中职数学5.4同角三角函数的基本关系课件PPT
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同角的三角函数的基本关系
同角的三角函数的基本关系
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(1) 商数关系：
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(1) 商数关系：
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(2) 平方关系：
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(2) 平方关系：
•注 意
•⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
•如sin24＋cos24＝1等.
•注 意
•⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
•如sin24＋cos24＝1等.
•⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 •义的角而言的.
•注 意
•⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
•如sin24＋cos24＝1等.
•⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 •义的角而言的.
•⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要 •能灵活运用（正用、反用、变形用）.
•一、求值问题 •例1.
•一、求值问题 •例2.
•一、求值问题
•小 结：
•1. 整体代换; •2. “1”的活用; •3. 正切化弦.
•二、化简问题 •练习1.
•二、化简问题 •练习1.
•练习2.
•化简的基本要求
•小 结：
•(3) 比较法:
•(4) 变式证明法： •将原等式转化为与其等价的式子加以 •证明．
•(5) 分析法．
•练习4. 教材P.20练习第5题．
•课堂小结
• 同角三角函数的两个基本关系式：
•精品课件
！
•精品课件
！
•小 结：
•关于三角恒等式的证明, 常有以下方法
： (1)
从一边开始，证得它等于另一边，一
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(1) 商数关系：
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(1) 商数关系：
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(2) 平方关系：
•讲授新课
•同角三角函数基本关系式: •(2) 平方关系：
•注 意
•⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
•如sin24＋cos24＝1等.
•注 意
•⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
•如sin24＋cos24＝1等.
•⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 •义的角而言的.
•注 意
•⑴ 注意“同角”，至于角的形式无关重要，
•如sin24＋cos24＝1等.
•⑵ 注意这些关系式都是对于使它们有意 •义的角而言的.
•⑶ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要 •能灵活运用（正用、反用、变形用）.
•一、求值问题 •例1.
•一、求值问题 •例2.
•一、求值问题
•小 结：
•1. 整体代换; •2. “1”的活用; •3. 正切化弦.
•二、化简问题 •练习1.
•二、化简问题 •练习1.
•练习2.
•化简的基本要求
•小 结：
•(3) 比较法:
•(4) 变式证明法： •将原等式转化为与其等价的式子加以 •证明．
•(5) 分析法．
•练习4. 教材P.20练习第5题．
•课堂小结
• 同角三角函数的两个基本关系式：
•精品课件
！
•精品课件
！
•小 结：
•关于三角恒等式的证明, 常有以下方法
： (1)
从一边开始，证得它等于另一边，一
中职数学第一册54同角三角函数的基本关系
方程(组)思想
cos 3 3 ，sin
4
2
当为第四象限角时
1 1 42
cos 3 3 , sin 1 1
42
4
2
例5.化简cos tan
解：cos tan cos sin sin cos
1 sin2 440。
解：原式= 1 sin（2 80 360 ) 1 sin2 80 cos2 80 | cos80 | cos80
5.4同角三角函数 的基本关系
已知角 终边上任一点P（x，y），
它到原点距离为r（r2 = x2 +y2 ）。
sin y ,
cos rx ，
r
P(x,y
)
rα
O
x
tan y ( k ,k Z)
x
2
平方关系：sin 2 cos2 1 商数关系：sin tan
cos
小结
1、同角三角函数关系式。 2、关系式的应用：
1）、求值：
指定象限的； 没有指定象限的（注意讨论）。
2）、化简:
作业：p143习题2，3，4
例 象1限：角已，知c求ossin, tan54
，并且 是第二 的值。
解：∵ sin 2 cos2 1
cos2 1 sin 2
