《数学物理方法》第二章解析函数

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数学物理方法——解析函数(免费哦~)

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5
可以用下列方法计算出 v( பைடு நூலகம், y ) =
∫ dv
(1)曲线积分法全微分的积分与路径无关可选取特殊积分路径 (1)曲线积分法全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径使积分路径容易算出. 使积分路径容易算出 (2)凑微分法微分的右端凑成全微分显式 (2)凑微分法微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出自然求出 (3)不定积分法 (3)不定积分法以上方法同样适用于从虚部v求实部的情况以上方法同样适用于从虚部求实部u的情况求实部已知解析函数的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数求虚部和解析函数的实部例1 已知解析函数f(z)的实部解: 验证是调和函数验证u是调和函数是调和函数,
10
10
例3 如果 f ′( z ) = 0在区域 D处处为零，那末 f (z )在D内为常数 . 证
Q f ′( z ) = u x ( x , y ) + iv x ( x , y )
= v y ( x , y ) − iu y ( x , y )
≡0
∴ u x ( x, y ) = u y ( x, y ) = v y ( x, y ) = v x ( x, y ) ≡ 0
的任意函数,再 v = ∫ 2 xdy + ϕ ( x) = 2 xy + ϕ ( x) 其中ϕ (x)为x的任意函数再的任意函数 ∂v 对x求导求导 = 2 y + ϕ ′( x) 由柯西黎曼条件知道 ϕ ′( x) = 0 由柯西-黎曼条件知道 ∂x 可得v=2xy+C 从而有 ϕ ( x) = C 可得解析函数为 f ( z ) = x 2 − y 2 + i (2 xy + C ) = z 2 + iC

(大学教材)数学物理方法大纲

数学物理方法大纲
第一章复数与复变函数
第一节复数及运算
第二节区域
第三节复变函数
第四节复变函数的极限和连续性
第二章解析函数
第一节导数
第二节解析函数
第三节解析函数的变换性质
第四节平面标量场
第三章复变函数的积分
第一节积分的概念及性质
第二节 Cauchy定理
第三节原函数与不定积分
第四节 Cauchy积分公式
第四章级数
第一节复数项级数
第二节幂级数
第三节 Taylor级数表示
第四节 Laurent级数表示
第五节孤立奇点的分类
第五章留数定理及其应用
第一节留数及留数定理
第二节应用留数定理计算实函数的积分
第六章 Fourier变换
第一节 Fourier级数
第二节 Fourier积分与Fourier变换
第三节 -函数
第七章 Laplace变换
第一节 Laplace变换
第二节 Laplace变换之应用
第八章数学物理方程及定解问题
第一节波动方程及定解条件
第二节热传导方程与扩散方程
第三节位势方程。

数学物理方法2

∂x ∂y
∂f ∂f 连续,则函数在该点可微分，即有 ∆f ≈ df = dx + dy . ∂x ∂y 因为复变函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的实部和虚部都是
/
∆u + i∆v e−iϕ ∂u ∂v / = −i ( +i ) 的导数为 f (z) = lim∆z→0 ∆z r ∂ϕ ∂ϕ
如果函数在点( x, y )解析, 以上两式相等,于是得到极坐标中的 Cauchy-Riemann
∂u 1 ∂v 1 ∂u ∂v = =− . , 条件: ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r
务必记住结论
补充还有一种推导极坐标下的CR条件：从直角坐标系中的CR条件出发，利用坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ和复合函数的求导法则，变换到极坐标系中的CR条件。这是一个作业题，同学们自己做。讲解！！
f (z) = u + iv f / (z) = lim∆z→0
/
∆u + i∆v ∂u ∂v = +i ∆x ∂x ∂x （5）式
这表明 f (z) 在点 z 连续。
在 z 点连续的函数不一定在 z 点可导.
例如,函数 Re(z) = x 在复平面上连续,但不可导: ∆z= ∆ x+ i ∆ y Re(z + ∆z) − Re(z) ∆x 1 = = ,当 ∆z 趋于零时, ∆y ∆z ∆x + i∆y 1+ i ∆x 上式的极限与 ∆y / ∆x 的值有关,即与 ∆z 趋于零的路径(方式)有关, 因而是不确定的.
∂v ∂u ∂v ∂u =− . = , ∂x ∂x ∂y ∂y
(4)
这个关系叫做 Cauchy-Riemann 条件, 简写为 CR 条件,是函数 f (z) 在区域 G 上解析的必要条件。

