轴向拉伸与压缩的概念与实例
材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下,杆件伸长 (简称拉伸) 轴向压缩——轴力作用下,杆件缩短 (简称压缩)
2
拉、压的特点:
1.两端受力——沿轴线,大小相等,方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN,求刚索的应力和 C点的垂直位移。 (刚索的 E =177GPa,设横梁ABCD为刚梁)
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能(应力 —— 应变):
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为(材料组成的)构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 (含碳量<0.3%的碳素钢)
力均匀分布于横截面上,σ等于常量。于是有:
N d A d A A
A A
得应力:
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
(材料力学)第一章轴向拉伸和压缩
24
根据Saint-Venant原理:
25
7. 应力集中(Stress Concentration):
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限,此位置开裂,所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L,受轴线方向均布力 q 作用,方向如图,试画
出杆的轴力图。 q
解:x 坐标向右为正,坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象,内力N(x)为:
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大,因为σmax 达到屈服极限,应力不再增加,未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷,应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下,不需考虑应力集中的影响;但 在交变应力情况下,必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算:
①校核强度:
m ax
②设计截面尺寸:
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷:
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图,承受竖向均布载荷,载荷的分布 集度为:q =4.2kN/m,屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm,许用
第七章轴向拉伸与压缩案例
max
RA
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求,是安全的。
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆, ②杆为2×No.5槽
钢。材料均为Q235钢,E=210GPa。求该拖架的许用荷载 [F] 。
A 1.8m ① C ② 2.4m B F
解:1、计算各杆上的轴力
确定安全系数要兼顾经济与安全,考虑以下几方面: ① 理论与实际差别 :材料非均质连续性、超载、加工制造 不准确性、工作条件与实验条件差异、计算模型理想化 ②足够的安全储备 :构件与结构的重要性、塑性材料n小、 脆性材料n大。
安全系数的取值:安全系数是由多种因素决定的。各种材料 在不同工作条件下的安全系数或许用应力,可从有关规范或 设计手册中查到。在一般静载下,对于塑件材料通常取为 1.5~2.2;对于脆性材料通常取为3.0 ~ 5.0,甚至更大。
1 [ F ]1 [ ] A1 57.9kN 1.67
4、确定许用荷载
[ F ] min{[F ]1 , [ F ]2} [ F ]1 57.9kN
§7-4
轴向拉伸或压缩时的变形
一、纵向变形及线应变
P
L
P
L1
FX 0 : FN 1 cos FN 2 0 FN 1 sin F 0 FY 0 : FN 1 1.67F FN 2 1.33F
FN 1
FN 2
B
F
2、按AB杆进行强度计算
3、按BC杆进行强度计算
[ F ]2 1 [ ] A2 125 kN 1.33
二、许用应力和安全系数
1、许用应力 1)材料的标准强度:屈服极限、抗拉强度等。 2)材料的极限应力 u :
轴向拉伸与压缩的概念与实例
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
假想地用一平面沿斜 F 截面k-k将杆分成两
个部分, 取左段为研究
对象。
F
k
α
k k
F Fα
以 Fα 表 示 斜 截 面 上 的 内力, 以pα表示斜截面 上的应力。
k pα
与证明横截面上的应 力是均匀分布的方法 一样, 可以证明斜截面 上的应力也是均匀分 布的。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d=200 mm、壁厚 δ=5 mm的薄壁圆环, 承受
p=2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器(参考内容)
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
轴向拉伸和压缩解读
X 0 FN 4 FD 0 FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F, FN3= 5F, FN4= F
FN1 2F, FN2= –3F, FN3= 5F, FN4= F
轴力图如下图:
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN 2F +
5F
+
F
x
-
3F
