b 为任意给定的正数，求证：3322a b ab ba +≥+，并指出等号成立的条件． 【难度】★★【解析】由题意可知：()()()()23322a b ab ba a b a b +−+=+−，因为0,0a b >>，则0a b +>，且()20a b −≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以()()()()233220a b ab ba a b a b +−+=+−≥，即3322a b ab ba +≥+，等号成立的条件为a b =.【例2】证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c c a c b c>−−. 【难度】★★【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，则0,0a c ><， 则0a c b c −>−>，则()()0a c b c −−>，则10()()a cbc >−−，则11()()0()()()()a c b c a c b c a c b c ⋅−>⋅−>−−−−，则110b c a c>>−−，又0c < 则c c a c b c>−−.命题得证.【例3】（1）已知0a b >>，0c d <<，求证：b aa cb d<−−； （2）已知0bc ad −≥，0bd >，求证：a b c db d++≤． 【难度】★★【解析】证明：（1）因为0c d <<，所以0c d −>−>． 又0a b >>．所以0a c b d −>−>，所以110a c b d<<−−． 又因为0b a <<，所以b a ac bd <−−． （2）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+， 即ad bc ≤，0bc ad −≥ 因为0bc ad −≥成立，所以a b c db d++≤成立．题型六：利用不等式的性质求取值范围【例1】若13a <<，24b −<<，则2a b −的取值集合是 ． 【难度】★★ 【答案】()2,8−【详解】因为13a <<，24b −<<，所以226a <<，42b −<−<，故228a b −<−<.【例2】已知12,24a b a b ≤−≤≤+≤，则2a b −的取值可以为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【难度】★★ 【答案】ABC【解析】设()()()()2a b m a b n a b m n a n m b −=−++=++−，则21m n n m +=⎧⎨−=−⎩，解得31,22m n ==，()()31222a b a b a b ∴−=−++， ()()3313,12222a b a b ≤−≤≤+≤，()()5315222a b a b ∴≤−++≤，即52,52a b ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦， 【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知2030,1518x y x y <+<<−<，要求23x y +的范围，不能分别求出,x y 的范围，再求23x y +的范围，应把已知的“x y + ”“x y − ”视为整体，即5123()()22x y x y x y +=+−−，所以需分别求出51(),()22x y x y +−−的范围，两范围相加可得23x y +的范围．【例3】若变量x ，y 满足条件329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，则2z x y =+的最小值为（ ） A ．7− B ．6− C ．5− D ．4−【难度】★★ 【答案】B【解析】设()()22z x y m x y n x y =+=++−，故21m n +=且2m n −=， 所以,11m n ==−，故()()22z x y x y x y =+=+−−，由于329x y ≤+≤，69x y ≤−≤，所以()()()39296x y x y +−≤+−−≤+−，623x y −≤+≤，故最小值为6−，此时4,5x y ==−，【例4】（多选题）已知13a −≤≤，12b ≤≤，则以下命题正确的是（ ） A ．16ab −≤≤ B ．05a b ≤+≤ C ．21a b −≤−≤ D ．()()114a b +−≤【难度】★★ 【答案】BD【解析】对于A ：[][][]1,3,1,22,6a b ab ∈−∈∴∈−,故A 错误.对于B ：[][][]1,3,1,20,5a b a b ∈−∈∴+∈,故B 正确. 对于C ：[][]1,23,2b a b ∈∴−∈−,故C 错误.对于D;[][]()()[]10,4,10,1,110,4a b a b +∈−∈∴+−∈,故D 正确.【例5】已知13a <<，24b <<，则ab的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】13,42⎛⎫⎪⎝⎭【详解】∵24b <<，∴11142b <<，又∵13a <<，∴1342a b <<，∴a b 的取值范围是13,42⎛⎫⎪⎝⎭.【例6】已知125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，则x 的取值范围是（ ） A ．22x −≤≤ B ．23x −≤≤C ．14x −≤≤D ．12x −≤≤【难度】★★ 【答案】C【详解】因为125x y −≤+≤，123x y −≤−≤，所以1(1)2253x y x y −+−≤++−≤+，即228x −≤≤得14x −≤≤.知识点一、基本不等式 （1）算术平均数与几何平均数 对于正数a 、b ，我们把2a b+称为a 、b 的算术平均数，ab 称为a 、b 的几何平均数． （2）基本不等式如果a 、b 是正数，那么2a bab +≤ (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称为基本不等式． 知识点二、重要不等式 1. 两个重要的不等式知识梳理模块二：基本不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~若a ，b ∈R ，则（1）222ab ab +≥，即222a b ab +≤(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2. 常用结论 （1）2b aa b+≥（a 、b 同号）； （2）2b aa b +≤−（a 、b 异号）； （3）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤≤>>+.题型一、对基本不等式的理解【例1】不等式2244a a+≥中，等号成立的条件是（ ） A ．4a = B ．2a = C ．2a =− D ．2a =±【难度】★ 【答案】D【详解】由基本不等式可知22224424a a a a+≥⋅=，当且仅当224a a =， 即2a =±时等号成立，【例2】某市场上第一周、第二周的白菜价格分别为a 元/斤、b 元所()a b ≠，甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为12,m m ，则下列结论正确的是（ ） A ．12m m = B ．12m m >C ．21m m >D ．12,m m 的大小无法确定【难度】★ 【答案】C【详解】解：根据题意可得120202220202ab abm aba b ab a b+==≤=++．当且仅当=a b 等号成立； 例题分析266122a b a bm ++==≥，当且仅当=a b 等号成立，由题意可得a b ≠，所以12m m <>，则21m m >.【例3】（多选题）下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a ，b 为正实数，所以b a a b +2B ．因为x ∈R ，所以211x +>1C ．因为a ＜0，所以4a+a 4 D ．因为0x y R xy ∈<、，，所以2x yx y y y x y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A.因为a ，b 为正实数，所以0,0b a a b >>，所以b a a b + 2.故A 正确；对于B.当x =0，有211x +=1.故B 错误；对于C.当a =-1时，左边4a+a =-5，右边，所以4a +a 4不成立，故C 错误.对于D. 因为0x y R xy ∈<、，，0,0x yy x −>−>， 所以2x yx y y yx y x x ⎡⎤⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−−=−⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎣⎦.故D 正确.【例4】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（ ）．A ．)0,02a b a b +>> B ．)20,0aba b a b ≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【难度】★★ 【答案】C【详解】解：由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++−===−=−=，在Rt OCD △中，CD ==，所以OC OD ≤，即)0,02a b a b +>>，【例5】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)ab a b a b ≤>>+D ．0,0)2a b a b +>> 【难度】★★题型二、利用基本不等式比较大小【例1】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy 、中最大的一个是 ．【难度】★又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【例2】设a ，b 2a b +，2ab a b +的大小关系是 ．【难度】★22a b aba b+≥≥+ 【解析】∵222a b ab +≥，∴()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，∴()2222a b a b ++≥，即22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，2a b+≥当且仅当a b =时等号成立∵2ab a b =+a b =时等号成立，又2a b+≥a b =时等号成立，22a b ab a b +≥≥≥+，当且仅当a b =时等号成立【例3】（多选题）设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（ ）A ．4a b +≥B ．228a b +≤C ．111a b+≥D ≤【难度】★★ 【答案】AC【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =3=>D 选项错误.【例4】希罗平均数（Heronianmean ）是两个非负实数的一种平均，若a ，b 是两个非负实数，则它们的希罗平均数H =.记2a b A +=，G ，则,,A G H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 【难度】★★【例5】（多选题）若,R a b ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 【难度】★★ 【答案】AD【解析】对于A ，,R a b ∀∈，不等式222a b ab +≥成立，A 正确；对于B ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，0a b ，而0>，不等式不成 对于C ，由于,R a b ∈，且0ab >，当0,0a b <<时，11a b +<0>，不等式不成对于D ，由,R a b ∈，且0ab >，得0,0b a a b >>，则2b a a b +≥=，当且仅当a b =时【例6】下列不等式恒成立的是（ ）A ．a b +≥−B ．a b +≤C ．222a b ab +≤；D ．222a b ab +≥−．【难度】★★ 【答案】D【详解】对于A ：取2a =−，1b ，则3a b +=−，−=−a b +<−故A 错误；对于B ：取2a =，1b =，则3a b +=，=a b +> 故B 错误；对于C ：取2a =，1b =，则225a b +=，24ab =，此时222a b ab +>. 故C 错误；对于D ：因为()22220a b a ab b +=++≥，所以222a b ab +≥−.题型三、利用基本不等式证明不等式【例1】已知实数,,a b c 均大于0，证明：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥.【难度】★★【详解】()()()222222a b c b c a c a b +++++2226a bc b ac c ab abc ≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当a b c ==时取等号，证毕.【例2】已知0m >，0n >，且1m n +=，求证：3311()1m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥．【难度】★★【难度】★★22x y时等号成立．【例4】（1）已知0a >，0b >，0c >，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a b c ++> 【难度】★★【详解】（1）()222222a b c a b c a b c b c a b c a b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，所以222a b c a b c b c a++≥++.（2）()()()111222a b c a b b c a c ++=+++++≥当且仅当a b c ==时等号成立，因为a ，b ，c 为不全相等的正实数，所以a b c ++>【例5】已知a 、b 、c 、d R ∈，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：（1）()()()22222a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++． 【难度】★★【例6】（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）已知,a b R ∈，求证：216536163aa b b +≤−++． 【难度】★★★【解析】（1）因为22222()2()a b c d ab bc cd ad +++−+++ 2222()()()()0a b b c c d a d =−+−+−+−≥，当且仅当a b c d ===时，等号成立， 所以22222()2()a b c d ab bc cd ad +++≥+++， 所以2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++； （2）因为22116261266a a a a+++≥⋅=，当且仅当2166a a +=，即1a =−时取等号， 所以1261113611266aa a a++=≤++，当且仅当2166a a+=，即1a =−时取等号， 因为2251311()63321212b b b −+=−+≥，综上216536163a ab b +≤−++．【巩固1】公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A 型货车载重量30吨，B 型货车载重量24吨，设派出A 型货车x 辆，B 型货车y 辆，则运输方案应满足的关系式是（ ） A ．54100x y +< B ．54100x y +≥ C ．54100x y +> D ．54100x y +≤【难度】★ 【答案】B【巩固2】若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．||||a c b c >【难度】★ 【答案】C师生总结巩固练习【巩固3】已知14x y −<−<，23x y <+<则3x y +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()3,10【巩固4】（多选题）已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（ ） A ．39x y <+< B ．13x y −<−<C ．218xy <<D ．1621xy <<− 【难度】★★ 【答案】ACD【巩固5】（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=B ．因为3a >，所以44a a +≥=C ．因为<0a ，所以44a a +≥D ．因为,R,0x y xy ∈<，所以2x yx y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=−−+−≤−=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当0x y =−≠时，等号成立 【难度】★★ 【答案】ABD【详解】对于A ，,a b 为正实数，有0,0b a a b>>，且1b a a b ⋅=，又当且仅当a b =时，b aa b =成立，满足均值不等式的条件，A 正确；对于B ，44a a +≥=，当3a >时，40a >，且44a a ⋅=，显然不存在大于3的正数a使4a a =成立，所以44a a+>，B 正确； 对于C ，因为0a <，则40a<，不符合均值不等式成立的条件，C 错误；对于D ，,R,0x y xy ∈<，则0,0x y y x −>−>，且()()1x yy x−⋅−=，又当且仅当0y x =−≠时，x yy x−=−成立，满足均值不等式的条件，D 正确.【巩固6】若01x <<，01y <<，则22x y +、x y +、2xy、中最大的一个是 ． 【难度】★★ 【答案】x y +【解析】01x <<，01y <<，由基本不等式得222x y xy +≥；x y +≥又因为01x <<，01y <<，所以()()()2222110x y x y x x y y x x y y +−+=−+−=−+−<，故22x y x y +<+，所以最大的一个是x y +【巩固7】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）． A．)0,02a ba b +≥>> B ．()22200a b ab a b +≥>>，C()20,011a b a b≥>>+ D()002a b a b +>>，【难度】★★ 【答案】B【解析】因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）【巩固8】若0,0a b >>，且a b ≠，则（ ）A ．2a b +>B ．2a b +<C 2a b+≤D 2a b+<【难度】★★ 【答案】BD【详解】0,0a b >>，且ab ，所以2222()()0244a b a b a b ++−−=>，即2a b +<A 错误，B 正确；所以a b +>2a b+<，故C 错误，D 正确.【巩固9】设0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A 2a ba b +<<< B ．2a ba b +<<<C 2a ba b +<< D ．2a ba b +<<< 【难度】★★ 【答案】D【详解】因为0a b <<2a b+<； 因为0,02222a b b a a b a ba b +−+−−=>−=<， 所以,22a b a b a b ++><，即2a b a b +<<，因为0a b <<，0a =>a >，因此2a ba b +<，【巩固10】比较大小： （1）22a b +和2(1)a b −−；（2）22b a a b+和a b +，其中0,0a b <<．