《数学物理方法》课程二

f g
(z) (z)

f (z)g(z) f (z)g(z) [ g ( z )]2
df (z) dz

1 dz
， dF (w) dz

dF dw

dw dz
df
(zn ) nzn1, (ez ) ez
(cos z) sin z ， (sin z) cos z
难点：初等多值函数及其支点，支割线的概念；已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法
§2.1 解析函数
一、导数的定义
设函数
在区域D上有定义，
且
，如果极限
f (z z) f (z)
lim
z 0
z
存在，则称此极限为函数
在z 点的导
数，记为：或
，这时称函数
在z 点可微 (或可导）.
微，即
lim f (z z) f (z) f (z)
z0
z
若记
, 其中,
则前式可变为
由于先看
lim u iv f (z) x0 x iy
y0
无论按何方式趋于零，上式总成立。沿实轴趋于零的情况。此时
f (z) lim u iv lim u i lim v u i v
在极坐标系中，
，
哥西-黎曼条件为
三、解析函数的定义
定义：如果函数
在区域D上处处
可微，则称是区域D上的解析函数，或称
在D上解析．
讨论：
1)有时说：“函数在某点解析”，是指
在该点的某一邻域内处处可微.
2)“函数在闭区域上解析”，是指
它在包含的某个区域上解析.

2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载

2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学第四册（第三版）数学物理方法答案（完整版）第一章复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。

数学物理方法第二章第二讲PPT课件

，设
L
为：
|
z
|
2a
(a 0) .
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
21
1
1
I
dz
(za)(z3a)dz (za)(z3a)dz
L(z2 a2)(z3a) l1
za
l2
za
1
1
2πi(za)(z3a) |za 2πi(za)(z3a) |za
2πi 1 2πi 1 πi 2a(2a) (2a)(4a) 4a2
22
【解法 2】若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
z 3a
z
3a ，且当|
z
|
时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件．故有
I
dz
dz
L (z2 a2 )(z 3a)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
23
特别说明：显然当积分区域内部的奇点多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计算．
| z | 时 f (z) ；0
（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进

数学物理方法第二章

证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理：如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。

武汉大学数学物理方法第二章

如果该静电场是无旋场，则存在标量函数v(x,y)，使得
xvEx, yvEy
C-R条件
uv, uv x y y x
静电场的复势 f(z ) u (x ,y ) iv (x ,y )
E E x iE y gv r a x v d i y v if(z )
谢谢观赏
共同学习交流提高
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。
=f(z)
解析函数非解析函数： =Rez
解析函数将z平面上的区域变为平面上的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换为平面上的一个区域，其中区域的边界
变换为区域的边界，甚至保持边界的方向不变；同时区域的内部变换为区域的内部
y
v
B
D
O
x =f(z)
O
u
举例yLeabharlann O/3xf(z)=z3
v
O
u
v y
ia
z ia
z ia
O
u
O
x
在解析变换下调和方程式不变的
设 =f(z)是某区域B内的解析函数，它将z
平面上的区域B变为平面上的一个区域
D，而将B上的函数u(x,y)将为u( , )，则
有
x2u2 y2u2| f(z)|2 2u22u2
y
u(x,y)
u( , )
B
D
O
x
=f(z)
举例
de z e z dz dsinz cosz
dz
dLnz 1 dz z
dcosz sinz dz
dsinhz coshz dz
dcoshz sinhz dz
第二节解析函数

