8.4位移法的基本结构及位移法方程

k11 8i
F1P
1 8
FP l
k11Z1 F1P 0
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1
F1P k11
FP l 64i
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由 叠加公式计算，即
M M1Z1 M P
M BA 2i
0 5FPl / 32
M
M
M
AB AC CA
所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线 位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能 阻止其线位移的附加约束。
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Z1 Z4
F
G
H
F
Z2
Z3 Z3
C
D
E
C
Z3
A
B
A
G
H
D
E
B
a) 原结构及其基本未知量
b) 基本结构
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二、位移法的基本体系
l/2 FP l/2
F1=0
FP
F1P
图a所示刚架的基本Z1A未知Z1 量为结C 点A的转Z1角A ZZ1Z11。在结C 点 A
A加一附加刚臂，就得到位移EI法=常的数 基本结构（图b）。同力
法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为
B
基本体系（图c）。
Z1
1620 EI
结构的最后弯矩图可由叠加公式M M1Z1 M P 计算后绘 制，如图c所示。
为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和
Z1=1引起的弯矩图（ M1 图）。
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FP l F1P 8
A
FP l
FP
8
C
FP l 8
k11 Z1=1 A
4i
4i
FP l
FP l
D Z1=1 k11 C
D
(90)
(90)
A -90
B
A
B
A
B
EI 12
EI 12
225
135
C
D
F1P
C
D
k11
FQFCA=45
FQFDB=0
EI 72
EI 72
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体，
如图8-17所示。由剪力平衡条件
Fx ，0得
F1P
FF QCA
FF QDB
45 0 45 kN
/ 8
8
FPl /16
5FFPPll//3126
FP l F1P 8
A
FP l
FP
8
C
FP l 8
B
FM1P P图
All
Rights
A
Reserved
FP l 8
k11 Z1=1
2i
A
4i
C
4i
B 2i
M 图 k11 1 重庆大学土A木工程学4i院®
4i
FP l
FP l
16
16
FP l
16 A
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C
D
F1P
C
D Z1=1 k11 C
D
(90)
(90)
A -90
B
A
B
A
B
EI 12
EI 12
225
135
C
D
F1P
C
D
k11
FQFCA=45
FQFDB=0
EI 72
EI 72
k11
EI 72
EI 72
EI 36
将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得
式中，Fij表示广义的附加反力矩（或反力），其中第一个 下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起 反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚 臂上的反力矩，则有 F11=k11Z1，代入上式，得
k11Z1 F1P 0
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。
d)
F11
A
C
基本A 结构在结C 点位移Z1和荷载
共同作用下，刚臂上的反力矩F1必
Z1 A
F11 Z1 C
Z1
Z1 A
Z1
Z1
锁住结点
C
定为零（图c）。
B B
F1 F11 F1P 0
B B
e) 放松结点
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F1 F11 F1P 0
4i 4i 2i
FPl 64i
0
FFPPl
l /
/ 8
8
FPl /16
5FFPPll//3126
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M BA 2i
0 5FPl / 32
M
M
M
Baidu Nhomakorabea
AB AC CA
4i 4i 2i
FPl 64i
0
FFPPl
l /
2i
16
16
FP l
C
16 A
C
9FP l 64
B
B 2i
B FPl 32
F1P
A
FP l 8
k11 A 4i
4i
在图 M1 中取结点A为隔离体，由 M A 0 ，得
在MP图中取结点A为隔离体，由 M A 0 ，得
刚臂内之反力矩以顺时针为正
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A
B
Z1
Z1
C
EA=∞ D
EI
EI
C
D
C
D
Z1 F1=0
6m 20kN/m
20kN/m
A
B
位移法方程
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A
B
基本结构
A
B
基本体系
C
D
Z1 F1=0
k11Z1 F1P 0
20kN/m
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A
B
a) MP图(kN·m)
C
D
F1P
b) M 1图
C
c) M图(kN·m)
C
9FP l 64
B FPl 32
M图
例如，图8-16a所示C刚Z1 架EA的=∞ 基D 本Z1 未知量为C结点C、DD的水
20kN/m 6m
平线位移Z1。在结点D加E一I 附加E支I 座链杆，就得到基本结构 （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形
和受力情况与原结构完全A 相同。B
B
B
l l
l
l/2 FP l/2
A
C
Z1
Z1
F1=0
A
ZA1
A
FP l/2
FP l/2
CC C
F1P A
Z1
ZZ11 Z1
F1F=P0
FP
Z1 C
C
A
Z1
Z1
FF111P Z1 AA Z1
EI =常数
EI =常数
B
BB B
B
B
BB
aA) 原结构C
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b) 基本结构F11
8.4 位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构
位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附 加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆 的综合体。
所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的 刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位 移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号 “ ”表示。
A
C
Z1
A
Z1
Z1
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c)
基本体系 F11
C
Z1
A
Z1
Z
三、位移法方程
l/2 FPl/l2/2 FP l/2
AA
C
C
Z1
ZZ11
Z1
EI =常数EI =常数
l l
F1=0 F1=0FP
FP F1P
Z1
Z1 C
C
A
A
A
Z1
Z 1Z 1
Z1
FF1PP
FP
C
C
A
B
B
B
B
B
B
c) 基本体系