总结上面例子得到以下结论: ➢轴力只与外力有关,截面形状变化不会改变轴力大小; ➢集中外力多于两个时,轴力以分段函数表示,以集中力作用 点、分布载荷起止点为界点; ➢轴力等于脱离体上所有轴向外力的代数和; ➢求轴力时外力的符号法则:
第2章 轴向拉伸和压缩
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例 §2.2轴力及轴力图 §2.3轴向拉压杆横截面上的应力 §2.4材料的力学性质和基本试验 §2.5拉压杆的强度计算 §2.6拉压杆的变形 §2.7拉压变形的超静定问题 §2.8应力集中的概念
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念与实例
一、轴向拉压的工程实例
•变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面——平面假设; •各横截面沿轴向作相对平移,两截面间各纵向线绝对变形相同, 应变ε也相同;
•横向线与纵向线始终保持垂直,切应变γ为零。
4、应力的分布规律—— 沿横截面均匀分布
从平面假设可以判断:
F
(1)各纵向纤维应变相等——各点处正应力
相等,为常量。即正应力在截面上均匀分布;
F 4F 8F 5F FN1 0
FN1 2F
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
求AB 段内力:
X 0
FN2
轴向拉伸和压缩—轴向拉伸和压缩的概念与实例(建筑力学)
第七章 轴向拉伸与压缩
Hale Waihona Puke 轴向拉伸与压缩学习目标:
1. 弄清轴向拉(压)杆的受力特点和变形特点。 2. 应用截面法熟练计算轴向拉(压)杆的内力;并能正确 绘出轴力图。 3. 熟练掌握轴向拉(压)杆横截面上的正应力计算公式, 并能计算拉(压)杆的变形。 4.了解低碳钢和铸铁的σ-ε曲线,明确塑性材料和脆性材料 的力学性质及差别。 5. 会根据轴向拉(压)杆的强度条件进行强度计算。
重点:
轴向拉(压)杆的内力计算;轴向拉(压)杆横截面上的 应力计算及其强度条件在工程实际中的应用。
轴向拉伸与压缩
第一节 轴向拉伸和压缩的概念
在工程实际中经常遇到承受轴向拉伸和压缩的杆件。
轴向拉伸与压缩
受力特点:作用杆件上的外力(或外力合力)的作用线与 杆轴线重合。
变形特点:是纵向伸长或缩短。 这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。 这类构件称为轴向拉(压)杆。
材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩
c'
杆受压时同样分析,可得同样结果。 由式可知: 1. FN s ,A s; 2. s 与FN符号相同,拉应力为正,压应力为负。
说明:所得结果经实验证明是准确的,因此平面假设符合实际 情况。
上海交通大学
注意: 1. 公式仅适用于轴向拉压情况; 2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。
在外力作用区域附近,s 并不均布,而是由外力的作用情况而定。
k
F
将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行 F 方向分解:
k
pa
pa
s0 s a pa cosa (1 + cos 2a ) 2 s0 t a pa sin a s 0 cosa sin a sin 2a 2
F
a k sa
a
可知:sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。
ta
pa
上海交通大学
得 FN4 = F4 = 10 kN (拉)
A F1 FN
1
B F2
2
C
3
D F4
FN1 = 5 kN 5 kN + B
1
F3 FN2 = –15 kN
2
FN3 = 10 kN 10 kN + C D x
3
A
三、 轴力图 –15 kN
在杆件中间部分有外力作用时,杆件不同段上的轴力不同。 可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。 横轴 x:杆横截面位置;纵轴 FN:杆横截面上的轴力。 正值轴力 (拉)绘在横轴 上方,负值轴力 (压)绘在横轴下方。
变形特点:杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短,同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。
轴向拉伸:两端受拉力作用,杆的变形是轴向伸长,横向减小。
材料力学第2章-1拉压
平方米) (牛顿/平方米)记作:Pa (帕斯 牛顿 平方米 记作: 记为: 记为:Mpa 记为: 记为:Gpa 矢量背离截面 矢量指向截面
返回
N/m N/m
2 2
兆帕 千兆帕
4、正应力的符号规定: 、正应力的符号规定: 与轴力相同,拉伸( ) 与轴力相同,拉伸(+) 压缩( 压缩(-)
5、应力的分布规律: dFN= σ dA
ε
返回
二、压缩曲线: 压缩曲线:
F D B A C
σp
σs
σb
E
O
ε=∆ L/L
1、低碳钢的压缩曲线
特点: 弹性模量E均与拉伸时相同 均与拉伸时相同, 特点:极限应力σS弹性模量 均与拉伸时相同,但得不 到强度极限。 到强度极限。
返回
铸铁压缩曲线
2、铸铁压缩曲线的特点: 铸铁压缩曲线的特点: 1)形状与拉伸时相似。 )形状与拉伸时相似。 2)抗压强度比抗拉强度高 )抗压强度比抗拉强度高4~5倍。 倍 3)在较小的变形下突然破坏,破坏断面与轴线大约成 )在较小的变形下突然破坏, 450~550角。 三、两类材料力学性能比较 塑性材料:1)破坏前变形大,有流动阶段。 塑性材料: 破坏前变形大,有流动阶段。 承受冲击的能力好。 2)承受冲击的能力好。 均相同。 3)拉压时E、 σs均相同。 脆性材料: 破坏前变形小,没有明显的流动阶段。 脆性材料:1)破坏前变形小,没有明显的流动阶段。 承受冲击的能力不好。 2)承受冲击的能力不好。 抗拉强度低,抗压强度高。 3)抗拉强度低,抗压强度高。 塑性材料适合做承拉构件,脆性材料适合做承压构件。 塑性材料适合做承拉构件,脆性材料适合做承压构件。
FN =
∫ dF
