导数复习课件

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导数知识点复习省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

x1
x2
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处旳瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim f
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处旳导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0 , 即
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
Δx) x
结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0旳两侧
旳导数异号,则x0是f(x)旳极值点,f(x0)是极值,而且假如 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)旳极大值点,f(x0)是极大值; 假如 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0
是f(x)旳极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
导数旳运算法则:
法则1:两个函数旳和(差)旳导数,等于这两个函数旳导数旳
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数旳积旳导数,等于第一种函数旳导数乘第二个函数,加上第一种函数乘第二个函数旳导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=

导数的应用复习PPT课件

3 2
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2）判断函数单调性的常用方法：导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x）为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x）为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.

导数的概念和计算(复习课件)

1 上,∴ab=1 x
------------②
所求直线方程为 x+y-2=0
练习4 (1)曲线y=x4的斜率等于4的切线的方程为 4x-y-3=0 . π 1 ( , ) 且与过这点的切线垂直的 (2)过曲线y=cosx上的点 3 2
1 2 3 π y = (x . ) 切线方程为 2 3 3
(3)设l1为曲线y=sinx在点(0,0)处的切线,l2为曲线 π ( ,0)处的切线,则l1与l2的夹角大小为 90° . y=cosx在点
′ = 2e 2 x cos x e 2 x sin x y
(4)
2 x log 3 e 1 2 y′ = 2 log 3 e ( x 1)′ = x 1 x2 1
练习3: 1.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3 0或 2 3. (1)这两条曲线在x=x0的点处的切线互相平行,则x0= (2)这两条曲线在x=x1的点处的切线互相垂直,则x1= 4 2.已知f(x)=cos2x ,则 f ′′( ) = . 2 3.已知函数y=x3的切线的斜率等于3,则其切线有
B. 0
二,求导公式 1.常用导数公式
c′=0(c为常数) (xm) ′=mxm-1(m∈Q) (sinx) ′=cosx (cosx) ′=-sinx (ex) ′=ex (ax) ′=ax lna (lnx) ′= 1
1 (log a x)′ = log a e x
x
2.两个函数四则运算的导数
y x
lim y
t →0
x
5.二阶导数:y=f(x)的导数f′(x)的导数,记作f ″(x)或y ″ 物体运动的加速度a=s″(t)
练习1:(1) 一球沿斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2 位移单位:m,时间单位:s).求小球在t=5时的瞬时速度(用定义法求) 解:△s=s(5+△t)-s(5)=(5+△t)2-52=△t2+10△t s = t + 10 t

高考数学-导数-专题复习课件

)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3

2025年高考数学一轮复习4.1导数的概念及其意义、导数的运算【课件】

方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
3
4
2
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(
(2)函数f(x)=sin (-x)的导数f'(x)=cos x.(
2 4
e
e
e e
所以曲线y= 在点(1, )处的切线方程为y= x+ .
+1
2
4 4
π
3.(选择性必修二·
P81T6·
变形式)已知函数f(x)满足f(x)=f'( )cos
4
π
1- 2
则f'( )=________.
4
π
【解析】f'(x)=-f'( )sin
4
x-cos x,
π
π
2 π
2
令x= ,得f'( )=- f'( )- ,
2
e
A.y= x
4
e
B.y= x
2
e e
C.y= x+
4 4
e 3e
D.y= x+
2
4
)
e
e
e
【解析】选C.设曲线y= 在点(1, )处的切线方程为y- =k(x-1),
+1
2
2
e
因为y= ,
+1
e (+1)−e
所以y'=

导数的概念和计算(复习课件)

复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
THANK YOU
感谢聆听
导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的频谱和滤波，例如傅里叶变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设计，例如结构优化和机械优化，提高产品的性能和效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边际变化，例如边际成本、边际收益和边际利润等，帮助企业做出更优来解决经济学中的最优化问题，例如最大利润、最小成本等，通过求导找到最优解。

