2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-3 数列的综合应用

专题限时训练 (小题提速练)

(建议用时：45分钟)

1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC →

，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016

D.2 013

解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1， 故S 2 015＝a 3＋a 2 0132·2 015＝

2 015

2.故选A. 答案：A

2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6

D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1， 由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤b 4＋b 6，

由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C

3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1

，S 2a 2

，…，S 9

a 9

中最大的是( )

A.S 1a 1

B.S 8a 8

C.S 5a 5

D.S 9a 9

解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ， S 9＞0，S 10＜0，所以?????

9a 5＞0，

a 5＋a 6＜0，

所以a 5＞0，a 6＜0，所以公差d ＜0， 所以当6≤n ≤9时S n a n ＜0，当1≤n ≤5时S n

a n ＞0.

又因为当1≤n ≤5时，S n 单调递增，a n 单调递减， 所以当1≤n ≤5时，S n a n

单调递增，所以S 5

a 5

最大．故选C.

答案：C

4．(2019·师大附中月考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( ) A ．24 B.32 C.48

D.64 解析：由已知得a n a n ＋1＝2n

，∴a n ＋1a n ＋2

＝2n ＋1，则

a n ＋2

a n ＝2，所以数列

{}a n 的奇数项与

偶数项都是公比为2的等比数列，可以求出a 2＝2，所以数列{}a n 的项分别为：1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32…，而b n ＝a n ＋a n ＋1，所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64.故选D. 答案：D

5．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：若数列{a n }为等差数列，设其公差为d 1，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1.所以数列{b n }是等差数列；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2.则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件，故选A. 答案：A

6．若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则2S n ＋24

a n ＋1的最小值为( )

A ．4 3

B.8

C.6

D.7

解析：由S n ＝n 2

，则a n ＝S n －S n －1＝2n －1，所以2S n ＋24a n ＋1＝n ＋12

n ≥4 3.由均值不等式

知当n ＝12

n ，即n ＝23时，取等号．又n ∈N *且3<23<4，所以当n ＝3或4时，式子2S n ＋24a n ＋1有最小值，最小值为3＋12

3＝7.故选D. 答案：D

7．(2019·黑龙江大庆一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列??????

????1f (n )的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )

A.325462

B.19

20 C.119256

D.2 0102 011

解析：因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a .又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1

f (n )

＝1n 2＋2n ＝12?

????

1n

－1n ＋2. 所以S 20＝12???

? ????1－13＋? ????12－14＋? ??

??13－15＋…＋

???? ????120－122＝12×? ?

???1＋12－121－122＝325462

.故选A. 答案：A

8．设a >0，b >0，若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1

b 的最小值为( )

A ．4 B.1 C.14

D.8

解析：∵3是3a 与32b 的等比中项， ∴3a ×32b ＝3a ＋2b ＝(3)2＝3， ∴a ＋2b ＝1.

∴2a ＋1b ＝(a ＋2b )? ????

2a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b ≥4＋2

4b a ·a b ＝8，当且仅当4b a ＝a b 且a ＋2b ＝1，即

a ＝12，

b ＝1

4时等号成立，选D. 答案：D

9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T n B.T n ＝2b n ＋1 C ．T n >a n

D.T n

解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，所以S n ＝3·2n －3，所以a n ＝3·2n －1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q .则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q ＝6，解得b 1＝1，q ＝2.所以b n ＝2n －1，T n ＝2n －1，所以T n

10．已知等差数列{a n }中，a 3＝9，a 5＝17，记数列????

??1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m

10

()m ∈Z ，对任意的n ∈N *恒成立，则整数m 的最小值是(

)

A ．5 B.4 C.3

D.2

解析：因为等差数列{a n }中，a 3＝9，a 5＝17， 所以公差d ＝a 5－a 35－3＝17－92＝4.

由a n ＝a 3＋(n －3)d 得，a n ＝4n －3，1

a n

＝

1

4n －3

， S 2n ＋1－S n ＝14(n ＋1)－3＋1

4(n ＋2)－3＋…＋1

4(2n ＋1)－3＜n ＋1

4n ＋1≤m

10，所以整数m 的最

小值为4.故选B. 答案：B

11．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1

＋1a 2

＋…＋1

a n

＜t ，

则实数t 的取值范围为( )

A.? ????13，＋∞

B.??????

13，＋∞ C.? ??

??23，＋∞ D.??????23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n

a 1a 2a 3…a n －1＝2n 2

2(n －1)

2

＝2n 2－(n －1)2＝22n －1

.又a 1

＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，1

4为公比的等比数列．等

比数列????

??1a n 的前n 项和等于12? ????1－14n 1－14＝23? ????1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是??????

23，＋∞.故选D. 答案：D

12．已知三个数a －1，a ＋1，a ＋5成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{a n }的前三项，则能使不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1

＋1a 2

＋…＋1

a n

成立的自然数n 的最大

值为( ) A ．9 B.8 C.7

D.5

解析：因为a －1，a ＋1，a ＋5成等比数列，所以(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋5)，∴a ＝3，倒数

重新排列后恰好为递增的等比数列{a n }的前三项，为18，14，1

2，公比为2，数列????

??1a n 是以

8为首项，12为公比的等比数列．则不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1

a n 等价于

18(1－2n

)1－2≤8? ????1－12n 1－12，整理得2n ≤27，∴1≤n ≤7，n ∈N *

，故选C.