1(4)2 9 5 25
又∵ 是第二象限角 cos＜0
cos
3 ，tan
sin
4 ( 5) 4
5
cos 5 3 3
例2 已知cos 4，求sin, tan的值
( k , k Z)
2
讨论交流：1、公式sin2 cos2 1特点 移项变形：
{scions2211csoins22
同角三角函数的基本关系式课件
利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
同角三角函数的基本关系说课课件
生的数学应用意识和能力。
02
CHAPTER
同角三角函数的基本概念
三角函数的定义
三角函数是描述三角形中角度 和边长之间关系的数学工具。
常见的三角函数包括正弦、余 弦、正切等，它们可以通过直 角三角形中的边长关系来定义。
三角函数也可以通过单位圆上 的点来定义，通过角度和半径 来描述三角形的边长。
三角函数的性质
个性化教学
针对不同学生的特点和需求，制定个性化的教学方案，因材施教。
合作学习
组织学生进行小组讨论、合作探究等活动，促进彼此之间的交流与合作，培养学生的团队协作精神。
THANKS
谢谢
在求函数值域中的应用
01
利用同角三角函数关系，可以将 一些非三角函数问题转化为三角 函数问题，进而求出函数的值域 。
02
通过同角三角函数关系，可以将 一些复杂的函数表达式进行简化 ，从而更容易地求出函数的值域 。
在求函数最值中的应用
利用同角三角函数的有界性，可以求 出一些函数的最大值和最小值。
通过同角三角函数关系，可以将一些 复杂的函数表达式进行转化，从而更 容易地求出函数的最大值和最小值。
和差角公式
总结词
描述了两个角的正弦、余弦、正切之间的和差关系。
详细描述
对于任意两个角α和β，它们的正弦、余弦、正切之间存在和差关系，即 sin(α±β)和cos(α±β)可以用sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)表示出来。
积的和差公式
总结词
描述了两个角的正弦、余弦、正切乘积的和差关系。
在研究函数性质中的应用
利用同角三角函数的关系，可以研究函数的周期性、奇偶性 、单调性等性质。
通过同角三角函数关系，可以将一些非三角函数问题转化为 三角函数问题，进而研究其性质。
02
CHAPTER
同角三角函数的基本概念
三角函数的定义
三角函数是描述三角形中角度 和边长之间关系的数学工具。
常见的三角函数包括正弦、余 弦、正切等，它们可以通过直 角三角形中的边长关系来定义。
三角函数也可以通过单位圆上 的点来定义，通过角度和半径 来描述三角形的边长。
三角函数的性质
个性化教学
针对不同学生的特点和需求，制定个性化的教学方案，因材施教。
合作学习
组织学生进行小组讨论、合作探究等活动，促进彼此之间的交流与合作，培养学生的团队协作精神。
THANKS
谢谢
在求函数值域中的应用
01
利用同角三角函数关系，可以将 一些非三角函数问题转化为三角 函数问题，进而求出函数的值域 。
02
通过同角三角函数关系，可以将 一些复杂的函数表达式进行简化 ，从而更容易地求出函数的值域 。
在求函数最值中的应用
利用同角三角函数的有界性，可以求 出一些函数的最大值和最小值。
通过同角三角函数关系，可以将一些 复杂的函数表达式进行转化，从而更 容易地求出函数的最大值和最小值。
和差角公式
总结词
描述了两个角的正弦、余弦、正切之间的和差关系。
详细描述
对于任意两个角α和β，它们的正弦、余弦、正切之间存在和差关系，即 sin(α±β)和cos(α±β)可以用sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)表示出来。
积的和差公式
总结词
描述了两个角的正弦、余弦、正切乘积的和差关系。
在研究函数性质中的应用
利用同角三角函数的关系，可以研究函数的周期性、奇偶性 、单调性等性质。
通过同角三角函数关系，可以将一些非三角函数问题转化为 三角函数问题，进而研究其性质。
中职数学基础模块上册同角三角函数基本关系式课件复习课程
sin 2 cos2 sin 2 (1 sin 2 )
2sin 2 1
=右边(yòu
所以 sin 4bian)cos4 2sin 2 1;
(suǒyǐ)
第八页，共13页。
(2) tan2 sin2 tan2 sin2 ；
证明(zhèngmíng) (2) tan 2 （1 cos2 )
第十二页，共13页。
必做题： 总结本节课用到的同角三角函数的基本关
系式的变形. 选做题：
教材(jiàocái)P142，练习 B 组第 3、4 题．
第十三页，共13页。
左边(zuǒ cos (1 sin ) bian) = (1 sin )(1 sin )
恒等变形 的条件
cos (1 sin ) 1 sin 2
cos (1 sin ) cos2
；
右边 (yòu
(1 sin ) cos cos cos
cos (1 sin ) cos2
．
第五页，共13页。
例3
化简：sin cos ． tan 1
解 原式＝ sin cos sin 1 cos
＝
sin cos sin cos
cos
＝ cos ．
第六页，共13页。
化简 原则 (yuánz
é)
切
化
弦
例4 求证 (1) sin4 cos4 2sin2 1；
(qiúzhèng)：
(2) tan2 sin2 tan2 sin2 ；
(3) cos 1 sin ． 1 sin cos
第七页，共13页。
(1) sin4 cos4 2sin2 1；
证明(zhèngmíng) (1) 原（sin 2 cos2 （) sin 2 cos2 )
2sin 2 1
=右边(yòu
