201x届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-6 椭圆(二) 文
2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-6 椭圆(二)课件 文
九
平面解析几何
章
第六节
椭圆(二)
高考概览 1.能够把直线与椭圆位置关系问题转化为研究方程的解的问 题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合的 思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．已知点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系
[答案] D
3．设 A1、A2 是椭圆x42＋y22＝1 的左、右顶点，P 在椭圆上， 若 kPA1＝2，则 kPA2 的值为________．
[解析]
设 P(x0，y0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，∴kkPPAA12＝＝xx00yy＋－00 22＝2
两式相乘得 2kPA2＝x02y－02 4 又点 P(x0，y0)在x42＋y22＝1 上，∴x20＋2y20＝4 代入上式得 kPA2
＝
0
，
x1
＋
x2
＝
83 5
，
x1x2
＝
8 5
，
由
弦
长
公
式
得
|AB|
＝
1＋12[x1＋x22－4x1x2]＝85.
[答案]
8 5
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 直线与椭圆的位置关系——常考点 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m
取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
2．已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y＋4 ＝0，有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (2)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.11 圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切．(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．(1)解 圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4.设动圆M 的半径为r 2，依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ，故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4， 消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－8kb 1＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－41＋4k 2， 于是k PN ＋k QN ＝kx 1＋b x 1－4＋kx 2＋b x 2－4＝2kx 1x 2－4k －bx 1＋x 2－8b x 1－4x 2－4， 由∠ONP ＝∠ONQ 知k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·4b 2－41＋4k 2－(4k －b )－8kb 1＋4k 2－8b ＝8kb 2－8k 1＋4k 2＋32k 2b －8kb 21＋4k 2－8b ＝0， 得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)>0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M (x ，y )(y ≥0)到定点F (0,1)的距离比到x 轴的距离大1.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (4,4)作斜率为k 1，k 2的直线分别交曲线C 于不同于N 的A ，B 两点，且1k 1＋1k 2＝1.证明：直线AB 恒过定点．(1)解 由题意可知x 2＋y －12＝y ＋1，化简可得曲线C ：x 2＝4y .(2)证明 由题意可知，N (4,4)是曲线C ：x 2＝4y 上的点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则l NA ：y ＝k 1(x －4)＋4，l NB ：y ＝k 2(x －4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x －4＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0，解得x 1＝4(k 1－1)，①同理可得x 2＝4(k 2－1)，②而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④ 由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4，故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1 (2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N .(1)解 椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12，即3a 2＋14b2＝1， 又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，设AB 的中点M 为(x 0，y 0)，得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12， 即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k. 所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －38， 故AB 的中垂线恒过点N ⎝⎛⎭⎫38，0.题型二 定值问题例2 (2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12. (1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQ k PQ为定值． (1)解 由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12， 所以－p 2＝－12，即p ＝1， 故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明 设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02. 又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1 ＝y 1－y 0x 2＋1＋y 2－y 0x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝y 1－y 0ty 2＋2＋y 2－y 0ty 1＋2ty 1＋2ty 2＋2＝2ty 1y 2＋2－ty 0y 1＋y 2－4y 0t 2y 1y 2＋2t y 1＋y 2＋4 ＝2t ·－2＋2－ty 0·2t －4y 0t 2·－2＋2t ·2t ＋4＝－y 0t 2＋2t 2＋2＝－y 0. 所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)． 教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解 (1)因为△ABF 2的周长为8，所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2，所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)，则λ＝x 1x 1＋1. 同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )，F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1. 所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1x 2＋1＋x 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83. 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值．(1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＝－y 1＋y 2y 1－y 23， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 24y 1＋y 2＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0， 故k 1k ＝－34，为定值． 课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解 将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k P A ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2，由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)，解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1，故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 得(k 2＋1)9m 2－459k 2＋5＋km ⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋5＋m 2＝0， 整理得45k 2＋45＝14m 2，则原点到该直线的距离d ＝|m |k 2＋1＝4514＝37014， 故存在定点P (0,0)，使得P 到直线MN 的距离为定值．3．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，右焦点F (c ,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ，求证：|AB ||FD |为定值．