【新版】小升初分班奥数平面图形面积

小升初奥数几何部分辅导讲义

讲义编号：

学员编号: 年 级：小六 课时数：3 学员姓名: 辅导科目：奥数 学科教师： 课 题 平面图形面积问题

授课时间： 备课时间：

教学目标

1. 掌握五大模型的特征，会从复杂图形中找出基本模型.

2. 灵活运用五大模型求直线型图形的面积和线段长度.

教学内容

【专题知识点概述】

一、等积变换模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

b

a

S 2S 1 D

C B

A

如左图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

图⑴ 图⑵

推理过程连接BE ，再利用等积变换模型即可

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

A B

C

D

O

b

a S 3

S 2S 1S 4

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2

a b +．

四、相似模型

相似三角形性质：

G

F E A

B

C

D （金字塔模型）

A

B

C

D

E

F G （沙漏模型）

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，

与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、燕尾定理模型

S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△EGC=BE:EC；

S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△FGC=AF:FC；

S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB；

【习题精讲】

【例1】（难度等级※※）

用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

【例2】（难度等级※※）

如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．

【例3】（难度等级※※）

如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．

H

G

F

E

D

C

B

A

【例4】（难度等级※※）

如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=

1

3

AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.

G F

E

D

C

B

A

【例5】（难度等级※※）

(2008年四中考题)如右图，AD DB

=，AE EF FC

==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC

∆的面积是平方厘米．

F

E

D

C

B

A

【举一反三】（难度等级※※）

如右图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．

【例6】（难度等级※※※）

图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?

【例7】（难度等级※※）

如图在ABC

△中，,D E分别是,

AB AC上的点，且:2:5

AD AB=，:4:7

AE AC=，16

ADE

S=

△

平方厘米，求ABC

△

的面积．

E

D

C

B

A

【举一反三】（难度等级※※）