2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-3 数列的综合应用

专题限时训练 (小题提速练)

(建议用时：45分钟)

1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC →

，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016

D.2 013

解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1， 故S 2 015＝a 3＋a 2 0132·2 015＝

2 015

2.故选A. 答案：A

2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6

D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1， 由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤b 4＋b 6，

由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C

3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1

，S 2a 2

，…，S 9

a 9

中最大的是( )

A.S 1a 1

B.S 8a 8

C.S 5a 5

D.S 9a 9

解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ， S 9＞0，S 10＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧

9a 5＞0，

a 5＋a 6＜0，

所以a 5＞0，a 6＜0，所以公差d ＜0， 所以当6≤n ≤9时S n a n ＜0，当1≤n ≤5时S n

a n ＞0.

又因为当1≤n ≤5时，S n 单调递增，a n 单调递减， 所以当1≤n ≤5时，S n a n

单调递增，所以S 5

a 5

最大．故选C.

答案：C

4．(2019·师大附中月考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( ) A ．24 B.32 C.48

D.64 解析：由已知得a n a n ＋1＝2n

，∴a n ＋1a n ＋2

＝2n ＋1，则

a n ＋2

a n ＝2，所以数列

{}a n 的奇数项与

偶数项都是公比为2的等比数列，可以求出a 2＝2，所以数列{}a n 的项分别为：1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32…，而b n ＝a n ＋a n ＋1，所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.故选D. 答案：D

5．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：若数列{a n }为等差数列，设其公差为d 1，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1.所以数列{b n }是等差数列；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2.则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件，故选A. 答案：A

6．若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则2S n ＋24

a n ＋1的最小值为( )

A ．4 3

B.8

C.6

D.7

解析：由S n ＝n 2

，则a n ＝S n －S n －1＝2n －1，所以2S n ＋24a n ＋1＝n ＋12

n ≥4 3.由均值不等式

知当n ＝12

n ，即n ＝23时，取等号．又n ∈N *且3<23<4，所以当n ＝3或4时，式子2S n ＋24a n ＋1有最小值，最小值为3＋12

3＝7.故选D. 答案：D

7．(2019·黑龙江大庆一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )

A.325462

B.19

20 C.119256

D.2 0102 011

解析：因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a .又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1

f (n )

＝1n 2＋2n ＝12⎝

⎛⎭⎪⎫

1n

－1n ＋2. 所以S 20＝12⎣⎢⎡

⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫13－15＋…＋

⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120－122＝12×⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋12－121－122＝325462

.故选A. 答案：A

8．设a >0，b >0，若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1

b 的最小值为( )

A ．4 B.1 C.14

D.8

解析：∵3是3a 与32b 的等比中项， ∴3a ×32b ＝3a ＋2b ＝(3)2＝3， ∴a ＋2b ＝1.