平抛和类平抛运动

高考热点专题——平抛和类平抛运动当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。

其轨迹为抛物线，性质为匀变速曲线运动。

平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。

广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。

平抛运动是日常生活中常见的运动，并且这部分知识还常与电学知识相联系，以解决带电粒子在电场中的运动问题，因此，多年来，平抛运动一直是高考的热点，今后，将仍然是高考的热点。

用分解平抛运动的方法解决带电粒子在电场中的运动，以及将实际物体的运动抽象成平抛运动模型并做相应求解，将是高考的必然趋势。

一、正确理解平抛运动的性质（一）从运动学的角度分析平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建立xOy坐标，如图所示：则水平方向和竖直方向的分运动分别为水平方向竖直方向平抛物体在时间t内的位移s可由③⑥两式推得位移的方向与水平方向的夹角由下式决定平抛物体经时间t时的瞬时速度v t可由②⑤两式推得速度v t的方向与水平方向的夹角可由下式决定（二）从动力学的角度分析对于平抛运动的物体只受重力作用，尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一种匀变速曲线运动。

平抛运动中，由于仅有重力对物体做功，因而若把此物体和地球看作一个系统，则在运动过程中，系统每时每刻都遵循机械能守恒定律。

应用机械能守恒定律分析、处理此类问题，往往比单用运动学公式方便、简单得多。

二、平抛运动的几个重要问题（1）平抛物体运动的轨迹：抛物线由③⑥两式，消去t，可得到平抛运动的轨迹方程为。

可见，平抛物体运动的轨迹是一条抛物线。

（2）一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。

证明：设物体被抛出后ts末时刻，物体的位置为P，其坐标为x t（ts内的水平位移）和y t （ts内的下落高度）；ts末的速度v t的坐标分量为v x、v y，将v t速度反向延长交x轴于x＇，如图：则由几何关系可知：，即整理得：，∴。

可见，平抛运动物体某时刻的速度反向延长线交x轴坐标值为此时Ox方向位移的一半。

（3）因平抛运动在竖直方向是匀变速直线运动，所以适合于研究匀变速运动的公式，如Δs=aT2，等同样也适用于研究平抛运动竖直方向的运动特点，这一点在研究平抛物体运动的实验中用得较多。

（4）类平抛运动：凡具有合外力恒定且合外力垂直于初速度特征的曲线运动叫类平抛运动。

此物体所做的运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动，这类运动在电场中会涉及，处理方法与平抛运动类似。

典例剖析：1．考查对平抛运动概念的理解与运用能力方法：解决平抛运动的关键在于把平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，要特别注意分运动的独立性以及合运动与分运动的等时性。

解决平抛运动问题常常以竖直分运动为突破口。

【例1】在高度为h的同一位置上向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度v A大于B球的初速度v B，则下列说法正确的是（）A．A球落地时间小于B球落地时间B．在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移C．若两球在飞行中遇到一堵竖直的墙，A球击中墙的高度总是大于B球击中墙的高度D．在空中飞行的任意时刻A球的速率总是大于B球的速率【答案】B、C、D【解析】平抛的高度决定平抛运动的时间，由于两球的抛出点相同（即高度相同），故从抛出到落地所用时间相同，选项A错误。

由于水平位移x=v0t，所以在相同的任意一段时间内，水平初速度较大的球水平位移较大，选项B正确。

若两球均能撞上同一竖直墙，则它们的水平位移相等，由x=v0t可知，初速度较大的球所用时间较短，而高度决定时间，所以A球撞墙点较高，选项C正确。

两球在空中飞行时的任意时刻，速度的竖直分量均相等，水平分量与初速度相同；由于A 球的初速度较大，故其合速度较大，实际速率也较大，选项D正确。

综上所述，该题的正确答案为B、C、D。

请思考：该题中的A、B两球的轨迹曲线重合吗？两球落在同一水平地面上时的着地点重合吗？【例2】如图所示，以v0=10 m / s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是（）A．B．C．D．2s【答案】C【解析】物体做平抛运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，当物体落到斜面上时，其竖直分速度v1=gt，水平分速度仍为v0，其合速度与斜面垂直，由图可知，tanθ=v0 / gt故选项C正确。

【点评】平抛运动知识与斜面三角形综合应用，找出其间的关系，问题迎刃而解。

【例3】如图所示，一高度为h=0.2 m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以v0=5 m / s的速度在平面上向右运动，求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10 m / s2）。

某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则，由此可求得落地的时间t。

问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由，并求出你认为正确的结果。

【答案】不同意该同学的解法，正确答案为0.2 s【解析】由于小球开始在水平面上运动，离开A点时小球将做平抛运动，而不会沿斜面下滑，在运动到地面之前小球是否经历斜面，要看以下条件：小球平抛到地面的水平距离为。