A
N
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力,方向如图,试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求:
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆, 当截面变化缓慢时,横截面上旳 正应力也近似为均匀分布,可有:
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠;
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系, 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件,此范围相当 于横向尺寸旳1~1.5倍。
h
解: 1) BD杆内力N
取AC为研究对象,受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2) BD杆旳最大应力: s max FN max PL A hAcosq
突变规律: 1、从左边开始,向左旳力产生正旳轴力,轴力图向上突变。 2、从右边开始,向右旳力产生正旳轴力,轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即:离端面不远处,应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解:1)求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆,1段为直径 d1=20mm的圆杆,2 段为边长a=25mm的方杆,3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa,E=210GPa,求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象:
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面,两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设:变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面,所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律:变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同,其应力必然也相同。 FN (2-1) A 式中: A横截面的面积;FN该截面的轴力。 应力的符号:拉应力为正值应力,压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
工程力学7.轴向拉伸和压缩
2
力学模型如图
P
P
轴向拉伸,对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩,对应的力称为压力。
3
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图 一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分 之间分布内力系的合成。
4
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性
L E EA
EA
4、泊松比(或横向变形系数)
或 :
27
例4 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图?
A
B
L1
C L2
L2 P L1 C' C"
求各杆的变形量△Li ,如图 变形图严格画法,图中弧线 变形图近似画法,图中弧之
切线。
28
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系
x0 x
5、杆的横向变形: ac ac ac
6、x点处的横向线应变:
ac
ac
26
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律)
1 ; E
E
在轴向拉伸和压缩情况下,根据应力及应
变的计算公式,胡克定律可以用轴力和变形之
间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚
度。
L 1 1 P L PL
当a = ± 45°时,
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
23
1.一点的应力状态:过一点有无数的截面,这一点 的各个截面上的应力情况,称为这点的应力状态。
2.单元体:构件内的点的代表物,是包围被研究点 的无限小的几何体,常用的是正六面体。 单元体的性质: a)平行面上,应力均布;
七-轴向拉伸与压缩
EE
0.2 名义屈服极限
o
图
o
0.2%
名义屈服极限:
对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料,通常规定以产生 0.2%的 塑性应变所对应的应力作为屈服极限,称之为名义屈服极限,用 σ0.2来 表示。
Ⅳ、铸铁拉伸时的力学性能
b
o
图
没有明显的直线段,拉断时的应力较低;没有屈服和 颈缩现象;拉断前应变很小,伸长率很小;
任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。
3、理论分析
(1)几何分析
所有小元素体(小方 格)变形一样。
x
u x
l l
y
z
v y
w z
0
Δx Δx +Δu
(2)物理分析
根据物理学知识,当变形为弹 性时,变形与力成正比。
结论:横截面上只有 ,且
均匀分布。
各纤维变 形相同
各纤维所受 内力相等
横截面上 的内力均 匀分布
2 2
FN2
3KN
2C
注:不论外力如何,轴力都画为正方向; 若求出的轴力为负,说明是压力。
(3) 作轴力图
FN /KN 2
O
x
3 思考:3-3截面的轴力如何?