答案：C 二、填空题

13．已知数列{a n }是等差数列，且a 7

a 6

＜－1，它的前n 项和S n 有最小值，则S n 取到最小

正数时的n ＝________.

解析：由题意可知d >0，又a 7

a 6

＜－1，所以a 6<0，a 7>0，a 6＋a 7>0，从而S 11<0，S 12>0，

所以S n 取到最小正数时的n 的值为12. 答案：12

14．(2019·呼伦贝尔一模)数列a n ＝

1

n (n ＋1)

的前n 项和为S n ，若S 1，S m ，S n 成等比数列

(m ＞1)，则正整数n 值为________． 解析：a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

.

∴前n 项和S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n

n ＋1.

∵S 1，S m ，S n 成等比数列(m ＞1)， ∴? ????m m ＋12＝12×n

n ＋1，

解得n ＝2m 2

2m ＋1－m

2

， 令2m ＋1－m 2＞0，m ＞1，解得1＜m ＜1＋2， ∴m ＝2，n ＝8.故答案为8. 答案：8

15．(2019·武汉调研)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为________．

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，与a 4a 6＝275联立，

解得????? a 4＝11，a 6＝25或?????

a 4＝25，a 6＝11.

当????? a 4＝11，a 6＝25时，可得?????

a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；

当????? a 4＝25，a 6＝11时，可得?????

a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值． 综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案：－12

16．(2019·昆明调研)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：

a 1 a 2，a 3 a 4，a 5，a 6 a 7，a 8，a 9，a 10

…

记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n ＝2b n －1，则a 56＝________.

解析：当n ≥2时，因为S n ＝2b n －1，所以S n －1＝2b n －1－1，所以b n ＝2b n －2b n －1，所以b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，因为b 1＝2b 1－1，所以b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n －1.

设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，所以c n ＝n (n －1)2＋1，由c n ＝n (n －1)

2＋1＝56，得n ＝11，所以a 56＝b 11＝210＝1 024. 答案：1 024

专题限时训练 (大题规范练)

(建议用时：60分钟)

1．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n －n ＋1，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝b n ＋a n －n ，n ∈N *.

(1)证明：{a n －n }为等比数列；

(2)数列{c n }满足c n ＝a n －n (b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求证数列{c n }的前n 项和T n <1

3.

解析：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n －n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )． 又a 1＝3，所以a 1－1＝2，

所以数列{a n －n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)证明：由(1)知，a n －n ＝2·2n －1＝2n . 所以b n ＋1＝b n ＋a n －n ＝b n ＋2n ， 即b n ＋1－b n ＝2n . b 2－b 1＝21， b 3－b 2＝22， b 4－b 3＝23， …

b n －b n －1＝2n －1.

累加求和得b n ＝2＋2·(1－2n －1)1－2＝2n (n ≥2)．

当n ＝1时，b 1＝2，满足b n ＝2n ， 所以b n ＝2n .

所以c n ＝a n －n

(b n ＋1)(b n ＋1＋1)＝2n

(2n ＋1)(2n ＋1＋1)

＝

12n ＋1－12n ＋1

＋1

. 所以T n ＝? ????12＋1－122＋1＋? ????122＋1－123＋1＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋1

＋1＝13－12n ＋1＋1<13. 2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝

1

n (a n ＋3)

(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在实数t ，使得对任意的n 均

有S n >t

36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2. ∵a 1＝1，d >0，∴d ＝2. ∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．

(2)∵b n ＝1

n (a n ＋3)＝1

2n (n ＋1)＝12?

????

1n

－1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝12??????? ?

???1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1n －1n ＋1 ＝12? ????1－1n ＋1＝n

2(n ＋1)

. 假设存在整数t 满足S n >t

36总成立．

∵S n ＋1－S n ＝n ＋1

2(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝1

2(n ＋2)(n ＋1)>0，

∴数列{S n }是递增的． ∴S 1＝1

4为S n 的最小值，

故t 36<1

4，即t <9. 又∵t ∈Z ，

∴适合条件的t 的最大值为8.

3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)． (1)写出a 2，a 3的值(只写出结果)，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝

1

a n ＋1＋

1a n ＋2＋

1

a n ＋3

＋…＋1a 2n

，若对任意的正整数n ，不等式t 2－2t ＋1

6>b n 恒成

立，求实数t 的取值范围． 解析：(1)a 2＝6，a 3＝12. 当n ≥2时，

a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2×2＋2×3＋…＋2n ＝2(1＋2＋3＋…＋n )＝n (n ＋1)． 因为当n ＝1时，a 1＝2也满足上式， 所以a n ＝n (n ＋1)．

(2)b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1

a 2n

＝

1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋1

2n (2n ＋1)

＝? ????1n ＋1－1n ＋2＋? ????1n ＋2－1n ＋3＋…＋? ????1

2n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1

. 因为b n ＋1－b n ＝1n ＋2－12n ＋3－?

????1n ＋1－12n ＋1 ＝1n ＋2＋12n ＋1－?

????1n ＋1＋12n ＋3

＝

3n ＋32n 2

＋5n ＋2－3n ＋4

2n 2＋5n ＋3

＝

－2n 2－2n ＋1

(2n 2

＋5n ＋2)(2n 2

＋5n ＋3)

<0，

所以b n ＋1

＝1

6，

因为t 2－2t ＋1

6>b n 恒成立， 所以t 2－2t ＋16>1

6， 解得t <0或t >2，

所以实数t 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．