导数知识点复习

f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导 数,如果在 这个区间内 f (x) >0,那么函数y=f(x) 在为 这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f (x) <0,那 么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. y
或 y | x x0 , 即
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
函数导函数
导数
回顾
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x)
②割线的斜率
f k x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 与端点的函数值进行比较.
5.若f(x)=a ，则f(x)=a ln a 6.若f(x)=e ，则f(x)=e
' x ' x
x
'
x
1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域; ②求函数的导数
/（x） f
;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调 递减区间.
的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极 值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右 负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值; 如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0 是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值
结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 x=x0时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, 便f ( x ) 是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 即: y f ( x x) f ( x) f ( x) y lim lim x 0 x x 0 x 在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小 值的步骤如下： ①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、 f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.
与极小值统称为极值.
从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切 线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切 线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左 侧切线的斜率为负,右侧为正.
四.探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
可导函数的极值点一定是它导数为零的 点,反之函数的导数为零的点,不一定是该 函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处 的导数为零,但它不是极值点,原因是函数 在点x=0处左右两侧的导数都大于零.
B源自文库
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
f ( x) 3x
f(x)在x=x0处的导数
2
关系
'
f(x)的导函数
f ' ( x0 ) 6x0
f ( x) 6 x
x=x0时的函数值
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx n-1 (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必 要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:
(1):如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 右侧 f/(x)<0 , 那么f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 f/(x)<0 右侧 f/(x)>0 , 那么f(x0)是极小值.