几点说明:
(1)不能在外力作用处截取截面。 (2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。 (3)轴力与截面尺寸无关。 (4)轴力不能完全描述杆的受力强度。
2. 低碳钢拉伸的四个阶段:
(1)弹性阶段(oab段)
变形是弹性的,卸载时变形可完全恢复;
Pe
b a
Oa段 —— 直线段,应力应变成线性关系
E ——胡克定律
O
E —— 材料的弹性模量(直线段的斜率)
第4章轴向拉伸与压缩
第4章轴向拉伸与压缩4.1 轴向拉伸与压缩的概念在建筑物和机械等工程结构中,经常使用受拉伸或压缩的构件。
例如图4.1所示液压传动中的活塞杆,工作时以拉伸和压缩变形为主。
图4.2所示拧紧的螺栓,螺栓杆以拉伸变形为主。
图4.1 图4.2图4.3所示拔桩机在工作时,油缸顶起吊臂将桩从地下拔起,油缸杆受压缩变形,桩在拔起时受拉伸变形,钢丝绳受拉伸变形。
图4.4所示桥墩承受桥面传来的载荷,以压缩变形为主。
图4.3 图4.4图4.5所示钢木组合桁架中的钢拉杆,以拉伸变形为主。
图4.6所示厂房用的混凝土立柱以压缩变形为主。
图4.5 图4.6 在工程中以拉伸或压缩为主要变形的构件,称为拉、压杆,若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合,称为轴向拉伸或轴向压缩。
4.2 轴向拉(压)杆的内力与轴力图4.2.1 拉压杆的内力在轴向外力F 作用下的等直杆,如图4.7(a )所示,利用截面法,可以确定n m -横截面上的唯一内力分量为轴力N F ,其作用线垂直于横截面并通过形心,如图4.7(b )所示。
图4.7利用平衡方程 0=∑x F得 F F =N通常规定:轴力N F 使杆件受拉为正,受压为负。
4.2.2 轴力图为了表明轴力沿杆轴线变化的情况,用平行于轴线的坐标表示横截面的位置,垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值,以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形,称为轴力图。
作轴力图时应注意以下几点:1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。
轴力的大小,按比例画在坐标上,并在图上标出代表点数值。
2、习惯上将正值(拉力)的轴力图画在坐标的正向;负值(压力)的轴力图画在坐标的负向。
例题4.1 一等直杆及受力情况如图(a )所示,试作杆的轴力图。
如何调整外力,使杆上轴力分布得比较合理。
例题4.1图解:(1)、求AB 段轴力用假设截面在1–1处截开,设轴力F N 为拉力,其指向背离横截面,由平衡方程得kN 5N1 F (图b )(2)、同理,求BC 段轴力kN 15kN 10kN 5N2=+=F (图c )(3)、求CD 段轴力,为简化计算,取右段为分离体kN 30N3=F (图d )(4)、按作轴力图的规则,作出轴力图,如图(e )所示。
工程力学第五章轴向拉伸压缩
在轴向拉伸和压缩过程中,物体内部 的应力分布是不均匀的,主要集中在 物体的横截面上。
轴向拉伸与压缩的应变分析