第二章解析函数

u
5
第三节解析函数的变换性质
在解析变换下调和方程式不变的
设=f(z)是某区域B内的解析函数，它将z平面上的区域B变为平面上的一个区域D，而将B上的函数u(x,y)将为u(,)，则有
2u 2u 2 | f ( z ) | x 2 y 2 2u 2u 2 2
数学物理方法2015.02
第一节导数
Cauchy-Riemann条件
必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内点z=x+iy可导，则有
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
A A( z) Ax ( x, y) iAy ( x, y)
数学物理方法2015.02
第四节平面场
驻定平面流速场设向量场是不可压缩的（即流体的密度是常数）定常的理想流体的流速场 v u( x, y)i w( x, y) j 其中速度分量u(x,y)和w(x,y)具有连续的偏导数。驻定运动的质点轨道
第三节解析函数的变换性质
解析函数是一个保角映射
f ( z0
非解析函数：=Rez
数学物理方法2015.02
第三节解析函数的变换性质
解析函数将z平面上的区域变为平面上的区域
解析函数可以将z平面上的一个区域变换为平面上的一个区域，其中区域的边界变换为区域的边界，甚至保持边界的方向不变；同时区域的内部变换为区域的内部
数学物理方法2015.02
dF ( ) dF d dz d dz
第一节导数
几何意义

1. 解析函数

A. 课堂考勤10%：缺课一次扣1分。 B. 课后作业20%：缺交一次扣1分。
第一篇复变函数论第二篇数学物理方程
第一章复变函数及其导数
§1.1 复数及运算
§1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5* 多值函数 §1.6* 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
x1 y2 x2 y1 2 y1 y2 4. 除法运算：两个复数相除 z1 x1x2 i 2 2 2
等于它们的模相除，幅角相减； 5. 共轭运算：复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy
z2
x2 y2 x2 y2 r 1 cos(θ1 θ2) isin(θ1 θ2) r2 r1 exp[i(θ1 θ2)] r2
Argf '(z0)
w=f(z)
df (z0 ) dz (t0 ) d dt t t0 dz dt
B. 保角映射：z平面上的两条相交的参数曲线C1和C2，经过函数w=f(z)映射到 w平面上，则曲线f(C1)和f(C2)的夹角保持不变。
C1 C2
C. 导数f '(z0)的模|f '(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率.
个极限值A。如果极限值不同，则函数不存在极限！
zz 2z z 2 例1. 求lim 的极限。 2 z 1 z 1
z 例2. 证明极限 lim 不存在。 z 0 z
•
（二）复变函数的连续性
1. 我们称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果它满足
A. f(z0)存在； B. lim f(z)存在; C. lim f(z) f(z0).

数学物理方法权威讲解

nz n1 , 其中n为正整数. ( 2) ( z )
n
( 3) ( 4)
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z )

f ( z ) g( z ).

f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
y x iy 1 i x 1 ik z y 1 ik x i y z 1 i x z 1 ki 不趋于一个确定的值. 由于 k 的任意性, z 1 ki
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim 不存在 z 0 z
x 2yi lim z 0 x yi
o
y
z

y 0
x
设 z 沿着平行于 x 轴的直线趋向于 0，即
x 0 y 0
x 2yi lim z 0 x yi
x lim 1 x 0 x
设 z 沿着平行于 y 轴的直线趋向于 0，即
寻求研究解析性的更好的方法
存在有限的值A，则称 f ( z ) 在z0可导.
极限值A称为 f ( z ) 在点 z0 的导数, 记作
dw f ( z0 )或． dz z z
0
f ( z0 z ) f ( z0 ) 即z0 z以任意方式趋于 0时,比值 z z 都趋于同一个数 . f ( z 0 z ) f ( z 0 ) w
2
2
( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z
z z0 z z0 z