导数章末复习(带答案)教学课件

,其中1≤
x
≤
2.
取并集
令h(x)=4x 1 (1≤ x ≤ 2),易知h(x)在[1, 2]上单调递增，故h(1) ≤ h(x) ≤ h(2). x
所以 3 ≥ h(2)或 3 ≤ h(1)，即 3 ≥ 4 2 1 = 15 或 3 ≤ 4 1 1 =3，
a
a
a
22 a
1
解得a 0或0 a ≤ 2 或a ≥1. 故a的取值范围为( 5
a
（1）若a =1，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围。
解（：1）当a 1时，f (x) 3x 2x2 ln x,其定义域为(0, ),
则f (x) 1 4x 3 4x2 3x 1 (4x 1)(x 1) (x 0), -1/4 0 1 x
x
x
a, a ).
专题三导数的综合应用
例3. 函数f (x) x2ex-1+ax3 bx2,已知x 2和x 1为f (x)的极值点. (1)求a和b的值；
(2)设g(x)= 2 x3 x2, 试比较f (x)与g(x)的大小. 3
解：(1) f (x) ex 1(2x x2 ) 3ax2 2bx xex 1(x 2) x(3ax 2b).
, 0) (0, 2] [1, 5
).
变式2.设函数f (x) x3 3ax b(a 0). (1) 若曲线y f (x)在点（2，f (2)）处与直线y 8相切，求a、b的值；
(2) 求函数f (x)的单调区间.
解:(1) f (x) 3x2 3a(a 0), 因为曲线y=f (x)在点(2, f (2))处与直线y=8相切，
导数章末复习

1.导数复习课件

欢迎各位专家莅临指导！
导数复习第一讲
高二数学组
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t vt vt at
k f x0
2某点处导数的几何意义这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
3：某点处导数的定义当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
3 a 2
课堂练习:
3.若函数 y ax 1在 R 内是减函数,则 a的范围(a 0 )
3
y 变式：若将函数改为
则结果为（a 0 ）
ax x
3
4.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值分析: y 2 cos x 1,3
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
1 2 例3.若函数f x x x bx c 2
7.
以上几题是考查导数的运算及几何意义。下面来借助导数研究函数的单调性问题……..
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b内单调减函数,则 f x 0
(6)(sinx )
'
x
cos x
(7) cosx sin x

核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算

最大值和最小值
函数的极值是最大值和最小值的统称，可以通过导数和二阶导数计算。
拐点和凸凹性
函数的拐点是凸凹性转换的点，可以通过导数和二阶导数计算。
最优化问题
最优化问题是实际应用中常见的问题类型，可以通过导数方法求解。
总结
导数是数学和物理中的基础概念，具有广泛的应用和深刻的理论意义。希望通过本课程的学习，大家能够深入理解导数的概念和计算方法，掌握导数分析的基本技能，从而在数学和科学领域更加自信和成功。
核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
导数是高中数学和微积分的基本概念之一。导数用于描述函数在给定点处的变化率，是许多数学和物理问题的核心概念。在本课程中，我们将深入了解导数的概念、性质和计算方法。
导数的定义和几何意义
切线
导数是曲线在给定点处的切线的斜率。
斜率
导数是函数在给定点处的斜率，表示函数值的变化率。
隐函数
隐函数是复杂曲面的显式函数表示，导数需数
向量代数和微积分
向量函数是高维空间中的映射，导数描述了向量场的局部性质。
偏导数和全导数
高维函数的导数需要使用偏导数和全导数等更复杂的计算方法。
导数的应用
导数广泛应用于科学工程与实际问题，如最值问题和最优化问题等。
函数的导数和反函数的导数
1
一阶导数
函数的导数可以表示为函数的初等函数或数学公式的形式。
2
高阶导数
函数的导数也可以求二阶导、三阶导等高阶导数，揭示函数的更多性质。
3
反函数的导数
反函数的导数可以通过求导链式法则和反函数公式获得。
参数方程的导数和隐函数的导数
参数方程
参数方程描述曲线的参数关系，导数需要通过参数求导法则计算。

2025年高考数学一轮复习-4.1-导数的概念、运算及几何意义【课件】

Δ
x→0
.
微点拨关于导数概念的理解
(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.
(2)导数就是瞬时变化率.
(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速
度与时间的关系式.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,
f'(x)= axln a
f'(x)= ex
f'(x)=
1
ln
f'(x)=
1