【难度】★★【答案】(1)()2221a b a b +−−≥(2)22b aa b a b+≤+【详解】（1）因为()()()222221110a b a b a b +−−−=−++≥，所以()2221a b a b +−−≥；（2）因为0,0a b <<，所以()()()223333+−+=+++−+=−ab a b b a ab a b b a b a a b a b ab ab ab()()()()2220b b a a a b b a b a abab−+−−+==≤，所以22b a a b a b+≤+.【巩固11】（1）已知,,0a b e f c >>>，求证：f ac e bc −<−；（2）已知0,0a b c d >><<，求证：b aa cb d <−−； （3）已知0,0bc ad bd −≥≥，求证：a b c db d++≤. 【难度】★★【解析】（1）因为,0a b c >>，可得ac bc >，所以ac bc −<−， 又因为f e <，可得f ac e bc −<−. （2）因为0c d <<，所以0c d −>−>， 又因为0a b >>，所以0a c b d −>−>，可得110b d a c>>−−， 因为0a b >>，根据不等式的性质，可得a bb d ac >−−，即以b a ac b d<−−. （3）因为0bd >，要证a b c db d++≤，只需证明()()d a b b c d +≤+， 展开得ad bd bc bd +≤+，即ad bc ≤，即0bc ad −≥， 又因为0bc ad −≥，所以a b c db d++≤.【巩固12】已知a 、b 1【难度】★★【解析】因为a 、b 是正数，1=≥=当且仅当a b =时，等号成立，1≥+【巩固13】一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为2m a ，2m b ．（1）若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m ，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；（2）若同时增加窗户面积和地板面积各2m n ，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【难度】★★【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为22m ,m a b ，则10%220ab a b ⎧≥⎪⎨⎪+=⎩，所以1010%ab a ≤=，所以22010a b a a +=≤+，所以20a ≥. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a 和b 分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b n <<>， 则()()()n b a a n a ab bn ab an b n b b b n b b n −++−−−==+++. 因为0,0b n >>，所以()0b b n +>. 又因为a b <，所以()0n b a −>. 因此0a n a b n b +−>+，即a n ab n b+>+. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【巩固14】（1）已知x 、y 都是正数，求证：()()()2233338x y x y x y x y +++≥；（2）已知0a >，0b >，0c >，求证：bc ac aba b c a b c++≥++． 【难度】★★当且仅当x y =时，等号成立． （2）∵0a >，0b >，0c >，∴2bc acc a b+≥，2bc ab b a c +≥，2ac ab a b c +≥， ∴()22bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，故bc ac aba b c a b c ++≥++，当且仅当bc ac ab a b c==，即a b c ==时等号成立．【巩固15】已知a ，b 都是正数.（1）若1a b +=，证明：4+≥b a a b ab ； （2）当a b ≠时，证明：+>+a a b b b a a b . 【难度】★★【详解】（1）证明：由于a ，b 都是正数，()11ab b a b a a b ab ab a b++==+()112224b ab aa b ab a b a b⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当14a b ==时等号成立.所以4+≥b a a b ab . （2）证明：()()()a a b b b a a b a a b b a b +−+=−−− ()()()()2a b a b a ba b =−−=−+.因为a b ，0,0a b >>，所以()20a b−>，0a b +>，所以+>+a a b b b a a b成立.【提升1】已知0a >，0b >，且2a b +=，证明： （1）222a b ab +≤；（2）33211a b b aa b +++≥++． 【难度】★★★能力提升【解析】（1）()222a b ab ab a b ab +=+=，因为0a >，0b >，2a b =+≥01ab <≤，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以222a b ab +≤；（2）()()()()3333332222111111a ab b a a b b a b b a a b a b a b −+−++−+−+++=+=+++++++ ()()()()22112112221111a a ab b b a b a b a b a b +−++−+=+=+−−++++++ ()()()()222221122221111a b a b a b ab a b a b ++⎛⎫=+++−=+−+− ⎪++++⎝⎭ 88222213ab ab ab a b ab =−+=−+++++，由（1）有01ab <≤，有34ab +≤，1ab −≥−，有1134ab ≥+，22ab −≥−， 有8122822234ab ab −+≥⨯−+=+，当且仅当1a b ==时等号成立， 所以33211a b b aa b +++≥++．。
基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式(教师版)
基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式基本(均值)不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一.本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用.一、不等式与三角函数1.已知α+β+γ=π，β为锐角，tan α=3tan β，则1tan γ+1tan α的最小值为()A.12B.43C.32 D.34解析：∵α+β+γ=π，∴tan γ=-tan (α+β)=-tan α+tan β1-tan αtan β=-4tan β1-3tan 2β，∴1tan γ+1tan α=3tan 2β-14tan β+13tan β=9tan 2β+112tan β=34tan β+19tan β≥34×23=12，当且仅当tan β=19tan β即tan β=13时取等号，所以1tan γ+1tan α的最小值为12.故选：A .二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b的最小值.解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2ab +3≥3+22，当且仅当b a =2a b ，即a =2-1,b =2-2时取到等号，则y =1a +2b的最小值为3+2 2.应用上述解法，求解下列问题：(1)已知a ,b ,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b+1c 的最小值；(2)已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81-2x的最小值；(3)已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 21a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 23a 3+a 4+⋯+a 2na n +a 1≥12.解析：(1)∵a +b +c =1，∴y =1a +1b +1c =(a +b +c )(1a +1b +1c )=3+(b a +a b +c a +a c +c b+bc )≥3+2b a ⋅a b +2c a ⋅a c +2c b ⋅b c =9，当且仅当a =b =c =13时取等号．即y =1a +1b+1c 的最小值为9．(2)y =22x +81-2x =(22x +81-2x )(2x +1-2x )=10+2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x，而x ∈(0，12)，∴2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x≥22(1-2x )2x ⋅8⋅2x 1-2x =8，当且仅当2(1-2x )2x =8⋅2x 1-2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81-2x的最小值为18．(3)∵a 1+a 2+a 3+…+a n =1，∴2S =(a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2a n +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+…+(a n +a 1)]=(a 21+a 22+⋯+a 2n )+[a 21a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a 2n a n +a 1(a 1+a 2)+a 21a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 21+a 22+⋯+a 2n )+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ,∠BAC =120°，AD =2，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为()A.33B.233C.3D.23【解析】设球O 的半径为R ，AB =x ，AC =y ，由4πR 2=20π，得R 2=5．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得OG =12AD =1，则AG =R 2-1=2．在ΔABC 中，由正弦定理可得：BCsin120°=2AG =4，即BC =23，由余弦定理可得，BC 2=12=x 2+y 2-2xy ×(-12)=x 2+y 2+xy ≥3xy ，∴xy ≤4．则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为13×12×4×sin120°×2=233．故选：B ．4.如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ,E 、F 是SC 上两个三等分点，记二面角E -AB -F 的平面角为α，则tan α()A.有最大值43B.有最大值34C.有最小值43D.有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB =a ，BC =b ，AS =c ，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM ⊥AB 与M ，连接ME ，则∠EMN 为二面角E -AB -C 的平面角，设为α1，则NE =13c ，MN =23b ，故tan α1=c2b .同理可得：设二面角F -AB -S 的平面角为α2，tan α2=b 2c.tan α=tan π2-α1-α2 =1-tan α1tan α2tan α1+tan α2=34c 2b+b2c ≤34，当c 2b=b 2c ，即b =c 时等号成立.故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =22，E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A.1B.2C.2D.22【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，KL //BC ，LM //GH ，KL BC =AL AB ，LM AD =BLAB ，所以KL =AL ，LM =BL ，故KL +LM =AL +BL =22，S 截面=KL ⋅LM ≤KL +LM 2 2=2，当且仅当KL =LM 时成立，故选：C .四、不等式证明6.设x ,y ,z >0，a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x，则a ,b ,c 三个数()A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于4【解析】假设三个数4x +1y <4且4y +1z <4且4z +1x<4，相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z <12，由基本不等式得：1x +4x ≥4；1y +4y ≥4；1z+4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数4x +1y 、4y +1z 、4z +1x 至少有一个不小于4．故选：D ．7.已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．1 证明：-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．【解析】1 证明：由a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1+2ab +2bc +2ca ≥0，得ab +bc +ca ≥-12．另一方面，a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，所以2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，即ab +bc +ca ≤1．所以-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 =a 21-a 2 +b 21-b 2 +c 21-c 2 =1-a 4+b 4+c 4 ，因为a 4+b 4+c 4=a 2+b 2+c 2 2-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2≥1-a 4+b 4+b 4+c 4+c 4+a 4 ，即3a 4+b 4+c 4 ≥1，则a 4+b 4+c 4≥13，所以a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．8.已知a ,b ,c 为正数，且满足a +b +c =1. 证明：(1)1a +1b+1c ≥9；(2)ac +bc +ab -abc ≤827.【解析】(1)a +b +c =1，故1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b+a +b +cc =3+b a +a b +c a +a c +c b+b c ≥3+2+2+2=9，当a =b =c =13时等号成立.(2)易知1-a >0,1-b >0,1-c >0.ac +bc +ab -abc =1-a +b +c +ac +bc +ab -abc =1-a 1-b 1-c≤1-a +1-b +1-c 3 3=827.当a =b =c =13时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x +y =1．1 若2y -1 -2x <3，求x 的取值范围；2 若x >0，y >0，求证：1x +2y -2xy ≥152．【解析】1 由2x +y =1，得y =1-2x ，所以不等式2y -1 -2x <3，即为4x -1 -2x <3，所以有1-4x +2x <3x <0 或0≤x ≤141-4x -2x <3 或x >144x -1-2x <3解得-1<x <0或 0≤x ≤14 或14<x <2，所x 的取值范围为x ∈-1,2 ．2 ∵x >0，y >0，2x +y =1所以1x +2y =1x +2y 2x +y =4+y x +4xy≥4+4=8当且仅当y x =4x y ，即2x =y =12时取等号．又-2xy ≥-2x +y 2=-12，当且仅当2x =y =12时取等号，所以1x +2y -2xy ≥152，当且仅当2x =y =12时取等号．10.1在锐角ΔABC 中，证明：(1)tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ；(2)tan A ⋅tan B ⋅tan C ≥3 3.证明：(1)∵tan C =-tan (A +B )=tan A +tan Btan A tan B -1∴tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ,(2)解法1：∵y =tan x ,x ∈(0,π2)是凸函数，∴tan A tan B tan C ≥3 3.解法2：∵tan A tan B tan C ≤(tan A +tan B +tan C 3)3，∴tan A tan B tan C ≥33五、最值问题11.设x>0,y>0且x+y=4，则x2x+1+y2y+2的最小值是A.167B.73C.2310D.94【解析】∵x+y=4，∴(x+1)+(y+2)=7∴x2x+1+y2y+2=x+12-2x+1+1x+1+y+22-4y+2+4y+2=1+1x+1+4y+2=1+1x+1+4 y+2x+17+y+27=1+17+47+y+27(x+1)+4(x+1)7y+2≥127+2×27= 16712.已知实数a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1的最小值为()A.3+224 B.3+424 C.3+226 D.3+426【解析】因为a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1=(2a+1b-1)a+b-1×14=143+2b-1a+ab-1≥14(3+22)当且仅当2b-1a=ab-1时取等号，故选：A．13.设a>b>0，则ab+4b2+1b a-b的最小值是()A.2B.3C.4D.6【解析】因为a>b>0⇒a-b>0；所以ab+4b2+1b(a-b)=ab-b2+1b(a-b)+b2+4b2=b(a-b)+1b(a-b)+b2+4b2≥2b(a-b)×1b(a-b)+2b2×4b2=2+4=6．当且仅当b(a-b)=1b(a-b)，b2=4b2时取等号，∴ab+4b2+1b(a-b)的最小值为6．故选：D．六、不等式与函数14.已知f x =2x-2+x+1．(1)求不等式f x <6的解集；(2)设m,n,p为正实数，且m+n+p=f2 ，求证：mn+np+pm≤3.【解析】(1)不等式2x-2+x+1<6等价于不等式组x<-1-3x+3<6或-1≤x≤2-x+5<6或x>23x-3<6，所以不等式2x-2+x+1<6的解集为-1,3；(2)证明：因为m+n+p=3，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m,n,p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立)，同理m2+p2≥2mp,p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，所以mn+mp+np≤3.15.