《数学物理方法》答案

z 4 + a4 = 0 ( a > 0) 。
4
⎛z⎞ ⎜ ⎟ = −1 ( a > 0 ) 4 4 ; 解:由题意 z = − a ,所以有 ⎝ a ⎠
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
k = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
π
+ i 2kπ = ln 2 + i ( + 2kπ ) 4 4
π
3i = eiLn 3 = ei (ln 3+ 2 kπ ) = cos ln 3 + i sin ln 3 e 2+i = e 2 ei = e 2 (cos1 + i sin1) sin z lim =1 z →0 z 22，求证 sin z sin( x + iy ) lim = lim z →∞ x , y →∞ z x + iy 证: z = x + iy (x,y,均为实数)，所以
z = z2 = z3 = 1; 试证明 z1 , z2 , z3 是一 11.设 z1 , z2 , z3 三点适合条件 z1 + z2 + z3 = 0 及 1
个内接于单位圆
z =1 的正三角形的顶点。
∴ z1 = − z2 − z3 ; z2 = − z3 − z1; z3 = − z1 − z2 ; 证明： z1 + z2 + z3 = 0;
∂v ∂u = e x cos y − y sin ye x + x cos ye x = e x ( x cos y − y sin y ) + e x cos y ∂ y ∂x ； ∂u ∂v = −e x ( x sin y + sin y + y cos y ) = e x ( y cos y + x sin y + sin y ) ∂y ； ∂x ∂u ∂v ∂u ∂v = ; =− ∂x 。满足 ∂x ∂y ∂y x, y ) 可微且满足 C − R 条件，故函数在 z 平面上解析。即函数在 z 平面上 (

数学物理分析方法——解析函数

存在,则称函数f ( z)在z0可导；
dw 极限值称为w f ( z )在z 0 处的导数，记作 f ' ( z 0 ) dz z z0
注:(1)
复变函数w f ( z)的可导与实变函数 y f ( x) 的可导:
从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一点可导要求要高的多，复杂的多。第三章，我们将看到，若复变函数在一点的邻域内具有一阶导数，则在该点就有任意阶的导数。
=1
2yi x 2yi lim lim z 0 x iy y 0 yi
=2
f ( z z ) f ( z ) 所以， lim 不存在 z 0 z
函数 w f ( z) x 2 yi 复平面内处处不可导。
f ( z) x 2 yi 所对应的二元实变函数对
1.2
解析函数的概念
定义1.2: 若函数f ( z ) 在 z0 可导，且在 z0 的一个邻域内处处可导，
则称f ( z) 在z0 解析。
若函数f ( z)在区域D内每一点解析，
则称f ( z)在区域D内解析, 或 f ( z) 是 D内的解析函数。
z z0
如果f ( z)在z0不解析，
x 2yi lim z 0 x yi
x 0 若 z 沿 x 轴的方向趋向于0，则 y 0
x 0 若 z 沿 y 轴的方向趋向于0，则 y 0
x x 2yi lim lim z 0 x iy x 0 x
例：函数 f ( z )
1 z ( z 1)
10
的奇点?
z 0, z10 1 0的点（即1的十次根， 10个不同的值）
小

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第二章解析函数

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例1 证明 : f ( z ) Re z在平面上的任何点都不可导.
f Re (z z ) Re (z ) 证明: z z x x x x x iy x iy
x x lim lim 1 x 0 x i y x 0 x y 0 x 1 lim x 0 x i y 1 ik y k x
其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ，其中: w=f (z) '(w)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。

思考题
2
实函数中 , f ( x ) x 在( , )内可导 ; 复函数中 , f (z) z 的可导性 ?
2
1 例2 已知 f ( z ) ( z 5 z ) ，求f ' ( z ) z 1 1 2 解 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2 例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
1 u v v u i i y y y y
f ( z )存在 u v v u i i x x y y u v x y
方程

u x v x
记忆
v u x y
u y v y
u v x y
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
f ( z z ) f ( z )f ( z ) lim z 0 z [u( x , y y ) iv ( x , y y )] [u( x , y ) iv ( x , y )] lim y 0 i y u( x , y y ) u( x , y ) v ( x , y y ) v ( x , y ) lim i lim y 0 y 0 i y i y
2 2
解
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z x x 2( y y )i ( x 2 yi ) lim z 0 x i y
x 2yi 1 当y 0, x 0时 lim 不存在 ! z 0 x yi 2 当x 0, y 0时故函数f ( z ) x 2 yi处处不可导.
z x iy可导, 则 f ( z z ) f ( z )
存在
若沿平行于实轴的方式 z z z(y 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z [u( x x , y ) iv( x x , y )] [u( x , y ) iv( x , y )] lim x 0 x u( x x , y ) u( x , y ) v ( x x , y ) v ( x , y ) lim i lim x 0 x 0 x x
2.函数可微的充分必要条件
定理2.2 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，
则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
u v x y
上述条件满足时,有
v u x y
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
但是 : x y f ( z ) f (0) k lim lim x 0 x 0 x i y z 1 ik y k x y k x 明显与k有关,即z沿不同的方向趋于0时,上述极限值不同,即上述极限值在z=0不存在,或说函数不可微.
第二章解析函数