4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'=
(2)[f(x)g(x)]'=
(3)
()
()
'=
f'(x)±g'(x)
.
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
'()()-()'()
[()]2
点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为
答案
1
4
解析
1
由条件可知,曲线在点(0,1)处的切线斜率为-2.因为
y'|x=0=2ae
1
=2a=-2,所以
0
1
a=-4.
.
y'=2ae2ax,所以
研考点精准突破
考点一
导数的运算
题组(1)(多选)(2023·广东石门高三检测)下列求导结果错误的有(
.
m=(
)
)
答案 (1)ACD
(2)B
(3)-2
解析 (1)A 选项,(2 )'=2 ln 2,故 A 选项错误;B 选项,

导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件

答案： g'(x)=3x^26x+2，g'(x)在 [1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在区间[1,2]上单调递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在区间[-1,1]上单调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[1,2]上的单调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减

第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算--新高考数学新题型一轮复习课件

新高考数学新题型一轮复习课件第三章§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x0处的导数记作或 .0'|x x y f ′(x 0)(2)函数y ＝f (x )的导函数2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的，相应的切线方程为 .y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)斜率3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝______f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝_______0αx α－1cos x －sin x a x ln ae xf(x)＝e x f′(x)＝____ f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝；[f (x )g (x )]′＝；f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x)[cf (x )]′＝ .cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x ).( )××××教材改编题∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.1.函数f (x )＝e x ＋在x ＝1处的切线方程为______________.y ＝(e －1)x ＋22.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝______. f′(x)＝1＋ln x＋2ax，3.若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝____________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一导数的运算例1　(1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是√√(x2e x)′＝(x2＋2x)e x，故B错误；教师备选1.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于√y′＝2cos 2x＋2sin 2x2.(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，则f(2 021)－f(0)等于√A.e2 021cos 2 021B.e2 021sin 2 021C. D.e因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f(x)＝e x sin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1　(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于√A.1B.2C.3D.4当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.e2 (2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋ax e－x，若f′(2)＝1，则a＝___.∴f′(2)＝2＋a e－2－2a e－2＝2－a e－2＝1，则a＝e2.命题点1　求切线方程题型二导数的几何意义例2　(1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝在点(－1，－3)处的切线方程为_____________.5x －y ＋2＝0所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，x－y－1＝0则直线l的方程为_____________.∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2　求参数的值(范围)例3　(1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于√A.4B.3C.2D.1∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝a e x(a>0)的切线，恰有2条，(1，＋∞)则实数a的取值范围是__________.由y ′＝a e x ，若切点为(x0，　)，则切线方程的斜率k ＝＝ >0，∴切线方程为y ＝ (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴　(2－x 0)＝e ，0'|x x y 0e x a 0e x 0e x a 0e x a 0e x a 令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝e，又x→－∞时，φ(x)→0；x→＋∞时，φ(x)→－∞，解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).1.已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为A.(1,3)B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3)D.(1，－3)√教师备选设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).2.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[4，＋∞)√C.(－∞，2]D.(－∞，4]故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.跟踪训练2　(1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝e x－2n相切，则√设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 切于点(x0， )，因为y ′＝e x －2n ，所以　＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，02e x n -02e x n -(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，[2，＋∞)则实数a的取值范围是__________.直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).例4　(1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于A.0B.－1C.3D.－1或3√题型三两曲线的公切线由f(x)＝x ln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y ＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则a的取值范围为__________.由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，与曲线C 2切于点(x 2，　)，2e x 222121e e ,x x ax x x -=-则2ax 1＝可得2x 2＝x 1＋2，1121e 2x x +∴a ＝，12e 2x x+记f (x )＝，122e (2)4x x x +-则f ′(x )＝，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.延伸探究　在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为___________.由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝有两个不同的解.1121e 2x x +12e 2x x +∵函数f (x )＝在(0,2)上单调递减，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，1.若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于A.1B.2C.3D.3或－1教师备选√解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.。