流体力学 第三章 流体动力学
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吉林大学流体力学3
所以： v dz v dy＝0 y z
v z dx v x dz＝0 v dy v dx＝0 y x
dx dy dz 即： vx v y vz
流线微分方程
流线的性质
（1）定常流动中流线不随时间变化，而且流体质点的 轨迹与流线重合。 （2）实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不 能突然转折。（速度为0的点称为驻点，速度为无穷大 的点称为奇点，奇点是一种抽象的理论模型。）
如何用欧拉法表示流体质点的加速度 a
应当注意到的是：速度是坐标和时间的函数，同时 运动质点的坐标也是随时间变化的，即坐标 x,y,z 本身也是时间的函数，因此用欧拉法表示某质点的 加速度实际上是一个对复合函数求导的问题，必须 按照复合函数求导法则进行求导。
如用加速度矢量 a 和速度矢量 来表示，则有 υ a (υ ) υ t
0
dp gdz 0
积分得： z
p C g
详细论证请参看教材P64
3.2.4 缓变流和急变流 流线不是严格平行，但流线之间夹角很小，或流线的曲率 半径很大，或两者皆有，这种流动称为缓变流，其有效断面 称为缓变流断面。
在缓变流断面上可以认为流线近似平行，有效断面为一平面，
压强分布近似与静止流体相同。
（即也近似满足： Z
p C 条件是：质量力只有重力，不可压缩流体） g
那种流线不平行，加速度较大的流动称为急变流。
均匀流、急变流和缓变流
均匀流、急变流和缓变流
均匀流
急变流
缓变流
急变流
3.3 用欧拉法描述流体运动的基本概念
3.3.1 流线 3.3.2 流管、流束、和有效断面
3.3.3 流量 3.3.4 平均流速
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体力学基础-第三章-一维流体动力学基础
1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
流体力学
表明流速不变或流速的改变可以忽略时,理
想流体稳定流动过程中流体压强能与重力势
能之间的转换关系,即高处的压强较小,低处 的压强较大. 两点的压强差为
p1 p2 g (h2 h1 )
空吸原理
SB SA SC
S AvA SB vB
S A SB
vB vA
1 1 2 2 P vA P vB A B 2 2
vB 2 gh
管涌
铜壶滴漏 “寸金难买寸光阴”是再熟 悉不过的诗句了,其中揭示 了计量时间的方法.我国古 代用铜壶滴漏计时,使水从 高度不等的几个容器里依次 滴下来,最后滴到最低的有 浮标的容器里,根据浮标上 铜壶滴漏 的刻度也就是根据最低容器 说明其计时原理. 里的水位来读取时间.
(三) 压强与流速的关系 在许多问题中,所研究的流体是在水平或接近 水平条件下流动.此时,有 h1=h2或 h1≈h2,伯 努利方程可直接写成 1 2 1 2 p1 v1 p 2 v 2 2 2 1 2 p v 常量 2 平行流动的流体,流速小的地方压强大,流速 大的地方压强小(例).
(2)求虹吸管内B、C 两处的压强. 解:水面为参考面,则 有A、B点的高度为零,
C 点的高度为2.50 m, D点的高度为-4.50m.
(1)取虹吸管为细流管,对于A、D 两点,根据伯 努利方程有 1 2 1 2 ghA v A p A ghD vD pD 2 2 由连续性方程有
1 2 1 2 p A v A pB v B 2 2
1 2 PB P0 vB 2
根据连续性方程可知,均匀虹吸管内,水的速率
处处相等,vB=vD.