已知函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)设实数t 为m 的最大值，若实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=t 2，求1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值.【解析】(1)∵函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .∴2x -3 -x -1≥m 对任意的x ∈R 恒成立，令g x =2x -3 -x -1，则g x =x -7,x ≥3 5-3x ,0<x <3 5-x ,x ≤0，结合g x 的图像易知g x 的最小值为-4，所以实数m 的取值范围-∞,-4 .(2)由(1)得t =-4，则a 2+b 2+c 2=16，所以a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 =22，1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3=1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 22=3+b 2+2a 2+1+a 2+1b 2+2+c 2+3a 2+1+a 2+1c 3+3+c 2+3b 2+2+b 2+2c 2+322≥3+2b 2+2a 2+1×a 2+1b 2+2+2c 2+3a 2+1×a 2+1c 2+3+2c 2+3b 2+2×b 2+2c 2+322=922，当且仅当a 2+1=b 2+2=c 2+3=223，即a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，∴1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量m ,n 满足|m -e |-m ⋅e =|n -e |-n ⋅e =1(e 为单位向量)，且m ⊥n ，则|m -n|的最小值是()A.1B.2C.4D.8【解析】由非零向量m ,n 满足m ⊥n ，可设m =(a ,0)，n=(0,b )，其中a ,b 均不为0．因为e 为单位向量，可设e =(cos θ,sin θ)，因为|m -e |-m ⋅e=(a -cos θ)2+sin 2θ-a cos θ=1，所以a 2-2a cos θ+cos 2θ+sin 2θ=1+2a cos θ+a 2cos 2θ，即a sin 2θ=4cos θ①，同理，由|n -e |-n ⋅e=1可得b cos 2θ=4sin θ②，由①②，可得a 2+b 2=16cos 2θsin 4θ+16sin 2θcos 4θ=16cos 4θ+sin 2θcos 2θsin 4θ+ sin 4θ+sin 2θcos 2θcos 4θ=161tan 4θ+1tan 2θ+tan 4θ+tan 2θ ≥16×(2+2)=64当且仅当tan 2θ=1时，等号成立，所以当tan 2θ=1时，|m -n |min =8，故选：D ．17.已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF =λAB +56AD ，则AF 的最小值为___________．【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF =kDE ，∴AF =AD +DF =AD +kDE =AD+k DC +CE ，∵DC =AB ，CE =12DA，则AF =AD +kAB +12kDA ，所以AF =kAB +AD -12kAD =kAB +1-12k AD ，又∵AF =λAB +56AD ，则有：k =λ1-12k =56，解得：k =λ=13，即AF =13AB +56AD ，∵平行四边形ABCD 的面积为93，即∵AB ⋅AD sin 2π3=93，∴AB ⋅AD =18，∴AF 2=13AB +56AD2=19AB 2+59AB ⋅AD +2536AD 2，即：∴AF 2=19AB 2+59AB ⋅AD cos ∠BAD +2536AD2，∴AF 2=19AB 2+59×18×-12 +2536AD 2=19AB2+2536AD 2-5，即：AF2=19AB2+2536AD 2-5，∵19AB 2+2536AD 2≥219AB 2×2536AD 2=2×518×18=10，即19AB 2+2536AD 2≥10，所以19AB 2+2536AD2-5≥5，∴AF 2≥5，∴AF ≥5，当且仅当：19AB 2=2536AD2时，取等号，∴AF 的最小值为 5.18.平面向量a ,b ,c 满足|a |≤1，|b |≤1，|2c -(a +b )|≤|a -b |，则|c |的最大值为_______．【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2c -(a +b )|≤|a -b |，可得|2c |-|a +b |≤|a -b |，即|2c |≤|a+b |+|a -b |，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a +b ，a -b 为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，|AC |2=|AB +AD |2=|AB |2+|AD |2+2|AB |⋅|AD|cos ∠BAD ，由余弦定理可知|BD |2=|AB |2+|AD |2-2|AB |⋅|AD |cos ∠BAD ，则|AC |2+|BD |2=2|AB |2+2|AD |2，显然|AC |+|BD |若取最大值，则|AB |，|AD |应为最大1，即|AC |2+|BD |2=4⇒|AC |+|BD | 2-2|AC ||BD |=4⇒|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |由基本不等式可知|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |≤|AC |+|BD |24⇒|AC |+|BD | 2≤8⇒|AC |+|BD |≤22当且仅当|AC |=|BD |时取等号，所以当|a |=1，|b |=1且|a +b |=|a -b |时，|a +b |+|a -b|取得最大值22，则|2c |≤|a +b |+|a -b |≤22，即|c |≤2，所以|c |的最大值为2．故答案为：2八、不等式与解三角形19.在锐角ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，ΔABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2Sb 2-c 2，则tan C +12tan (B -C )的最小值为()A.2B.2C.1D.22【解析】因为sin (A +C )=2S b 2-c 2，即sin B =2Sb 2-c 2，所以sin B =ac sin Bb 2-c 2，因为sin B ≠0，所以b 2=c 2+ac ，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得a -2c cos B =c ，再由正弦定理得sin A -2sin C cos B =sin C ，因为sin A -2sin C cos B =sin (B +C )-2sin C cos B =sin (B -C )，所以sin (B -C )=sin C ，所以B -C =C 或B -C +C =π，得B =2C 或B =π(舍去).因为ΔABC 是锐角三角形，所以0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2，得π6<C <π4，即tan C ∈(33,1)，所以tan C +12tan (B -C )=tan C +12tan C ≥2，当且仅当tan C =22，取等号.故选:A20.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =6，点O 为其外接圆的圆心.已知BO ·AC=15，则当角C 取到最大值时△ABC 的面积为()A.35B.25C.30D.56【解析】设AC 中点为D ，则BO ⋅AC =BD +DO ⋅AC =BD ⋅AC =12BC +BA⋅BC -BA=12BC 2-12BA 2 ，∴12a 2-12c 2=15，即c =6，由c <a 知角C 为锐角，故cos C =a 2+b 2-c 22ab =30+b 212b =112b +30b≥112×2b ⋅30b =306，当且仅当b =30b，即b =30时cos C 最小，又y =cos x 在0,π2 递减，故C 最大.此时，恰有a 2=b 2+c 2，即△ABC 为直角三角形，S △ABC =12bc =35，故选A .21.在△ABC 中,已知AB ·AC =9,sin B =cos A sin C ,S △ABC =6,P 为线段AB 上的点,且CP =x CA CA +y CBCB ,则xy 的最大值为________.【解析】由sin B =cos A sin C 得b =c b 2+c 2-a 22bc⇒a 2+b 2=c 2⇒S ΔABC =12ab =6所以由AB ·AC =9得AC 2=9,∴b =3,a =4又P 为线段AB 上的点，且CP =x CA CA +y CBCB ,所以x b+y a =1,∴x3+y 4=1,∴1≥2x 3⋅y 4∴xy ≤3，当且仅当x =32,y =2时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且a cos B -b cos A =35c ，则tan A -B 的最大值为A.32B.34C.32D.3【解析】∵a cos B -b cos A =35c ∴由正弦定理，得sin A cos B -sin B cos A =35sin C ，∵C =π-(A +B )⇒sin C =sin (A +B )，，∴sin A cos B -sin B cos A =35(sin A cos B +cos A sin B )，整理，得sin A cos B =4sin B cos A ，同除以cos A cos B ，得tan A =4tan B ，由此可得tan (A -B )=tan A -tan B 1+tan A tan B =3tan B 1+4tan 2B=31tan B+4tan B ，∵A 、B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A 、B 都是锐角，即tan A >0，tan B >0，∵1tan B+4tan B ≥21tan B ⋅4tan B =4tan (A -B )=31tan B+4tan B ≤34，当且仅当1tan B =4tan B ，即tan B =12时，tan (A -B )的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为()A.55B.255C.355D.53【解析】因为a 2+b 2+2c 2=8，所以a 2+b 2=8-2c 2，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =8-3c 22ab，即2ab cos C =8-3c 2①由正弦定理得S =12ab sin C ，即2ab sin C =4S ②由①，②平方相加得4ab 2=8-3c 2 2+4S 2≤a 2+b 2 2=8-2c 2 2，所以4S 2≤8-2c 2 2-8-3c 2 2=16-5c 2 c 2≤1516-5c 2+5c 222=645，即S 2≤45，所以S ≤255，当且仅当a 2=b 2且16-5c 2=5c 2即a 2=b 2=125,c 2=85时，取等号.故选：B24.已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ,N ，且AM =xAB ，AN =yAC，x ,y >0 ，则3x +y 的最小值是()A.83B.72C.52D.43+233【解析】因为M ,G ,N 三点共线，故AG =tAM +1-t AN ，因为AM =xAB ,AN =yAC ，所以AG =txAB+1-tyAC ，又G 为重心，故AG =13AB +13AC ，而AB ,AC 不共线，所以tx =13,1-t y =13，也即是1x +1y=3.3x +y =133x +y 1x +1y =134+y x +3x y，由基本不等式可以得到：y x +3x y ≥23，当且仅当x =3+39,y =33+13等号成立，故3x +y 的最小值为43+233，故选D .25.已知O 是△ABC 的外心，∠C =45°,OC =2mOA +nOB ,(m ,n ∈R ),则1m 2+4n2的最小值为____．【解析】OC =2mOA +nOB ∴OC 2=2mOA +nOB 2=4m 2OA 2+n 2OB 2+4mnOA ⋅OB∠C =45°∴∠AOB =90°∴OA ⋅OB=0故4m 2+n 2=11m 2+4n 2=1m 2+4n 2 4m 2+n 2=4+n 2m 2+16m 2n 2+4≥216+8=16当n 2m 2=16m 2n 2即n 2=12,m 2=18时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若b 2+c 2=4bc sin A +π6，则tan A +tan B +tan C 的最小值是______．【解析】由余弦定理，得b 2+c 2=a 2+2bc cos A ，则由b 2+c 2=4bc sin A +π6 ，得a 2+2bc cos A =4bc sin A +π6=2bc (3sin A +cos A )，所以a 2=23bc sin A ，由正弦定理，得sin 2A =23sin B ⋅sin C ⋅sin A ，所以sin A =23sin B sin C ，所以sin (B +C )=23sin B sin C ，sin B cos C +cos B sin C =23sin B sin C ，tan B +tan C =23tan B tan C ．因为tan A =-tan (B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1，所以tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C ，则tan A +tan B +tan C =tan B +tan C tan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C =23tan B tan Ctan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C ．令tan B ⋅tan C -1=m ，而tan B ⋅tan C -1=tan B tan A +tan Ctan A,∴m >0则tan B ⋅tan C =m +1，tan A +tan B +tan C =23(m +1)2m =23m 2+2m +1 m =23m +1m+2 ≥23(2m ⋅1m +2)=83，当且仅当m =1时，等号成立，故tan A +tan B +tan C 的最小值为83．27.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan (A -C )的最大值为______．【解析】因为a cos C -c cos A =35b ，由正弦定理得sin A cos C -sin C cos A =35sin B ，又B =π-(A +C )，所以sin A cos C -sin C cos A =35sin [π-(A +C )]，即sin A cos C -sin C cos A =35sin (A +C )，所以5sin A cos C -5sin C cos A =3sin A cos C +3cos A sin C ，所以2sin A cos C =8cos A sin C ，当cos C ≤0或cos A ≤0时，等式不成立，所以A ,C ∈(0,π2)，所以tan A =4tan C ，所以tan (A -C )=tan A -tan C 1+tan A tan C =3tan C 1+4tan 2C =31tan C+4tan C 又tan C >0，所以1tan C +4tan C ≥21tan C ⋅4tan C =4，当且仅当1tan C =4tan C ，即tan C =12时，等号成立，所以tan (A -C )=31tan C +4tan C ≤34，所以tan (A -C )的最大值为34．28.已知ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a cos A+b +2c cos B =0,则sin2B ⋅tan 2C 的取值范围是__________.【解析】a cos A+b +2c cos B =0，即a cos B +b cos A +2c cos A =0，即sin A cos B +sin B cos A +2sin C cos A =0，sin C 1+2cos A =0，sin C ≠0，故1+2cos A =0，A =3π4，故B +C =π4.sin2B ⋅tan 2C =cos2C ⋅sin 2C cos 2C =2cos 2C -1 1-cos 2C cos 2C =3-2cos 2C +1cos 2C，C ∈0,π4 ，故t =cos 2C ∈12,1 ，故y =3-2t +1t，根据双勾函数性质知：函数在12,22上单调递增，在22,1 上单调递减.故y max =3-22，当t =1时，y =0，当t =12时，y =0，故sin2B ⋅tan 2C ∈0,3-22 .故答案为：0,3-22 .九、不等式与恒成立问题29.正数a,b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】∵a>0,b>0,1a+9b=1，∴a+b=(a+b)1a+9b=10+b a+9a b≥10+2b a⋅9a b=16当且仅当3a=b，即a=4,b=12时，“=”成立，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则-x2+4x+18-m≤16，即-x2+4x+2≤m对任意实数x恒成立，∵-x2+4x+2=-(x-2)2+6≤6∴m≥6实数m的取值范围是[6,+∞)30.数列a n中，a1=12，a n+1=na nn+1na n+1n∈N*，若不等式4n2+1n+-1nλa n≥0恒成立，则实数λ的取值范围为__________.【解析】由数列 a n满足a1=12,a n+1=na n(n+1)(na n+1)(n∈N x)，两边取倒数可得：1(n+1)a n+1-1nan=1，∴数列1nan是等差数列, 公差为1, 首项为2∴1nan =2+(n-1)=n+1，∴a n=1n(n+1)由4n2+1n+(-1)nλa n≥0恒成立,得(-1)n⋅1n(n+1)λ≥-4n2-1n=-4-nn2,当n为偶数时，λ≥-(n+1)(n+4)n=-(n+4n+5), 则λ≥-9，当n为奇数时，λ≤n+4n+5,则λ≤283，∴实数λ的取值范围为-9,283。
利用基本不等式求范围的四个典例 教师版
1
1
2 6 (3 y
8
32
)
4
2 ，当且仅当 x 2
2 1, y 3 2
2 取等号
3 y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解.
28k 2 40k 4 2 4k 6k 2 2
，令 g (k)
0 ，得k
4
2 5 ， 7
∵ g(k) 在(0, 4 2 5) 上递减，在( 4 2 5 ,1) 上递增，
7
7
∴g k
g(4
2 5) 3 2
2
，∴
2
1
32 2
的最小值
；
min
7
4
x 3y x y
2
；
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本
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不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行.
点评：换元更好：令 x 3y m,
1 b
1，则 1 a 1
4 的最小值为 b 1
.
