导数及其应用复习小结

2011-4-14
函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲
解 :(I) f ′( x ) = 3mx − 6( m + 1) x + n 因为 x = 1 是函数 f ( x ) 的
2
一 个极值 点 ,所以 f ′(1) = 0 , 即 3m − 6( m + 1) + n = 0 ， 所以 所以
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断 [a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 则它必有最大值和最小值. 必有最大值和最小值 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
a x1
法则3:两个函数的积的导数, 法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 3:两个函数的积的导数 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 函数, 数的平方. 数的平方.即:
f (x) ′ f ′(x)g(x) − f (x)g′(x) (g(x) ≠ 0) g(x) = 2 [ g(x)]
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当点Q沿着曲线无限接近点 当点Q x→0时 割线PQ PQ如果有一 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT. PT.则我们把直线 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 处的切线 称为曲线在点P 切线. PT称为曲线在点P处的切线.
y=f Q (x)
设切线的倾斜角为α 设切线的倾斜角为α,那 α P 么当Δx→0时 割线PQ PQ的 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. 切线的斜率. f (x0 +∆x) − f (x0 ) ∆y ' = lim 即: k切线 = f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
2
2 2 g (−1) < 0, 1 + 2 + + < 0, 4 ⇒ 所以 解之得 − < m 又 m < 0 所以 m m 3 g (1) < 0. −1 < 0.
4 4 − < m < 0 .即 m 的取值范围为 − , 0 . 即 3 3
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基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f' x)=0 )=c ( )=0 2.若f(x)=x n，则f' x)=nx n-1 (n ∈ R) )=x ( )=nx 3.若f(x)=sinx，则f' x)=cosx )=sinx sinx， ( )=cosx 4.若f(x)=cosx，则f (x)=-sinx )=cosx cosx， )=-sinx 5.若f(x)=a ，则f (x)=a ln a )=a )=a 6.若f(x)=e ，则f (x)=e )=e )=e
2
2 2 2 2 2 以 x − ( m + 1) x + < 0 ,即 x − ( m + 1) x + < 0, x ∈ [ −1,1] ① 即 m m m m 1 2 2 其函数开口向上,由题意知 设 g ( x ) = x − 2(1 + ) x + ,其函数开口向上 由题意知①式恒成立 其函数开口向上 由题意知①式恒成立, m m
第三章 导数及其应用复习小结
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本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、 函数的极值、最值
导数应用
曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
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一．知识串讲 曲线的切线
∆x
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（一）导数的概念： 导数的概念：
1．导数的定义 对函数 导数的定义：对函数 导数的定义 对函数y=f(x)，在点 ，在点x=x0处给自变量 x以增量△x，函数 相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 以增量△ ，函数y相应有增量 相应有增量△ 以增量 △ － ， 存在， 若极限 lim ∆y = lim f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 存在，则此极限称为
2
2 的变化如下表： 当 m < 0 时,有 1 > 1 + ,当 x 变化时 f ( x) 与 f ′( x) 的变化如下表： 有 当 变化时, m
x f ′( x)
f ( x)
2 −∞,1 + m
−
2 1+ m
0 极小值
2 1 + ,)
n = 3m + 6 .
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函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲
2 （II）由（I）知， f ′( x) = 3mx − 6(m + 1) x + 3m + 6 = 3m( x − 1) x − 1 + ） ） m
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此时割线PT斜率的极限就是曲线 在点 处的切线的斜率， 此时割线 斜率的极限就是曲线C在点 处的切线的斜率， 斜率的极限就是曲线 在点P处的切线的斜率 用极限运算的表达式来写出， 用极限运算的表达式来写出，即 k=tanα= lim f (x0 +∆x) − f (x0 )
∆x→0
−
+
ր
0 极大值
ց
ց
2 2 故由上表知,当 单调递减,在 单调递增, 故由上表知 当 m < 0 时 , f ( x) 在 −∞,1 + 单调递减 在 1 + ,1 单调递增 m m
上单调递减. 在 (1, +∞) 上单调递减
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（III）由已知得 f ′( x) > 3m ，即 mx − 2( m + 1) x + 2 > 0 .又 m < 0 所 ） 又
[ f (x) ± g(x)] = f ′(x) ± g′(x)
法则2:两个函数的积的导数, 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 2:两个函数的积的导数 函数, 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
[ f (x)ig(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
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x2
0
g
x4 x3 b x 返回
g
f(a)
f(x2)
函数导数方程不等式中等问题复习选讲 函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 5 已知 x = 1 是函数 f ( x) = mx − 3(m + 1) x + nx + 1
3 2
的一个极值点， 的一个极值点，其中 m, n ∈ R, m < 0 ， 的关系表达式； （I）求 m 与 n 的关系表达式； ） （II）求 f ( x) 的单调区间； 的单调区间； ） （ III）当 x ∈ [ −1,1] 时 ,函数 y = f ( x) 的图象上任意一 ） 函数 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围 求 的取值范围.
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割 线 T 切 线 x
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定理 一般地，函数y 在某个区间(a,b) (a,b)内 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 f′(x)>0， y=f（ 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增 内单调递增； 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） f′(x)<0， y=f（ 在这个区间(a,b)内单调递减。 (a,b)内单调递减 在这个区间(a,b)内单调递减。
' x ' x x ' x '
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1 7.若f(x)=logax，则f (x)= )=log x， xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f (x)= )=lnx lnx， x
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导数的运算法则: 导数的运算法则:
法则1:两个函数的和( 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 1:两个函数的和 的导数, 和(差),即: ),即 ′
以曲线的切线为例，在一条曲线 ： 以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x) 上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y) 上取一点 ， △ ， △ 是曲线C上与点 临近的一点，做割线 ， 是曲线 上与点P临近的一点 做割线PQ， 上与点 临近的一点， 当点Q沿曲线 无限地趋近点 当点 沿曲线C无限地趋近点 时，割线 沿曲线 无限地趋近点P时 割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT， 便无限地趋近于某一极限位置 ，我们就 把直线PT叫做曲线 的在点 处的切线。 把直线 叫做曲线C的在点 处的切线。 叫做曲线 的在点P处的切线
（五）函数的最大值与最小值： 函数的最大值与最小值：
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区 ．定义：最值是一个整体性概念， 或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值 间(或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数 或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值， 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为 ， 值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小 值记为m. 值记为
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3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点 0处的导数的几何意 ．导数的几何意义：函数 在点x 在点 处的切线的斜率， 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 就是曲线 在 处的切线的斜率 y=f(x)在点 0，f(x0))处的切线斜率为 ＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ 在点P(x 处的切线斜率为k＝ 在点 处的切线斜率为 ． ＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 在点 处的切线方程为 y−y0=f ’(x0)·(x－x0)． − － ． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间 ．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程 关于时间 关于时间t 的函数为： 对于时间t的导数 的导数， 的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间 的导数， ， 即v(t)=s’(t).