九年级上册数学：锐角三角函数
初三数学锐角三角函数
初三数学锐角三角函数中考要求中考要求模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=．（2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：①正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数a A这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <【例1】 已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ．【巩固】如图，点A 在半径为R 的O 上，以A 为圆心，r 为半径作A ，设O 的弦PQ 与A 相切，求证PA QA ⋅为定值．【例2】 求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【巩固】化简：22sin cos sin 1tan sin cos αααααα++--【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+，（2090α︒<<︒）．【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【例4】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数． OQPA【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【例5】 已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程．【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【例6】 若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是 ．模块二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来cb aC BA（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD（用含a αβθ，，，的代数式表示）图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线【例8】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【例9】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A 北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．DC BA【巩固】海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）课堂检测1． （辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．2． 化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒3． 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）课后作业1． 化简求值：1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪⎪ ⎪⎪+-+-⎝⎭⎝⎭（090α︒<<︒）2． 若045α︒<<︒，且3sin cos 716αα=，求sin α的值． 图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A（图1）3． （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BCsadA AB=底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ． （3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．图②图①C BAC B A。
沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件
B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的 对 边 斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论：
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a
┌
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中，∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐 渐增大
正切值 也增大
讨论： 锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳
沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数 课件(共13张PPT)
(6) tan30°·tan60°＋ cos230°
本节课学习了什么内容？
三角函数 sina cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
拓展探究
求已知锐角的三角函数值：
21..求求csoint7603゜゜4552′′的41值″的.（值精. 确（到精0确.0到0001.）0001） 在先角用度如单下位方状法态将为角“度度单” 位的状情态况设下定:屏为幕“显度示”出
显示
按再下按列下列顺顺序序依依次次按按键键
由锐角三角函数值求锐角:
已知tan x=0.7410,求锐角 x.（精确到1′） 在角度单位状态为“度” 的情况下（屏幕显示 出 ），按下列顺序 依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
24.2锐角三角函数值
自学检测：
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数.用刻度
尺量出你所用的含30°的三角尺中，30°所对的
直角边与斜边的长，与同桌交流，看看这个常数
是什么.
B
sin30°=
对边 ＝1 Βιβλιοθήκη 边 2理由：30在直角三角形中，如果A一个锐角等于30°，C
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
若 tan 1 则α＝______3_0_°____；
3
若 cos 1 ,则α＝______4_5_°____．
2
2.根据下列条件，求出相应的锐角A：
(1) sin A 2 ; (2) cos A 3 0;
2
2
(3) tan(A 20) 1.
基础练习：
冀教版九年级数学上册《锐角三角函数的计算》PPT精品课件
9
8
1
观察计算的结果,当α增大时,角α的正弦值、余弦值、正切值怎样变化?
正弦值随着角度的增大（或减ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
知识讲解
2.已知一个锐角三角函数的值求锐角的度数
例2 用计算器求下列各锐角的度数:(结果精确到1″) (1)已知cosα=0.5237,求锐角α; (2)已知tanβ=1.6480,求锐角β.
知识讲解
(2)在计算器开机状态下,按键顺序为
2ndF tan-1 1 . 6 4 显示结果为58.750 786 43. 即β≈58.750 786 43°.
80=
再继续按键: 2ndF
DEG
显示结果为58□45□2.83.
即β≈58°45‘ 3″.
知识讲解
例3 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.
2.已知 sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（ A ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．以上结论都不对
3.用计算器验证，下列各式中正确的是（ D ） A．sin18°24′+sin35°26′=sin45° B．sin65°54′-sin35°54′=sin30° C．2sin15°30′=sin31° D．sin72°18′-sin12°18′=sin47°42′
2.求cos72°的值． 第一步：按计算器 cos 键，
第二步：输入角度值72， 第三步：输入 键， 屏幕显示结果为0.309 016 994.
即cos 72°=0.309 016 994.
新华师大版九年级上册初中数学 24-3-1课时1 锐角三角函数 教学课件
或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，
如sin ∠ABC，sin ∠1等． (3)三角函数符号后面可以写成度数，如sin 20°等．
第十二页，共二十页。
c5
c5
tan B= b = 4 . a3
A
c
b
解:(2) b c2 a2 144 12
B
sin B= b = 12，cos B= a = 5 ，
c 13
c 13
tan B= b = 12 . a5
C
a
第十八页，共二十页。
拓展与延伸
如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10， E
ED=6.试求出∠D的三个三角函数值.
正切.
sin
A=
∠A的对边 斜边
=
a c
，
cos
A=
∠A的邻边 斜边
=
b c
，
tan
A=
∠A的对边 ∠A的邻边
=
a b
.
取值范围 0<sinA<1，0<cosA<1
第九页，共二十页。
新课讲解
例 1 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=15
知识点 ，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.