答案：4 ； 1 1 1，得a b 4 ，∴[(a 1) (b 1)]( 1 4 ) 5 b 1 4(a 1) 9 ，
ab
a 1 b 1
a 1 b 1
好像不对？
点评：如果a b 4 ，则可以做；
六不等式基础教师版
六、不等式一、不等式的解法：（1）一元一次不等式：Ⅰ、)0(≠>a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；Ⅱ、)0(≠<a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对∆进行讨论：（5）绝对值不等式：若0>a ，则⇔<a x || ；⇔>a x || ；注意：(1).几何意义：||x ： ；||m x -： ； (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若0>a则=||a ；②若0=a 则=||a ；③若0<a 则=||a ；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴⇔>0)()(x g x f ；⑵⇔<0)()(x g x f ； ⑶⇔≥0)()(x g x f ；⑷⇔≤0)()(x g x f ； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ；②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当p ab =（常数），当且仅当 时， ；当S b a =+（常数），当且仅当 时， ；常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>--=x x x y 的最小值 。
《基本不等式》同步学案(教师版)
《基本不等式》同步学案情境导入我校第二教学楼在建造过程中,需建一座长方体形的净水处理池,该处理池的底面积为200m2,深度为5m,如图,该处理池由左右两部分组成,中间是一条间隔的墙壁,池的外围周壁建造单价为400元/m2,中间的墙壁(不需考虑该墙壁的左右两面)建造单价为100元/m2,池底建造单价为60元/m2,池壁厚度忽略不计.请帮忙决策,如何设计才能使总造价最低呢?自主学习自学导引1.重要不等式.当a,b是任意实数时,有a2+b2⩾_________,当且仅当_________时,等号成立. 2.基本不等式.(1)有关概念:当a,b均为_________时,把_______叫做正数a,b的算术平均数,把_________叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即_________,当且仅当________时,等号成立.(3)变形:ab⩽________,a+b⩾________(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立).3.已知x,y都是正数,则(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值_________;(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值__________.答案1.2ab a=b2.(1)正数a+b2√ab(2)√ab⩽a+b2a=b(3)(a+b2)22√ab3.(1)2√P (2)14S2预习测评1.已知x≠0,则y=x2+1x2有( )A.最小值2B.最大值2C.最小值1D.最大值12.已知x,y都是正数,如果xy=15,则x+y的最小值是___________.3.已知x,y都是正数,如果x+y=15,则xy的最大值是___________.4.学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池,并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路(如图所示),则当游泳池的长为_______m、宽为_______m时,占地面积最小.答案:1.A解析:y=x2+1x2⩾2√x2⋅1x2=2,当且仅当x2=1x2即x=±1时取等号.2.2√15解析:x +y ⩾2√xy =2√15,即x +y 的最小值是2√15,当且仅当x =y =√15时x +y 取最小值.3.2254解析:xy ⩽(x+y 2)2=(152)2=2254,即xy 的最大值是2254,当且仅当x =y =152时xy 取最大值. 4.2814解析:设游泳池的长为xm ,则游泳池的宽为392xm ,又设占地面积为ym 2,依题意,得y =(x +8)⋅(392x+4)=424+4(x +784x)⩾424+224=648,当且仅当x =784x,即x =28时,取“=”,此时392x=14.新知探究探究点1基本不等式 知识详解如果a >0,b >0,那么√ab ⩽a+b 2,当且仅当a =b 时,等号成立.其中,a+b 2叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数.因此,基本不等式可以叙述为:当a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数. 特别提示(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0.①若a <0,b <0,如a =−2,b =−4,会出现√(−2)×(−4)⩽(−2)+(−4)2的错误结论;②若a,b 中有一个小于0,如a =−2,b =4,则 √(−2)×4无意义;③若a 或b 等于0,虽然该不等式成立,但没有研究的意义和必要. (2)基本不等式的常见变形式:a +b ⩾2√ab ,ab ⩽(a+b 2)2.(3)事实上,当a>0,b>0时,我们分别用√a,√b代替重要不等式a2+b2⩾2ab中的a,b,可得a+b⩾2√ab,变形可得√ab⩽a+b2.典例探究例1已知a,b∈R,且ab>0,则下列结论恒成立的是( )A.a2+b2>2abB.a+b⩾2√abC.1a +1b>2√abD.ba +ab⩾2解析:对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对于B ,C ,ab>0只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D,因为ab>0,所以ba >0,ab>0,所以ba+ab⩾2√ba⋅ab=2,即ba+ab⩾2成立.答案:D友情提示由基本不等式,可以得到一个常用结论:ba +ab⩾2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.变式训练1已知0<a<b,则下列不等式正确的是( )A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b答案:B解析:0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a<√ab<b,0<a<b⇒2a<a+b<2b⇒a<a+b2<b,又√ab<a+b2,所以a<√ab<a+b2<b.探究点2最值定理知识详解已知x,y都是正数,则:(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2√P;S2.(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14最值定理简记:和定积最大,积定和最小.特别提示(1)最值定理是求最值时应用极广的定理之一.(2)利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等.①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.(3)应用基本不等式求最值的关键:依定值去探求最值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.典例探究例2下列结论正确的是( )⩾2A.当x>0且x≠1时,x+1x⩾2B.当x>0时,√x+√xC.当x≠0时,x+1的最小值为2xD.当x>0时,x+1的最小值为2x2解析:选项A不满足“取等号时条件”,故不正确;选项C不满足“各项必须为正”,故不正确;选项D不满足“积为定值”,故不正确.答案:B思路点拨:利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,此类题型能提升逻辑推理素养.变式训练2给出下面三个推导过程:(1)∵ab>0,∴ab +ba⩾2√ab⋅ba=2;(2)∵a∈R,a≠0,∴4a +a⩾2√4a⋅a=4;(3)∵x,y∈R,xy<0,∴xy +yx=−[(−xy)+(−yx)]⩽−2√(−xy)(−yx)=−2.其中正确的推导为________.答案:①③解析:①∵ab>0,∴ab >0,ba>0,符合基本不等式的条件,故①推导正确;②由a∈R,不符合基本不等式的“各项必须为正”条件,∴4a +a⩾2√4a⋅a=4是错误的;③由xy<0,得yx ,xy均为负数,但在推导过程中,将整体xy+yx提出负号后,(−xy ),(−yx)均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.探究点3利用基本不等式解应用题知识详解在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)根据实际背景写出答案.典例探究例3如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有可围36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?解析:问题转化为:每间虎笼的长的4倍与宽的6倍之间满足和为定值,长和宽多大时面积最大?答案:设每间虎笼长为xm ,宽为ym ,则由条件得4x +6y =36,即2x +3y =18. 设每间虎笼面积为Sm 2,则S =xy . 由于2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy , ∴2√6xy ⩽18,得xy ⩽272,即S ⩽272,当且仅当2x =3y 时,等号成立.由{2x +3y =18,2x =3y,解得{x =4.5,y =3.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m 时,可使面积最大.变式训练3例3中其他条件不变,若使每间虎符面积为24m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 答案:法一:由条件知S =xy =24,设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y∵2x +3y ⩾2√2x ⋅3y =2√6xy =24,∴l =4x +6y =2(2x +3y )⩾48, 当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由{2x =3y,xy =24,解得{x =6,y =4.故每间虎笼长为6m,宽为4m 时,可使钢筋网总长最小. 法二:由xy =24,得x =24y.∴l =4x +6y =96y+6y =6(16y +y)⩾6×2√16y ⋅y =48,当且仅当16y =y ,即y =4时,等号成立.此时x =6.故每间虎笼长为6m,宽为4m 时,可使钢筋网总长最小.解析:问题转化为:每间虎符的长和宽之积为定值,长和宽多大时,长的4倍与宽的6倍和最小？易错易混解读例 若x >0,y >0,且x +2y =1,求1x +1y 的最小值.错解:因为x >0,y >0,所以1=x +2y ⩾2√2xy ,即8xy ⩽1,即xy ⩽18,故1xy ⩾8.因为1x +1y⩾2√1xy,所以1x+1y⩾2√8=4√2.故1x+1y的最小值为4√2.错因分析:在求解过程中两次使用了基本不等式:x+2y⩾2√2xy,1x +1y⩾2√1xy,但这两次取等号分别需满足x=2y与x=y,互相矛盾,所以“=”不能同时取到,从而导致错误.正解:因为x+2y=1,x>0,y>0,所以1x +1y=(1x+1y)(x+2y)=3+xy+2yx⩾3+2√2,当且仅当xy =2yx即x=√2y,即x=√2−1,y=1−√22时取等号,从而1x+1y的最小值为3+2√2.纠错心得:连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式是求不出最值的,此时要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立.课堂检测1.函数y=4x+25x(x>0)的最小值为( )A.20B.30C.40D.502.下列不等式中正确的是( )A.a+4a⩾4B.a2+b2⩾4abC.√ab⩾a+b2D.x2+3x2⩾2√33.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为_______.4.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为_________.答案:1.A解析:因为x >0,所以y =4x +25x⩾2√4x ⋅25x=20,当且仅当4x =25x,即x =52时取等号. 2.D解析:若a <0,则a +4a ⩾4不成立,故选项A 错;如:a =1,b =1,a 2+b 2<4ab ,故选项B 错;如:a =4,b =16,则√ab <a+b 2,故选项C 错;由基本不等式可知选项D正确. 3.3解析:因为x,y 为正实数,所以4x +3y =12⩾2√4x ⋅3y =2√12xy ,所以xy ⩽3,当且仅当4x =3y ,即x =32,y =2时取等号. 4.14解析:设直角三角形的两条直角边的长分别为a,b ,则a +b +√a 2+b 2=√2+1.又a +b ⩾2√ab,a 2+b 2⩾2ab ,所以√2+1⩾2√ab +√2ab =(2+√2)√ab ,解得ab ⩽12,当且仅当a =b =√22时取“=”,所以直角三角形的面积S =12ab ⩽14,即S的最大值为14.课堂小结。
第三节 基本不等式 教师版
基本不等式一、基础知识 1、基本不等式ab b a 222≥+，222b a ab +≤（a ，b ∈R ，当且仅当b a =时取“=”号） 2、均值不等式定理：（1）根式形式：2a b+≥ a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号) 变形式子2)2(b a ab +≤（a ，b ∈R +，当且仅当b a =时取“=”号） 分式形式：2≥+ba ab （0>ab ），2-≤+b a a b （0<ab ）倒数形式：若0>x ，则21≥+x x ；若0<x ，则21-≤+xx . （2）推广：nn n a a a na a a ......2121≥+++（a 1，a 2，…，a n 均为正数）33abc c b a ≥++（a 、b 、c 均为正数） （3）极值定理：“和定积最大”、“积定和最小”（“一正二定三等”）（技巧：配、凑）已知x 、y 都是正数，则有：①若积xy 是定值p ，则当x=y 时和x+y 有最小值p 2； ②若和x+y 是定值s ，则当x=y 时积xy 有最大值241s . 3、常用不等式链：2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（a 、b 均为正数） （调和平均数≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数） 二、课堂练习 1.“1”的活用例1.已知0,0a b >> 1a b += 则11a b+的最小值为_________. 【答案】4变式1.已知0,0a b >> 11=4a b+ 则a b +的最小值为_________. 【答案】1变式2.已知0,0a b >> 1a b += 则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为_________.【答案】9变式3.已知0,0a b >> 23a b += 则21a b+的最小值为_________. 【答案】83变式4.已知0,0,0a b c >>> 35a b ab += 则34a b +的最小值为_________. 【答案】5变式5.已知0,0,0a b c >>> 1a b c ++= 则111a b c++的最小值为_________. 【答案】9 2.拆项例1．函数24()(0)x f x x x+=>的图象最低点横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解答】解：24()(0)x f x x x+=>Q ，44x x =+…当且仅当4x x=即2x =时取等号，此时()f x 取得最小值4， 即的图象最低点横坐标为2x =． 故选：B ．变式1．函数24(0)1x x y x x++=>+的最小值是( )A ．3B ．4C ．103D ．6【答案】A【解答】解：根据题意，函数2444(1)1111x x y x x x x x ++==+=++-+++；又由0x >，则11x +>，此时有4(1)41x x ++=+…，当且仅当12x +=即1x =时等号成立，此时2431x x y x ++=+…，即函数24(0)1x x y x x++=>+的最小值是3；故选：A ． 3.凑项例1．若2x >，则函数42y x x =+-的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D【解答】解：2x >Q ，20x ∴->，∴44(2)22622y x x x x =+=-++=--…，当且仅当422x x -=-，即4x =时取等号，∴函数42y x x =+-的最小值为6． 故选：D ．变式1．若1x >，则91211x x x +++-的最小值是 ． 【答案】8【解答】解：若1x >，919121181111x x x x x x x ++=+++-++-+-…， 当且仅当13x +=，11x -=，即2x =时取等号， 故91211x x x +++-的最小值是8， 故答案为：8． 4.凑系数 例1．已知104x <<，则函数()(14)f x x x =-的最大值为 ． 【答案】116【解答】解：Q 104x <<， 041x ∴<<，140x ->，∴2114141()(14)[4(14)]()44216x x f x x x x x +-=-=-=g g „，当且仅当414x x =-，即18x =时取等号，()f x ∴的最大值为116． 故答案为：116． 变式1．设102x <<，则(12)x x -的最大值为( ) A ．19B ．29 C ．18D ．14【答案】C【解答】解：Q 102x <<， 则2112121(12)2(12)()2228x x x x x x +--=⨯-=„当且仅当212x x =-即14x =时取得最大值18故选：C ． 5.加零法 例1.已知111924x y x y +++= 求3716x y-的最小值. 【答案】14-变式1.2211274x y x y +++=求1534x y- 的最小值. 【答案】66.构造一元二次不等式例1．若正实数x ，y 满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 ． 【答案】18【解答】解：由条件利用基本不等式可得266xy x y =++…，令2xy t =，即0t =>，可得260t --…．即得到(0t t -…可解得t t 剠又注意到0t >，故解为t 所以18xy …． 故答案应为18．变式1．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为 ． 【答案】4【解答】解：考察基本不等式2228(2)8()2x y x y x y ++=--g …（当且仅当2x y =时取等号）整理得2(2)4(2)320x y x y +++-…即(24)(28)0x y x y +-++…，又20x y +>，所以24x y +…（当且仅当2x y =时即2x =，1y =时取等号） 则2x y +的最小值是4． 故答案为：4．