1 2 PB P0 vB 5.7 10 4 Pa 2 结果表明,在稳定流动的情况下,流速大处压强
流体力学 第三章 流体动力学
vx vx vx dv x vx vx vy vz 解： （1）a x t x y z dt
(4 y 6 x) (4 y 6 x)t (6t ) (6 y 9 x)t (4t )
将t=2，x=2，y=4代入得
ax 4m / s 2
同理 ay 6m / s 2 m / s2 a 4i 6 j
满足连续性方程，此流动可能出现
例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处
uz=0，求uz。 解：由
得 积分
u x u y u z 0 x y z u z 4 x 4 y z
uz 4( x y) z c
得 c=0
由z=0，uz=0
a.流体质点的加速度
dv a dt
dv x vx vx dx vx dy vx dz ax dt t x dt y dt z dt
同理
vx vx vx vx vx vy vz t x y z
ay
v y t
vx
是均匀流
3.流线与迹线 （1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转 流线微分方程：
流线上任一点的切线方向 (dr ) 与该点速度矢量 (v ) 一致
dr v dx dy dz 0 vx vy vz
dy (a, b, c, t ) vy dt
dvy (a, b, c, t ) dt
dz (a, b, c, t ) vz dt
dv z (a, b, c, t ) az dt
流体力学——流体动力学
pB＝47.04kN
pB
b
2
a
3.6 10 0 3.6 a 0.24
a＝6.16m
v2 2g
2
3.15 如图， 水从敞口水池沿一截面有变化的管路排出， 若质量流量 qm＝15kg/s， d1＝100mm， d2＝75mm，不计损失，试求所需的水头 H 以及第二管段中央 M 点的相对压强。 （参考分数： 12 分）
故
pm＝3.94kPa
3.16 如图，由水池通过等直径虹吸管输水，A 点为虹吸管进口处，HA＝0；B 点为虹吸管中 与水池液面齐高的部位，HB＝6m；C 点为虹吸管中的最高点，HC＝7m；D 点为虹吸管的出 口处，HD＝4m。若不计流动中的能量损失，求虹吸管的断面平均流速和 A、B、C 各断面上 的绝对压强。 （参考分数：12 分）
Δh
uA A
d
2 uA p p A 2g
解：由能量方程
2 uA p p A ，得到 2g
由毕托管原理
p pA
12.6h
解得
u A 3.85m / s ， v 0.84u A 3.24m / s ， Q vA 0.102m 3 / s
3.10 如图，用抽水量 Q＝24m3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程 hs＝6m，吸水管 的直径为 d＝100mm，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损 失为 hw＝0.4mH2O，求该泵叶轮进口处的真空度 pv。 （参考分数：12 分）
B
C
解：取 1-1 断面在 C 处，2-2 断面在 B 处，自由液面为 0-0 断面，选基准面在 C 处。列 0、1 断面的能量方程，有
3.6 0 0 0 0
pB
b
2
a
3.6 10 0 3.6 a 0.24
a＝6.16m
v2 2g
2
3.15 如图， 水从敞口水池沿一截面有变化的管路排出， 若质量流量 qm＝15kg/s， d1＝100mm， d2＝75mm，不计损失，试求所需的水头 H 以及第二管段中央 M 点的相对压强。 （参考分数： 12 分）
故
pm＝3.94kPa
3.16 如图，由水池通过等直径虹吸管输水，A 点为虹吸管进口处，HA＝0；B 点为虹吸管中 与水池液面齐高的部位，HB＝6m；C 点为虹吸管中的最高点，HC＝7m；D 点为虹吸管的出 口处，HD＝4m。若不计流动中的能量损失，求虹吸管的断面平均流速和 A、B、C 各断面上 的绝对压强。 （参考分数：12 分）
Δh
uA A
d
2 uA p p A 2g
解：由能量方程
2 uA p p A ，得到 2g
由毕托管原理
p pA
12.6h
解得
u A 3.85m / s ， v 0.84u A 3.24m / s ， Q vA 0.102m 3 / s
3.10 如图，用抽水量 Q＝24m3/h 的离心水泵由水池抽水，水泵的安装高程 hs＝6m，吸水管 的直径为 d＝100mm，如水流通过进口底阀、吸水管路、90º弯头至泵叶轮进口的总水头损 失为 hw＝0.4mH2O，求该泵叶轮进口处的真空度 pv。 （参考分数：12 分）
B
C
解：取 1-1 断面在 C 处，2-2 断面在 B 处，自由液面为 0-0 断面，选基准面在 C 处。列 0、1 断面的能量方程，有
3.6 0 0 0 0
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按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
第三章 流体动力学基础
3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法（随体法）