所以 sin 4bian)cos4 2sin 2 1;
(suǒyǐ)
第八页，共13页。
(2) tan2 sin2 tan2 sin2 ；
证明(zhèngmíng) (2) tan 2 （1 cos2 )
第十二页，共13页。
必做题： 总结本节课用到的同角三角函数的基本关
系式的变形. 选做题：
教材(jiàocái)P142，练习 B 组第 3、4 题．
第十三页，共13页。
左边(zuǒ cos (1 sin ) bian) = (1 sin )(1 sin )
恒等变形 的条件
cos (1 sin ) 1 sin 2
cos (1 sin ) cos2
；
右边 (yòu
(1 sin ) cos cos cos
cos (1 sin ) cos2
．
第五页，共13页。
例3
化简：sin cos ． tan 1
解 原式＝ sin cos sin 1 cos
＝
sin cos sin cos
cos
＝ cos ．
第六页，共13页。
化简 原则 (yuánz
é)
切
化
弦
例4 求证 (1) sin4 cos4 2sin2 1；
(qiúzhèng)：
(2) tan2 sin2 tan2 sin2 ；
(3) cos 1 sin ． 1 sin cos
第七页，共13页。
(1) sin4 cos4 2sin2 1；
证明(zhèngmíng) (1) 原（sin 2 cos2 （) sin 2 cos2 )
(公开课)同角三角函数的基本关系省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
知识探究(一)：基本关系
思索1：如图，设α是一种任意角，它 旳终边与单位圆交于点P，那么，正弦 线MP和余弦线OM旳长度有什么内在 联络？由此能得到什么结论？
MP2 OM 2 1
y P(x, y)
1α
sin2 cos2 1 M O x
知识探究(一)：基本关系
思索2：上述关系反应了角α旳正弦和
1 sin2
cos2
1 sin =右边 cos
所以 cos 1 sin 1 sin cos
三角函数恒等式证明旳一般措施
（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简） （2）证明原等式旳等价关系 （3）证明左、右两边等于同一式子
注：要注意两边都有意义旳条件下才恒等
问题2、求证
1 2 cos 2
cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x
所以原等式成立
左边
右边
四、归纳总结：
本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了 哪些数学知识与措施
（1）同角三角函数旳基本关系式（应用极为广泛；巧用 1 sin 2 cos2
sin 2 cos2 1, R
(cos x sin x)(cos x sin x)
cos x sin x cos x sin x
cos x sin x
左边=右边
cos x sin x 左边
中间
所以原等式成立
右边
证法二：
左边 cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x 右边
即 sin tan cos
cos
{ sin2 cos2 1 sin tan cos
sin 3
{scions2 cos2 1
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
5.2.2同角三角函数的基本关系 课件
3 5
，且
是第三象限角，
求 cos, tan 的值。
解：因为 sin 2 cos2 1 ，所以
cos2
1
s in 2
1
3
2
16
5 25
因为 第三象限角，所以
cos 4
5
tan sin 3 cos 4
变式1.已知sin 3 ,求cos, tan的值.
5
先定象限,后定值 解 :sin 3 0且sin 1
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
同角三角函数的基本关系：
如图，设 是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，则
的终边 y
P(x,y) 1
sin y cos x
-1 M o
1x
tan y (x 0)
x
-1
△OMP直角三角形，而且OP=1。
由勾股定理有 OM2+MP2=1。
因此，x2+y2=1，即 sin2 cos2 1。
由三角函数定义有
tan
sin cos
(
2
k , k
Z )。
同角的三角函数的基本关系:
1.平方关系 2.商数关系
sin2 cos2 1
当 k ,(k Z )时
商数关系: tan sin ( k , k Z )
cos
2
(二)基本关系式的应用:
(1)求值 先定象限,后定值 (2)化简 (1)重视对“1”变形 (3)证明 (2)弦切互化
例析
例1.已知 tan 2，求 sin cos . sin cos
思考1：对于本题，你能想到哪一些解决的思路? 思路一：
同角三角函数的基本关系式课件
例6. 化简下列各式：
（1） 1 sin2 440o ； （2） 1 2sin 20o cos 20o .
解：（1） 1 sin2 440o
1 sin2 (360 80) 1 sin2 80 cos2 80 | cos 80 | cos 80 . （2） 1 2sin 20o cos 20o sin2 20o cos2 20o 2sin 20o cos 20o
5 5
tan sin 3 cos 4
变式：
已知sin 3 ,求 cos和 tan .