解： AB BC2 AC2 289 17
A
c b
B
C
a
第五页，共二十页。
新课讲解
知识点1 锐角三角函数的定义
一般情况下，Rt△ABC中，当锐角∠A
取一固定值时，∠A的对边与邻边的比值会
人教版九年级数学第二十八章：锐角三角函数(教案)
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：强调锐角三角函数是由直角三角形中的边长比定义的，包括正弦、余弦、正切三个函数，以及它们的基本性质。
-特殊角的三角函数值：熟练掌握30°、45°、60°等特殊角的正弦、余弦、正切值，并能灵活运用。
-函数图像与性质：理解正弦、余弦、正切函数的图像特点，以及它们随角度变化的规律。
五、教学反思
在今天的课程中，我发现学生们对锐角三角函数的概念和应用表现出浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更好地理解抽象的数学概念。我注意到，当学生们参与到实验操作和小组讨论中时，他们能够更主动地探索和发现数学规律。
在讲授新课的过程中，我发现正弦、余弦、正切的定义对于一些学生来说还是有一定难度。为了帮助学生更好地理解，我采用了直观的图形和实际例子来进行解释。我觉得这种方法是有效的，因为学生能够通过视觉和实际操作来加深记忆。
我也注意到，在小组讨论环节，有些学生刚开始时不太愿意发表自己的意见。为了鼓励他们，我尽量提了一些开放性的问题，并给予积极的反馈。随着时间的推移，我看到了他们的参与度逐渐提高，这是非常令人欣慰的。
在实践活动方面，虽然时间有限，但学生们似乎很喜欢这种动手操作的机会。他们通过测量和计算，能够将理论知识应用到实际问题中。不过，我也意识到在未来的课程中，可以设计更多样化的实践活动，让学生有更多机会亲自探索和验证三角函数的性质。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计
4.作业完成后，请学生认真检查，确保答案的正确性。
4.利用信息技术手段，如动态课件、网络资源等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和积极性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自主学习能力。
2.通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神，提高学生的自信心和自尊心。
九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.使学生掌握锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的概念，并能够运用这些概念进行简单的计算。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，如测量物体的高度、计算角度等。
3.使学生掌握特殊角的三角函数值，并能熟练运用到实际问题中。
（2）运用三角函数解决实际问题，尤其是将实际问题抽象为数学模型，并运用三角函数进行求解；
（3）掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用到实际问题中。
（二）教学设想
1.教学策略：
（1）采用情境教学法，创设实际问题情境，引导学生主动探究锐角三角函数的定义和性质；
（2）运用任务驱动法，设计具有挑战性的任务，让学生在实践中掌握三角函数的计算方法和应用；
（3）了解三角函数在其他学科领域的应用，如物理、工程等。
4.小组合作题：
（1）分组讨论：如何利用三角函数解决实际问题？举例说明；
（2）小组合作完成一份关于锐角三角函数在实际问题中应用的报告。
作业要求：
1.学生需独立完成基础题，提高题和拓展题可根据个人能力选择完成；
2.作业过程中，要求学生注重解题思路和方法的总结，养成良好的学习习惯；
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。
下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。
- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。
- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。
2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。
3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。
4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。
5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。
冀教版九年级数学上册26.1《锐角三角函数》(共19张PPT)
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
典例精析 例2. 求下列各式的值：
(1) 2sin 30 3 tan 30 tan 45
(2) sin2 45 tan 60 sin 60
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
复习巩固
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作
tanA,即
tanA=2ຫໍສະໝຸດ 特殊角的正切值：A的对边 A的邻边
B
tan30° tan45° tan60°
31 3
3
斜边 ∠A的对边
AB 10 5
课堂小结
锐角三角函数
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
c
cosA= A的邻边 = b
A的斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边
b
课堂小测
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4,则 sinA的值为（D ）
A.
B.
C.
D.
2. sin2 30 cos2 30 tan 45 0
典例精析1、 例题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC=12，
的三角函数A值．
C
5
12
解：由勾股定理
A
24.3 锐角三角函数 华师大版数学九年级上册教案
24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时锐角三角函数的定义※教学目标※【知识与技能】了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用.【情感态度】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.【教学重点】锐角三角函数的概念.【教学难点】锐角三角函数的概念的理解.※教学过程※一、情境导入如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度.这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题.二、探索新知1.某个角的对边、邻边的概念.在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）.2.做一做.（1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算.（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下.（3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关.说明：观察图中的Rt△AB 1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的.3.锐角三角形函数的定义∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA=∠A的正切：tanA=∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.4.知识拓展（1）正弦与余弦三角函数值的取值范围.∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0<sinA<1,0<cosA<1.(2)同角三角函数关系sin2α+cos2α=1;tanα=.(3)互余两角的三角函数值若α、β都是锐角，且α+β=90°,那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ.三、巩固练习【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.解：AB==17,sinA=,cosA=,tanA=.【练习】1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：∠P的对边是，∠P的邻边是；∠M的对边是，∠M的邻边是.第1题图第2题图2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：（1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13.