下1非惯性系中的质点动力学讲解
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y
ω
yo
n Fge
H H –h
o
mg
R
F
h x
解 : (1) 设 曲 线 方 程 为 y f ( x) 对 曲 线 上 相 对 静 止 的意 任 点m 进 行 受 力 分 析 , 由 上 一 题 的 解 答 可 知线 曲方 程 为 2 2 y x 2g
y ω
yo
n Fge
( 2) 设 旋 转 抛 物 面 下 xz 面 以 上 的 液 体 体 积 为 v v 2xydx
代入 上 式 可得:
900
zk
o
R
1 y v0t cos gt 3 cos 3 1 z v0 t gt 2 2 2v0 设 z 0时 t ( 物体返回地面 ) g
2
x i
yj
1 4 x v02 t 3 sin2 g2 t 4 sin2 3 3 1 1 y v0t 2 cos gt 3 cos v03 t 4 cos 3 3 1 2 1 z v0 t gt 2 v02 t 3 cos2 g2 t 4 cos2 2 3 6
2
1 2 v0 cos2 g cos2 cos2t 1 z sin v0 t gt sin2t 2 2 2 4 4 2 取 si n2t 2t 3 t 3 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3 3
我们定义：牵连惯性力 F ge mae 即有
科氏惯性力 F gC maC
~ d 2 r 称为相对矢径r 的相对导数.(参见六版上册P178) 2 dt
mar F F ge F gC ~2 d r 写成微分方程的形式有: m 2 F F ge F gC dt
例一 . (书上P2 例1－1)
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西
900
zk
0 0
o
R
由初始条件: x i x y z 0
yj
0
2y sin 1 x 2 x sin 2z cos 2 y cos g 2y 3 z
gt cos 2 g cos 2C sin2t 2D cos 2t y 2
22 y 2 gt cos y
900
zk
o
R
x i
yj
0 0 可 得C 0 由 y0 0 y
g cos D 4 2 g cos g cos y sin2t t 5 2 4 2
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程
前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动 力学方程, 则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力 有关, 还与非惯性系下产生的各种惯性力有关.
由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有:
m a a m( a e a r a C ) F F 在 这 里 应 理 解 为 作 用质 在点 或 平 动 刚 体 上 的力 合. 上式可写成 : ma r F ma e ma C
解 : 若小球相对静止, 则 将
z ω Bτ M θ Fn ge r θ F O mg N x
ar 0
0 F N F ge m g 沿 切 向 投 影 0 Fge cos mg s i n
2
A
2 r m r cos mg s i n 即 tg g 若 r为 任 意 值 即 是 变 量 y . 于 是 有:
若去掉 ² 以上的项则有:
2 cos 2 r x
sin i 2 x sin z cos k cos j y 2y
∴( I ) 式的投影方程为:
2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
y
dz 2 tg y dy g
2 2 z y C 2g
由图示坐标系的选择知 可 C0 2 2 z y ( AOB线 为 抛 物 线 ) 2g
习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀 角速度ω 绕 Oy轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢 出. 试求: (1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状. (2) 注入液体的最大高度H´ .
6
900
zk
g sin2 g sin2 2 cos2t 1 x t 82 4
y g cos g cos sin 2 t t 2 4 2
4
5
6
o
R
这就是考虑科氏惯性力影响的自由落 x i 体公式. 这里, 地球的自转的角速度
x
积 分 得: x
g sin2 g sin2 2 cos 2 t t E 2 8 4 g sin2 由 x0 0 得 : E 8 2
x g sin2 g sin2 2 cos 2 t 1 t 2 8 4
4
同理可得:
g cos2 1 2 2 z cos 2 t 1 gt cos 1 h 2 4 2
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得: 1 x g sin2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 2 1 z h gt g cos2 2 t 4 2 6
900
zk
o
R
x i
yj
1 x g sin2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 2 1 z h gt g cos2 2 t 4 2 6
0 y 0 0 x
0 v0 z
重复前面的解题过程可得:
x v 0 sin2 v sin2 g sin2 g sin2 2 sin2t 0 t cos 2 t 1 t 4 2 82 4
v0 cos g cos g cos cos2t 1 y sin2t t 2 2 4 2
单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运 动. 求此单摆的微振动周期.