变式2．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ．【解答】解：221x y xy ++=Q2()1x y xy ∴+=+2()4x y xy +Q „22()()14x y x y +∴+-„，整理求得x y+x y ∴+7.多变量例1．设正实数x ，y ，z 满足22240x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，211x y z +-的最大值为( ) A ．1 B ．4C ．94D ．92【答案】B【解答】解：根据题意，22240x xy y z -+-=，则22222442422z x xy y x y xy xy xy xy =-+=+--=…， 即2z xy …，且224x y =，即2x y =，等号成立， 此时222244z x xy y y =-+=，当xyz取得最大值时，2221121112244x y z y y y y y +-=+-=-+，分析可得：当14y =时，xyz取得最大值4． 故选：B ．变式1．设正实数a ，b ，c 满足22340a ab b c -+-=，则当ab c 取得最大值时，212a b c+-最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．94D ．3【答案】B【解答】解：正实数a ，b ，c 满足22340a ab b c -+-=， 可得2234c a ab b =-+，2214343ab ab a b c a ab b b a==-++-，由44a b b a +…，当且仅当2a b =取得等号， 则2a b =时，abc取得最大值， 且22c b =，22212211(1)1a b c b b b+-=-=--+， 当1b =时，212a b c+-取得最大值，且为1． 故选：B ．变式2．若x ，y ，z 是正实数，且230x y z -+=，则2y xz的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解答】解：230x y z -+=Q ， 32x zy +∴=， ∴2229666344y x z xz xz xz xz xz xz+++==…， 当且仅当3x z =时取“=”． 故选：B ． 三、课后练习1．已知实数0a >，1b >满足5a b +=，则211a b +-的最小值为( )A B C D 【答案】A【解答】解：因为0a >，1b >满足5a b +=， 则21211()[(1)]114a b a b a b +=++-⨯--， 12(1)1[3](3414b a a b -=+++-…， 当且仅当2(1)1b aa b -=-时取等号， 故选：A ．2．若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为( )A ．2B ．C ．5D ．【答案】C【解答】解：根据题意，若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33333235333b b a b b a a b a b a b ++=+=++=…， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C ．3．已知0x >，0y >，且191x y+=，则xy 的最小值为( ) A ．100 B ．81 C ．36 D ．9【答案】C【解答】解：0x >Q ，0y >，且191x y+=，由基本不等式可得1…，当且仅当1912x y ==即2x =，18y =时取等号， 解可得36xy …，即xy 的最小值36． 故选：C ．4．已知正数a 、b 满足23a b +=ab 的最大值为( )A ．19B ．14 C ．13D ．12【答案】B【解答】解：由于正数a 、b 23a b =+…，12，14ab „， 故选：B ．5．若a ，b 为大于1的实数，且满足a b ab +=，则4111a b +--的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解答】解：若a ，b 为大于1的实数，且满足a b ab +=， 所以(1)(1)1a b --=，即111b a =--， 故414(1)(1)4511b a b a a b +=-+-=+---， 同时a ，b 为大于1的实数，且满足a b ab +=，整理得111a b+=．所以1144()(4)415549b a a b a b a b a b +=++=+++++=…，（当且仅当2a b =时，等号成立）故45b a +-的最小值为954-=． 故选：B ．6．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为( ) A ．32B ．53C ．74 D ．95【答案】D【解答】解：当2m n +=时，1311351111212(1)(2)(1)(2)n m n m n m n m n m n ++++=++=+=+++++++++g g ， 因为21225(1)(2)()24m n m n +++++=g „， 当且仅当12m n +=+，即31,22m n ==时取等号，则139125n m n ++++…，即最小值为95．故选：D ．7．已知实数a ，b 满足0ab >，则2a aa b a b-++的最大值为( )A．2B．2C．3-D．3+【答案】C【解答】解：0ab>Q，则22(2)1322()(2)323a a a ab a b aba ba b a b a b a b a ab bb a+---====-++++++++„当且仅当2a bb a=时取等号，此时取得最大值为3-故选：C．8．已知a，b为正数，2247a b+=，则() ABC．D．2【答案】D【解答】解：因为2247a b+=，则221141(22222a ba++=⨯=⨯=，当且仅当2241a b=+时，取得最大值．故选：D．9．已知0x>，0y>，428x y=g，则142x y+的最小值是() A．3B．94C．4615D．9【答案】A【解答】解：0x>Q，0y>，428x y=g，23x y∴+=，∴14114181()(2)(5)(53 232323y yx yx y x y x y+=++=+++=…，当且仅当82y xx y=，即12x=，1y=时取等号，∴142x y+的最小值为3．故选：A．10．函数22(1)1y x xx=+>-的最小值是()A．2B．4C．6D．8【答案】C【解答】解：因为22(1)1y x x x =+>-，22(1)2261x x =-++=-…， 当且仅当22(1)1x x -=-即2x =时取等号，此时取得最小值6． 故选：C ．11．若正数a 、b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是( ) A ．[9，)+∞ B ．(-∞，1][9U ，)+∞C ．(0，1][9U ，)+∞D ．[1，9]【答案】A【解答】解：正数a 、b 满足3ab a b =++，a b +Q …a b =时取等号，33ab a b ∴=++…31-（舍) 则9ab … 故选：A ．12．已知x ，y 为正实数，且满足2245x y xy ++=，则2x y +的最大值是( )A B ．C D ．【答案】B【解答】解：由基本不等式可知，21122()222x y xy x y +=g „，当且仅当2x y =时取等号 x Q ，y 为正实数，且满足2245x y xy ++=，2(2)35x y xy ∴+-=即22(2)3(2)538x y xy x y +=+-⨯„，（当且仅当y ，x =时取等号）解可得，02x y <+„，则2x y +的最大值是 故选：B ．1113．已知0x >，0y >，且满足18102y x x y +++=，则2x y +的最大值为 ． 【答案】18【解答】解：18102y x x y +++=，变形为2281022x y x y+++=． 0x >Q ，0y >，222(2)16(2)(2)10(2)101018222x y y x x y x y x y x y +++∴+=+++++=+…，当且仅当443y x ==或12时取等号． 化为(218)(22)0x y x y +-+-„，解得2218x y +剟．2x y ∴+的最大值为18．故答案为：18．14．已知0x >，0y >，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值．【解答】解：化简2241x y xy ++=得，23(2)1xy x y =+-；2x y +Q …故28(2)xy x y +„，即228[(2)1]3(2)x y x y +-+„， 即28(2)5x y +„，故(2)max x y += 15．已知：0x >，0y >，x y ≠，且22x y x y xy +=++，求证：413x y <+<． 【答案】【解答】证：由已知得：2()x y x y xy +=+-；即2()()xy x y x y =+-+；0x >Q ，0y >，x y ≠；12 ∴20()2x yxy +<<； 即220()()()2x y x y x y +<+-+<； ∴0()14x yx y +<+-<； 解得413x y <+<；∴结论成立．。
3.4 基本不等式 (3)教师版
3.42a b +（三） 教学目标分析：2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题；2a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
情感目标：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
重难点分析：2a b +≤的应用；2a b +求最大值、最小值； 互动探究：一、课堂探究：复习巩固：（1）重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（2）基本不等式：如果,a b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a （3）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数； ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数. 例1、（1）用篱笆围成一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少m 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为xm ，宽为ym ，则100xy =，篱笆的长为2()x y m +；由2x y +≥可得x y +≥2()40x y +≥。
等号当且仅当x y =时成立，此时10x y ==.因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为xm ，则长为(362)x m -，其中102x <<， 其面积2211236236(362)2(362)()2228x x S x x x x +-=-=-≤=当且仅当2362x x =-，即9x =时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9m 时菜园面积最大为281m .变式:一段长为36m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为xm .,宽为ym ,则236x y +=,矩形菜园的面积为2xym ，362162x y xy =+≥≤（当且仅当223618,9x y x y x y =+===且即时取“=”.因此，这个矩形的长为18m 、宽为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是2162m .归纳：已知,x y 都是正数，（1）如果积xy 是定值P ,那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +是定值S ,那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 例2、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ,深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++= 240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯= 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.二、课堂练习：教材第100页练习第2、3、4题.1、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？2、用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？3、做一个体积为332m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：教材第101页习题3.4A 组第2、3、4题，B 组第1、2题1、一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？2、已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3、某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？4、设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把ABC ∆沿AC 向ADC ∆折叠，AB 折过去后交DC 于点P .设AB x =，求ADP ∆的最大面积及相应x 的值.5、树顶A离地面am，树上另一点B离地面bm，在离地面cm的C处看此树，离此树多远时看,A B 的视角最大？课后反思：。
专题1 培优点2 基本不等式的综合问题(教师版)
培优点2 基本不等式的综合问题【要点提炼】利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．【典例】1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2＝xy ＋1，得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________． 【答案】 10【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y， ∴2t ≥x 2＋25yx －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25yx －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【拓展训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】 B【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x<52 的最大值是________．【答案】 2 2 【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 【答案】 4【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 【答案】 －2【解析】12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．。
2.2 基本不等式 -(必修第一册) (教师版)
基本不等式1 基本不等式若a>0 ,b>0，则a+b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立).①a+b2叫做正数a ,b的算术平均数，√ab叫做正数a ,b的几何平均数.②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0 ,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2 基本不等式及其变形21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立) (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2√ab，积定求和；②ab≤(a+b2)2，和定求积：③a2+b2≥(a+b)22(联系了a+b与平方和a2+b2)④ab≤a 2+b22(联系了ab与平方和a2+b2)3 对勾函数①概念形如y=x+ax (a>0)的函数.②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<√a时，函数递减，当x>√a时，函数递增.④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=√a时取到最小值y min=2√a，其与基本不等式x+ax ≥2√x∙ax=2√a (x=√a时取到最小值)是一致的.【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1 一正：a>0 ,b>0求函数y=x+1x(x<0)的最值.【误解】x+1x ≥2√x∙1x=2，故最小值是2.【误解分析】误解中套用基本不等式，a=x ,b=1x，当忽略了a>0,b>0的前提条件！【正解】∵x<0∴−x>0 ,−1x>0，∴−x+(−1x )≥2√−x∙(−1x)=2(当x=−1取到等号)∴x+1x =−(−x−1x)≤−2，故函数y=x+1x(x<0)的最大值为−2，没有最小值.情况2二定：ab定值求函数y=x+1x−1(x>1)的最值.【误解】y=x+1x−1≥2√x∙1x−1【误解分析】套用基本不等式a=x ,b=1x−1，满足a、b均为正数，但是最后求不出最值，因为ab=x∙1x−1不是一定值.【正解】y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)∙1x−1+1=3.(当x=2时取到等号)(通过凑项得到定值“(x−1)∙1x−1=1”)故函数y=x+1x−1(x>1)的最小值为2，没有最大值.情况3 三等：取到等号求函数y=2√x2+4的最值.【误解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2√√x2+4√x2+4=2，即最小值为2.【误解分析】在误解中把a=√x2+4 ,b=√x2+4，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若a=b，则√x2+4=√x2+4⇒√x2+4=1⇒x2=−3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明√x2+4+√x2+4>2，那它有最小值么？【正解】y=2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4，令t=√x2+4，则t≥2，因为对勾函数y=t+1t 在[2 ,+∞)上单调递增，当t=2时，取得最小值52.故y=2√x2+4的最小值为52，无最大值.【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1 直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x ()A．都大于4B．至少有一个大于4 C．至少有一个不小于4D．至少有一个不大于4【解析】假设三个数1x +4y<4且1y+4z<4且1z+4x<4，相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z<12，由基本不等式得：1x +4x≥4；1y+4y≥4；1z+4z≥4；(直接使用基本不等式)相加得：1x +4x+1y+4y+1z+4z≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x至少有一个不小于4．