答案：1.MN PN PN MN2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=.3.(1)sinB=,cosB=,tanB=.(2)sinB=,cosB=,tanB=.四、应用拓展【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值.解：∵sinA=,∴AB=,∴AC=.【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值.解：方法一：用定义法求解∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.∴cosα=,tanα=.方法二：用公式求解∵α为锐角，∴cosα==,tanα=.五、归纳小结1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关；3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应.※课后作业※1.教材第111页习题24.3第1、2题.2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=,求的值.第2课时特殊角的三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.【情感态度】经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性，说理过程的严谨性，养成科学的、严谨的学习态度.【教学重点】特殊角的三角函数值.【教学难点】与特殊角的三角函数值有关的计算.※教学过程※一、复习引入在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,求∠A、∠B的三个三角函数值.回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质.二、探索新知在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值.解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即BC=1,则AB=2，由勾股定理得：AC=.由三角函数定义,得sin30°=.cos30°=.tan30°=.同理可得sin60°=,cos60°=,tan60°=.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三角函数值.若设AC=BC=1.则AB=.易得sin45°=,cos45°=,tan45°=1.【例1】求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°.解：原式=.【例2】在Rt△ABC中，若sinA=,则cos的值是多少？解：由sinA=知A=60°.∴cos=cos30°=.三、巩固练习1.在△ABC中，若cosA=,tanB=，则此三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.用特殊角的三角函数填空：= = ;= = ;1= ;= .3.化简= .4.点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是.5.求下列各式的值：（1）sin260°+cos260°;(2)2cos60°+2sin30°+4tan45°;(3).6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=.求∠A的大小.答案：1.A 2.sin60° cos30° sin45° cos45°tan45° tan60° 3. 4.5.(1)1 (2)6 (3)6.∠A=45°四、应用拓展1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，则∠D=15°.设AC=k,则AB=2k,BC=k,所以CD=BC+BD=BC+AB=(2+)k,所以tan15°===2-.2.仿上面的解题方法，易求tan22.5°=-1.※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第3题.2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式=0,求∠C的度数.3.若α为锐角，且tan2α-(1+)tanα+1=0.求α的度数.2.用计算器求锐角三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.会使用计算器求锐角三角函数的值.2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用.【情感态度】经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序.【教学重点】利用计算器求锐角三角函数的值.【教学难点】计算器的按键顺序. ※教学过程※一、复习引入填表：由上表我们可以直接写出30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角.对一些非特殊的角，怎样求它的三个三角函数值呢？二、探索新知1.求锐角三角函数值【例1】求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）.解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979.【例2】求tan19°15′的值（精确到0.0001）.解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为0.3492156334.∴tan19°15′≈0.3492.2.由锐角三角函数值求锐角.【例3】若tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为36.53844577.再按键,显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.三、巩固练习1.利用计算器求下列三角函数值：（精确到0.0001）（1）sin24°;(2)cos51°42′20″;(3)tan70°21′.2.已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α：（精确到1′）（1）sinα=0.2476;(2)cosα=0.4174;(3)tanα=0.1890.答案：1.（1）0.4067 (2)0.6197 (3)2.8006 2.(1)14°20′(2)65°20′(3)10°42′※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第4、5题.2.比较大小.cos25° cos32°,tan29° tan39°.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=29，AC=25，求∠A的度数.。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
华师大版数学九年级上册24.锐角三角函数说课课件
4、概括：引导学生自己概括出互余两角的正弦和余弦之间的关 系。
5、讨论：互余两角的正切和余切之间是否也存在这样的关系？ 说说你的想法。
6、交流：让学生相互交流讨论结果，加深理解。
[设计意图]
本节重视倡导学生在问题情境中自主探索， 在探索基础上组织交流，在交流的基础上引 导学生反思，从而重视知识的产生过程，使 学生在自主探索中理解数学知识，体验成功 的乐趣。学习的内容不再以定论的情势呈现， 而是以问题的情势呈现，让学生紧紧环绕问 题情境，通过自主探索，合作交流，反思体 验来主动建构。
2、让学生借助于两块三角板，根据锐角三角函数的定 义，分别求出30°，45°，60°角的四个三角函数值。 （1）先让学生说说自己的方法，再让学生独立计算。 （2）引导学生相互交流，将交流结果填在表格中。
30°、45°、60°角的三角函数值
A
sinA
cosA
tanA
cotA
30°
45°
60°
[设计意图]
二：教学目标
根据本课的设计意图和教学内容，结合学生的实 际情况，我制定了以下教学目标：
1：知识与能力：使学生运用锐角三角函数的定义， 探索并掌握30°，45°，60°角的三角函数值，理 解并掌握互余两角的三角函数关系，能运用它们解 决有关问题。
2：过程与方法：培养学生视察，分析，概括，推 理的能力，逐步渗透数形结合思想和转化思想。
锐角三角函数
一：教材分析
本节课是华师大版数学教材九年级上册第24章 第三节锐角三角函数第二课时内容。锐角三角函数 反应了直角三角形中存在的边角关系，它是解直角 三角形的重要根据之一，在教材中具有非常重要的 作用。考虑到锐角三角函数的知识点较多，教材在 编写时有意安排了两个课时的内容，这节课是在学 生掌握了锐角三角函数的意义和同角三角函数关系 的基础上进行的。
湘教版数学九年级上册第4章《锐角三角函数》章末知识复习课件
∴
= .
设 BE=3a m.
则 AE=4a m,
在 Rt△ABE 中,AB= + = () + () =5a(m),
∵AB=75 m,∴5a=75.∴a=15.
∴DN=BE=45 m,AE=60 m.
设 NA=x m,则 BD=NE=AN+AE=(x+60)m.