(1)解 设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ(λ>0)，由题意知c ＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)代入x 2－y 23＝1， 整理得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，Δ＝36(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6k 2＋1|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2，令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝61＋k 2|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny －1，x 24＋y 23＝1， 得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4， 又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n 23n 2＋4－6n 23n 2＋4＋1 ＝－12n 2－43n 2＋4， x 1＋x 2＝n (y 1＋y 2)－2＝6n 23n 2＋4－2 ＝－83n 2＋4. 直线ME ，MD 的斜率分别为k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m ， 所以k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m＝y 1y 2x 1－m x 2－m＝y 1y 2x 1x 2－m x 1＋x 2＋m 2＝－93n 2＋4－12n 2－43n 2＋4－m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83n 2＋4＋m 2 ＝－9－12n 2＋4＋8m ＋3m 2n 2＋4m 2＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12， 要使直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值，3m 2－12＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，存在点M (2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－936＝－14， 当m ＝－2时，存在点M (－2,0)，使得k ME ·k MD ＝－93m 2－12n 2＋4m ＋12＝－94， 综上，在x 轴上存在点M ，使得ME ，MD 的斜率之积恒为定值，当点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14， 当点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.。
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第6讲椭圆二课件
3．(2022·河南平顶山模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)与直线 y＝x
＋3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为 55，则椭圆 C 的方程为( )
A.42x52＋y52＝1
B．x52＋y42＝1
C.x92＋y52＝1
D．2x52 ＋2y02 ＝1
答案 B
解析 将直线方程 y＝x＋3 代入 C 的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋
2．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆x42＋y2＝1 截得的弦长的
最大值是( )
A．2 C．4
B．4 3 3 D．不能确定
答案 B
解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x， y)，则x42＋y2＝1，即 x2＝4－4y2，则弦长为 x2＋y－12＝ 4－4y2＋y2－2y＋1 ＝ －3y2－2y＋5，因为－1≤y≤1，所以当 y＝－13时，弦长最大为433.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 直线与椭圆的位置关系 例 1 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时， 直线 l 与椭圆 C：
(1)有两个不重合的公共点；
解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，
y＝2x＋m，
①
得方程组x42＋y22＝1， ②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方 程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)， 所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析 设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1， 则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________． 答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论． 跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析 如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二 求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解 (1)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ， 则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析 因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3， 又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华 求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析 由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程． 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， 则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二 设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8， 故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解 由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解 方法一 由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决． 跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1， 解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0， 解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析 由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析 斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析 若直线l 过原点， 设直线l 的方程为y ＝kx ， 则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ， 即2x ＋y ＝0； 若直线l 不过原点， 设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1， 此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ， 所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1， 所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)， 当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ， 又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________． 答案 2 023解析 直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析 因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________． 答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析 在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16解析 根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。
2019高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第6课时 椭圆(二)课件 理
＝ －3y2－2y＋5，
当
y＝－13时，弦长最大为43
3 .
方法二：直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一交
点为(2cosθ，sinθ)，则弦长为
4cos2θ＋（1－sinθ）2 ＝ －3sin2θ－2sinθ＋5 ＝
－3（sinθ＋13）2＋136≤4
3
3 .
当且仅当 sinθ＝－13时取等号．选 B.
(2)已知椭圆 C：x22＋y2＝1，如图直线 l 与椭圆 C 有且仅有一 个公共点，作 F1M⊥l，F2N⊥l 分别交直线 l 于 M，N 两点，求四 边形 F1MNF2 面积 S 的最大值．
【解析】 将直线 l 的方程 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程x22＋
y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
第6课时 椭 圆(二)
…2018 考纲下载… 1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程 解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 请注意 作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直 线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌 握，并适度强化．
∴
x2 7
＋
y2 3
＝1与x＋
3 y＋4＝0联立，得16y2＋24
3 y＋27＝
0，Δ＝(24 3)2－4×16×27＝0.
方法二：设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
由bx＋2x2＋3ay2＋y24－＝a02b，2＝0， 得(a2＋3b2)y2＋8 3b2y＋16b2－a2b2＝0.
