平抛和类平抛运动

高考热点专题——平抛和类平抛运动

当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速曲线运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。

平抛运动是日常生活中常见的运动，并且这部分知识还常与电学知识相联系，以解决带电粒子在电场中的运动问题，因此，多年来，平抛运动一直是高考的热点，今后，将仍然是高考的热点。用分解平抛运动的方法解决带电粒子在电场中的运动，以及将实际物体的运动抽象成平抛运动模型并做相应求解，将是高考的必然趋势。

一、正确理解平抛运动的性质

（一）从运动学的角度分析

平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建立xOy坐标，如图所示：

则水平方向和竖直方向的分运动分别为

水平方向

竖直方向

平抛物体在时间t内的位移s可由③⑥两式推得

位移的方向与水平方向的夹角由下式决定

平抛物体经时间t时的瞬时速度v t可由②⑤两式推得

速度v t的方向与水平方向的夹角可由下式决定

（二）从动力学的角度分析

对于平抛运动的物体只受重力作用，尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一种匀变速曲线运动。

平抛运动中，由于仅有重力对物体做功，因而若把此物体和地球看作一个系统，则在运动过程中，系统每时每刻都遵循机械能守恒定律。应用机械能守恒定律分析、处理此类问题，往往比单用运动学公式方便、简单得多。

二、平抛运动的几个重要问题

（1）平抛物体运动的轨迹：抛物线

由③⑥两式，消去t，可得到平抛运动的轨迹方程为。

可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线。

（2）一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：设物体被抛出后ts末时刻，物体的位置为P，其坐标为x t（ts内的水平位移）和y t （ts内的下落高度）；ts末的速度v t的坐标分量为v x、v y，将v t速度反向延长交x轴于x＇，如图：

则

由几何关系可知：，即

整理得：，∴。

可见，平抛运动物体某时刻的速度反向延长线交x轴坐标值为此时Ox方向位移的一半。

（3）因平抛运动在竖直方向是匀变速直线运动，所以适合于研究匀变速运动的公式，如

Δs=aT2，等同样也适用于研究平抛运动竖直方向的运动特点，这一点在研究平抛物体运动的实验中用得较多。

（4）类平抛运动：凡具有合外力恒定且合外力垂直于初速度特征的曲线运动叫类平抛运动。

此物体所做的运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动，这类运动在电场中会涉及，处理方法与平抛运动类似。

典例剖析：

1．考查对平抛运动概念的理解与运用能力

方法：解决平抛运动的关键在于把平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，要特别注意分运动的独立性以及合运动与分运动的等时性。解决平抛运动问题常常以竖直分运动为突破口。

【例1】在高度为h的同一位置上向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度v A大于B球的初速度v B，则下列说法正确的是（）

A．A球落地时间小于B球落地时间

B．在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移

C．若两球在飞行中遇到一堵竖直的墙，A球击中墙的高度总是大于B球击中墙的高度

D．在空中飞行的任意时刻A球的速率总是大于B球的速率

【答案】B、C、D

【解析】平抛的高度决定平抛运动的时间，由于两球的抛出点相同（即高度相同），故从抛出到落地所用时间相同，选项A错误。

由于水平位移x=v0t，所以在相同的任意一段时间内，水平初速度较大的球水平位移较大，选项B正确。

若两球均能撞上同一竖直墙，则它们的水平位移相等，由x=v0t可知，初速度较大的球所用时间较短，而高度决定时间，所以A球撞墙点较高，选项C正确。

两球在空中飞行时的任意时刻，速度的竖直分量均相等，水平分量与初速度相同；由于A 球的初速度较大，故其合速度较大，实际速率也较大，选项D正确。

综上所述，该题的正确答案为B、C、D。

请思考：该题中的A、B两球的轨迹曲线重合吗？两球落在同一水平地面上时的着地点重合吗？

【例2】如图所示，以v0=10 m / s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（）

A．B．C．D．2s

【答案】C

【解析】物体做平抛运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，当物体落到斜面上时，其竖直分速度v1=gt，水平分速度仍为v0，其合速度与斜面垂直，由图可知，

tanθ=v0 / gt

故选项C正确。

【点评】平抛运动知识与斜面三角形综合应用，找出其间的关系，问题迎刃而解。

【例3】如图所示，一高度为h=0.2 m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以v0=5 m / s的速度在平面上向右运动，求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10 m / s2）。

某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则，由此可求得落

地的时间t。问：

你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由，并求出你认为正确的结果。

【答案】不同意该同学的解法，正确答案为0.2 s

【解析】由于小球开始在水平面上运动，离开A点时小球将做平抛运动，而不会沿斜面下滑，在运动到地面之前小球是否经历斜面，要看以下条件：小球平抛到地面的水平距离为

。

斜面底宽

因为s＞d，所以小球离开A点后不会落到斜面上，因此落地时间即为平抛运动所需的时间。

即。

【点评】本题考查的是平抛运动的知识，但题型新颖，且对考生有“误导”的作用。在考查学生应用基本知识解决实际问题的分析判断能力方面，不失为一个好题。判断出小球离开A点做什么运动是解决本题的关键。

【例4】在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长

L=1.25 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式v0=________（用L、g表示），其值是________（取g=9.8 m / s）。