应变分析是研究物体在各种外力和内力作用下 产生的应变分布规律的过程。
在轴向拉伸和压缩过程中,物体内部的应变分 布也是不均匀的,主要集中在物体的横截面上。
应变分析的主要任务是确定物体在轴向拉伸和 压缩过程中横截面上的正应变和剪切应变的大 小和方向,以及它们的变化规律。
03
数值模拟与优化设计
数值模拟技术可以更加准确地模拟和分析结构的受力情况,优化设计参
数,提高结构的性能和可靠性。未来将更多地应用数值模拟与优化设计
技术,以降低工程成本和提高工程质量。
谢谢
THANKS
03 轴向拉伸与压缩的变形与强度
CHAPTER
轴向拉伸与压缩的变形规律
轴向拉伸与压缩时,杆件会产 生伸长或缩短变形,其变形量 可用伸长量或缩短量来表示。
杆件在轴向力作用下,杆件横 截面保持为平面,但会发生绕 中性轴的转动。
杆件在轴向拉伸或压缩时,中 性轴是应力为零的截面,中性 轴以上部分受拉,中性轴以下 部分受压。
工程力学第五章轴向拉伸压缩ຫໍສະໝຸດ 目录CONTENTS
• 轴向拉伸与压缩的概念 • 轴向拉伸与压缩的力学分析 • 轴向拉伸与压缩的变形与强度 • 轴向拉伸与压缩的实验研究 • 轴向拉伸与压缩的实际应用
01 轴向拉伸与压缩的概念
CHAPTER
定义与特性
定义
轴向拉伸与压缩是指物体在力的作用 下沿轴线方向产生的拉伸或压缩变形 。
实验设备与方法
实验设备
万能材料试验机、游标卡尺、夹具、 试样等。
实验方法
选取适当规格的试样,安装夹具,将 试样一端固定在试验机上,另一端施 加拉伸或压缩载荷,记录试样的变形 量,并测量相应的应力、应变值。
高职材料力学1—轴向拉伸与压缩
1.1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
力学模型如图
F
F
轴向拉伸, 对应的力称为拉力。
F
F
轴向压缩, 对应的力称为压力。
1.2 轴向拉伸或压缩时的内力
1.2.1 内力及轴力 内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间 分布内力系的合成(附加内力)。
要求截面上的内力,一般采用截面法,其基本步骤 如下:
的正应力为:
d2
s1
FN1 A1
4 2.0104
0.0202
6.37 107 Pa
63.7
MPa
同理,得 BC 段内任一横截面 2-2 上的正应力为:
s2
FN2 A2
4 (3.0104 )
0.0302
4.24107 Pa
42.4 MPa
是压应力
1.4 轴向拉伸或压缩时的变形
直杆在轴向拉力作用下,将引起轴向尺寸的增大和 横向尺寸的缩小。反之,在轴向压力作用下,将引 起轴向的缩短和横向的增大。
1.3 横截面上的应力 结论
F
F
(1)各纤维的伸长相同, 所以它们所受的力也相同。
(2)平面假设:变形前为平面的横截面,变形后仍保 持为平面且仍垂直于轴线。
1.3 横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}s
FN
s FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。s的符号与轴
横向增大,所以'和的符号是相反的。'和的关
系可以写成
说明P18:表1-1.