t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
速度：
vx
dx(a,b,c,t) dt
加速度：
vy
dy(a,b,c,t) dt
（2）迹线：
dx dt
xt
dy dt
yt
x c1et t y c2et t
由t=0时，x=－1，y=－1 得 c1=c2=-1
x t 1
y t 1 xy2 ——迹线方程（直线）
（3）若恒定流：vx=x，vy=－y
流线 xy 1 迹线 xy 1
注意：恒定流中流线与迹线重合
4.流管与流束
az vtzvx v xzvy v yzvz vzz
a dv v v v
dt t
i j k x y z
时变加速度 b.质点导数
位变加速度
对质点的运动要素A：
dAAvA
dt t
时变导数
位变导数
d dA tvx A xvy A yvz A z A t
3.2 流体运动的基本概念
1.恒定流与非恒定流
（3）是均匀流还是非均匀流。
解：（1）a x
dv x dt
vtxvx vxxvy vyxvz vzx
( 4 y 6 x ) ( 4 y 6 x ) t ( 6 t ) ( 6 y 9 x ) t ( 4 t )
将t=2，x=2，y=4代入得
同理 ay 6m/s2 a 4i6 j m / s2
（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流 线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线 的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。
例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数） 求:（1）流线方程及t =0、1、2时流线图；
（2）迹线方程及t =0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： dx dy
y
b 2a2
x2
——迹线方程（抛物线）
y
注意：流线与迹线不重合
o
x
例：已知速度vx=x+t，vy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
解：（1）流线： dx dy
xt yt
积分： lnx (t)y (t)c
t=0时，x=－1，y=－1 c=0
xy 1
——流线方程（双曲线）
a bt
积分： y bt x c a
y c=2
c=1
c=0
o
x
y c=2 c=1 c=0
o
——流线方程
y
x
o
c=2 c=1 c=0
x
t=0时流线
t=1时流线
T=2时流线
（2）迹线：dx dy dt
a bt
即
dx dt a
0xdx 0tad txat
dy bt
dt
0ydy0tbtd tybt22
（1）恒定流 所有运动要素A都满足
（2）非恒定流
A 0 t
2.均匀流与非均匀流
（1）均匀流
v A0
（2）非均匀流 v A0
A 0 t
例：速度场 v ( 4 y 6 x ) t i ( 6 y 9 x ) t j
求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；
（2）是恒定流还是非恒定流；
vz
dz(a,b,c,t) dt
ax
d
vx(a,b,c,t) dt
ay
dvy(a,b,c,t) dt
az
d
vz(a,b,c,t) dt
2.欧拉法（局部法、当地法） 某瞬时，整个流场各空间点处的状态
vxvx(x,y,z,t)
vyvy(x,y,z,t) vzvz(x,y,z,t) pp(x,y,z,t)
ax 4m/s2
（2）
vvx ivy
j ( 4 y 6 x ) i ( 6 y 9 x ) j 0
t t t
是非恒定流
（3）vv vx v x xvy v y x i vx v x yvy v y y j0
是均匀流
3.流线与迹线
（1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲
dxvxdt dyvydt dzvzdt
dx dy dzdt ——迹线微分方程 vx vy vz
流线的特性：
（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不 能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线
(2) 不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻 流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流 线越稀，流速越小。
(x,y,z,t)
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
x x t,y y t,z z t
a.流体质点的加速度
a
dv
dt
ax
dv xvxvxd xvxd yvxdz dt t xdt ydt zdt
同理
vtxvx vxxvy vyxvz vzx
ay vtyvx vxyvy vyyvz vzy
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