解 : (分 析: 求 运 动 周 期 就 要 先 求 动 运方 程 )
a0
O
取小球分析 ,小 球 相 对 以 O为 原 点 的 平 动 参 考 系 动 的力 学 方 程 为 m a r F m g F ge 将其沿切向投影 : mg si n mao si n ml
yj
g cos2 1 2 z cos 2 t 1 gt cos2 1 h 2 4 2
7.29 105 rad / s 借助于幂级数, 我们来分析上面的方程.
4 3 3 sin 2 t 2 t t 取 3
2 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3
0 R R 0
2 3 2 4 x dx R g 4g
H H –h
o
mg
R
F
h x
静止时 , xz面 以 上 的 液 体 体 积 为 R 2 yo 2 4 由 题 意 得 R yo v R 4g
2
2 R 2 yo 4g 2 2 由 曲 线 方 程 可 知h R 2g 2 2 H ' H h yo H R 4g
φ
l
F
( g ao ) si n 由微振动 , si n l ( g ao ) 2 0 n 0 l l g ao l
2 n
T
2
mg F ge
n
2
l g ao
例二. ( 参见书上 习 1 – 4 ) 质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器 内光滑的经线AOB运动. 旋转面容器绕其几何轴Oz 以匀角速度ω 转 动.求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r 为任意值时M点都静止, 求旋转面经线AOB的形状.
认识地球上的 科氏惯性力
在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存 在着惯性力. 这些惯性力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测 出, 或可以通过人的感官感觉到. 公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是 常识. 还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升, 使人身上的血往下流, 脑中失血, 眼睛失明 — 这就是 飞行中的 ‘ 黑晕’ 现象. 飞机加速下降, 使人身上的血往上流, 脑中充血, 眼睛红视 — 这就是 飞行中的 ‘ 红视’ 现象. 地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严 格地讲,以地球作为参照系的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科 氏惯性力的效应. 如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空 间视为‘ 匀速直线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可 用的. 但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑 相应的惯性力. 对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽 视. 下面, 我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力.
gt cos 2 g cos y 2C sin2t 2D cos 2t 2 y C cos 2t D sin2t
2y sin x 可得 代入 z gt 2y cos
g sin2 g sin2 sin2t t 4 2
900
zk
2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
o
Biblioteka Baidu
R
x i
yj
< 1 > 自由落体偏东 设运动初始条件:
x0 y0 0 , z0 h . 0 y 0 z 0 0 x
900
zk
建立地面坐标系如图示 质点相对于地球的运动微分方程为
m r m g Fg C
o
R
x i
yj
即为:
m r mgk 2m r
I r gk 2 r
i j 0 y k sin z
x0 1 y g cos t 3 3 1 z h gt 2 2
如果略去 2项 上式变为 :
从这几组方程可明确得知: 自由落体运动, 在考虑地 如果不考虑地球的角速度, 即是略去、 项, 则有: 球的自转效应时, 落到地面 ² x0 后位置偏东, 若在精确一点 y0 讲, 还有一点偏南(北半球) 或偏北( 南半球) . 1 2 z h gt ( 只有两极处无此现象 ) 2
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分: 2y sin A x gt 2y cos B z 由初始条件可得: A = 0, B = 0 2y sin x
gt 2y cos z
代入( 2 ) 式整理可得: 其解为: y C cos 2t D sin2t
ω
yo
n Fge
H H –h
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mg
R
F
h x
解 : (1) 设 曲 线 方 程 为 y f ( x) 对 曲 线 上 相 对 静 止 的意 任 点m 进 行 受 力 分 析 , 由 上 一 题 的 解 答 可 知线 曲方 程 为 2 2 y x 2g
y ω
yo
n Fge
( 2) 设 旋 转 抛 物 面 下 xz 面 以 上 的 液 体 体 积 为 v v 2xydx
