高等数学上6.2定积分在几何学上的应用PPT课件

边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y M i1
A M0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
首页
上页
返回
下页
结束
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出: y f (x) (a x b)
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx (P170)
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a b 1 f 2 (x) dx a
y
y f (x)
ds
o a xxdx b x
首页
上页
返回
下页
结束
(2) 曲线弧由参数方程给出:
x y
(t) (t)
( t )
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
首页
上页
返回
下页
结束
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r( ) ( ) 令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
0
4
a
2
b
12
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
首页
上页
返回
下页
结束
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
x y
(t) (t)
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t1 , t2
y
y
a
b
o
x
oa
bx
(t1 对应 x a)
(t1 对应 x b)
则曲边梯形面积
首页
上页
A t 2 (t) (t) dt t1
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
a2sin 2 4 a2
0
y
4
o
ax
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
A 2
6 a2 sin 2 d
0
4 6
1 2
a
2
cos 2
d
首页
上页
返回
下页
结束
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
y2 b2
1
所围图形的面积
.
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
y b
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
o xxdxa x
x y
a cost b sin t
(0 t 2 )
应用定积分换元法得
A 4
0
b sin t (a sin t) dt
4ab
2 sin 2 t dt
8a2 3 1 3 a2
422 2
(利用对称性)
d
o
2a x
首页
上页
返回
下页
结束
例7.的面积 .
1 2cos cos2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1a2 2
2
2
1 2
a
2
(1
cos
)2 d
1 2
(1
2
8a2 sin4 u d u 0
16 a2 2 sin 4 u d u 0
o
(令u t ) 2
16a2 3 1 3 a2
42 2
2 a x
首页
上页
返回
下页
结束
2. 极坐标情形
设 ( ) C[ , ] , ( ) 0 , 求由曲线 r ( ) 及
射线 , 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[ , ]上任取小区间 [ , d ]
a2 2
13
3
2
0
2 a
o
x
d
4 3 a2
3
点击图片任意处 播放开始或暂停
首页
上页
返回
下页
结束
P277-5
例6. 计算心形线 r a(1 cos ) (a 0) 所围图形的
面积 .
解: A 2 1 a2 (1 cos )2 d 02
a2 4 cos4 d
0
2
令t
2
8a2 2 cos4t dt 0
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
四、 旋转体的侧面积 (补充)
首页
上页
返回
下页
结束
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线
y y f (x)
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
所围图形的面积 .
解: 由
y2 x y x2
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
y2 x (1,1)
1
AdA0
x x2 dx
2
3
x2
1
x3
1
3 30
1
3
y x2 ox 1 x
xdx
首页
上页
返回
下页
结束
P275-2
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
边梯形面积为 A , 则
oa x b x
x dx
dA f (x)dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
o axxdx b x
首页
上页
返回
下页
结束
P274-1
例1. 计算两条抛物线 y2 x , y x2 在第一象限所围
返回
下页
结束
例4. 求由摆线 x a (t sin t), y a (1 cost) (a 0)
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
AdA0 a (1 cost) a (1 cost) d t
a2 2 (1 cos t)2 d t 0
y
4a2 2 sin 4 t d t
0
cos
2
)
1 a2 a2 2
2
(3 2
2
cos
1 2
cos
2 )
y
d
1 a2 a2 (3 2)
2
4
5 a2 2a2
4
o
a 2a x
首页
上页
返回
下页
结束
例8. 求双纽线 r 2 a 2cos 2 所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
A 4
4
1 a2
cos2
d
02
解: 由 y2 2x 得交点 y x4
y yd y
y2 2x
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
AdA
4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
dy
o
yx4 x
(2, 2)
1 2
y
2
4
y
1 6
y3
4 2
18
首页
上页
返回
下页
结束
P276-3
例3. 求椭圆
x2 a2
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
首页
上页
返回
下页
结束
P277-4
例5. 计算阿基米德螺线 r a (a 0) 对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1 (a )2 d 02