故选：C．【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2】设x>0,y>0，下列不等式中等号能成立的有()①(x+1x )(y+1y)≥4；②(x+y)(1x+1y)≥4；③2√x2+5≥4；④x+y√xy≥4；A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵x>0，y>0，∴x+1x ≥2,y+1y≥2，当x=y=1时取到"="，所以①成立，(x+y)(1x +1y)=2+xy+yx≥4，当x=y时取到"="，显然②成立，2√x2+5=√x2+5√x2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x2+5=4，显然不成立，x+y+√xy ≥2√xy√xy≥4，当x=y=1时成立，故正确的有三个，故选：C．【点拨】①直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当"a ,b".② 连等问题 本题中④ x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y =1时成立，这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到， x +y ≥2√xy 是当x =y 时取到等号，2√xy +√xy≥4是当xy =1时取到等号，即要同时满足方程组{x =yxy =1 (∗)才行，而方程组(∗)有解x =y =1， 即x +y √xy≥4是成立的，当x =y =1取到等号.再看一例子：设x,y ∈R ∗,x +y =1，求(x +1x )(y +1y )的最小值. 误解1：∵x +1x ≥2 ,y +1y ≥2，∴(x +1x )(y +1y )≥4.误解2：∵(x +1x )(y +1y )=xy +1xy +x y +y x ≥2√xy ∙1xy +2√x y ∙yx =4.以上两种解法问题在哪里呢？【典题3】已知实数a ，b 满足ab >0，则a a+b −aa+2b 的最大值为 . 【解析】a a+b −aa+2b =a (a+2b−a−b )(a+b )(a+2b )=ab a 2+3ab+2b 2=1ab +2b a+3 (分子、分母均为二次项同除ab )∵ab >0 ∴a b +2b a≥2√2，当且仅当ab =2b a⇒a =√2b 时取等号，∴1ab +2ba+3≤2√2+3=3−2√2，故最大值为3−2√2．【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如x 与1x ，ab 与2b a，2√xy 与√xy之类的.方法2 凑项法【典题1】若x >1，则函数y =4x +1x−1的最小值为 .【解析】y =4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4≥2√4+4=8，当且仅当x =32时取等号． ∴函数y =4x +1x−1的最小值为8．【点拨】把4x 凑项成4(x −1)，目的是使得4(x −1)与1x−1的乘积为定值.【典题2】若x >1，则2x +9x+1+1x−1的最小值是 ．分析：2x 、9x+1、1x−1三项都不能乘积为定值，而与9x+1、1x−1乘积为定值的分别是x +1与 x −1，而它们的和刚好是2x ，故想到令2x =(x +1)+(x −1)，完成凑项. 【解析】2x +9x+1+1x−1=x +1+9x+1+x −1+1x−1≥2√(x +1)⋅9(x+1)+2√(x −1)⋅(1x−1)=8当且仅当x +1=3，x －1=1，即x =2时取等号， (用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号) 故2x +9x+1+1x−1的最小值是8.【典题3】设a >b >0，则ab +4b2+1b(a−b)的最小值是 ．【解析】∵a >b >0 ∴a −b >0； ∴ab +4b2+1b (a−b )=ab −b 2+1b(a−b)+b 2+4b2(这里巧妙地"−b 2+b 2"完成凑项)=[b (a −b )+1b (a−b )]+[b 2+4b2]≥2√b(a −b)×1b(a−b)+2√b 2×4b2=2+4=6．当且即当b(a −b)=1b(a−b)且b 2=4b2，即a =3√22,b =√2 时取等号， ∴ab +4b2+1b(a−b)的最小值为6．【点拨】凑项的目的是使得“ab 为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到4b 2、1b(a−b)的分母之和b 2+b (a −b )=ab ，刚好是所求式子的第三项ab .方法3 凑系数【典题1】若0<a <12，则a(1−2a)的最大值是 ． 【解析】∵0<a <12，∴a >0且1−2a >0， 则a (1−2a )=2a (1−2a )2≤12(2a+1−2a 2)2=18，当且仅当2a =1−2a ,即a =14时等号成立，即a(1−2a)的最大值为18. 【点拨】基本不等式的变形ab ≤(a+b 2)2，和定求积(若a +b 为定值，可求ab 的最值).本题中a +(1−2a )不是定值，故通过凑系数，使得2a +(1−2a )=1为定值从而求出最值. 本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知a ,b 为正数，4a 2+b 2=7，则a√1+b 2的最大值为 ． 【解析】因为4a 2+b 2=7， 则a√1+b 2=12(2a )√1+b 2≤12×(2a)2+(√1+b 2)22=12×4a 2+1+b 22=2，(这里用到了不等式ab ≤a 2+b 22，遇到二次根式可利用平方去掉根号)当且仅当4a2=1+b2时，取得最大值．【点拨】①不等式ab≤a 2+b22把ab，a2+b2两者联系在一起，知和a2+b2为定值，可求积ab的最值.②平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.21 a+1b≤√ab≤a+b2≤√a2+b22(当且仅当a=b时等号成立)方法4 巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则√x+√y的最大值是．【解析】∵x+1≥2√x ,y+1≥2√y(当x=y=1时取到等号)(加“1” 巧妙的把x与√x，y与√y联系起来)相加得x+y+2≥2√x+2√y即2(√x+√y)≤4⇒√x+√y≤2，故最大值为2.【典题2】已知x>0，y>0，且2x +1y=2，则x+2y的最小值是．【解析】∵2x +1y=2∴12(2x+1y)=1x+2y=(x+2y)∙1=12(x+2y)(2x+1y)=12(2+xy+4yx+2)≥12(4+2√xy⋅4yx)=4，当且仅当xy =4yx时，即x=2,y=1时等号成立，故 x+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧"1"法最简洁了！【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a−2+1b的最小值为．【解析】若a+b=3，则(a−2)+b=1，(凑项再利用巧"1"法)则1a−2+1b=(1a−2+1b)×[(a－2)+b]=2+(ba−2+a−2b)，又由a>2 ,b>0，则ba−2+a−2b≥2√ba−2∙a−2b=2，当a=52,b=12时取到等号，则1a−2+1b=2+(ba−2+a−2b)≥4，即1a−2+1b的最小值为4.方法5 换元法【典题1】若x>1，则y=x−1x2+x−1的最大值为.【解析】令t =x −1，则x =t +1，t >0， 原式=t(t+1)2+(t+1)−1=t t 2+3t+1=1t+1t +3≤√t⋅1t+3=15，当且仅当t =1即x =2时等号成立. 故y =x−1x 2+x−1的最大值为15.【点拨】本题是属于求函数y =a 1x 2+b 1x+c 1a 2x 2+b 2x+c 2的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若a,b ∈R ∗，a +b =1，则√a +12+√b +12的最大值 .【解析】设s =√a +12,t =√b +12，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)则a =s 2−12 ,b =t 2−12， ∵a +b =1 ∴s 2+t 2=2(这相当已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值，想到算术均值≤平方和均值a+b 2≤√a 2+b 22)∴s+t 2≤√s 2+t 22=1⇒s +t ≤2即√a +12+√b +12≤2，故最大值为2. 【点拨】① 本题本来是“已知a +b =1求√a +12+√b +12的最大值 (1)”，通过换元法后变成“已知s 2+t 2=2求s +t 的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.你说√a+12+√b+122≤√(√a+12)2+(√b+12)22=√a+12+b+122=1⇒√a +12+√b +12≤2不更简洁？是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路. ② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！【典题2】设a 、b 是正实数，且a +2b =2，则a 2a+1+4b 22b+1的最小值是 .【解析】令a +1=s ，2b +1=t ，则a =s −1，2b =t −1； 由题意得s ,t 为正实数，且s −1+t −1=2⇒s +t =4； ∴a 2a+1+4b 22b+1=(s−1)2s+(t−1)2t=s +t −4+1s +1t =1s +1t(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知s +t =4，求1s +1t 最小值”，较易想到巧“1”法)=14(1s+1t)(s +t)=14(2+ts+st)≥14(2+2√t s⋅st)=1．当且仅当s =t =2即a =1 ,b =12取到等号，即a 2a+1+4b 22b+1的最小值是1.【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！方法6 不等式法【典题1】已知a ,b ∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则a +b 的取值范围是 .分析：1+2ab=9a+b相当是“关于ab 与a +b 的方程”，而由基本不等式a +b ≥2√ab 又确定了“关于ab 与a +b 的不等关系”，那用“消元思想”不就得到a +b 的不等式么？！其范围就有了！ 【解析】∵a ,b ∈(0,+∞)，∴a +b ≥2√ab (∗)， 由1+2ab=9a+b得ab =2(a+b)9−(a+b)代入不等式(∗)可得a +b ≥2√2(a+b )9−(a+b )， 整理可得，(a +b )2－9(a +b)+8≤0， 解得1≤a +b ≤8.【典题2】 已知2a +b +2ab =3，a >0，b >0，则2a +b 的取值范围是 . 【解析】∵a >0，b >0，∴0<2ab ≤(2a+b)24(这要确定2ab 与2a +b 的关系，想法与上题相似，利用2ab 与2a +b 的等式关系与不等关系最终得到关于2a +b 的不等式) 而3−(2a +b)=2ab ∴0<3−(2a +b)≤(2a+b)24，解得2≤2a +b <3，∴2a +b 的取值范围是[2,3)． 巩固练习1 (★★) 已知a +b +c =2，则ab +bc +ca 与2的比较 ． 【答案】 ab +bc +ca <2 【解析】已知a +b +c =2，因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，且a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 所以3(ab +bc +ca)≤4， 解得ab +bc +ca ≤43，所以ab +bc +ca 的值小于2．2 (★★) 已知x ，y ∈R +，若x +y +xy =8，则xy 的最大值为 ． 【答案】 2【解析】∵正数x ，y 满足x +y +xy =8，∴8－xy =x +y ≥2√xy ，xy +2√xy −8≤0， 解得0<√xy ≤2，故xy ≤4，当且仅当x =y =2时取等号． ∴xy 的最大值为43 (★★) 若x ，y ∈R +，且3x+1y =5，则3x +4y 的最小值是 ．【答案】5【解析】∵x ，y ∈R ∗，且3x+1y =5，∴3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(9+4+3x y+12y x)=135+35(x y +4y x)≥135+35⋅2√x y⋅4y x=5，当且仅当xy =4yx，3x +1y =5即x =1，y =12时等号成立， 4 (★★) 函数y =x 2+x−5x−2(x >2)的最小值为 ．【答案】 7【解析】令x －2=t ，t >0； y =f(x)=x 2+x−5x−2=(t+2)2+t+2−5t=t 2+5t+1t=t +1t +5≥7(当且仅当t =1，即x =3时，等号成立)， 故函数f(x)=x 2+x−5x−2，x ∈(2，+∞)的最小值为7，5(★★) 已知实数a 、b ,ab >0，则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为 ． 【答案】 16【解析】由于a 2+b 2≥2ab >0， 所以ab a 2+b 2+a 2b 2+4≤ab 2ab+a 2b 2+4，故：ab 2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab⋅4ab=16，(当且仅当a =b 时，等号成立)．6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( ) A ．x +1x (x >0)的最小值是2 B 2√x 2+2的最小值是√2C 2√x 2+4的最小值是2 D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3【答案】 AB【解析】由基本不等式可知，x >0时，x +1x≥2，当且仅当x =1x即x =1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x =0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t在[2，+∞)上单调递增，当t =2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x <0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．7 (★★★) [多选题]设a >0，b >0，且a +2b =4，则下列结论正确的是( ) A ．1a +1b 的最小值为√2 B ．2a +1b 的最小值为2C ．1a +2b 的最小值为94 D ．ba+1+ab+1>87恒成立【答案】 BC【解析】因为a >0，b >0，且a +2b =4， 对于A ，1a+1b=14(1a+1b)(a +2b)=14(3+2b a+a b)≥14(3+2√2)，当且仅当a =4√2−4，b =4−2√2时取等号，故选项A 错误； 对于B ，2a+1b=14(2a+1b)(a +2b)=14(4+4b a+a b)≥14(4+4)=2，当且仅当a =2，b =1时取等号，故选项B 正确； 对于C ，1a +2b =14(1a +2b )(a +2b)=14(5+2b a+2ab)=14(5+4)=94， 当且仅当a =43，b =43时取等号，故选项C 正确； 对于D ，当a =43，b =43时，a +2b =4，但ba+1+ab+1=4343+1+4343+1=87，故选项D 错误．故选：BC ．8(★★★)若实数m ，n >0，满足2m +n =1，以下选项中正确的有( ) A ．mn 的最小值为18 B ．1m +1n 的最小值为4√2 C ．2m+1+9n+2的最小值为5 D ．4m 2+n 2的最小值为12【答案】 D【解析】∵实数m ，n >0，∴2m +n =1≥2√2mn ，整理得：mn ≤18，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项A 错误；∵1m +1n =(2m +n)(1m +1n )=3+nm +2m n≥3+2√2，当且仅当{m =2−√22n =√2−1时取“=“，故选项B 错误；∵2m +n =1，∴2(m +1)+(n +2)=5， ∴2m+1+9n+2=15[2(m +1)+(n +2)](2m+1+9n+2) =15[13+2(n+2)m+1+18(m+1)n+2]≥15(13+2√36)=5，当且仅当{m =0n =1时取“=“，∴2m+1+9n+2>5，故选项C 错误； ∵2m +n =1，∴1=(2m +n )2=4m 2+n 2+4mn =4m 2+n 2+2√4m 2•√n 2≤2(4m 2+n 2)， ∴4m 2+n 2≥12，当且仅当{n =12m =14时取“=“，故选项D 正确，故选：D ．9 (★★★) 已知正实数a ，b 满足a +b =1，则2a 2+1a+2b 2+4b的最小值为 ．【答案】 11【解析】正实数a ，b 满足a +b =1， 则2a 2+1a+2b 2+4b =2a +2b +1a +4b =2+(1a +4b )(a +b)=7+b a +4a b≥7+4=11，当且仅当ba=4a b且a +b =1即b =23，a =13时取等号，10 (★★★) 若正数x 、y 满足x +4y −xy =0，则4x+y 的最大值为 ． 【答案】 49【解析】∵正数x 、y 满足x +4y −xy =0， ∴y =x x−4>0，解得x >4，∴4x+y=4x+x x−4=4x+1+4x−4=4x−4+4x−4+5≤2√(x−4)⋅4x−4+5=49，当且仅当x －4=4x−4时等号成立， ∴4x+y的最大值为49．11 (★★★) 已知0<a <1，则11−a +4a 的最小值是 ． 【答案】 9【解析】0<a <1，则11−a+4a=(11−a+4a)[(1－a)+a]=5+a1−a +4(1−a)a≥5+4=9，12 (★★★) 已知a ，b ∈R ，a +b =2，则1a 2+1+1b 2+1的最大值为 ． 【答案】 √2+12【解析】a ，b ∈R ，a +b =2．则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+21+a 2+b 2+(ab)2=(a+b)2−2ab+21+(a+b)2−2ab+(ab)2=6−2ab5−2ab+(ab)2=4−2(ab−1)(ab−1)2+4， 令t =ab －1=a(2－a)－1=－(a －1)2≤0， 则4−2(ab−1)(ab−1)2+4=4−2tt 2+4，令4－2t =s(s ≥4)，即t =4−s 2，可得4−2tt 2+4=s 4+(4−s)24=4s+32s−8，由s +32s ≥2√s ⋅32s=8√2，当且仅当s =4√2，t =2－2√2时上式取得等号， 可得4s+32s−8≤8√2−8=√2+12， 则1a 2+1+1b 2+1的最大值为√2+12， 13 (★★★) 若正数a ，b 满足1a +1b =1，则aa−1+4bb−1的最小值为 ． 【答案】 9【解析】∵正数a ，b 满足1a +1b =1，∴a >1，且b >1；1a+1b=1变形为a+b ab=1，∴ab =a +b ，∴ab −a −b =0，∴(a －1)(b －1)=1，∴a －1=1b−1；∴a －1>0，∴aa−1+4bb−1=5+1a−1+4b−1=5+1a−1+4(a −1)≥5+2√1a−1×4(a −1)=9， 当且仅当1a−1=4(a －1)，即a =1±12时取“=”(由于a >1，故取a =32)， ∴a a−1+4bb−1的最小值为9；14 (★★★★) 已知实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1，则2a 2+1a+b 2−2b+2的最小值是 ．