例 图所示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接,两杆与
铅垂线均成=30º的角度,长度均为l=2 m,直径均为d=25
轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
1 4、作内力图 P 1 FN P P
2
3 P
2
3
P
P
x
[例2] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力,方向如图,试画出杆的轴力图。
O
A
PA PB
B
C
PC
D
PD D PD
FN1
A PA
B PB
C PC
解: 求OA 段内力FN1,设置截面如图
F
x
0 F N 1 P A PB PC P D 0
解: 1、求1-1截面上内力 FN1,设置截面如图
F
x
0
1 P 1 FN1 P P P
2
3
P
FN 1 P 0 FN 1 P
P
2
3
2、2-2截面上的内力
F
x
0
P
FN2
P P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力
FN 3 P
P
FN3
FN 1 P FN 2 0
FN 3 P
2
s
α
t
Pa
1 2
t p sin s cos sin
s sin 2
四、sα 、tα出现最大的截面
1、=0º 即横截面上,s达到最大
s s cos s
2
t 0
t max s cos sin
1 2
2、=45º 的斜截面上, t剪应力达最大
P -3P x
★轴力图的特点:
1)遇到集中力,轴力图发生突变;
2)突变值 = 集中载荷的大小
5kN FN 5KN
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析第一节杆件拉伸或压缩的内力一、轴向拉伸或压缩的概念轴向拉伸或压缩:由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的,沿杆件长度发生的伸长或缩短。
二、工程实例三、轴力轴力图1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号:拉伸为正,压缩为负。
∑=0X0122=-+F F N kNF F N 242212-=-=-= ∑=0X34=-N FkNF N143==任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和,轴向载荷矢量离开该截面者取正,指向该截面者取负。
2、轴力图正对杆的下方,以杆的左端为坐标原点,取平行于杆轴线的直线为x 轴,并称为基线,垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。
正值绘在基线的上方,负值绘在基线的下方,最后在图上标上各截面轴力的大小。
注意:轴力图与基线形成一闭合曲线。
轴力图必须与杆件对齐。
在轴向集中力作用的截面上,轴力图将发生突变,其突变的绝对值等于轴向集中力的大小,而突变方向:集中力箭头向左时向上突变,集中力箭头向右时向下突变(图是从左向右画)。
例2-10第二节剪切的内力一、剪切的概念剪切:由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。
剪切面或受剪面 m-m二、工程实例三、剪力第三节杆件扭转的内力一、扭转的概念扭转:由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。
ϕ:扭转角;γ:剪切角二、工程实例三、扭矩某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。
外力偶矩矢量指向该截面的取负,离开该截面的取正。
四、 扭矩图在外力偶作用的截面上,扭矩图将发生突变,其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小,而突变方向:外力偶矩矢量方向向左的向上突变,向右则向下突变。
外力偶矩的计算公式:)(9550m N nP Mk ⋅=注意:kP 单位为kw ;n 单位为min r ;M 单位为m N ⋅第四节 梁弯曲时的内力一、 弯曲 变形的基本概念弯曲变形:由一对大小相等、方向相反,位于杆的纵向平面内的力偶引起的,杆件的轴线由直线变为曲线。
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩的特点:
◆ 受力特点:
◆ 变形特点:
F
F
F
F
承受轴向变形的杆件称为拉杆或压杆。
外力合力的作用线与杆轴线重合
主要是沿轴线方向伸长或缩短
第二节 轴力与轴力图 一、内力与截面法 内力 —— 外力引起的构件内部相连部分之间的相互作用力。 ◆ 内力为作用于整个截面上的连续分布力。今后,内力一般被用来特指截面上的分布内力的合力、或合力偶矩、或向截面形心简化所得到的主矢和主矩。
塑性材料为塑性屈服;脆性材料为脆性断裂
极限应力 ——
材料强度失效时所对应的应力,记作 u ,有
塑性材料(拉压相同)
脆性材料(拉压不同)
2.许用应力与安全因数
材料安全工作所容许承受的最大应力,记 作 [ ],规定
许用应力 ——
02
其中,n 为大于 1 的因数,称为安全因数 。
对于塑性材料,压缩与拉伸的许用应力基本相 同,无需区分;对于脆性材料,压缩与拉伸的许 用应力差异很大,必须严格区分。