斜面底宽因为s＞d，所以小球离开A点后不会落到斜面上，因此落地时间即为平抛运动所需的时间。

即。

【点评】本题考查的是平抛运动的知识，但题型新颖，且对考生有“误导”的作用。

在考查学生应用基本知识解决实际问题的分析判断能力方面，不失为一个好题。

判断出小球离开A点做什么运动是解决本题的关键。

【例4】在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L=1.25 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式v0=________（用L、g表示），其值是________（取g=9.8 m / s）。

【解析】分析图中a、b、c、d四点的位置关系，可以看出水平方向四点均等间隔，可见时间间隔也是相等的。

但从竖直方向看a、b、c、d四点之间的间隔比为1：2：3，并不是1：3：5，这说明a点不是起始点。

由于平抛运动在竖直方向上是匀变速直线运动，因此它将满足关系又因为△s=L=1.25cm，，所以可以得出。

在平抛运动中，因为，所以代入数据（注意化单位L=1.25 cm=1.25×10－2 m），解得。

【误区点津】此题为容易出现错解的问题。

很多学生对本题不加分析，错误地认为a点是小球平抛运动的初始位置，从而得出的错误答案。

有的学生注意到了小球在竖直方向上的分运动，在连续相等的时间内其位移之比不为1∶3∶5∶7……，知道a点不是抛出点，但却错误地认为题中给出（由图中看出）的y1∶y2∶y3=1∶2∶3不符合匀加速直线运动的规律，怀疑题目的正确性，就此搁浅。

其实，去掉从初速为0起的第一个T秒内的竖直方向y上的投影有Δs=2L－L，易得出。

【点评】克服思维定势，将纸带计算公式迁移至此，不必考虑a点是否为抛出点，其竖直方向的运动规律点满足，问题也就迎刃而解。

从本题看，平时学习一定要注意加强知识的迁移和拓展的训练。

【例5】一固定斜面ABC，倾角为θ，高AC=h，如图所示，在顶点A以某一初速度水平抛出一小球，恰好落在B点，空气阻力不计，试求自抛出起经多长时间小球离斜面最远？【解析】解法一如图所示，小球的瞬时速度v与斜面平行时，小球离斜面最远设此点为D，由A到D时间为t1，则v y=gt1，v y=v0tanθ；。

①设小球由A到B的时间为t，则，。

消去t，②由①②式消去v0tanθ，得。

解法二沿斜面和垂直于斜面建立坐标系如图所示，分解v0和加速度g，这样沿y轴方向的分运动是初速度为v y、加速度为g y的匀减速直线运动，沿x轴方向的分运动是初速度为v x，加速度为g x的匀加速度直线运动，当v y=0时小球离斜面最远，经历时间为t1，当y=0时小球落到B点，经历时间为t，显然t=2t1。

在y轴方向，当y=0时有：在水平方向上位移关系为得，所以故解法三在竖直方向小球做自由落体运动得由解法二的分析可知在垂直斜面方向上小球做匀减速运动，当垂直斜面的速度减为零时离斜面最远，历时t1，则。

【答案】【点评】通常我们把平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来处理。

这样就把曲线运动分解成为两种最简单的直线运动，但在具体问题中这种分解对所求的问题来说并不一定是最简单的。

如：假设要求小球运动过程中距离斜面的最大距离H，则在解法一的计算中较为复杂；而解法二中的分解结果，刚好使待求的H成为小球垂直斜面向上运动所能达到的最大位移，则，所以在具体问题中，可以根据需要灵活选择分解的方法。

【例6】质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。

今测得当飞机在水平方向的位移为时，它的上升高度为h，如图所示，求飞机受到的升力的大小。

解析：设飞机上升到h高度的时间为t，有y方向加速度为设飞机的升力为F，由牛顿第二定律有故点评：合外力F恒定，且与物体初速度方向垂直，此运动称之为类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，处理方法和平抛运动类似（运动分解）。

该题属于方法迁移题，学生需要理解平抛运动的处理方法，才能进一步灵活地处理该问题。

2．利用平抛运动的规律，迁移到静电场中带电粒子的运动带电粒子的类平抛运动模型其总体思路为运动的合成与分解：（1）带电粒子的加速：带电粒子质量为m、带电量为q，在静电场中静止开始仅在电场力作用下做加速运动，经过电势差U后所获得的速度v0可由动能定理来求得。

即。

（2）带电粒子的偏转：垂直电场线方向粒子做匀速直线运动：，沿电场线方向粒子做匀加速直线运动，有：（3）在电场中移动带电粒子时电场力做功及电势能变化的情况与重力做功即重力势能变化情况类比。

推论：①粒子从偏转电场中射出时，速度的反向延长线与初速度的延长线的交点平分初速度方向的位移，即粒子好像从极板中点处沿直线飞离偏转电场，即②荷质比不同的正离子，被同一电场加速后进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时的速度方向一定相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。

说明：①由于基本粒子（电子、质子、α粒子等）在电场中受到电场力，所以基本粒子受到的重力忽略不计。

但带电的宏观（由大量分子构成）小颗粒、小球、小液滴所受重力不能忽略。