第八章.位移法

M
F AB
M
F BA
ql 2 12
7
i EI l
A A
B A i EI l B
A
MBA 4iA MBA 2iA
M AB 3iA
在确定结构的基本未知量之前，引入如下假 设：对于受弯构件，忽略轴向变形和剪切变形 的影响。
8
1．结点转角未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。
A
B
C
6
二、 位移法基本未知量
位移法的基本未知量是结构内部结构结点 （不包括支座结点）的转角θ 和线位移△。
不把支座结点的可能位移作为位移法的未知 量是因为：
1）减少未知量的数目；
2）单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反
映了支座可能位移（转角、线位移）的影响，
如下图示。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
l
A
EI
B
A
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
l B
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
A
MBA
B
A
l B
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
6i M AB M BA l
14
由上图可得： 可写成：
M AB
4i A
2iB
6i l
M
BA
2i A
4iB
6i l
M
AB
4i
1. 两端固定梁 q
ql2 12 A
ql2 24
l
ql2 12
B
FPl 8
Fp FPl 8
A
B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
M
F BA
Fpl 8
20
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
Fp
BA
B
5FPl 32
l/2 l/2
M BA 2i
2i 4i
6i l 6i l
A B

上式就是两端固定梁的刚度方程。
式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生 单位杆端位移所需施加的杆端力矩。
15
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
3i
M AB l
q
q
A
BA
B
l
l
M
F AB
ql 2 8
M
AB
3i A
3i l
16
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
17
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
D
B
C
B
A
B C
A
B
C
B C
D
E
9
2．结点线位移未知量△
用附加链杆的方法确定结点线位移未知量△。
从两个不动点（无线位移的点）引出的两根 无轴向变形的杆件，其交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内部 结点成为不动点（无线位移），则该结构线位 移未知量的数目就是n。
不动点如右图示： A
A
A
M B 0 M BA M BC 0
4
3i B
3iB
ql 2 8
0
6i B
ql 2 8
0
B
ql 2 48i
(
)
5） 作弯矩图
将求得的
代入杆端弯矩表达式得到
B
M BA
3iB
3i
ql 2 48i
ql 2 16
M BC
3iB
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 16
A
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
3FPl 16
21
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
Fp
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3
M
F BA
ql 2 6
M
F AB
FPl 2
M
F BA
FPl 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
22
四、正确判别固端弯矩的正负号
B
C M图
3ql2 32
5
小结：
1）位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。 2）选取内部结点的位移作为未知量就满足了 变形协调条件；位移法方程是平衡方程，满足 平衡条件。
3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的 组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超 静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
第八章 位移法
§8-1 位移法基本概念 §8-2 等截面直杆的刚度方程 §8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 §8-4 对称结构的计算 §8-5 支座移动、温度变化及具有弹簧支座
结构的计算 §8-6 斜杆刚架的计算 §8-7 剪力分配法
§8-1 位移法基本概念
一、 位移法基本概念
1. 位移法基本未知量
取结构内部结点的角位移或线位移作为基本
未知量。
A
B
q
C
EI l
B
EI l
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未 知量，这保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协 调。
2
2. 位移法步骤
1）在B结点加附加转动约束( )。附加转动约
束只阻止结点的转动，不阻止结点的线位移。
此时产生固端弯矩。
q
q
A
B B 0
CB
M
F BC
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
2）令B结点产生转角B( ) 。此时AB、BC杆
类似于B端为固端且产生转角
时的单跨梁。
B
3
A
BiC
A
i i
B
BB
3iB
3iB
B
i
3）杆端弯矩表达式
i EI l
C
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
4）建立位移法方程并求解
由结点B平衡可得
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。
12
2．结点转角
顺时针为正，逆时针为负。
Fp
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负
号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A
l
B
l
A
B
13
二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁 i EI
6i l
18
2)
MAB
A i
EI l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
19
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
10
附加链杆 B EA C
BH CH
A
D
D B
B D C C
A BH E CH
B EA为有限值 C
BH
A
CH
D
C B
D B BH A
11
§8-2 等截面直杆的刚度方程
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定顺时针方向为正，
逆时针方向为负。
杆端弯矩的双重身份：
B MBC
MBA
A
C MCB
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。