第一节
解析函数的概念及哥西—黎
曼条件

第二节解析函数与调和函数

第三节初等函数
第一节解析函数的概念及哥西—黎曼条件
§2.1.1 复变函数的导数
1.导数定义
定义2.1 设函数w=f (z) , z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 如果极限存在，则称函数 z 0 z
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
证明对于复平面上任意一点z0，有 n z n z0
z lim
z z0
lim
z z0
z z0
n 1 ( z z0 )(z n1 z n 2 z0 z0 ) n 1 lim nz0 z z0 z z0
当 0 z 时: f ( z 0 z ) f ( z 0 ) A , A f ( z0 ) z 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导.
任意点z的导数 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z 称为导函数，或简称导数
0 当y 0, x 0时 x lim 不存在！ z 0 x i y 1 当x 0, y 0时

(1) 复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。

(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)
注： z 0 z 0
但：可以有下列情形之一 (1)x 0, y 0; (2)x 0, y 0 0; (3)x 0 0, y 0 0
x 0 lim lim 0 x 0 x i y y 0 i y y 0
当 z取实数趋于 0时 , f z 1;
f lim 不存在 . z 0 z 0; 当 z取纯虚数趋于 0时 , f z
2.求导公式与法则
③
设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)， [f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f ( z ) ' f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) , ( g( z ) 0) g( z ) 2 g (z)
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
定理2.1 函数f ( z ) u( x , y ) iv( x, y )在区域D上一
点( x , y )可微的必要条件是 : u( x, y ), v( x, y )的偏导数 u u v v , , , 在点( x, y )存在,且满足C-R条件. x y x y
用定理2.1虽不能判定函数的可微性，但却可以判定函数的不可微性，即：不满足定理条件的函数是不可微的
u 例如f ( z ) z , 这里u( x , y ) x , v( x , y ) y.而 1, x u v v 0, 0, 1, 均存在且连续,但处处不满足C-R y x y
f (z)在点z0处可导(可微)。称此极限值为f (z)在z0的导
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) dw lim 数，记作 f ' ( z0 ) dz z z0 z 0 z
等价形式有：
f ( z ) f ( z0 ) f ( z0 z ) f ( z0 ) lim lim z z0 z 0 z z

( x ) ( y )2 0
2
lim
f ( x0 x iy0 i y ) f ( x0 iy0 ) x i y
f ( x0 x iy0 i y ) f ( x0 iy0 ) lim x 0 x i y y 0
3.可导与连续若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证明: 若f ( z )在z0可导, 则 0, 0, f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 使得当 0 z , 时, 有 f ( z 0 ) , z f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 令 z f ( z0 ), 则 lim z 0, z 0 z 由此可得 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )z z z ,
条件,根据定理2.1,函数f ( z ) z在复平面上处处不可微.
下面的例子可以说明，该条件不是充分的，即该条件的满足并不足以保证函数的可微性。
例题3 函数f ( z ) u( x , y ) xy 在z 0点满足定理2.1的所有条件, 但在z 0点函数不可微. xy , v ( x , y ) 0, u( x , 0) u(0, 0) ux (0, 0) lim 0 v y (0, 0) x 0 x u(0, y ) u(0, 0) u y (0, 0) lim 0 v x (0, 0) x 0 y 所以函数f ( z )在z 0满足定理2.1的所有条件.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
( z z ) Re (z z ) z Re z 证明 l i m z 0 z z Re (z z ) z Re z lim z 0 z z Re z lim 0 z 0时 z 0 z x l i m(Re (z z ) z )不存在! z 0时 x i y z 0