2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题

2018年浙江省高中数学竞赛试卷

一、填空题

1.已知a 为正实数，且11

()1

x

f x a a =

-+是奇函数，则()f x 的值域为 ． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则

2018

1

n

n a

==∑ ．

3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈

⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭ ．

4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有 个既约分数．

5.已知虚数z 满足3

10z +=，则2018

2018

111z z z ⎛⎫

⎛⎫+= ⎪

⎪--⎝⎭

⎝⎭

．

6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ⋅的最小值为 ，此时PA PB += ．

7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为 ． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有 个不同的解． 9.设,x y R ∈

满足120x -=，则x 的取值范围为 ． 10.四面体P ABC -

，PA BC ==

PB AC ==

PC AB ==为 ．

二、解答题

11.已知动直线l 与圆O ：2

2

1x y +=相切，与椭圆2

219

x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.

12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2

[0,1]

max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.

13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足21

2(1,2,,2016)n n n x x x n ++≤=⋅⋅⋅和2018

1

1n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.

14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明

111()i j j i j i i n i j n

j n

a b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤--

-+-≥∑

∑

.

n n 格.在内环中固定数字1n.问能否将数字1n填入外环格内，15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)

使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？

2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、填空题

1. 11(,)22-

2. 2019580771616-

3. 56

65

- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.

7

2

8. 3

9. 1414x -≤≤+

二、解答题

11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.

因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1

1=.

原点到AB 的中垂线的最大距离为

43

. 12.解1：设2

()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥， 所以只要考虑1b <. （1）当02

a

-

≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，

解得1a ≥. （2）当1

022

a <-

≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2

()124

a a f --=

<. （3）当

1122

a

<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2

()124

a a f --=

<. （4）当12

a

-

≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.

综上1a ≥或3a ≤-.

解2：设2

[0,1]

max x m x ax b ∈=++，则有

m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112

a

a +≥⇒≥，或3a ≤-.

13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.

（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由2

12121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒

≤100910101011100810091010

x x x

x x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，

同理

100910091008101110121012

100710081007101010111010

x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=

100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此

2018

1

1n

n x

=>∏，矛盾.

（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有

212

121

n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒

≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j n

j n

T a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=

--

-+-∑

∑

，下面用归纳法证明n T n ≥.

当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.

2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，

当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->； 当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设

121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有

1111

1

n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑11111

1

n n

n i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，

下证

1

11

1

n

n n i n i i i b

a a

b ++==-+-∑∑111

1

0n n

n i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.

由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到