(2)计算两杆应力
解得
AB 杆:
(2)计算两杆应力
AB 杆: AC 杆:
拉(压)杆斜截面上的应力 斜截面的方位角 : 以 x 轴为始边,以外法线轴 n 为终边,逆时针转向的 角为正,反之为负 。 斜截面上的全应力
将 p 沿斜截面的法向和切向分解,即得 斜截面上的正应力、切应力分别为 —— 横截面的面积 —— 横截面上的正应力 切应力的正负号规定:围绕所取分离体顺时针转向的切应力为正,反之为负。
[例 2-3] 试作出图示拉压杆的轴力图。
解:省略计算过程,直接作出轴力图如上图所示。
第三节 拉压杆的应力
一、应力的概念 应力是指截面上分布内力的集度 如图 为分布内力在 k 点的集度,称为 k 点的应力
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2.2.4 应力的概念 (4)应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕(Pa)。
1帕=1牛顿/米2 (N/m2) 1 MPa =1×106 N/m2 =1 N/mm2 = 106 Pa 1 GPa = 109 Pa
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
(+)
20kN E
求CD段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
3
3
FN3
25kN
3
D
−FN3 − 25 + 20 = 0
FN3 = 20 − 25 = −5 kN (-) 同理得DE段内的轴力 FN4 = 20 kN
20kN E
20kN E
FN1=10 kN (拉力) FN2=50 kN (拉力) FN3= -5 kN (压力) FN4=20 kN (拉力)
现在求与横截面成a角的任一斜截面k-k上的应力。
k
F
F
α
k
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
k
F
F
α
k
设直杆的轴向拉力为F, 横截面面积为A, 由公式(2.1), 横截面上的正应力为
σ = FN = F
AA
设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα, Aα与A之间
的关系应为
Aα
=
A
cosα
杆件左右两段在m-m上相互作用的内力是一个分布力系, 其合力
为FN。
m
F
m
F
} m
FN
m m
{ FN m
F
x
F
由左段的平衡方程得: ΣFx = 0, FN − F = 0 FN = F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.2 轴力
因为外力F的作用线与杆件轴线重合, 内力的合力FN的 作用线也必然与杆件的轴线重合, 所以FN称为轴力。习 惯上, 把拉伸时的轴力规定为正, 压缩时的轴力规定为 负。
解: 1. 计算轴力
取1-1截面左侧研究 求AB段轴力 FN1=F1=20 kN
A F1 F1
1
BF21Fra bibliotekFN1
2
C
2
取2-2截面左侧研究 F1
F2
FN2
求BC段轴力
FN2=F1-F2=-30 kN
20 kN
作轴力图
30 kN
FN1 = 2.0 ×104 N, FN2 = −3.0×104 N
d1
所得FN2为负, 说明BC段轴力的实际方向 与所设方向相反, 即应为压力。
2.2.3 轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置, 用垂直于杆 轴线的坐标表示横截面上的轴力数值, 从而绘出表示轴 力与横截面位置关系的图线, 称为轴力图。将正的轴力 画在上侧, 负的画在下侧。
例:一等直杆其受力情况如图所示, 作杆的轴力图。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
D
E
600
300
500
400
解:求支座反力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
20kN E
ΣFx = 0, − FR − 40 + 55 − 25 + 20 = 0 FR = 10 kN
FR A
1
2
40kN
1
B2
3
4
55kN 25kN
C3
D4
20kN E
用力的作用点将杆分段 该杆分为:AB, BC, CD, DE四段。 分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
推导公式 由结论可知, 在横截面上作用着均匀分布的正应力。
F
}σ
FN
σ = FN
(2.1)
A
式中, FN为轴力, A 为杆的横截面面积。σ的符号与轴力
FN的符号相同。
当轴力为正号时(拉伸), 正应力也为正号, 称为拉应力。
当轴力为负号时(压缩), 正应力也为负号, 称为压应力。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
当等直杆受几个轴向外力作用时, 由轴力图求出最大轴 力FN,max, 进一步可求得杆内的最大正应力为
σ max
=
FN,max A
最大轴力所在的截面称为危险截面, 危险截面上的正应 力称为最大工作应力。