5
解： sin 0,为第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得 ， 当在 第 三 象 限 时c，os 1 sin2 4
5
tan 3
5
5
sin2 cos2 1
消去sinα，得5cos2α－ 5cosα－2=0，
由方程解得cosα=
25 5
或cosα= 5
5
因为180º<α<270º，所以cosα<0，即
cosα=
5 5
代入原方程组得sinα=
2 5 5
于是tanα=
sin cos =2.
变式：
3
9
sin cos 4 ,
9
tan
1
tan
9 4
.
(2) sin3 cos3
(sin cos )(sin2 sin cos cos2 )
(sin cos)(1 sin cos)
1 (1 4) 13 . 3 9 27
九台实验高中 许世君
同角三角函数的基本关系 课件
3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
同角三角函数的基本关系 课件
若 0<θ<π2，化简1－sincoθs θ·
tan θ－sin θ tan θ＋sin θ.
【思路探究】 首先弦切互化，减少三角函数的名称，
对于
tan tan
θ－sin θ＋sin
θθ，考虑到因式1－sincoθs
的特征，需等价化 θ
为
1－cos θ2 1＋cos θ1－cos
θ，进而把问题解决．
R)；csoins αα＝？(α≠kπ＋π2，k∈Z)．你能用三角函数的定义验
证吗？
【提示】 1；tan α；能.1.平方关系：sin2 α＋cos2 α＝ 1 . 商数关系：csoins αα＝ tanα (α≠kπ＋2π，k∈Z)． 2．语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的 平方和 等于 1， 商 等于角 α 的正切．
＝2si2nsiαnsαincoαs＋α 1＝1＋cossinαα＝右边．
∴原等式成立．
(2)左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1 ＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ) －3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1 ＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1 ＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1 ＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边 ∴原等式成立．
1．利用同角三角函数式证明时注意化异为同，即化异 名为同名、化异次为同次等策略的应用是关键．常见转化策 略有切化弦、弦化切及平方关系的正向、逆向、变形转化等．
2．常用证明方法有： (1)从左到右，从右到左证明法； (2)左右归一证明法； (3)变更形式证明法． 不论哪一种方法，一般要遵循由繁到简的原则．
同角三角函数的基本关系及诱导公式PPT 演示文稿
例2
4 (2)已知 sinθ＝－ 且 tanθ>0，求 cosθ 的值． 5
【思路点拨】
先化简条件，再利用同角三角函
数基本关系式求值，同时要注意角的范围．
【解】
(1)∵ cos(－ 80° )＝ cos80° ＝ k，
∴ sin80° ＝ 1－ cos280° ＝ 1－k2， ∴ tan100° ＝ tan(180° － 80° )， 1 －k 2 sin80° ＝－tan80° ＝－ ＝－ . cos80° k sinθ (2)由 tanθ＝ >0，知 sinθ 与 cosθ 同号， cosθ ∴ cosθ＝－ 1－ sin θ＝－
法二：原式 π － tan α · cos － α · sin － α－ 2 ＝ cos π－ α · sin π－ α π tan α · cosα · sin α＋ 2 ＝ － cosα · sinα sinα · cosα cosα ＝ ＝－1. － sinα
【反思感悟】
(4)法一：原式 π － tan α · cos[π＋ π－ α]· sin π＋ － α 2 ＝ cos π＋ α · [－ sin π＋ α] π － tan α · [－ cosπ－ α]· [－ sin － α ] 2 ＝ － cosα · sinα － tan α · cosα · － cosα － tan α · cosα ＝ ＝ sinα － cosα · sinα sinα cosα ＝－ · ＝－ 1. cosα sinα
(2) 1－2sin40° cos40° ＝ sin40° － cos40° 2 ＝ | sin40° － cos40°|. ∵ sin40° <cos40° ， ∴ | sin40° － cos40° | ＝ cos40° － sin40° . (3)sin2α＋ sin2β－ sin2αsin2β＋ cos2αcos2β ＝ sin2α(1－ sin2β)＋ sin2β＋ cos2αcos2β ＝ sin2αcos2β＋ cos2αcos2β＋ sin2β ＝ (sin2α＋ cos2α)cos2β＋ sin2β＝ cos2β＋ sin2β＝ 1.
