高中数学中集合思想应用

高中数学中集合思想的应用

集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（g.cantor，1845-1918）。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教b版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈教材在集合思想的突出应用：

应用一：主要表现为一个概念是另一个概念的一般化，或此概念是彼概念的特殊情形。

用集合的包含关系建立概念系统，可以培养学生善于将概念推广的研究精神，并能帮助学生对数学定理、法则、公式等的认识进一步系统化，从而提高学习质量。

如：{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}

{四棱柱}{棱柱}；数列与函数两概念；互斥事件与对立事件两概念等。

例1：给出四个命题：（1）各侧面是正方形的棱柱都是正棱柱，（2）对角面是全等矩形的六面体一定是长方体，（3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，（4）长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是：

a.0

b.1

c.2

d.3

分析：借助集合间的关系，明确各概念的联系和区别。此题选a。

例2：数列{a n}是等差数列，a1=50,d=-0.6，求此数列的前n项和的最大值。

分析：数列的定义域是正整数集（或它的有限子集{1、2、3、4、……n}），因此可把数列作为特殊函数理解。

思路1：表示等差数列的孤立的点在直线上，因此可应用单调性。

由a1=50,d=-0.6,得a n=-0.6n+50.6,令an≤0,有n≥84.3。又n∈n+,则n≥85,即从第85项起以后各项均小于0。所以(sn)max=s84=2108.4

思路2：等差数列的前ｎ项和sn是关于n的二次函数,可用二次函数的方法处理。

sn=50n+n(n-1)2×(-0.6)=-0.3n2+50.3n,当n取接近于5036的自然数，即n=4时，sn达到最大值s84=2108.4

例3：若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点p的坐标，求点p在圆x2+y2=16内的概率。（人教b版必修3，118页第3题）

分析：记点p在圆x2+y2=16内为事件a，则a是基本事件空间ω的子集。基本事件总数是6×6=36,a包含的基本事件有（1，1）（2，2）（1，3）（1，2）（2，3）（3，1）（3，2）（2，1）共8个，p(a)=836=29.

应用二：有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以确定某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是问题的解，对这样一类数学问题，我们常可以运用求交集的思想来试错与筛选。

例4：求函数y=4-x(x+1)(x-1)的定义域。（人教b版必修1，86页第4题）

分析：函数的定义域是指使式子有意义的集合，由多个式子经过代数运算而成的函数，求其定义域需取多个式子有意义的交集。

由4-x≥0(x+1)(x-1)≠0得x≤4x≠±1

所以函数的定义域是（-∞,-1）∪(-1,1)∪(1,4)。

例5：已知函数y=log12(3x2-ax+5)在［-1,+∞］上是减函数，求a的取值范围。

分析：本题含着两层意思：3x2-ax+5>0在［-1,+∞］上恒成立，t=3x2-ax+5在［-1,+∞］上是增函数，实数a的范围是两

者的交集。

由题意得：a6≤-1，且满足x=-1时3x2-ax+5>0,综上得-8

而有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想(即“正难则反”思想)去解答，常常可以简化讨论。

例6：掷3枚硬币，至少出现一个正面向上的概率是（人教b版必修3，131页第2（3）题）

分析：“至少出现一个正面向上”的事件含有１个向上，２个向上，３个向上３类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“一次也不出现正面向上”即“全是反面”的概率。

p=1-18=78。

例7：如果一元二次方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根，确定这个结论成立的充要条件。（人教b版选修2—1，31页第6题）

分析：“方程至少有一个负的实数根”有一个负根，两个负根两类可能，正面做答比较繁琐，可以从它的对立面出发，考虑“方程没有负的实数根”。

由δ=4-4a≥0有，a≤1。

又-2a>01a>0a无解。

因此，a≤1。

布鲁纳说过，掌握数学思想可使数学问题更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。本部分内容含有丰富的数学思想，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化

的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。在教学过程中，注意这些数学思想的挖掘、提炼和渗透，不仅可以帮助学生掌握知识的本质，驾驭问题的求解，而且对于开发学生的智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果，都具有十分重要的意义。