9.如图所示,在 Rt△BAD 中,延长斜边 BD 到点 C,使 DC= BD,连接 AC,若 tan ∠ADB= ,则
tan ∠CAD 的值为
.
10.(2022 黔西南)如图所示,某海军舰艇在某海域 C 岛附近巡航,计划从 A 岛向北偏东 80°
方向的 B 岛直线行驶.测得 C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向,在 B 岛的北偏西 40°方向.A,B
使得 CM=AC,连接 AM,如图②所示.
∵∠ACB=150°,
∴∠AMC=∠MAC=15°.
tan 15°=tan ∠AMD=
=
=
+ +
=2- .
类型二
数学模型思想
建立几何模型解直角三角形实际应用问题.
(2022 怀化)某地修建了一座半径为 800 m 的圆形纪念园.如图所示,纪念园中心点 A 位于 C
A.msin 35°
C.
°
B.mcos 35°
D.
°
8.(2022 宜宾)如图所示,在矩形纸片 ABCD 中,AB=5,BC=3,将△BCD 沿 BD 折叠到△BED 位
数学九年级北师大版锐角三角函数(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的对边、邻边与斜边之间的比值关系。这些函数包括正弦、余弦和正切函数，它们在解决实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要测量一座建筑物的高度，通过观察角度和已知距离，运用锐角三角函数可以轻松解决这个问题。
4.培养学生的数据分析观念：在解决实际问题的过程中，培养学生对数据的收集、整理、分析和处理能力，形成数据分析观念。
5.提高学生的数学建模能力：通过构建锐角三角函数模型解决实际问题，使学生掌握数学建模的基本方法，提高数学建模能力。
本节课将紧密围绕核心素养目标，引导学生深入探究锐角三角函数相关知识，培养其学科素养。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过学习锐角三角函数的定义、图像与性质，使学生掌握推理、论证的方法，提高逻辑思维能力。
2.提升学生的空间观念：通过分析锐角三角函数的图像与性质，培养学生对图形的观察、分析、想象和创造能力，形成良好的空间观念。
3.增强学生的数学应用意识：将锐角三角函数应用于解决实际问题，使学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
最后，关于课堂总结和回顾，我觉得这部分时间分配得较为合理。在总结时，我强调了锐角三角函数在实际生活中的应用，希望学生们能够将所学知识内化为自己的能力。但同时，我也意识到在课堂总结时，应该更加关注学生的疑问和困惑，鼓励他们大胆提问，及时解答他们的疑惑。
1.采用更生动、直观的教学方法，帮助学生理解锐角三角函数的定义。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
沪科版数学九年级上册23.锐角三角函数-正弦和余弦课件
∵AB=AC, AD⊥BC
∴BD=
1 2BC=
21×6=3
47
B
┌
C
3D
在Rt△ABD中，BD=3，AB=4
∴AD= AB2 BD2 42 32 7
∴在Rt△ABD中,
cosB= BD 3 , tanB= AD 7 ,
AB 4
BD 3
（拓展类）
⑴在如图所示的格点图中，
D
要求出锐角 的三角函数值;
B1 B
30°
A
C C1
B1
B
45°
A
C C1
上升高度 飞行路程
当∠A=30°时，BC B1C1 1
AB AB1 2
当∠A=45°时，BC B1C1 2
AB AB1 2
对于每一个确定的锐角，在角的边上 任意取一点B作BC⊥AC于点C，
BC B1C1 AB AB1
AC AC1 AB AB1
AC
的正切(tangent) ，记做tan
。
即tan= BC
AC
B’ B
C C’
锐角 的正弦，余弦和正切统称∠ 的三角函数
正弦 sinA =
A的对边 斜边
余弦
cosA =
A的邻边 斜边
正切 tanA = A的对边
A的邻边
一定要记住哦！
0<sinA<1 0<cosA<1
正对正
弦对斜
tanA﹥0 切无斜
你能说出下面直角三角形中各锐角的三角函数吗？
E B
A
c
b
C
A
①
GB
a
C
②
③
F
是是非非（巩固类）
初中数学 九年级 第4章 锐角三角函数 知识点清单 最新最全
第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦知识点1 正弦1.正弦的定义2.特殊角的正弦值3.利用计算器求锐角的正弦值或由正弦值求锐角。
特别提醒1. sinα是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成sin·a2.正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数,如sinα,sin A, sin∠ ABC,sin∠2, sin 70°.知识点2 余弦1.余弦的定义2.特殊角的余弦值3.利用计算器求锐角的余弦值或由余弦值求锐角。
知识点3 互余两角正弦值和余弦值的关系1.同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系：sin²A+cos²A=1(平方关系)2.互余两角的正弦值和余弦值之间的关系：3.sin A=cos(90°-∠A) cos A=sin(90°-∠A)锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.4.2 正切知识点1 正切1.正切的定义2.特殊角的正切值3.利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角。
4.拓展：(1)互余两角的正切值之间的关系：tan α·tan(90°-α)=1.(2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系：tan α= sinαcosα特别提醒：1.tan a是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成tan・α.2.tan α中的α角的符号"∠"习惯上省略不写,但对于用三个大写英文字母或数字表示的角,角的符号不能省略。
3. tanα的值只与角α的大小有关,与所在直角三角形的边的长短无关.4.正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数.知识点2 锐角三角函数1.定义：从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角a都有唯一确定的比值sin α(或cos α,tan α)与它对应.当角α变化时，它的比值sin α(或cos α,tan α)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数2.特殊角的三角函数值：特别提醒并非只有在直角三角形中才有三角函数值,而是只要有角就有三角函数值.锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系,它是一个比值,无单位,这些比值只与锐角的大小有关.在锐角三角函数中,自变量是角a.4.3 解直角三角形知识点1 解直角三角形的定义一般地，在直角三角形中，除直角外,共有五个元素，即三条边和两个锐角，在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.(1)在直角三角形中、除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)(2)一个直角三角形可解，则其面积可求.但在一个解直角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知识点2 直角三角形中的边角关系1.直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除∠C外的5个元素之间有如下关系：1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理)(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90(3)边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边= ac,sinB=∠B的对边斜边= bc,cosA =∠A的邻边斜边= bc, cosB =∠B的邻边斜边= ac,tanA=∠A的对边∠A的邻边= ac, tanB =∠B的对边∠B的邻边= ac,3.运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：（1）锐角之间的关系：∠A=90°-∠B，∠B=90°-∠A；（2）三边之间的关系：a=√c2−b2, b=√c2−a2,c=√a2+b2;（3）边角之间的关系：a=c·sinA ,a=c·cosB ,a=b·tanA ,b=c·sinB ,b=c·cosA ,b=a·tanB,4.4 解直角三角形的应用知识点1 解直角三角形在实际中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.2.解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示.特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时,可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时,若相关的角不是直角三角形的内角,应利用平行线的性质或互余互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角,再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式,运用方程求解。