4．椭圆的焦点为 F1，F2，过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10，△ PF2Q 的周长为 36，则此椭圆的离心率为( )
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆习题理
§9.6 椭 圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P47例6、P50)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (0＜e ＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆的一条准线，常数e 叫做椭圆的__________．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2＋x2b 2＝1 (a >b >0) (3)范围 －a ≤x ≤a ， －b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ， －b ≤x ≤b(4)中心原点O (0，0)(5)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )， B 2(0，b )(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2－b 2(9)离心率※(10)准线x ＝±a 2cy ＝±a 2c自查自纠1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率2．(2)x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) (7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(0＜e ＜1)(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解：由25－m 2＝4，得m 2＝9，又m >0，∴m ＝3.故选B . “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B .(2013·全国课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解：设||F 1F 2＝2c ，则||PF 2＝233c ，∴||PF 1＝433c .∴2a ＝||PF 1＋||PF 2＝23c ，故e ＝ca ＝33.故选D . 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．解：由椭圆C 的右焦点为F (1，0)知c ＝1，且焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，a2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故填x 24＋y 23＝1.已知椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．解：当焦点在x 轴上时，有m －4＝1，得m ＝5，此时长轴长为25；当焦点在y 轴上时，长轴长为4.故填25或4.类型一 椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点；(3)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P 到两焦点的距离分别为5，3，过点P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，2c ＝6，即a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵所求的椭圆与椭圆x 29＋y 24＝1的焦点相同，∴其焦点在x 轴上，且c 2＝5.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵所求椭圆过点P (－3，2)，∴有9a 2＋4b2＝1.又a 2－b 2＝c 2＝5，∴联立上述两式，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. (3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过两点P 1(2，2)，P 2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x 轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．解：根据题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，将两已知点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1，9a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝323，b 2＝325.故椭圆方程为332x 2＋532y 2＝1，长半轴长a ＝323＝436，短半轴长b ＝325＝4105. ∵c 2＝a 2－b 2＝323－325＝6415，∴离心率e ＝ca＝c 2a 2＝105.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.解法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，∴a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴（－5）2a 2＋（3）2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.故填y 220＋x 24＝1.类型二 椭圆的离心率设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. ∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c－c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1. ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D . 【点拨】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解：设左焦点为F 1，由F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，∴F 1Q ⊥QF .不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a＝ck ＋bk ，∴c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，得b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.故填22.类型三 椭圆的焦点三角形已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P 点坐标为(x 0，y 0)．(1)||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0. 在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝||PF 12＋||PF 22－||F 1F 222||PF 1·||PF 2＝（a ＋ex 0）2＋（a －ex 0）2－4c 22（a ＋ex 0）（a －ex 0）＝cos60°＝12，解得x 20＝4c 2－a 23e2. ∵x 0∈(－a ，a )，∴x 20∈[0，a 2)，0≤4c 2－a 23c 2a 2＜a 2， 有0≤4c 2－a 2＜3c 2，解得12≤e <1.∴椭圆离心率e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明：将x 20＝4c 2－a 23e 2代入b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，求得y 20＝b 43c 2，∴||y 0＝b 23c . ∴S △F 1PF 2＝12||y 0||F 1F 2＝12·b 23c ·2c ＝33b 2.得证．【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1，∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 类型四 椭圆的弦长(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ＝c2， 得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.【点拨】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，则椭圆C 的方程为____________．解：由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a ，∴椭圆C 的方程为x 2a2＋9y25a2＝1 .① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，与①联立得32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0，解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8.由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4－78a ＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5.∴椭圆C 的方程为x29＋y25＝1.故填x29＋y25＝1.类型五 椭圆中的最值问题(1)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6 ，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.∴|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.(2)求A (0，2)到椭圆x 24＋y 2＝1上的动点的距离的最大值和最小值．