【答案】 53【解析】∵实数a >0，b >－2，且满足2a +b =1， ∴b +2>0，2a +(b +2)=3， 又∵2a 2+1a +b 2−2b+2=1a+2a +b −2+2b b+2=1a+1－2+2b+2=−1+1a+2b+2，∴2a 2+1a +b 2−2b +2=−1+13[2a +(b +2)](1a +2b +2)=－1+13(b+2a +4ab+2+4)≥－1+13(2√4+4)=53，当且仅当{a =34b =−12时取“=“，故答案为：53．15 (★★★★) 已知x >0，y >0，则2xyx 2+8y 2+xy x 2+2y 2的最大值是 ．【答案】 23【解析】2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2=3x 3y+12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4 =3(x y +4yx)(x y )2+16(yx)2+10=3(x y +4yx )(x y +4yx)2+2=3(x y +4y x)+2x y +4y x，令t =x y +4yx，则t ≥2√xy ⋅4y x=4，当且仅当x =2y 时取等号，∵函数y =t +2t ，在[4，+∞)上单调递增，∴y =t +2t的最小值为：92，∴y =t +2t ≥92， ∴3(x y +4y x)+2x y +4y x=3t+2t≤23．∴2xyx 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值为：23． 故答案为：23．16 (★★★★) 设实数x,y 满足x 24−y 2=1，则3x 2−2xy 的最小值是 .【答案】 6+4√2【解析】方法1 3x 2−2xy =3x 2−2xyx 24−y 2=3−2y x 14−(y x)2令t =yx ，∵x 24−y 2=1 ∴x 24−t 2x 2=1⇒t 2=14−1x2<14⇒−12<t <12， 则3x 2−2xy =3−2t14−t 2再令u =3−2t (2<u <4) 则3x 2−2xy =u14−(3−u 2)2=4u −u 2+6u−8=4−(u+8u)+6≥−4√2+6=6+4√2当且仅当u =2√2时取到等号， 方法2 ∵x 24−y 2=1 ∴(x 2−y)(x2+y)=1令t =x2+y ，则x2−y =1t ， ∴x =t +1t ,y =12(t −1t )∴3x 2−2xy =3(t +1t )2−2(t +1t )(t −1t )=2t 2+4t 2+6≥4√2+6=6+4√2 当且仅当t 2=√2时取到等号.挑战学霸方程(x 2018+1)(1+x 2+x 4+⋯+x 2016)=2018x 2017的实数解的个数为 ． 【答案】1【解析】由题意知x>0，设S=1+x2+x4+⋯+x2014+x2016①，则S=x2016+x2014+x2012+⋯+x2+1②，所以①+②得2S=(x2016+1)+(x2+x2014)+(x4+x2012)+⋯+(x2014+x2)+(x2016+1)≥2√x2016∙1+2√1∙x2016+2√x2∙x2014+⋯+2√x2016∙1=2018x1008(当且仅当x=1时等号成立)所以S≥1009x1008，又因为x2018+1≥2√x2018∙1(当且仅当x=1时等号成立)，所以(x2018+1)(1+x2+x4+⋯+x2014+x2016)≥2√x2018∙1×1009x1008=2018x2017当且仅当x=1时等号成立，因此实数解的个数为1.。
一元二次不等式教师版
不等式类型及其解法： 一．一元二次不等式的解法类型1：解一元二次不等式（开口，判别式，求根，画图，写解集）1.解下列不等式：（1）022<--x x ；解集为{}21<<-x x （2）0322>-+-x x 。
解集为φ（3）)2(3)2(2+<+x x x （4）21212≤-+≤-x x 2.（湖南）不等式x 2-5x+6≤0的解集为_{}23x x ≤≤_____.类型2：解含参数的一元二次不等式的问题含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏。
若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。
分类讨论：讨论自己求自己先交后并，讨论别人求自己不交不并，各写各的。
二次不等式常用的分类方法有三种： （一）、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例1解不等式06522>+-a ax x ，0≠a解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或（二）、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例2： 解不等式042>++ax x解：∵162-=∆a ∴当0<∆即()4,4-∈a 时，解集为R ；当Δ＝0即4±=a 时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当0>∆即4>a 或4-<a ,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习： 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解： 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆所以当0>∆时，即33<<-m ，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当0=∆，即3±=m 时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当0<∆，即33>-<m m 或时，解集为R 。
第三节 基本不等式教师版x
a +b =l 则—+ — 的最小值为2一、基础知识5、常用结论 （当且仅当x = — 1时取"=")第三节基本不等式若a,bER , 则a 2 + b 2:2: 2a b 变形为ab � 矿+ b22若a, bER *, 则a+ b �2✓c 访3、基本不等式的两个重要变形(1)若a, bER *, 则 a+b �矗；2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值（积定和最小）；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值（和定积最大）； 特别说明：以上不等式中，当且仅当a= b 时取"=" 4、求最值的条件： “一正，-,->--,（当且仅当x=l 时取"=")（当且仅当a= b 时取"=")(4)若a, bER , 则�(a +)b 2�矿+ b 2ab2 2a + bI I a b:::;矿+ b l特别说明：以上不等式中，当且仅当a= b 时取"="【答案】411a b—1 + —1 =4a b筑梦江苏高考数学精品群236802144(2)若a, bER *, 则ab ::::::(勹勹二、课堂练习12 - 2 ＞－2 >－l- +x 则' b -a xl- x+ + x a -b u ，> ,0 0 0 a 若) x 若 ) x 若） l 2 3 （（（【解答】解：·: f () == + +(+ a b3尸即 y【答案】l变式2. 已知a >O , b>O a +b = 则(+ 【答案】9±)(三］的最小值为变式3. 已知a >O , b>O a+ b = 3 则—+— 的最小值为 【答案】—8【答案】5【答案】9 2.拆项a +3b = Sa ba +b +c =ab c2+(X >0)的图象最低点横坐标为 XA. 1 【答案】2 C. 3D. 4= 2+ (X >0) =+i ;;:=4XX 当且仅当 =—4X= 时取等号，此时f (x )取得最小值4 即的图象最低点横坐标为x = .+x+x 2+x） A. 3 4【答案】A【解答】解：根据题意，函数y3D. 6=+x+x 2+x+x +x又山 >O 则+ > L 此时有4+(+ +x)�当且仅当x+ = 即此时 =+x+x2 +xX =时等号成立， +x+x +x2(x >0)的最小值是3;筑梦江苏高考数学精品群236802144>0, b >0, c >0 变式4. 已知a >0, b >0, c >0 变式5. 已知a 函数y =变式.X)— ; 2（ ）—2 气三—故选： A . 3.凑项例 1. 若x>2, 则函数y=x+ 4的最小值为（ ）XA. 3B. 4【答案】D【解答】解：·: X >2, :. X — 2>0, C. 5D . 6:. y = x+ 取等号，4 X —2= (x-2)+4 X —2 +2�+2 = 6, 当且仅当x-2=—4—，即x =4时x-2:. 函数y=x+ 4的最小值为6.X 2 故选： D .变式 1. 若X>L 则2x+ 9＋I的最小值是x+l x-I【答案】8【解答】解：若x>l,2x+—9 +—1 =x+l+—9+x-1+—I ??2x+I x-1 x+l x-I 当且仅当x+1=3, X — l =l, 即x =2时取等号， 故2x+ 9 + 1的最小值是8,x+l x-I故答案为： 8. 4.凑系数例 1. 已知O<x <—1，则函数f(x ) = x (l — 4x )的最大值为＿． 41【答案】— 16【解答】解：'.'0<X <—1,:.0<4x <1, 1 — 4x >O,:. f (x )=x (l-4x )=—1 •[4x (l-4x )]雯—1 ·(4x +1—4x )2 =—1 ，当且仅当4x =l — 4x , 即X=—1 时 4 4 2 16 8 等号，:. f(x )的最大值为—1·163取筑梦江苏高考数学精品群23680214421变式1. 设O <x <—1, 则x (l -2x )的最大值为（） 2A. —1【答案】C 【解答】解：1 2贝U x (l -2x )=—1 x 2x (l -2x )� —1 (2x +l — 2x ) 2=—12 2 2 8当且仅当2x=l — 2x 即x=—1 时取得最大值—14 8例1. 已知x 11 19 、3 7 6y4的最小值【答案】66.构造一元二次不等式例1. 若正实数X, y 满足2x +y +6=xy , 则xy 的最小值是＿．【解答】解： 由条件利用基本不等式可得xy =2x +y +6?2J 云y+6'令 xy =广，即t =✓正o, 可得t2— 2五t— 6?0. 即得到(t -3五）(t +五）?0可解得t � —五，彦3✓2.又注意到t > 0, 故解为彦3 ✓'X+2y+2 x y =8 , 则x+2y 的最小值为 ．【答案】4【解答】解： 考察基本不等式x +2y=8-x •(2y )?8-(x +2y )22(当且仅当x=2y 时取等号）4的最小值 求 —-— +y +-+-= — 已知X > 0, y > 0, 变式1. 1- 4Dl-8c2-9 B【答案】－ —121 1 27 15 3X y 4 X4y筑梦江苏高考数学精品群236802144故答案为： ——+4(x+2y )—32;,:0 即(x+2y — 4)(x +2y +S);,:O , 又x+2y>O,所以x+2y 亥4 (当且仅当x=2y 时即x=2, y=l 时取等号） 则x+2y 的最小值是4.变式2. 若实数X, y 满足x 2+y 2+xy =1, 则x+y 的最大值是 2✓3 【答案】 3【解答】解：·: x 2+y 2+xy =1 :.(x+y )2=l +xy ·: xy :( :.(x+y )2— 1:(' ✓32✓32✓3 3 322✓3 3 例1. 设正实数X, y, Z 满足x 2—2xy +4y 2—z=O , 则当竺取得最大值时， －2 ＋ －1 －－1的Z 最大值为（）A. 1B. 4【答案】B【解答】解： 根据题意， x 2—2xy +4y 2—z=O,4y 2=x 2+4y 2 - 2xy ;=:4xy - 2xy =2xy ,且x 2=4y 2 ' 即x=2y, 等号成立， 此时z=x 2—2xy +4y 2=4/,当—x y 取得最大值时， -2 +-1 --1 =—2 +-1 -—1 =-—1 +-2 , ZX y Z 2y y 4/4/ y57多变量整理得(x+2y )2整理求得- 则z =x 2 - 2xy +- 29 D9 -4c3筑梦江苏高考数学精品群236802144a 4b Ca 2—3ab +4b2b x z分析可得： 当丿=4 时， 竺 取得最大值 4.变式 1. 设正实数 a, b, c 满足矿- 3ab+4b 2 -c=0, 则当竺取得最大值时， ： 十_!_ - _?_最a b c大值为（）A. 0B . 1【答案】B【解答】解： 正实数 a, b, c 满足矿-3ab+4b 2-c=O , 可得 c=a 2—3ab+4b 气ababD. 3b a由勹b a 立厂b 五a=4, 当且仅当 a=2b 取得等号， 则 a=2b 时， —ab取得最大值，C且 C =2b 2 ' 2 1 2 21了h 勹勹了1= -(,;-1)2 +1' 当b =l 时， —2 ＋ —1 - —2取得最大值， 且为l .a c变式 2. 若 X, y, Z 是正实数， 且x — 2y+3z=O , 则 L 的最小值是（）A. 4【答案】BB . 3C. 2D. 1【解答】解： ·:x — 2y+3z=O , :. y=x+3z'2 y 2 = x 2 +9z 2+6xz 6xz+6xz.. —xz4x z;): 4xz=3,1. 已知实数 a>O , b>l 满足 a+b =S , 则 —2 + 1a b-l6当且仅当x=3z 时取"= ". 的最小值为（）9 - 4cl筑梦江苏高考数学精品群2368021449 9 X y X y66【答案】A【解答】解：因为 a>O, >满l 足a +=,5 判、 —+ 1 — =(—+ 1 —)[a +(—1)] X 1—, aI a 1 1— a —I 2 = [3+ +—1 修 (3+✓) , 当且仅当＝ a时取等号，2. 若正实数 a , 满,足a +l ,= 则—3a＋ —3的最小值为（）A.2B. 次 【答案】C【解答】解：根据题意，若正实数 a, C. 5满,足a +=L 则二二3a +3 = !!__十竺心x 厂二产+3 =5,3ab 3ab3ab3a当仅当=3a = 3 —时等号成立， 即—3a+ —3的最小值为5;3. 已知x>O , y >,A. 100 【答案】C—+—=1, 则xy 的最小值为（ ）B. 81C. 36D. 9【解答】解： ... x>O , y >,—＋ —=1,山基本不等式可得1�尸，当仅当X ＝ y汇勹归= ,y =18时取等号，4. 已知正数 a 、满足a +3= Ji .凡则a 的最大值为（ ）筑梦江苏高考数学精品群236802144即x y 的最小值 36. xy 亥3,解可得 1 1 1 - 2．l- 3．c71 - 4．l- 9．》—，即最小值为—.2a — Ib — ln+322 4 a +b a +2b【答案】B【解答】解：山千正数a 、b 满足✓6=2a +3b �2✓云�'所以｀嘉妥—1 , ab :S; 1—4 ,5. 若a, b 为大千1的实数，且满足a+b=ab, 则 4 + 1的最小值是()A. 2 B . 4 C. 6 D. 8【答案】B【解答】解：若a, b 为大千l 的实数，且满足a +b=ab, 所以(a — l)(b — 1) = 1, 即 1故 4 I+1=4(b-l)+(a -1)=4b +a-5 , a- b-l1 I同时a, b 为大于1的实数，且满足a +b =ab, 整理得—a+—b =l.所以4a+b=(—1 +—I )(4a+b)=4+ 4b 飞a 少5+2f4b 二a =5+4=9, C 当且仅当a =2b 时，等 a b-;;a b故4b +a — 5的最小值为9 — 5 =4.6. 设m, n 为正数，且 m+n=2, 则1＋的最小值为（ ）A.—3【答案】D【解答】解：当m+n=2时，m+l n+2 1 +n+3 =1 + 1 +l= m+n+3 +l= 5+l, m+l n+2 m+l n+2 (m+l)•(n+2) (m+l)•(n+2) 因为(m+l)•(n +2)冬(m+l+n+2)2 =—25, 当且仅当m +l=n +2, 即m=—3 , n =—1 时取等号，则 1n+3992 2 m+l n+2 557. 已知实数a, b 满足ab>O, 则a a的最大值为（）D. 3+2✓2＋ C. 3-2✓29-5Dc85-3B筑梦江苏高考数学精品群236802144【解答】解：·:ab > 0,� = 当且仅当4a 2=1+矿时，取得最大值．b a2x y2x y 3 2x y 3 2x y 3则a �=—1X (2a)✓l勹?=11 4a2 +1+b 2=2,【答案】C则a — a =a(a+2b — a — b)= ab2a 2Ib 1a+b a+2b (a+b)(a+2b)a +3ab+2b —b +—a+3 2五+3当且仅当—a =—2b时取等号，此时取得最大值为3-2五一．8. 已知a, b 为正数，4a 2 +b 2=7, 则a✓I 勹了的最大值为（） 3A. 石 【答案】DB.✓D. 2【解答】解：因为4a 2 +b 2=7,22 29. 已知X > 0, y > 0, 4x .2y =8, 则—1 －＋ —4的最小值是（）A. 3 【答案】AD. 9y > Q , 4入一心=8, :. 2x +y =3,:. —1 +—4 =—1 (—1 +—4 )(2x+y)=—1 (5+—y +—8y )> —1 (5+2E —y —8x )=3' I 42x8x Iy2y:. —2x +—y的最小值为3. 2A. 2 【答案】C【解答】解：因为y) B. 4C. 6D. 82 =3 — 2✓2'【解答】解： '.' X > Q , =2x+(x > 1)的最小值是(=2x + 2(x > 1),99 - 4．筑梦江苏高考数学精品群2368021441 1 x +2y 2x3, (当且仅当y=——,2 2 X y22=2(x — 1)+x �l +2?2二+2=6,当且仅当2(x — 1)= 故选： C.1即x=2时取等号，此时取得最小值 6.11. 若正数a 、b 满足ab=a+b+3, 则ab 的取值范围是( )A. [9, +oo ) C. (0, l]LJ[9, 也 ） 【答案】AB. (—oo , l]LJ [9, +oo ) D. [1, 9]【解答】解：正数a 、b 满足ab=a+b+3, ·: a+b �2矗 ，当且仅当a=b 时取等号， :.ab=a+b+3):2矗+3解不等式可得，心屈复或｀盂乏— 1 (舍） 则ab 凌9 故选： A.12. 已知X, y 为正实数，且满足x 2+4y 2+.xy =5, 则x+2y 的最大值是（）A. ✓2【答案】BB. 2✓2C. fjD. 2✓3【解答】解：由基本不等式可知，xy =—2 x •2y ,s; —2 (2 ) '当且仅当x=2y 时取等号 ·: X'y 为正实数，且满足x 2+4y 2+xy =5,:.(x+2y)2— 3xy =5即3xy =(x +2y)2 —5::;;(x+2y) ✓X=五时取等82号）解可得，0< x+2y 霆✓2'则x+2y 的最大值是2✓2.故选： B.13. 已知x>O, y >O, 且满足x +—y +—l +—8= 1010, 则2x+y 的最大值为X —筑梦江苏高考数学精品群23680214455【答案】18【解答】解： x+—y +—1+—8=10, 变形为2x+y ＋ —2 ＋ —8 =10 . 2Xy 2 2x y·: x >O, y >0,10(2x+y )=(2x y ) 2 +10千气(2x y) 2+10+2尸=(2x y ) 2+18,当且仅当y =4x =—4或12时取等号．3化为(2x+y — 18)(2x+y — 2) ::;;0, 解得2::;;2x+y ::;;18 . :. 2x+y 的最大值为 18. 故答案为： 18.14. 已知x>O, y >O, 若4x 2+y 2+xy =I, 求2x+y 的最大值．【答案】2而【解答】解：化简4x 2+y 2+xy =1 得，3xy =(2x + y)2 —1; ·: 2x+y 哀喜； 故8xy ,s;(2x +y)2,即8[(2x+y)2 —l 长3(2x +y)2, 即(2x+y ) 2 8,s; —5 故(2x+Y)max =2而. 15. 已知： x >O , y >O, X'F-J, 且x+y =x 2+y 2+xy , 求证： l <x+y<—4.3【答案】【解答】证： 由已知得： x+y =(x+y)2 —xy ;即xy =(x+y)2 —(x+y);·: X >0, y >0, X 'F y ;:. 0<xy <(x+y )2; 211; ; ; ,筑梦江苏高考数学精品群236802144即0<(x +y)2 —(x +y)<(x +y )2; 2 :.O<(x +y)—1<x +y;解得l<x +y <—4;3 :.结论成立．声明：所有试题来自千网络，由山羊老师整理，恳请各位老师或者同学多多指点，提提意见。