沪科九年级数学上册第23章1 3 一般锐角的三角函数值
2.用计算器求三角函数值：(精确到0.000 1)． (1) sin 10°； (2) cos 50°18' ． 解：(1)
按键顺序
显示
sin 1 0 =
0.173 648 177
∴ sin 10°= 0.173 6．
(2)
按键顺序
cos 5 0 D·M'S 1 8 D·M'S =
cos ( 5 0 + 1 8 ÷ 6 0 ) =
显示
0.638 767 817 0.638 767 817
∴ cos 50°18' = 0. 638 8．
3.比较下列各题中两个值的大小(借助计算器计算)． (1) sin 46° ＞ sin 44°； (2) cos 20° ＞ cos 50°； (3) tan 33°15' ＞ tan 33°14' ．
23.1 锐角的三角函数
3.一般锐角的三角函数值
1. 会用计算器求锐角的三角函数值． 2. 会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角． 3. 经历动手操作求一般锐角的三角函数的过程，提高学生的
动手能力． 4. 让学生积极参与数学活动，经历计算器的使用过程，提高
学习数学的兴趣．
根据前面学习的特殊角的三角函数值，完成下面的表格．
数
操作即可；
值
计算器显示的是三角函数的近似值，不同计算器给
出近似值的数字个数也不同．
三角函数值 α
三角函数
sin α
cos α
tan α
30° 1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2 1 2
3
任意一个锐角，如何求它的三角函数值呢？ 比如求sin 36°的值．
九年级数学锐角三角函数(带答案)
锐角三角函数与解直角三角形之杨若古兰创作【考纲请求】锐角三角函数的定义、性质及利用，特殊角三角函数值的求法，应用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际成绩.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的常识解决成绩.【常识收集】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B 所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完好的数学符号，是一个全体，不克不及写成，，，不克不及理解成sin与∠A，cos与∠A，tan 与∠A的乘积．书写时习气上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母暗示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不及写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有响应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA ＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地晓得0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个利用就是：如果晓得了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)细心研讨表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值顺次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值顺次增大，其变更规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常利用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的罕见类型及解法已知条件解法步调Rt△两两直角边(a，b) 由求∠A，∠B=90°－ABC 边∠A，斜边，不断角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角不断角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在碰到解直角三角形的实际成绩时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即请求出所有的未知元素，已知条件中至多有一个条件为边.考点六、解直角三角形的利用解直角三角形的常识利用很广泛，关键是把实际成绩转化为数学模型，善于将某些实际成绩中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际利用成绩的关键. 解这类成绩的普通过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际成绩转化为解直角三角形的成绩. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学成绩的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际成绩的解.拓展：在用直角三角形常识解决实际成绩时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母暗示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母暗示，则，如图，坡度通常写成=∶的方式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指南方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别暗示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东南方向指的是北偏东45°，东北方向指的是南偏西45°，东北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角常识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的成绩，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的利用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后准确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边暗示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．晓得某个锐角的三角函数值就晓得了该角的大小，可以用比例系数k暗示各边．(3)请求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，经常使用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数暗示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可本人测验考试完成．举一反三：【变式】Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )(A) a cos A bsin B+ (B)a sin A bsin B+(C)a bsin A sin B+(D)a bcos A sin B+【答案】选B.过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,AD ADcos AAC b==,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=asinA+bsinB.类型二、特殊角的三角函数值2．解答以下各题：(1)化简求值：tan60tan45sin45sin30sin60cos30cos45--++°°°°°°°；(2)在△ABC中，∠C＝9012sin cosA A-【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin2A+cos2A＝1对根号内的式子进行变形，配成完好平方的方式．