代入 上 式 可得:
900
zk
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1 y v0t cos gt 3 cos 3 1 z v0 t gt 2 2 2v0 设 z 0时 t ( 物体返回地面 ) g
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x i
yj
1 4 x v02 t 3 sin2 g2 t 4 sin2 3 3 1 1 y v0t 2 cos gt 3 cos v03 t 4 cos 3 3 1 2 1 z v0 t gt 2 v02 t 3 cos2 g2 t 4 cos2 2 3 6
2
1 2 v0 cos2 g cos2 cos2t 1 z sin v0 t gt sin2t 2 2 2 4 4 2 取 si n2t 2t 3 t 3 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3 3
我们定义：牵连惯性力 F ge mae 即有
科氏惯性力 F gC maC
~ d 2 r 称为相对矢径r 的相对导数.(参见六版上册P178) 2 dt
mar F F ge F gC ~2 d r 写成微分方程的形式有: m 2 F F ge F gC dt
例一 . (书上P2 例1－1)
< 2 > 竖直上抛物体落点偏西
900
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由初始条件: x i x y z 0
yj
0
2y sin 1 x 2 x sin 2z cos 2 y cos g 2y 3 z
gt cos 2 g cos 2C sin2t 2D cos 2t y 2
22 y 2 gt cos y
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x i
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0 0 可 得C 0 由 y0 0 y
g cos D 4 2 g cos g cos y sin2t t 5 2 4 2
§1 – 1 非惯性系中质点动力学的基 本方程
前面讲过, 牛顿第二定律只适用于惯性系. 如果在非惯性系内建立动 力学方程, 则质量与非惯性系下的加速度乘积的度量, 除了与真实力 有关, 还与非惯性系下产生的各种惯性力有关.
由牛顿第二定律和运动学的加速度合成公式, 有:
m a a m( a e a r a C ) F F 在 这 里 应 理 解 为 作 用质 在点 或 平 动 刚 体 上 的力 合. 上式可写成 : ma r F ma e ma C
解 : 若小球相对静止, 则 将
z ω Bτ M θ Fn ge r θ F O mg N x
ar 0
0 F N F ge m g 沿 切 向 投 影 0 Fge cos mg s i n
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2 r m r cos mg s i n 即 tg g 若 r为 任 意 值 即 是 变 量 y . 于 是 有:
若去掉 ² 以上的项则有:
2 cos 2 r x
sin i 2 x sin z cos k cos j y 2y
∴( I ) 式的投影方程为:
2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
y
dz 2 tg y dy g
2 2 z y C 2g
由图示坐标系的选择知 可 C0 2 2 z y ( AOB线 为 抛 物 线 ) 2g
习 1 – 5 . 图示一离心分离机的鼓室, 鼓室的半径为R , 高为H . 以匀 角速度ω 绕 Oy轴转动. 当鼓室无盖时, 为使被分离的液体不致溢 出. 试求: (1) 鼓室旋转时, 在平面内液面所形成的曲线形状. (2) 注入液体的最大高度H´ .
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g sin2 g sin2 2 cos2t 1 x t 82 4
y g cos g cos sin 2 t t 2 4 2
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这就是考虑科氏惯性力影响的自由落 x i 体公式. 这里, 地球的自转的角速度
x
积 分 得: x
g sin2 g sin2 2 cos 2 t t E 2 8 4 g sin2 由 x0 0 得 : E 8 2
x g sin2 g sin2 2 cos 2 t 1 t 2 8 4
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同理可得:
g cos2 1 2 2 z cos 2 t 1 gt cos 1 h 2 4 2
代入 ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 式 可得: 1 x g sin2 2 t 4 12 1 y g cos t 3 3 1 2 1 z h gt g cos2 2 t 4 2 6
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重复前面的解题过程可得:
x v 0 sin2 v sin2 g sin2 g sin2 2 sin2t 0 t cos 2 t 1 t 4 2 82 4
v0 cos g cos g cos cos2t 1 y sin2t t 2 2 4 2
单摆的摆长为L, 小球的质量为m , 其悬挂点O以加速度 ao 向上运 动. 求此单摆的微振动周期.
