数列综合应用

变式训练
已知函数f(x)＝
2x ＋3 3x
，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f
解 (1)bn＋1＝?1－anb?n?1＋an?＝bn?2b－n bn?＝2－1bn. ∵a1＝14，∴b1＝34，∴b2＝45，b3＝56，b4＝67.
(2)∵bn
＋Hale Waihona Puke Baidu
1－1＝
1 2－
bn
－1，∴bn
1 ＋1－
1＝2b－n －b1n ＝－
1＋bn－1 1.
∴数列???
?
bn
1 ?? －1??
是以－
∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0.
∵a1＝2，∴an≠1，∴4an＋1－3an－1＝0， ∴an＋1－1＝34(an－1)，且a1－1＝1， ∴数列{an－1}是首项为1，公比为34的等比数列， ∴an－1＝???34???n－1，即an＝???34???n－1＋1.
(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)，令bn＝y，u＝???34???n－1， 则y＝3???????u－12???2－14????＝3???u－12???2－34. ∵n∈N*，∴u的值分别为1，34，196，2674，…，经比较196距12 最近， ∴当n＝3时，bn有最小值是－128596，
于是 Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝9×1?1－－8811m?－?11－－99m?＝92m＋1－1800×9m＋1.
探究二：数列与函数的综合问题
f 2 例 2
已知函数 f(x)＝log2x－logx2(0< x<1)，数列{an}满足 (
(2)∵aan＋n 1＝?n＋1n?－－
?n＋1?2＋1 n2＋1
＝n＋1n＋＋
n2＋1 ?n＋1?2＋1<1，
又∵an<0，∴an＋1>an， ∴{an}是递增数列．
变式训练
已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1 －x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为 4 17，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0 (n∈N*)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n.
＋1 3－n
1 ?? ＋4??
＝14－n＋1 4＝4?nn＋4?.
∴4aS
n
－bn＝na＋n 4－nn
＋2 ＋3
＝?a－1??nn＋2＋3??3?na＋－46??n
－8 .
由条件可知 (a－1)n2＋(3a－6)n－8<0恒成立即可满足条件． 设 f (x )＝(a－1)x 2＋3(a－2)x － 8， 则a＝1时， f (x )＝－ 3x －8<0 ，恒成立；
4为首项，－
1为公差的等差数列．
∴bn－1 1＝－4－(n－1)＝－n－3，
∴bn＝1－n
＋1 3＝nn
＋2 ＋3.
(3)an＝1－bn＝n＋1 3，
∴S n＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
＝4×1 5＋5×1 6＋…＋?n＋3?1?n＋4?
＝???14－15???＋???15－16???＋…＋????n
a>1时，由二次函数的性质知不可能成立； a<1时，对称轴 x＝－32·aa－－21＝－32????1－a－1 1????<0.
f(x)在[1，＋∞)上为单调递减函数． f (1)＝(a－1)＋(3a－6)－8＝4a－15<0. ∴a<145，∴a<1时，4aSn<bn恒成立．
综上知，a≤1时，4aSn<bn恒成立．
【解】 (1)因为{an}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28. 设数列 {an}的公差为 d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45， 故d＝9.由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所 以 an ＝ a1 ＋ (n － 1)d ＝ 1 ＋ 9(n － 1) ＝ 9n － 8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m＜an＜92m， 则9m＋8＜9n＜92m＋8.因此9m－1＋1≤n≤92m－1. 故得 bm ＝92m －1－9m －1.
探究提高
由an＋bn＝1得到an的表达式，然后利用裂项相消法求得 Sn， 将4aSn<bn转化为 (a－1)n2＋(3a－6)n－8<0对任意n∈N*恒 成立，设 f(x)＝(a－1)x2＋3(a－2)x－8，对x2的系数分 a＝1， a>1及a<1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立 的a的取值范围．
当n＝1时，bn有最大值是0.
探究三：数列与不等式的综合问题
例 3 已知数列{an}，{bn}满足 a1＝14，an＋bn＝1，bn＋1＝1－bna2n. (1)求 b1，b2，b3，b4； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)设 Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求实数 a 为何值时，4aSn<bn.
an
)
＝2n (n∈N*)．
(1)求数列 {an}的通项公式；
(2)判断数列 {an}的单调性．
解 ∴a
n
(1)由已知得 log2 2an ? －a1n＝2n，即 a2n－2na
1 log2 2an , n－1＝0.
∴an＝n± n2＋1.
2 ∵0<x<1，∴0< an <1，∴an<0.
∴an＝n－ n2＋1.
第5讲 数列的综合应用
探究一：等差、等比数列的综合问题
例 1(2012·山东卷 )在等差数列 {an}中， a3＋ a4＋ a5 ＝ 84 ， a9＝ 73. (1) 求数列 {an}的通项公式； (2) 对任意 m ∈ N*，将数列 {an }中落入区间 (9 m, 92m ) 内的项的个数记为 bm ，求数列 {bm }的前 m 项和 Sm.
解 (1)设f(x)＝a(x－1)2 (a>0)，则直线g(x)＝4(x－1)的图象与y＝ f(x)的图象的两个交点(为1,0)，???4a＋1，1a6???.
∵ ???4a???2＋???1a6???2＝4 17 (a>0)， ∴a＝1，∴f(x)＝(x－1)2. (2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)， ∵(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，