【答案与解析】解 (1)tan60tan45sin45sin30 sin60cos30cos45--++°°°°°°°(2)12sin cosA A-2(sin cos)|sin cos|A A A A=-=-，12sin cosA A -cos sin(045)sin cos(4590)A A AA A A-<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．由第(2)题可得到今后经常使用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-． 举一反三：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角，∴2α＝60°，α＝30°．∴12cos sin 22βα===，∴β＝45°．∴23tan()tan 3033β==°． 3．(1)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长?(3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 满足12sin 13A =，如何求BC的长及△ABC 的面积？若AC ＝3，其他条件不变呢?第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．【答案与解析】解： (1)过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵∠A ＝30°，∠ACD ＝105°，∴∠B ＝45°．∵AC ·sinA ＝CD ＝BC ·sin B ，∴sin 8sin 30sin sin 45AC A BC B ===°°∴AB ＝AD+BD ＝AC ·cosA+BC ·cosB ＝8cos30°+cos45°＝4+(2)作CD ⊥AB 的耽误线于D ，则AB ＝4，BC =(3)作BD ⊥AC 于D ，则BC ＝25，ABC S =△204．当AC ＝3时，∠ACB 为钝角，BC ＝25，36ABC S =△．【总结升华】对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，而且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到本来斜三角形的边、角的大小．类型三、解直角三角形及利用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=，AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．【思路点拨】解题的基本思路是将成绩转化为解直角三角形的成绩，转化的目标次要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°． ∵4cos 5CD DCE CE=∠=， 设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高不异，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△． 即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k += ∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541【总结升华】在解直角三角形时，经常使用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．专题总结及利用一、常识性专题专题1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考查多以选择题、填空题为主．例1 如图28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则以下结论准确的是 ( )A．sin A＝32 B．tan A＝12C．cos B＝32 D．tan B＝3分析 sin A＝BCAB＝12，tan A＝BCAC＝33，cos B＝BCAB＝12．故选D.例2 在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝35,则tan A等于 ( )A．35 B．45 C．34 D．43分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝4433BC kAC k==．故选D.分析在Rt△ABC中，BC＝222254AB AC-=-＝3，∴sin A＝35BCAB =．故填35．专题2 特殊角的三角函数值【专题解读】要熟记特殊角的三角函数值．例4 计算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0．分析 cos 45°＝2 2．解：原式＝3＋2×22－1＝2＋2．例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．分析 cos 60°＝1 2．解：原式＝12＋3＋(－1)－12＝3－1＝2．例6 计算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．分析cos 60°＝12，tan 30°＝33，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos60°－tan 30°)0＝1，解：原式＝2＋1十＋22＝32＋1．例7 计算312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.分析 tan 60°＝3.解：原式＝8－1－3＋1＋3＋2＝10.专题3 锐角三角函数与相干常识的综合应用【专题解读】锐角三角函数常与其他常识综合起来应用，考查综合应用常识解决成绩的能力.例8 如图28－124所示，在△ABC中，AD是BC 边上的高，E为AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)求线段DC的长；(2)求tan∠EDC的值.分析在Rt△ABD中，由sin B＝ADAB，可求得BD，从而求得CD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE＝12AC＝EC，则∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以转化为求tan C.解：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC在Rt△ABD中，sin B＝AD AB．∵AD＝12，sin B＝45，∴AB＝15，∴BD＝22AB AD-＝221512-＝9．∵BC＝14，∴CD＝5．(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝12AC＝EC，∴∠EDC＝∠C∵tan C＝ADDC＝125,∴tan∠EDC＝tan C＝125．例9 如图28－125所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC.(1)求证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，求AD的长．分析(1)利用锐角三角函数的定义可得AC＝BD．(2)利用锐角三角函数与勾股定理可求得AD的长．证实：(1)∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tan B＝ADBD，cos∠DAC＝ADAC，tan B＝cos∠DAC，∴ADBD＝ADAC，∴AC＝BD.解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝1213，设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝22AC AD-＝5k．∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k．由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝2 3，∴AD＝12k＝12×23＝8．例10 如图28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，求AB的长．分析过点A作AD⊥BC于D，把斜三角形转化为直角三角形，利用AD是两个直角三角形的公共边，设AD＝x，把BD，DC用含x的式子暗示出来，再由BD＋CD＝BC这一等量关系列方程，求得AD，则AB可在Rt△ABD中求得．解：过点A作AD⊥BC于D，设AD＝x.在Rt△ADB中，tan B＝ADBD，∴BD＝tan tan45AD ADB=︒＝x，在Rt△ADC中，tan C＝ADCD，∴CD＝tanADC＝tan30AD︒＝3x．