控制系统根轨迹绘制

0
4 3
3
2

2
0
1

3
j4
1 8 30.75 1537 .5 8k g 30.75 kg
37 k g 50 0 kg 0 0 0 0 0
当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时，k g 192.2 。 辅助方程为：30.75s 2 192.2 0 ， 解得共轭虚根为：s1, 2 j 2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。 5
( tg 1 tg 1 4 90 ) 141.9

j4
1
根据对称性，可知-3-j4处的出射 角 2 为： 2 141.9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为： s 4 8s3 37s 2 50s kg 0 劳斯阵为：
s4 s3 s2 s1 s
(s z )
i i 1 n j j 1
m
(s p )
i
则正、负反馈的根轨迹方程分别为：
kg
(s z )
i
m
(s p
j 1
i 1 n
1
kg
(s z ) (s p
j 1 i 1 n j
m
1
j
)
)
可见，正反馈根轨迹相当与负反馈根轨迹的 k g 从0 时的根 轨迹。所以，可将正负反馈系统的根轨迹合并，得 kg 时的整个区间的根轨迹， 请阅读p135,图4-29及下页比较图。
1 由零极点相对消减少的极点由 H ( s) H ( s)
1 ' ( s) H ( s)
页图。
的极点来补充。见下 12
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Gk ( s)
k g ( s 1) ( s 1)(s 2)
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s2 3.52 。 s1 0.48，不在根轨迹上。分离点为： 显然，
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Gk (s)
kg s( s 1)(s 5)
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比较正负反馈的根轨迹方程：
Gk ( s ) k g 若开环传递函数为：
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⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 d 2 3 2 4s 24s 74s 50 0 由 N ' (s) D(s) N (s) D' (s) 0 得：
由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法：
k g ( s 2)
p z 重心：
i
i
4 1
03 2 2 1 3
⑶实轴上根轨迹区间 (,3],[2,0]
⑷实轴上无分离点和会合点。
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⑸出射角： 1 j1点：1c 180 pi z j
s1 6 k 50k g g 34 k g 0 s 2k g 0 0 0 0
辅助方程为：5.4s 2 14 0
s1, 2 j1.61
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⑺绘制根轨迹图，见下图
2.5 2 1.5 1 Imag Axis 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -4 -3 -2 -1 Real Axis 0 1 2
n 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。
注意：
后两步可能不存在；
分离角 d

在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
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一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反 馈系统的。 kg Gk ( s) [例]开环传递函数为： ，画根 2 s( s 2)[(s 3) 16] 轨迹。 3 j 4。有四条根轨迹。 [解] ：①标出四个开环极点：0，-2， ②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]；
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绘制0度根轨迹的基本准则： 对称性和连续性同常规根轨迹； 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹； 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同， 2 k 为： , k 0,1,2... ，有n-m个角度。
nm
实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶 数（包括0）的区域。 分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；
（从其他零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 （从各个极点到该零点的 矢量幅角 ） （从其他零点到该零点的 矢量幅角 ）
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计算根轨迹和虚轴的交点； 由N'(s)D(s)- N(s)D' (s) 0求解 计算会合点和分离点：
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将例4-9的给出的开环传递函数分别绘制正负根轨迹图如下：
Gk (s) kg s( s 1)(s 5)
kg (s 4 8s3 37s 2 50s)
我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g 最大时为分离点。
s
-0.2 8.58 -0.4 14.57 -0.6 18.28 -0.8 20.01 -1.0 20.0 -1.2 18.47 -1.4 15.59 -1.6 11.49 -1.8 6.28 -2.0
0
1
2
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[例4-7]设开环系统传递函数为：Gk ( s) 试绘制根轨迹。
k g ( s 1) ( s 0.1)(s 0.5)
[解]：⑴开环零点 z1 1 ，开环极点 p1 0.1, p2 0.5, 根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。 一支在无穷远处。
第四节 控制系统根轨迹的绘制
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前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点○ “ ”； 确定实轴上的根迹区间； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分 别为： p j zi (2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角： 出射角 （从其他极点到该极点的 矢量幅角 ）
k gd
可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。
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⑦绘制根轨迹，如下图所示。
5 4 3 2
141.9 j 2 .5
1
Imag Axis 0 -1 -2
0 .9
j 2 .5
-3
-4 -5 -4
-3
-2
-1 Real Axis
0 i 1 j 1
n 1
m
1800 (tg 1 0.5 900 1350） （450） 26.60
对 1 j1点， 2c 26Leabharlann Baidu60 ⑹与虚轴的交点：
s 4 5s3 8s 2 (6 kg )s 2kg 0 闭环系统的特征方程为： 劳斯阵列： 1 8 2k g 劳斯阵有一行全为0，表示 4 s 有共轭虚根。令： 5 6 kg 0 3 50k g s 34 k g 6 kg 0, k g 7 2k g 0 2 s 34 k g 5
(2k 1) 3 , ,与实轴的交点为： ③渐进线倾角： nm 4 4
p z
j
i
nm
026 2 4
4
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④-3+4j处的出射角 1 ： 1 ( 1 2 3 )
(,1],[0.5,1] ⑵实轴上根轨迹区间：
⑶分离点和会合点： 例4-4中已求得，分别为分离点=
-0.33,会合点=-1.67，分离角 d
⑷绘制根轨迹。
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2
1
0 .5
A 0.1

