数学物理方法 (第三版)

首先看Δz则沿实轴逼近于0的情形：
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z u ( x x, y ) iv( x x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim x 0 x u ( x, y ) v( x, y ) i x x
教材及指导书
一、教材： 梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月 二、主要的参考书： 。胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》 高等教育出版社。

陆全康编，《数学物理方法》上、下，上海：上海科学技术出版社。 陆全康编，《数学物理方法自学辅导》，上海：上海科学技术出版社。 郭敦仁编，《数学物理方法》，北京：人民教育出版社。 胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》，上海：复旦大学出版社
虚轴
实 轴

可见，对于同一个复数，有无穷多个幅角φ ， 我们记作ArgeZ，这些幅角彼此相差2π的整 数倍，我们规定：介于[0， 2π ）区间内的幅 角为复数z的幅角主值，记作argZ，所以有： φ = ArgeZ= argZ+ 2Kπ（K=0,+1,+2……）
复数的三角形式和指数形式： x2 y 2 x cos y sin arctg y / x 用极坐标r、 代替直角坐标x，y来表示复数z Z cos i sin Z e
(1)由表达式可知,这是一条直线,即a,b两点的垂 直 平分线. (2)设z=x+iy，则ReZ=x，故原式即为X>1/2,它 表示为X>1/2的半平面。
2 / 5把下列复数用代数式、 三角式和指数式表示出来。 (1) Z (2)e
3 1 i
1 i (3) 1 i
（1）z
3
3
代数式：令z ( x iy ) (cos i sin ) z ( x iy ) ( x 3xy ) i (3 x y y )
i (1 2 k )
k (0, 1, 2 )
1 i (3) 1 i 代数式：z i 三角式： 3 3 z cos 2k i sin 2k 2 2 指数式：z e
3 i 2 k 2
1.2 复变函数
为了更好的理解这个定义，我们需要 了解以下概念：区域、邻域、内点、外点 、境界线、闭区域、开区域等。
邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε 为 半径作一圆，则圆内所有点的集 合称为Zo的邻域。
内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该 点叫作E的内点。 外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
上篇
复变函数论
主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 拉普拉斯变换与傅立叶变换 线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。
第一章 复变函数
1—1 复数及复数运算 1.复数的基本概念 2.复数及其表示形式 3.无穷远点 4.复数的基本运算
1、什么是复数

一个复数可表示为 z=x + i y, 其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为:x=ReZ, y=ImZ;(i即虚单位)。复数的上述表示 称为复数的代数式. 1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分. 2)若实部x=0 ,虚部y=0 ,则z=0——复数零. 3)如果把x，y看做是平面上的点，那么复数Z就与 平面上的 点一一对应起来，这个平面称作复平面。
如果用指数形式或三角形式则以下运算将得以简化： z1 z2 1 2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) 1 2 e
i (1 2 )
z1 1 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) z2 2
1 i ( e 2
1
2)
z n n cos n i sin n n ein
n
n z cos i sin e n n n
n i

1-1 课堂练习

1、下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez>1/2
答案
初等函数举例
指数函数 e e
z x iy
e e
x
x iy
e (cos y i sin y )
（2）三角函数 e e sin z 2i iz iz e e cos z 2
iz iz
注意 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时， |sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：
1 2y 2 y 2 2 sin z (e e ) 2(sin x cos x) 2 1 2y 2 y 2 2 cos z (e e ) 2(cos x sin x) 2
对数函数： ln z ln( e ) ln i
显然，由于ArgZ的周期性，对 于对数函数， Z有无限多个值 。而且在复数领域里，Z为负数 时，lnz是有意义的！








ln 2 3 i( / 2 2k ) z i ( / 2 2k ) i ln 2 3




1.3 复变函数的导数
对于单值函数，当z在z0的邻域内沿任意路径 （z0 +z）-（z0） f f 趋于Z0点时，极限 lim Z 0 z 具有同一个有限值，则称（z）在z0点可导， f df 此极限值为（z）在z0点的导数，记做f（z）或 f dz
/
从定义形式上看，复变函数与实变函 数是完全一样的，所以实变函数论中的相 关规则往往可以适用于复变函数。例如：
(e ) e ,(sin z) cos z,(cos z) sin z,(ln z) 1/ z
z / z / / /
但是，复变函数可导却比实变函数复 杂的多，因为实变函数Δ x只能沿实轴逼 近0，而复变函数Δz则可以沿任何曲线逼 近于0，因此，复变函数的可导有更严格 的要求。
i
.
以z轴作实部,颜色作虚部
在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个 图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而 实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我 们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.
以z轴作虚部 ,颜色作实部 这个图像很 像一个螺旋 和上一个图 像完全不同.
开区域：不包括境界线的区域叫闭区域。
复变函数及其导数

复变函数 一般地，当z=x+iy在复平面上变化时，如果对 于z的每一个值，都有一个或几个复数值ω 相对应， 则称ω 为z的复变函数。写作： ω =f（z）=u（x，y）+iv（x，y） 其中u和v是x，y的实函数，如果对于z的每一 个值ω 各取一个值则称之为单值函数，否则称为多 值函数。
境界线：若Zo及其邻域内既有属于E的点， 也有不属于E的点，则该点为境界 点，境界点的全体称为境界线。
境界线 内点 境界点 区域 外点
区域：（1）点集中的每个点都是内点 （2）点集是连通的，即点集中 的任何两点都可以用一条曲线连接起来 ，且线上的点全属于该点集。 闭区域：包括境界线的区域叫闭区域。
再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z u ( x, y y ) iv( x, y y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim y 0 iy v( x, y ) u ( x, y ) i y y
3 3 2 2 3
三角式： z (cos 3 i sin 3 ),
3
x y , arctg ( y / x)
2 2
指数式：z e
3
3 i 3
(2)e
1 i
代数式：z e cos1 ie sin1 三角式： z e cos(1 2k ) i sin(1 2k ) 指数式：z ee
已知方程： z 2，计算Z sin
e 解： z sin
即e e
iZ iZ iZ
iZ
e
iZ
2i 4i
2
解得：e 2 3 i iz ln 2 3 i ln 2 3 ln i ln 2 3 i ( / 2 2k )
i
（1）复数的三角形式
（2）复数的指数形式 其中叫做复数的模，叫做复数的副角。
零点与无穷远点

复平面上有些个点比较特殊,比如:零点和无穷 远点. (1)复数零的幅角无意义,模为0. (2)无穷远点的模为∞,幅角没有意义.关于无 穷远点的定义需要借助测地投影法。
测地投影法定义无穷远点
A
复数的运算： z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2 x2 y2
（3）双曲函数： 1 z z sin h( z ) (e e ) 2 1 z z cos h( z ) (e e ) 2
计算下列各式数值 (1)sin(a ib) (2)sin(ix) (3) ln(1)
(1) sin(a ib) e sin(a ib) 2i b b e (cos a i sin a ) e (cos a i sin a ) 2i b b b b e sin a e sin a i e cos a e cos a 2 b b b b e e sin a i e e cos a 2 e