又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋303，∴x ＋3x＝30＋303 ,∴x＝30．在Rt△ABD中，sin B＝AD AB，∴AB＝30sin sin45ADB=︒＝3022＝302.专题4 用锐角三角函数解决实际成绩【专题解读】加强数学与实际生活的联系，提高数学的利用认识，培养利用数学的能力是当今数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的利用成绩慢慢成为命题的热点，其次要类型有轮船定位成绩、堤坝工程成绩、建筑测量成绩、高度测量成绩等，解决各类利用成绩时要留意掌控各类图形的特征及解法．例13 如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学常识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A处观测到对岸C点，测得∠CAD＝45°，又在距A处60米远的B处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少?(结果保存小数点后两位)分析本题可作CE⊥AB，垂足为E，求出CE的长即为河宽．解：如图28－131所示，过点C作CE⊥AB于E，则CE即为河宽，设CE＝x(米)，则BE＝x＋60(米)．在Rt△BCE中，tan30°＝CEEB，即33＝60xx+,解得x＝30(3＋1)≈81.96(米)．答：河宽约为81．96米．【解题计谋】解本题的关键是设CE＝x，然后根据BE＝AB＋AE 列方程求解．例14 如图28－132所示，某边防巡查队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去救援．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边可以看成是直线)向前跑到C点再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离B点比来的D点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中泅水的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达救援地点B．(参考数据2≈1.4，3≈1.7)分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt △BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根据计算出的数据判断谁先到达．解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，∴AB＝AD300cos4522=︒＝3002.BDAD＝tan 45°，即BD＝AD·tan 45°＝300．在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，∴BC＝300sin6032BD=︒＝2003，CD＝tan60BD︒＝3003＝1003 .1号救生员到达B点所用的时间为30022＝1502≈210(秒)，2号救生员到达B点所用的时间为3001003200362-+＝50＋25033≈192(秒)，3号救生员到达B点所用的时间为3006＋3002＝200(秒)．∵192＜200＜210.∴2号求生员先到达救援地点B.【解题计谋】本题为浏览理解题，题目中的数据比较多，准确分析题意是解题的关键．例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批次要物质从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在它的北偏东60°方向上，该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在C 岛四周9海里的区域内有暗礁，若货船继续向正东方向航行，该货船有没有触礁风险?试说明理由．分析本题可作CD⊥AM于点D，在Rt△BCD中求出CD即可．解：过点C作CD⊥AM，垂足为点D，由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝24×12＝12(海里)．在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝63(海里)．∵63＞9，∴货船继续向正东方向航行无触礁风险．【解题计谋】此题实际上是通过⊙C(半径为9海里)与直线AM相离判断出无触礁风险.例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A，B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A，B，F三点在一条直线上，若BE＝15米，求这块广告牌的高度．(3≈1.73，结果保存整数)分析因为CD＝CE－DE，所以可分别在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的长，从而得出结论．解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE·tan 60°＝153，∴CD＝CE－DE＝153－23≈3，即这块广告牌的高度约为3米．例17 如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.分析坡度即坡角的正切值，所以分别过A，D两点向坝底引垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tan B＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tan B＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tan C＝11.5 DFCF，∴CF ＝1．5DF ×4＝6．又∵EF ＝AD ＝2.5，∴BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC 为12．5 m ．【解题计谋】 背水坡是指AB ，而迎水坡是指CD .例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB ．(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)分析 请求AB 的值，因为两个直角三角形中都只要角的已知条件，不克不及直接求解，所以设AB 为未知量，即用AB 暗示BD 和BC ，根据BD －BC ＝CD ＝30，列出关于AB 的方程．解：在Rt △ABC 中，∠CAB ＝20°，∴BC ＝AB tan ∠CAB ＝AB tan 20°．在Rt △ABD 中，∠DAB ＝23°，∴BD ＝AB tan ∠DAB ＝AB tan 23°．∴CD ＝BD －BC ＝AB tan 23°－AB tan 20°＝AB (tan 23°－tan 20°)．∴AB ＝tan 23tan 20CD ︒-︒≈300.4240.364-＝500(m)．答：此人距CD 的水平距离AB 约为500 m ．二、规律方法专题专题5 公式法【专题解读】 本章的公式很多，熟练把握公式是解决成绩的关键．例19 当0°＜α＜90的值．分析 由sin 2α＋cos 2α＝1，可得1－sin 2α＝cos 2α解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α．|cos |cos αα=.∵0°＜a ＜90°，∴cos α＞0． ∴原式＝cos cos αα＝1．【解题计谋】 以上解法中，利用了关系式sin 2α＋cos 2α＝1(0°＜α＜90°)，这一关系式在解题中经经常使用到，该当牢记，并灵活应用．三、思想方法专题专题6 类比思想【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形，是以对解直角三角形的概念的理解可类比解方程的概念．我们可以像解方程(组)一样求直角三角形中的未知元素．例20 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，解这个直角三角形．分析 已知两直角边长a ，b ，可由勾股定理c c ，再利用sin A ＝a c 求出∠A ，进而求出∠B ＝90°－∠A ． 解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2．∴c ＝222515+522a b +==2（）（）.又∵sin A ＝51225a c ==，∴∠A ＝30°．∴∠B ＝90°－∠A ＝60°．【解题计谋】 除直角外，求出Rt △ABC 中的所有未知元素就是解直角三角形．