解 : (分 析: 求 运 动 周 期 就 要 先 求 动 运方 程 )
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取小球分析 ,小 球 相 对 以 O为 原 点 的 平 动 参 考 系 动 的力 学 方 程 为 m a r F m g F ge 将其沿切向投影 : mg si n mao si n ml
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g cos2 1 2 z cos 2 t 1 gt cos2 1 h 2 4 2
7.29 105 rad / s 借助于幂级数, 我们来分析上面的方程.
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2 cos 2t 1 22 t 2 4 t 4 3
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2 3 2 4 x dx R g 4g
H H –h
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静止时 , xz面 以 上 的 液 体 体 积 为 R 2 yo 2 4 由 题 意 得 R yo v R 4g
2
2 R 2 yo 4g 2 2 由 曲 线 方 程 可 知h R 2g 2 2 H ' H h yo H R 4g
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例二. ( 参见书上 习 1 – 4 ) 质点M其质量为m, 被限制在旋转面容器 内光滑的经线AOB运动. 旋转面容器绕其几何轴Oz 以匀角速度ω 转 动.求: M点相对静止处曲线的切线斜率与回转半径r 的关系. 如果r 为任意值时M点都静止, 求旋转面经线AOB的形状.
认识地球上的 科氏惯性力
在非惯性系下的力学系统, 无论处于什么状态, ( 静止、运动 ) 必存 在着惯性力. 这些惯性力所产生的力学效应, 可以通过相关的仪器测 出, 或可以通过人的感官感觉到. 公共汽车在转弯的时候对车上的物体作用有离心惯性力, 这已是 常识. 还有一些感觉是一般人体会不到的 . 飞机加速上升, 使人身上的血往下流, 脑中失血, 眼睛失明 — 这就是 飞行中的 ‘ 黑晕’ 现象. 飞机加速下降, 使人身上的血往上流, 脑中充血, 眼睛红视 — 这就是 飞行中的 ‘ 红视’ 现象. 地球本身就是一非惯性系, 而且是一有转动的非惯性系. 所以, 严 格地讲,以地球作为参照系的上的力学现象中, 应有牵连惯性力和科 氏惯性力的效应. 如果考察地球上局部空间内的力学现象, 把地球的这一部分运动空 间视为‘ 匀速直线平动’, 则许多力学现象的分析与计算结果是可 用的. 但是, 对于一些精确的力学问题, 以及大尺度的力学问题, 必须考虑 相应的惯性力. 对于地球上的许多大尺寸的运动学问题, 科氏惯性力的影响不容忽 视. 下面, 我们来研究地球上物体的运动与科氏惯性力.
gt cos 2 g cos y 2C sin2t 2D cos 2t 2 y C cos 2t D sin2t
2y sin x 可得 代入 z gt 2y cos
g sin2 g sin2 sin2t t 4 2
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2y sin 1 x 2 x sin 2 z cos 2 y cos g 2y 3 z
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< 1 > 自由落体偏东 设运动初始条件:
x0 y0 0 , z0 h . 0 y 0 z 0 0 x
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建立地面坐标系如图示 质点相对于地球的运动微分方程为
m r m g Fg C
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即为:
m r mgk 2m r
I r gk 2 r
i j 0 y k sin z
x0 1 y g cos t 3 3 1 z h gt 2 2
如果略去 2项 上式变为 :
从这几组方程可明确得知: 自由落体运动, 在考虑地 如果不考虑地球的角速度, 即是略去、 项, 则有: 球的自转效应时, 落到地面 ² x0 后位置偏东, 若在精确一点 y0 讲, 还有一点偏南(北半球) 或偏北( 南半球) . 1 2 z h gt ( 只有两极处无此现象 ) 2
将( 1 ) 、( 3 ) 式分别积分: 2y sin A x gt 2y cos B z 由初始条件可得: A = 0, B = 0 2y sin x
gt 2y cos z
代入( 2 ) 式整理可得: 其解为: y C cos 2t D sin2t