例: 如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆, 同时承受轴向载荷F1 与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1= 20 kN, F2= 50 kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20 mm与d2=30 mm。
求AB段内的轴力
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
1
FR
1 FN1
1
FN1 − FR = 0
FN1 = FR = +10 kN
(+)
20kN E
求BC段内的轴力
FR
A
FR
A
40kN B
55kN 25kN
C
D
2
40kN B
2 FN2
2
FN2 − 40 − FR = 0
FN2 = FR + 40 = +50 kN
σ ( x) = FN ( x)
(2.2)
A(x)
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
(3) 若以集中力作用于杆件端截面 上, 则集中力作用点附近区域内的 应力分布比较复杂, 公式(2.1)只能 计算这个区域内横截面上的平均 应力, 不能描述作用点附近的真实 情况。这就引出, 端截面上外力作 用方式不同, 将有多大影响的问题。 实际上, 在外力作用区域内, 外力 分布方式有各种可能。例如在图a 和b中, 钢索和拉伸试样上的拉力 作用方式就是不同的。
FB FN3
轴力图如右图
C
FC C
FC FN4
FN
5F
2F
D
FD D
FD D
FD
F
x
3F
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
2.2.4 应力的概念 杆件截面上的分布内力集度称为应力。
求截面上a点的应力 包围a点取一微面积ΔA
ΔA上内力的总和为ΔF
{法向分量ΔFN
将ΔF分解 切向分量ΔFT
ΔFT
OA
B
C
D
FA
FB
FC
FD
FN1
A
B
C
D
FA
FB
FC
FD
解:求OA段内力FN1:设置截面如图
ΣFx = 0 FN1 − FA + FB − FC − FD = 0
FN1 − 5F + 8F − 4F − F = 0 FN1 = 2F
同理, 求得AB、BC、CD段内力分别为
FN2= –3F
FN2
B
FN3= 5F FN4= F
1
2
40kN
3
4
55kN 25kN
20kN
A
1
B2
C3
600
300
500
D4
E
400
50 kN
作出杆的轴力图 如图所示。
FN 10 kN
20 kN
x 5 kN
FN max发生在BC段内任意截面上。
例: 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F 的力, 方向如图, 试画出杆的轴力图。
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力 只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度, 如用 同一材料制成粗细不同的两根杆, 需用应力来度量杆 件的受力程度。
研究应力的方法 :
(1)实验 (2)观察现象 (3)通过观察到的现象得出结论 (4)通过结论推导出应力公式
2.2.5 拉(压)杆横截面上的应力
实验 取一等直杆, 在其侧面上画出与轴线平行的纵向线和 与轴线垂直的横向线。
FN
=
FR 2
=
pbd 2
σ = FN = pbd = pd A 2bδ 2δ
=
2×106 × 0.2 2 × 5×10−3
=
40 ×106
Pa
=
40
MPa
2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
前面讨论了轴向拉伸或压缩时, 直杆横截面上的正应力, 它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明, 拉 (压)杆的破坏并不总是沿横截面发生, 有时却是沿斜截 面发生的。为此, 应进一步讨论斜截面上的应力。
由于已假设物体是均匀连续的可变形固体, 因此在物体 内部相邻部分之间相互作用的内力, 实际上是一个连续 分布的内力系, 而将分布内力系的合成(力或力偶), 简 称为内力。也就是说, 内力是指由外力作用所引起的、 物体内相邻部分之间分布内力系的合成。
2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
显示拉(压)杆横截面上的内力, 沿m-m假想地把杆件分成两部分,
=
−42.4
MPa
是压应力
例: 长为b、内径d=200 mm、壁厚 δ=5 mm的薄壁圆环, 承受
p=2 MPa的内压力作用, 如图所示。试求圆环径向截面上的拉
应力。
薄壁容器(参考内容)
解: 薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大, 故在包含圆环轴线 的任何径向截面上, 作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力, 可 假想地用一直径平面将圆环截分为二, 并研究留下的半环的平 衡。半环上的内压力沿y方向的合力为