专题7 数形结合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的感化，是解决几何成绩经常使用的方法之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12 B ．22 C ．32 D ．33 分析∵y ＝－33x ＋33，∴当x ＝0时，y ＝33，当y ＝0时，x ＝1，∴A (1，0)，B 30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴OB ＝33，OA ＝1，∴AB ＝22OB OA +＝233，∴cos ∠OBA ＝12OB AB =. ∴OP ⊥AB ，∴∠α＋∠OAB ＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝12．故选A.专题8 分类讨论思想【专题解读】当结果不克不及确定，且有多种情况时，对每一种可能的情况都要进行讨论．例22 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要经过C修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，求交叉口P与加油站A的距离．(结果可保存根号)解：①如图28－138(1)所示，在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝103．故AP＝AD＋DP＝(30＋103)km．②同理，如图28－138(2)所示，可求得AP＝(30－103)km，故交叉口P与加油站A的距离为(30＋103)km或(30－103)km．【解题计谋】此题针对P点的地位分两种情况进行讨论，即点P 在线段AB上或点P在线段BA的耽误线上．专题9 转化思想例24 如图28－140所示，A，B两城市相距100 km．现计划在这两座城市两头构筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林呵护中间P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林呵护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内．请问计划构筑的这条高速公路会不会穿越呵护区．为何?(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°，∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100，∴(33＋1)PC＝100，∴PC＝50(3－3)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．答：森林呵护区的中间与直线AB的距离大于呵护区的半径，所以计划构筑的这条高速公路不会穿越呵护区．例25 小鹃学完解直角三角形常识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28－141所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上．已知α＝36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．(结果保存整数；参考数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝36°．根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm ．在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ， ∴AB ＝sin36BE ︒≈240.6＝40(mm)．在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DFAD ，∴AD ＝cos36DF ︒≈480.8＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长＝2(40＋60)＝200(mm)．例26 如图28－142所示，某居民楼I 高20米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM 为2米，窗户CD 高1．8米．现计划在I 楼的正南方距1楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?解：设正午时光线正好照在I 楼的一楼窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高x 米．过C 作CF ⊥l 于F ，在Rt △ECF 中，EF ＝(x －2)米，FC ＝30米，∠ECF ＝30°，∴tan 30°＝230x -,∴＝103＋2．答：新建居民楼Ⅱ最高只能建(103＋2)米．。
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1、下图中∠ACB=90°，
(1)指出∠A的对边、邻边。
B
(2)CD⊥AB
D
(3)sinA可以表
示为
A
C
2、上题中如果CD=5，AC=10，
1
则sinA=
2
求出如图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函 数值.
B
6
A
8
C
小试身手
1.设Rt△ABC中∠ACB=90°, ∠A ∠B、 ∠C的对边分别a 、b 、c根据下列条件求 ∠B的四个三角函数值
(1)
脑中有“图”，心中有“式”
我们已经知道，如图：直角三角形ABC可以简 记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边， 用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻 边，用a、b表示.
B
斜边c
∠A的对 边a
A ∠A的邻边b C
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是____M_N_____,∠P的邻边是 _______P_N_______;
A cos A= cos A 1 B 3cos A = cos A 1
C cos A= 3cos A1 D 不能确定
在Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，
AB=5 BC=3 CD⊥AB 求
sin∠BCD
A
D
B
C
布置作业
P93 1 、 2
再见
=
∴BC=AB×
4 5
4 5
=8
AB=10
∵AC= AB2 BC2 =6
∴tanB=
AC BC
3 4
A
C
(1)在Rt△ABC 中∠ACB=90° ， BC:AC=3:4 cos A= 3
5
(2)（ tan20º）·cot20º=1，
(3)( cos2 500 )+ sin2 500 =1
(4)把Rt△ABC的各边都扩大5倍得Rt△ A1B1C1 则 锐角A， A1的余弦值关系是（ ）A
3. sin A、cos A、tan A、cot A都是表达符号,它们是一 个整体,不能拆开来理解. 4. sin A、cos A、tan A、cot A中∠A的角的记号“∠”∠ 习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿 拉伯数字表示的 角,角的记号“∠” 不能省略.如sin ∠1不能写成sin1.
试一试
（1）a = 3 b = 4 （2）a = 5 c = 13
2.猜一猜 做一做 tan A•cot A= 1
sin2 A cos2 A 1
示例：
在Rt△ABC中,∠ACB=90°sinA= 4 ,AB=10 .
5
求AC 、tanB
B
解：在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∵sinA=
BC AB
∠M的对边是_____P_N____,∠M的邻边是 ________M__N_____;
N
P
M
观察图中的Rt△AB1C1、 Rt△AB2C2和Rt△AB3C3， 它们相似吗？
B3 B2 B1
A
C1 C2 C3
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
B1C1
B2C2
B3C3
所以 AC1 ＝___A_C_2_____=____A_C_3____.
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确 定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.
想一想
B3 B2 B1
A
C1 C2 C3
对于锐角A的每一个确定的值，其对 边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边 的比值也是惟一确定的 吗？
注意：
1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.
2. 三角函数的实质是一个比值，没有单位，而且这个比值 只与锐角的大小有关与三角形边长无关.