4 (2)已知 sinθ＝－ 且 tanθ>0，求 cosθ 的值． 5
【思路点拨】
先化简条件，再利用同角三角函
数基本关系式求值，同时要注意角的范围．
【解】
(1)∵ cos(－ 80° )＝ cos80° ＝ k，
∴ sin80° ＝ 1－ cos280° ＝ 1－k2， ∴ tan100° ＝ tan(180° － 80° )， 1 －k 2 sin80° ＝－tan80° ＝－ ＝－ . cos80° k sinθ (2)由 tanθ＝ >0，知 sinθ 与 cosθ 同号， cosθ ∴ cosθ＝－ 1－ sin θ＝－
法二：原式 π － tan α · cos － α · sin － α－ 2 ＝ cos π－ α · sin π－ α π tan α · cosα · sin α＋ 2 ＝ － cosα · sinα sinα · cosα cosα ＝ ＝－1. － sinα
【反思感悟】
(4)法一：原式 π － tan α · cos[π＋ π－ α]· sin π＋ － α 2 ＝ cos π＋ α · [－ sin π＋ α] π － tan α · [－ cosπ－ α]· [－ sin － α ] 2 ＝ － cosα · sinα － tan α · cosα · － cosα － tan α · cosα ＝ ＝ sinα － cosα · sinα sinα cosα ＝－ · ＝－ 1. cosα sinα
(2) 1－2sin40° cos40° ＝ sin40° － cos40° 2 ＝ | sin40° － cos40°|. ∵ sin40° <cos40° ， ∴ | sin40° － cos40° | ＝ cos40° － sin40° . (3)sin2α＋ sin2β－ sin2αsin2β＋ cos2αcos2β ＝ sin2α(1－ sin2β)＋ sin2β＋ cos2αcos2β ＝ sin2αcos2β＋ cos2αcos2β＋ sin2β ＝ (sin2α＋ cos2α)cos2β＋ sin2β＝ cos2β＋ sin2β＝ 1.
《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT优秀课件
9
4
2
2
=
+ 2
9
4
都成立.( ×
2
√
)
)
= 1，所以2 + 2 = 1成立，其中、为任意角.( × )
(4)对任意角， = ∙ 都成立.(
×
)
新知探索
辨析2:(1)已知 ∈
A.
B.−
(0, ),
(
2
∈ )时，有：
= .
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
新知探索
同角三角函数的基本关系
平方关系
sin cos 1
2
2
sin
商数关系
tan
cos
sin 2 是（sin ) 2的简写
k ( k Z )
2
所以，原式成立.
=
=
(1+ )
1−2
1+
=右边.
今后，除特殊注明外，
我们假定三角恒等式是
在使两边都有意义的情
况下的恒等式.
等式左边
恒等变形
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例2.求证：
−
=
+
.
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
+
例2.求证：
=
.
−
证法1：由 ≠ 0，知 ≠ −1，所以1 + ≠ 0，
职高高一数学——5.4同角三角函数基本关系
求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2. [分析] 此等式左、右两边繁简程度差不多，故可考虑从
左向右证，也可考虑从右向左证，平方展开，化简，再因式分 解．
[证明] 证法一：左边＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα) ＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sinα＋2cosα－2sinαcosα ＝(1－2sinα＋sin2α)＋2cosα(1－sinα)＋cos2α ＝(1－sinα)2＋2cosα(1－sinα)＋cos2α ＝(1－sinα＋cosα)2＝右边． ∴原式成立．
探索延拓创新
命题方向 3
与方程有关的三角函数问题
2
已知 sinθ、cosθ 是关于 x 的方程 x －ax＋a＝0 的两 个根．求： 1 (1)sin θ＋cos θ；(2)tanθ＋cotθ.(注 cotθ＝tanθ)
3 3
[分析] 根据根与系数的关系，表示出 a 与 sinθ· cosθ 间的 关系，然后利用(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ· cosθ 求出 a 值，最后再 求(1)、(2)的值．
2 2 2 2 2
4
4
方法三：原式 1－cos α1＋cos α－sin α ＝ 2 2 4 6 1－cos α1＋cos α＋cos α－sin α sin α1＋cos α－sin α ＝ 2 2 4 4 sin α1＋cos α＋cos α－sin α 2cos2α 2cos2α 2 ＝ 2 ＝ . 2 2 2 ＝ 3cos α 3 1＋cos α＋cos α－sin α
1 已知tanα＝－ ，求下列各式的值： 2 (1)sinα＋2cosα＝________； cosα－5sinα (2) ＝________； 3cosα＋sinα sin2α－sinαcosα－3cos2α (3) ＝________； 2 5sinαcosα＋sin α＋1 (4)2sin α－sinαcosα＋cos α＝________.
