第八章.位移法
第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
08第八章_位移法
第八章位移法本章的问题：A.什么是位移法的基本未知量？B.为什么求内力时可采用刚度的相对值，而求位移时则需采用刚度的真值？C.在力法和位移法中，各以什么方式来满足平衡条件和变形连续条件？D.位移法的基本体系和基本结构有什么不同？它们各自在位移法的计算过程中起什么作用？E.直接平衡法和典型方程法有何异同？F.力法和位移法的优缺点？G.在位移法中如何运用结构的对称性？§8-1位移法概述对图8-1所示单跨梁，象力法[例题7-4]-[例题 7-6]那样进行求解，从而可建立表8-1所示杆端内力。
需要指出的是，对于斜杆除表中所示弯矩、剪力外，还有轴力。
由位移引起的杆端内力称为“形常数”（shape constant）。
由“广义荷载”产生的杆端内力称为“载常数”（load constant），其中外荷载产生的杆端内力称为固端内力（internal force of fixed-end）。
杆端内力的符号及正、负规定见第3章。
两端固定一固一铰一固一定向图8-1 位移法基本单跨梁示意图*P。
P 。
P 有了表8-1，则图8-2 所示的两端固定单跨梁，利用形、载常数和叠加原理可得杆端内力。
例如A 端杆端弯矩为F4322122646ABAB M l EI lEI l EI l EI M ++-+=∆∆∆∆ （a ） A 端杆端剪力为图8-2单跨梁杆段位移和荷载作用AB3∆4∆2∆1∆FQ 42332213Q 612612AB AB F l EI l EI l EI l EI F ++-+=∆∆∆∆ （b ）式（a ）和式（b ）中FAB M 和F Q AB F 为荷载引起的固端弯矩和固端剪力。
同理，也可叠加得到B 端的杆端内力BA M 和BA F Q 。
这些将杆端位移和杆端内力联系起来的式子，称为两端固定单跨梁的转角位移方程（slope-deflection equation ）或刚度方程（stiffness equation ）。
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
位移法
F B 端为铰支座固端弯矩 M AB 由上式得： F M BA F F 铰 支 M AB M AB (c) 2 B 端为滑动支座：q B FQBA 0
P M A 0 FQBAl M AB M BA M A 0
把式(a) 、(b)代入上式，得：
D F F P 6iq A 12i M AB M BA M A P M AB M BA M A l FQBA 0 l l F F P 6iq Al M ABl M BAl M A l 1 l F F P D q Al ( M AB M BA M A ) (d) 12i 2 12i
§8-3 无侧移刚架的计算
1、无侧移刚架基本未知量的判定：
其位移法基本未知量数目
结构上刚结点的独立角位移数 等于结构上的自由刚结点数 。
(a)
1 D E 2 C F
A
(b)
B
D
EA=
C
1 C
B
1 A
2 B
A
(c)
(d)
说明：
1）强调位移法基本未知量是结 构中自由结点上的独立结点位移。 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移。
(2) B 端为铰支座
式(8-5)中
M BA 0
，得：
D M AB 4iq A 2iq B 6i L D 0 2iq A 4iq B 6i L
整理上式得：
M AB
D 3iABq A 3i L
(8-9)
(3) B 端为滑动支座
代入(8-5)式，得：
D 1 qA 式(8-6)中 q B FQAB FQBA 0 ，得： L 2
(8-10)
结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
位移法整章全(课件类别)
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11
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
本节主要解决单跨超静定梁在荷载、温 度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力 结果。
FP x
y
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12
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
位移法中杆端内力、杆端位移符号规定：
(1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或 支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件 受拉纤维一侧。剪力的规定同前.
