高中数学竞赛之组合计数

组合计数（一）

一、基础知识

（一）、两条基本原理

1、（加法原理）如果完成某件事有n 类互相排斥的办法，在第1类办法中有1m 种方法，在第2类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种方法，那么完成这件事共有

n m m m N +++= 21种不同的方法.

2、（乘法原理）如果完成某件事需要分n 个互相独立的步骤，做第1步有1m 种方法，做第2步有2m 种方法，……，做第n 步有n m 种方法，只有依次完成每个步骤，才能完成这件事，那么

完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法.

（二）、排列及排列数公式

1、定义1：（排列）从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素（各不相同），按照一定的顺序排列成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

2、定义2：（排列数）从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记做m

n A ． 3、排列数公式：!

)(!

)1()2)(1(m n n m n n n n A m

n -=

+---= ，N n m ∈,,且n m ≤．

4、全排列公式：!12)2)(1(n n n n A n

n =⋅--= ．

(三)、组合及组合数公式

1、定义3：（组合）从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素（各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

2、定义4：(组合数) 从n 个不同的元素中任取)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记做m

n C ．

3、组合数公式：!)(!!!)

1()2)(1(m n m n m m n n n n A A C m m

m

n m

n

-=

+---== ． 4、组合数的两个性质：

（1）m n n m n C C -=； （2）1

1-++=m n m n m n C C C ．

(四)、几种特殊排列与组合

1、圆排列：将从n 个不同的元素首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，这种排列的个数为!)1(-n ．

2、可重复的排列：从n 个不同的元素中取m 个元素（同一元素允许重复取出），按照一定的顺序排列成一列，叫做从n 个不同元素中取m 个元素的可重复排列．这种排列的个数为m

n ．

3、可重复的组合：从n 个不同的元素中取m 个元素（同一元素允许重复取出）并成一组，叫做从n 个不同元素中取m 个元素的可重复组合．这种组合的个数为m

m n C 1-+．

4、不全相异元素的全排列：如果n 个元素中，分别有k n n n ,,,21 个元素相同，且

n n n n k =+++ 21，则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．这种排列的个数为

!

!!!

21k n n n n ⋅⋅⋅ ．

5、多重组合：把n 个相异元素分为)(n k k ≤个不同的组，其中第i 组有i n 个元素（,,,2,1k i =n n n n k =+++ 21），则不同的分组方法的种数为

!

!!!

21k n n n n ⋅⋅⋅ ．

（五）两个重要结论

（1）、不定方程)(21m n n x x x m ≥=+++ 的正整数解的组数为1

1--m n C ；

（2）、不定方程n x x x m =+++ 21的非负整数解的组数为n

m n m m n C C 111-+--+=.

二、典型问题选讲

问题1、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，求不同调整方法的总数．

问题2、7个人并排站成一排，

（1） 如果甲必须站在正中间，有多少种排法？ （2） 如果甲乙两人必须站在两端，有多少种排法？ （3） 如果甲乙两人必须相邻，有多少种排法？ （4） 如果甲乙两人必须不相邻，有多少种排法？

（5） 如果甲乙两人中间必须恰有2人，有多少种排法？

（6） 如果甲乙丙三人之间都恰好有1个其他人，有多少种排法？ （7） 如果甲乙丙三人两两不相邻，有多少种排法？

问题3、4男4女交替坐在圆桌旁，有多少种坐法？

问题4、10个男生和5个女生聚餐，围坐在圆桌旁，任意两个女生不相邻的坐法有多少种？

问题5、将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗依次挂在旗杆上，求组成不同的标志的种数．

问题6、求不定方程15210321=++++x x x x 的正整数解的组数．

问题7、求不定方程233332254321=++++x x x x x 的正整数解的组数．

问题8、在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察721,,,A A A 这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且4321,,,A A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被7整除，765,.,A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．

问题9、求各位数字之和等于11的3位数的个数．

问题10、如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么就称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,321a a a ，若2005=n a ，则=n a 5 ．

问题11、将24个志愿者名额分配给3个学校，问每校至少有1名额且各校名额互不相同的分配方法有多少种？

问题12、甲、乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方

先由号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，求所有可能出现的比赛过程的种数.

问题13、如果从数14,,2,1 中，按由小到大的顺序取出321,,a a a ，使同时满足

3,32312≥-≥-a a a a ，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？

问题14、设10021,,,a a a 是100,,3,2,1 的任意排列，部分和11a S =，212a a S +=，

,3213a a a S ++=，10021100a a a S +++= .若数列)1001}({≤≤j S j 中的每一项都不被3

整除，问这样的排列有多少个？