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[例4-8]设系统开环传递函数为：Gk ( s) 2 s ( s 3 )( s 2s 2) 试绘制系统的根轨迹。 [解]：开环零，极点分别为： z1 2 , p1 0, p2 3, ⑴根轨迹有四支。 p3, 4 1 j (2k 1) 5 , , ⑵渐近线倾角 4 1 3 3
R( s )
+
G (s)
C (s)
Gk (s) G(s) H (s) 开环传递函数为：
( s) 闭环传递函数为： G( s) 1 G( s) H ( s)
H (s)
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相应的跟轨迹方程为： Gk ( s) 1 幅值条件和相角条件为： Gk (s) 1, Gk (s) 2k , (k 0,1,2,...) 与负反馈系统根轨迹比较，幅值条件相同，相角条件 不同。负反馈系统的相角条件 (2k 1) 是180度等相角条 件；而正反馈系统的相角条件 2k 是0度等相角条件。 注意： 负反馈系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹； 正反馈系统根轨迹称为0度根轨迹。
j1.61
26.6
j1.61
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特殊情况：对于开环传递函数 Gk (s)有零极点相对消的情况。 C (s) R( s ) kg G (s) 如： G( s) , H ( s) s 1 (s 1)(s 2)
Gk ( s) G( s) H ( s) 则： kg
j 1
n 1
与虚轴的交点：同常规根轨迹； 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。
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[例4-9]：设单位正反馈系统的开环传递函数为： kg ，试绘制系统的根轨迹。 Gk (s)
s( s 1)(s 5)
[解]： 起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。 渐进线：与实轴的交点 2 k 2 倾角： 0,
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出射角和入射角：
出 （所有开环零点到该极点的矢量幅角）
i 1
m
（其它开环极点到该极点的矢量幅角）
j 1 j c1
n 1
入 （其它开环零点到该零点的矢量幅角）
i 1 i c 2
m 1
（所有开环极点到该零点的矢量幅角）
征方程阶数的下降。处理方法见下图：
R( s ) 1 H ( s)
s2
，引起特
H (s)
-
G( s) H ( s)
C (s)
Gk ( s) 1 ( s) H ( s) 1 Gk ( s)
G 式中：
k
( s) G( s) H ( s)
以开环传递函数 Gk (s) 绘制根轨迹可得 ' (s)的极点。闭环 1 系统 ( s )的极点由 ' (s)和 组合而成。
nm 3
p z
j i
nm
0 1 5 2 3
实轴上根轨迹区间：[-5，-1]，[0， ） , 由 N ' (s) D(s) N (s) D' (s) 0 得： 分离角（点）： d 2 2 3s 12s 5 0, 解得：s ,3.52 1,2 0.48
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二、 多回路系统的根轨迹 简单处理办法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制 180度根轨迹或参量根轨迹。 三、 正反馈系统的根轨迹
以上我们讨论的都是闭环负反馈系统的根轨迹绘制准则。 在实际的复杂系统中，可能有局部的正反馈的结构。正反馈系 统的根轨迹绘制准则与负反馈系统根轨迹略有不同。如下图所 示系统：