第三章 流体动力学基础
3.1 研究流体运动的两种方法
1.拉格朗日法（随体法）
t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t) ，z=z(a,b,c,t)
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
速度：
vx
dx(a,b,c,t) dt
加速度：
vy
dy(a,b,c,t) dt
（2）迹线：
dx dt
xt
dy dt
yt
x c1et t y c2et t
由t=0时，x=－1，y=－1 得 c1=c2=-1
x t 1
y t 1 xy2 ——迹线方程（直线）
（3）若恒定流：vx=x，vy=－y
流线 xy 1 迹线 xy 1
注意：恒定流中流线与迹线重合
4.流管与流束
az vtzvx v xzvy v yzvz vzz
a dv v v v
dt t
i j k x y z
时变加速度 b.质点导数
位变加速度
对质点的运动要素A：
dAAvA
dt t
时变导数
位变导数
d dA tvx A xvy A yvz A z A t
3.2 流体运动的基本概念
1.恒定流与非恒定流
（3）是均匀流还是非均匀流。
解：（1）a x
dv x dt
vtxvx vxxvy vyxvz vzx
( 4 y 6 x ) ( 4 y 6 x ) t ( 6 t ) ( 6 y 9 x ) t ( 4 t )
将t=2，x=2，y=4代入得
同理 ay 6m/s2 a 4i6 j m / s2
（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流 线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线 的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。
例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数） 求:（1）流线方程及t =0、1、2时流线图；
（2）迹线方程及t =0时过（0，0）点的迹线。
解：（1）流线： dx dy
y
b 2a2
x2
——迹线方程（抛物线）
y
注意：流线与迹线不重合
o
x
例：已知速度vx=x+t，vy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
解：（1）流线： dx dy
xt yt
积分： lnx (t)y (t)c
t=0时，x=－1，y=－1 c=0
xy 1
——流线方程（双曲线）
a bt
积分： y bt x c a
y c=2
c=1
c=0
o
x
y c=2 c=1 c=0
o
——流线方程
y
x
o
c=2 c=1 c=0
x
t=0时流线
t=1时流线
T=2时流线
（2）迹线：dx dy dt
a bt
即
dx dt a
0xdx 0tad txat
dy bt
dt
0ydy0tbtd tybt22
（1）恒定流 所有运动要素A都满足
（2）非恒定流
A 0 t
2.均匀流与非均匀流
（1）均匀流
v A0
（2）非均匀流 v A0
A 0 t
例：速度场 v ( 4 y 6 x ) t i ( 6 y 9 x ) t j
求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；
（2）是恒定流还是非恒定流；
vz
dz(a,b,c,t) dt
ax
d
vx(a,b,c,t) dt
ay
dvy(a,b,c,t) dt
az
d
vz(a,b,c,t) dt
2.欧拉法（局部法、当地法） 某瞬时，整个流场各空间点处的状态
vxvx(x,y,z,t)
vyvy(x,y,z,t) vzvz(x,y,z,t) pp(x,y,z,t)
ax 4m/s2
（2）
vvx ivy
j ( 4 y 6 x ) i ( 6 y 9 x ) j 0
t t t
是非恒定流
（3）vv vx v x xvy v y x i vx v x yvy v y y j0
是均匀流
3.流线与迹线
（1）流线——某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲
dxvxdt dyvydt dzvzdt
dx dy dzdt ——迹线微分方程 vx vy vz
流线的特性：
（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不 能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线
(2) 不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻 流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流 线越稀，流速越小。
(x,y,z,t)
以固定空 间、固定 断面或固 定点为对 象，应采 用欧拉法
x x t,y y t,z z t
a.流体质点的加速度
a
dv
dt
ax
dv xvxvxd xvxd yvxdz dt t xdt ydt zdt
同理
vtxvx vxxvy vyxvz vzx
ay vtyvx vxyvy vyyvz vzy