专题2.2---基本不等式及其应用--教师版
专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
基本不等式练习题(含答案)
基本不等式11 .函数y=x+ -(x>0)的值域为().XA. 2] U [2,+x)B. (0,+x)C. [2 ,+x) D . (2,+x)a +b i2. 下列不等式：①a2+ 1>2a；②- -<2；③/ +三 > 1,其中正确的个数是p ab x 十3().A. 0 B . 1 C. 2 D . 33. 若a>0, b>0,且a + 2b — 2 = 0,则ab的最大值为().1B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a=( ).X —2A. 1+ 2B. 1+ 3C. 3D. 4t2—4t+ 15. 已知t>0,则函数y= t 的最小值为利用基本不等式求最值1 1【例1】?(1)已知x>0, y>0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为X y2x2(2)已知0v x v 5,贝U y= 2x—5x2的最大值为________ .⑶若x, y€ (0,+x)且2x+ 8y—xy= 0,贝U x+ y的最小值为_________ .利用基本不等式证明不等式【例2] ?已知a>0, b>0, c>0,求证：bC+ 学+ ab>a+ b+ c.a b c3 1（2010四川）设a>b>0,贝U a2+ + 的最小值是（）.ab a a—bC. 3⑵当x>0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为1【训练1】(1)已知x> 1,则f(x) = x+一的最小值为_____________x—I【训练2】已知a>0, b>0, c>0,且a+ b+ c= 1.1 1 1 求证：一+匚+ 9.a b c利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】?（2010 山东）若对任意x>0, x2+3x+［三a恒成立，则a的取值范围是 3 1【训练3】（2011宿州模拟）已知x>0, y>0, xy= x+ 2y,若xy>m—2恒成立, 则实数m的最大值是________ .考向三利用基本不等式解实际问题【例3】？某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用•当侧面的长度为多少时，总造价最低？双基自测1.答案 C1 12•解析 ①②不正确，③正确，/ +孑亍二(x 2+ 1) + 齐1 — 1>2—1二1.答案 B13. 解析 v a >0, b >0, a + 2b = 2,二 a + 2b = 2>2.2ab ，即 ab <㊁.答案 A4. 解析 当 x >2 时，x — 2>0, f(x)= (x — 2) + x-—2 + 2>2 寸 x — 2 X ^—^+ 21二4,当且仅当x — 2二严(x >2),即x = 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx ——2 =3,即a = 3.答案 C t 2—4t + 1 15.解析 v t >0,二 y = t = t +1 — 4>2 — 4= — 2,当且仅当t = 1 时取等 号.答案 —2【例 1】解析(1) v x >0, y >0,且 2x +y = 1,••」+J4 + 4= 3 + y +生3+ 2頁.当且仅当匕空时，取等号.x y x y x y x y2x 2 2 12x十w 2= 1,当且仅当x = J 即x = 1时取等号.答 x +x案(1)3+ 2 2 (2)1 1【训练 1].解析(1) V x > 1,二 f(x)= (x — 1) + — + 1>2+ 1 = 3 当且仅当 xx — 12 1=2 时取等号.(2)y = 2x — 5X 2= x(2 - 5x) = 55x(2 — 5X),5x + 2 一 5x 1—5x >0,.°. 5x(2 — 5x) < 2= 1 ,• y <5 当且仅当 5x = 2— 5x ,2 511 2 8即 x =5时，y max = 5.(3)由 2x + 8y — xy = 0,得 2x + 8y =xy ,「.~ + ~ = 1, 8 2 8y 2x 4y x /4y x• x + y = (x + y) + = 10+ +—= 10 + 2 +_ > 10+ 2X 2X = 18,x y x y x y . x y ， 当且仅当 4y = x，即 x = 2y 时取等号，又 2x + 8y — xy = 0,「. x = 12, y = 6, xy•••当 x = 12, y = 6 时，x + y 取最小值 18.答案 (1)3 (2# (3)18【例 2】证明■/a >0, b >0, c >0, • bc + 甲》2 bcca= 2c ； bc + ab >2a b \ a b a c：加2b ； -+瞥2 - Ob - 2a.以上三式相加得：2齐?+学>2(abc ca ab , + b + c)，即 + , + 》a + b + c. ’ a b c111a + b + c 【训练2] 证明 ■/ a >0, b >0, c >0,且 a + b + c = 1,二一+乙+一= +a b c a a+七+a+± 二 3+b +c +b +?+a +」3+ ?+a +a +a + e +b b c a a b b c c a b a c b c⑵ v x >0,「. f(x) = x 2+ 2一••• 5x v 2,21> 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a = b = c =3时，取等号. X X 解析 若对任意x > 0x 2+ 3x + [ w a 恒成立，只需求得 尸x 2 + 3x +〔的最大值即 1 ■ x x 1 5当且仅当 可，因为 x > 0,所以 y =x 2+ 3x + 1 = —口W x +—+3 2 x1 1 等号，所以a 的取值范围是5，+^答案 5，+^ 【训练3】解析 由x >0,y >0,xy = x + 2y >2 - 2xy,得 xy > 8,于是由 恒成立，得m — 2<8, m < 10,故m 的最大值为10.答案 10 一 12 【例3.解 由题意可得，造价y = 3(2x X 150+ — X400)+ 5 800= 900 x x = 1时取 m — 2< xy x +16 + 5 x 16 800(0< x < 5),贝U y = 900 x +丁 + 5 800>900X 2入x =号，即x =4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.正解 Ta >0,b >0, 且 a + b = 1, 1,2 b 2a b 2a a + b (a +b )=1+ 2 + a + 3 + 2 aF = 3 + 22・a +b =1, b = 2a a = b ，当且仅当 【示例】. 1 2 •••_+==a b当且仅当 x X16+ 5 800= 13 000(元),a = 2—1, 1 2即b =2—2时，a +b 的最小值为3+2 2.1 1 1 1 【试一试】 尝试解答］a2 +1 + ~ = a 2 — ab + ab +1 + ~ = a(a — b)+ aba a —b ab a a — b —+ ab+W >2 气 /a a — b •+ 2、/ab^= 2+ 2= 4.当且仅当 a(a — a a — b ab . a a — b ；ab ' 1 1b)=—且ab = ab ，即a = 2b 时，等号成立.答案 D a a — b ab。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式（一）1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0ab <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3.设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3-3- 14.设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.5.若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（ ） Ａ．最大值16Ｂ．最小值116Ｃ．最小值16Ｄ．最大值1166.若a ,b ,c ∈R ，且ab +bc +ca =1,则下列不等式成立的是（） A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111a b c ++≥．a b c ++≤7.若x >0,y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y+≥C 2 D ．11xy ≥8.a ,b 是正数，则2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ）Ａ．22a b ab a b ++22a b ab a b +≤≤+Ｃ．22ab a b a b ++Ｄ．22ab a b a b +≤+ 9.某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +<Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p q x +≥ 10.下列函数中，最小值为4的是（ ） Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+(0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+Ｄ．3log 4log 3x y x =+11.函数y =的最大值为.12.建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.若x ,y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x+-++的值恒为正，对吗？答. 三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>,求mx +ny 的最大值.16.设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥ 17.已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值. 18.是否存在常数c ,使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x ,y 恒成立？试证明你的结论. 《基本不等式》综合检测一、选择题二．填空题11.1212.3600 14.对 三、解答题15略 17. (1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c =。
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基本不等式 基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a ＋b 2；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)用基本不等式求最值，失误的原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 答案 B 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )．A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －2×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2 考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．[审]第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋2 2 (2)1 方: 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________．(2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. 答案 (1)3 (2)15(3)18(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .方法总结:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．[审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞答案⎣⎡⎭⎫15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？[审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，且当x ＝16x，即x ＝4时取等号．当侧面的长为4米，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 【训练3】 东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)．(2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】►已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．错因 两次基本不等式成立的条件不一致．∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.又1a ＋2b ≥2 2ab ，而ab ≤14，∴1ab ≥4，∴1a ＋2b ≥28＝42，故1a ＋2b的最小值为4 2.正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝2ab，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b的最小值为3＋2 2.【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( )．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2a a －b ·1a a －b＋2ab ·1ab＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1aa －b且ab ＝1ab， 即a ＝2b 时，等号成立． 答案 D18.已知二次函数2(),(,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足：对任意实数x ,都有()f x x ≥，且当x ∈（1，3）时，有21()(2)8f x x ≤+成立.（1）求(2)f ; （2）若(2)0,()f f x -=的表达式;（3）设()()2m g x f x x =-[0,)x ∈+∞，若()g x 图上的点都位于直线14y =的上方，求实数m 的取值范围.解：（1）由条件知224)2(≥++=c b a f 恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=c b a f 与恒成立∴2)2(=f （2）∵⎩⎨⎧=+-=++024224c b a c b a ∴,124==+b c a ∴a c b 41,21-==又 x x f ≥)(恒成立，即0)1(2≥+-+c x b ax 恒成立∴0)41(4)121(,02≤---=∆>a a a ，解出：21,21,81===c b a ∴212181)(2++=x x x f （3）),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=x x m x x g 在必须恒成立即),0[02)1(42+∞∈>+-+x x m x 在恒成立 ①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m 总之，)221,(+-∞∈m19.已知函数32()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95[,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围. 解：由cbx ax x x f +++=23)(求异得bax x x f ++='23)(2，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即由已知切线方程为13+=x y 所以：⎩⎨⎧=-+-=++12323c a b a2)(-==x x f y 在 时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f 由（1）（2）（3）相联立解得542)(5,4,223+-+==-==x x x x f c b a ………5分（2)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f27)3(,135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f当),32(+∞∈x ，令213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分 （3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+23)(,02依题意)(x f '在[－2，1]上恒有03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分16≥=bx 时，603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小②在φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx 0212)2()(,26小时 ③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b …16分已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．解： (1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋ex ＝f(x)，所以f(x)是R 上的偶函数．(2)由条件知 m(ex ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t>1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.。