力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。
力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。
在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。
位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件——建立位移 法方程——求出未知位移——利用位移与内力之间 确定的关系计算相应的内力。
第八章 位移法
§8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8-6 对称性的利用
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1
§8-1 概述
已有的知识：
（1）结构组成分析；
（2）静定结构的内力分析和位移计算；
A
B
一端固定、一端定向支承梁
仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸、 材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(8-1) 。
仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(8-1) 。
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16
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
第8章 位移法
§8－1 概述
基本方法——力法、位移法
结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系 力 法： 内力 → 位移 位移法：位移 → 内力
基本未知量 力法——多余未知力 位移法——结点位移（线位移，转角位移）
基本概念：（以刚架为例）
n=2 （超静定次数） 忽略轴向变形，
结点位移
Z1（角位移，无线位移） 变形协调条件
§8－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力 两端固定等截面梁（两端约束杆） 杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB， 只考虑相对线位移ΔAB
弦转角βAB = ΔAB∕l 顺时针为（＋）
求杆端力 ——力法求支座移动引起的内力
11x1 12 x2 1 A 21x1 22 x2 2 B
1、基本未知量的确定 刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变） 角位移数＝刚结点数
固定端角位移＝0 铰结点、铰支座处杆端转角不独立
线位移数＝独立的结点线位移数
a．观察——φ、Δ
b．独立线位移数——几何构造分析方法确定： （1）将所有刚结点（包括固定支座）变铰结点 （2）铰结体系的自由度数＝独立的线位移数
图8－7 M1：r11=3i + 3i＝6i MP： R1P=96-120=-24kN∙m Z1=-R1P/r11=4kN∙m/i M=MP+Z1M1
无侧移刚架： 【题9－9】2个转角位移 （对称性利用——1个转角位移）
例：（图8－9） （a）有侧移结构
计算步骤 （1）基本未知量 z1（φ1）、z2（Δ2） 刚结点——附加刚臂（只约束转动，不约束移动） 结点——附加支座链杆（独立线位移方向）
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M
F AB
M
F BA
ql 2 12
7
i EI l
A A
B A i EI l B
A
MBA 4iA MBA 2iA
M AB 3iA
在确定结构的基本未知量之前，引入如下假 设：对于受弯构件，忽略轴向变形和剪切变形 的影响。
8
1．结点转角未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。
A
B
C
6
二、 位移法基本未知量
位移法的基本未知量是结构内部结构结点 （不包括支座结点）的转角θ 和线位移△。
不把支座结点的可能位移作为位移法的未知 量是因为：
1）减少未知量的数目；
2）单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反
映了支座可能位移（转角、线位移）的影响，
如下图示。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
l
A
EI
B
A
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
l B
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
A
MBA
B
A
l B
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
6i M AB M BA l
14
由上图可得： 可写成：
M AB
4i A
2iB
6i l
M
BA
2i A
4iB
6i l
M
AB
4i
1. 两端固定梁 q
ql2 12 A
ql2 24
l
ql2 12
B
FPl 8
Fp FPl 8
A
B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
M
F BA
Fpl 8
20
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
Fp
BA
B
5FPl 32
l/2 l/2
M BA 2i
2i 4i
6i l 6i l
A B
上式就是两端固定梁的刚度方程。
式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生 单位杆端位移所需施加的杆端力矩。
15
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
3i
M AB l
q
q
A
BA
B
l
l
M
F AB
ql 2 8
M
AB
3i A
3i l
16
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
17
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
D
B
C
B
A
B C
A
B
C
B C
D
E
9
2．结点线位移未知量△
用附加链杆的方法确定结点线位移未知量△。
从两个不动点（无线位移的点）引出的两根 无轴向变形的杆件，其交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内部 结点成为不动点（无线位移），则该结构线位 移未知量的数目就是n。
不动点如右图示： A
A
A
M B 0 M BA M BC 0
4
3i B
3iB
ql 2 8
0
6i B
ql 2 8
0
B
ql 2 48i
(
)
5） 作弯矩图
将求得的
代入杆端弯矩表达式得到
B
M BA
3iB
3i
ql 2 48i
ql 2 16
M BC
3iB
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 16
A
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
3FPl 16
21
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
Fp
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3
M
F BA
ql 2 6
M
F AB
FPl 2
M
F BA
FPl 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
22
四、正确判别固端弯矩的正负号
B
C M图
3ql2 32
5
小结：
1）位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。 2）选取内部结点的位移作为未知量就满足了 变形协调条件；位移法方程是平衡方程，满足 平衡条件。
3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的 组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超 静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
第八章 位移法
§8-1 位移法基本概念 §8-2 等截面直杆的刚度方程 §8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 §8-4 对称结构的计算 §8-5 支座移动、温度变化及具有弹簧支座
结构的计算 §8-6 斜杆刚架的计算 §8-7 剪力分配法
§8-1 位移法基本概念
一、 位移法基本概念
1. 位移法基本未知量
取结构内部结点的角位移或线位移作为基本
未知量。
A
B
q
C
EI l
B
EI l
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未 知量，这保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协 调。
2
2. 位移法步骤
1）在B结点加附加转动约束( )。附加转动约
束只阻止结点的转动，不阻止结点的线位移。
此时产生固端弯矩。
q
q
A
B B 0
CB
M
F BC
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
2）令B结点产生转角B( ) 。此时AB、BC杆
类似于B端为固端且产生转角
时的单跨梁。
B
3
A
BiC
A
i i
B
BB
3iB
3iB
B
i
3）杆端弯矩表达式
i EI l
C
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
4）建立位移法方程并求解
由结点B平衡可得
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。
12
2．结点转角
顺时针为正，逆时针为负。
Fp
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负
号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A
l
B
l
A
B
13
二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁 i EI
6i l
18
2)
MAB
A i
EI l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
19
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
10
附加链杆 B EA C
BH CH
A
D
D B
B D C C
A BH E CH
B EA为有限值 C
BH
A
CH
D
C B
D B BH A
11
§8-2 等截面直杆的刚度方程
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定顺时针方向为正，
逆时针方向为负。
杆端弯矩的双重身份：
B MBC
MBA
A
C MCB
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。