中职数学...三角函数的诱导公式 ppt课件
y P
MO
公式 （一）
sin(2 k＋ )＝sin ；
cos(2 k＋ )＝cos (k Z) ；
1x
tan(2 k＋ )＝tan .
ppt课件
4
公式一：
sin(2k ) sin
cos(2k ) cos (k z)
tan(2k ) tan
三角
三
三角
角
函数
5.5 三角函数的诱导公式
ppt课件
1
同角三角函数的基本关系
平方关系: sin 2 cos2 1
商数关系:
tan sin cos
( k , k Z )
2
同一个角 的正弦、余弦的平
方和等于1，商等于角 的正
切。
ppt课件
2
问题提出
ppt课件
5
例1 求下列各三角函数的值：
(1)sin13； (2) cos19 ； (3) tan405．
2
3
解 (1) sin 13π sin( π 6π) sin π 1;
2
2
2
(2) cos19π cos( π 6π) cos π 1 ;
3
3
32
(3) tan405 tan(45 360) tan45 1.
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2kπ ＋α （k∈Z），π ＋α ，－α ，π －α 的三角函数值，等于α 的同名函数值，
6
62
（2）cos(
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数
解解 12 由由已tan知tan2知c2o得s, csoin0s,所以2 ,即 sin 2cos ，
323s2sisnisinnin4c4cococososss=323tt2a(a(2nn2ccooss41))644ccoos14s
tan y sin x cos
动脑思考 探索新知
同
同角公式
角
平方关系
三
sin2 cos2 1
角
tan sin cos
商数关系
函
数
利用同角公式可以由一个已知的三角函数值， 求出其它各三角函数值．
同 角 三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 1 已知sin 4 ,且 是第二象限的角, 求cos 和 tan 5
101；0cos 3 3cos
10 3
巩固知识 典型例题
同
角
例 3 已知 为第一象限角，化简
1 cos2
1
．
三
化简三角式一般是利用三角公式或化简代数式的方法进行．
角
函
解 为第一象限角，故 tan>0，所以
数
原式=
1 cos2 cos2
sin2 cos2
tan2 tan ．
应用知识 强化练习
同
角
练习5.4.2
三
1.已知 tan 5 ，求 sin 4cos 的值．
2sin 3cos
角
2.化简：
函
（1） sin cos ； tan 1
数
（2） tan 1 sin2 （ 为第二象限的角）
归纳小结 自我反思
同
角
三
角
本次课学习 哪些内容？
知道正弦函数值，可以利用平方关系，求出余弦函数值； 然后利用商数关系，求出正切函数值．
解 由sin2 cos2 1，可得 cos 1 sin2 ． 又因为 是第二象限的角,故cos 0 ．所以
cos 1 sin2 1 (4)2 3 ； 55
巩固知识 典型例题
同
角
例 2 已知tan 2，求 3sin 4cos 的值. 2sin cos
三
角
利用另已一知种条是由件t求an三 角2式得的到值sin问 题2的cos基本，方代入法所有求两种：
一种三是角将函所数式求进三行角化函简数求式值用．已知量 tan 来表示；
函
4
tan
sin cos
5 3
=
4 3
．
5
开平方运算， 必须要明确 角所在象限
运用知识 强化练习 练习5.4.1
1．已知 cos 1 ,且 是第四象限的角, 求sin 和 tan ． 2
2．已知sin 3 ,且 是第三象限的角, 求 cos 和 tan ． 5
那那么么sinsin1y y , coys 1xy ,x ． cos x x ．
1 因此，交点 P 的坐标为 (cos,sin) ，
1
因此，交点 P 的坐标为 (cos,sin) ，
角
根据勾股定理：
函
(x,y)
sin2 cos2 r2 1
数
根据三角函数的定义：
你会解决 哪些新问题？
函
体会到哪些 学习方法？
数
布置作业 继续探究
同
角
三
阅读
训练5.4
了解其它同角公式
数
再见
第5章 三角函数
5.4 同角三角函数的 基本关系
创设情景 兴趣导入
设坡角为α ， 如果tanα=0.8，小明沿着斜坡走
了10米，则他升高了多少米?
tan 0.8
?
sin ?
已知一个角的正切函数值，如何求出这个角的 正弦函数值？
同 角 三
动脑思考 探索新知
设角 的终边与单位圆的交点为P(x,y)