解：设椭圆上的动点B (x ，y )，则|AB |＝x 2＋（y －2）2＝－3y 2－4y ＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋283，∵点B 是椭圆上的点，∴－1≤y ≤1.∴|AB |的最大值为2213，最小值为1.(3)在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解：设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋（－3）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3，2)．【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上，如(2)中的点A )；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．(1)(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到椭圆的距离d ＝x 2＋（y －6）2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0，6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋（sin θ－6）2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D .(2)(2015·安徽合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为____________．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.故填4.1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．7．椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A .2．方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴，只须2k>2，解得0<k <1.故选D .3．(2014·全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解：由椭圆的定义知△AF 1B 的周长为4a ＝43，a ＝ 3.由e ＝c a＝c3＝33，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A .4．(2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3解：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，∴|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，∴b 2＝3，即b ＝ 3.故选D .5．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解：由题意知A ()a ，0，B ()0，b ，AB →＝()－a ，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∵AB∥OP ，∴AB →∥OP →，因此有()－a ·b 2a ＝b ·()－c ，解得b ＝c .∴a 2－b 2＝a 2－c 2＝c 2，得e ＝22.故选C .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||AB ＝10，||BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解：由余弦定理||AF 2＝||BF 2＋||AB 2－2||BF ·||AB cos ∠ABF ＝82＋102－2×8×10×45＝36，||AF ＝6，∵||AF 2＋||BF 2＝||AB 2，∴△AFB 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，由对称性知四边形AFBF ′为平行四边形． 又∵∠AFB ＝90°，∴四边形AFBF ′为矩形． ∴⎩⎨⎧2c ＝||FF ′＝||AB ＝10，2a ＝||AF ＋||AF ′＝||AF ＋||BF ＝14， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝7.∴e ＝c a ＝57.故选B .7．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．解：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．解：设MN 的中点为P ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别为△ANM 与△BNM 的中位线，有|PF 1|＝12|AN |，|PF 2|＝12|BN |，又∵点P 在椭圆上，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2·2a ＝12.故填12.9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为53，短轴长为4，求椭圆的方程． 解：由题意得c a ＝53，2b ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，则有a 2＝9，b 2＝4， 于是椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.10．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.11．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解：(1)由题意知|BF 2|2＝b 2＋c 2＝a 2＝2，∵点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)易知BF 2→＝(c ，－b )．∵点B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， ∴直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 设A (x 1，y 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC ⊥x 轴，∴由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. ∴F 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2c ＋c3a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2.又∵F 1C ⊥AB ， ∴F 1C →·BF 2→＝c 2（3a 2＋c 2）a 2＋c 2－b 4a 2＋c 2＝0，即c 2(3a 2＋c 2)－(a 2－c 2)2＝0，化简得5c 2＝a 2，e 2＝15，e ＝55.(2015·全国Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，∴k OM ·k ＝－9，即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，∴l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.∵k >0，k ≠3，∴当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做
椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆
的 焦距 ,焦距的一半称为 半焦距
.
微思考在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点M的轨迹是什么?
垂直于长轴的焦点弦最短,弦长为 2
2
.
常用结论
1.若点P在椭圆上,点F为椭圆的一个焦点,则
(1)b≤|OP|≤a;
(2)a-c≤|PF|≤a+c.
2.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角
形.r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2
A.x2+25=1
2
2
B.x2+25=1 或25+y2=1
2 2
C.25+y =1
D.以上都不对
2
(2)过点(√3,-√5),且与椭圆
25
2
+ =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
9
)
.
答案 (1)A
2
2
(2)20 + 4 =1
解析 (1)设过两点 P
3
,-4
5
和Q
4
- 5 ,3
的椭圆的标准方程为
第九章
第五节 椭圆
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆教案理解析版
基础知识整合１．椭圆的概念在平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹（或集合）叫做错误!椭圆．这两定点叫做椭圆的错误!焦点，两焦点间的距离叫做错误!焦距．集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若错误!a>c，则集合P表示椭圆；（２）若错误!a＝c，则集合P表示线段；（３）若错误!a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质（１）设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上任意一点P（x，y），则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．（２）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a２＝b２＋c２．（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为错误!.（５）椭圆离心率e＝错误!.１．已知椭圆错误!＋错误!＝１，长轴在y轴上，若焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．7 Ｄ．8答案D解析椭圆焦点在y轴上，∴a２＝m—２，b２＝１0—m.又c＝２，∴m—２—（１0—m）＝c２＝４．∴m＝8．２．（２0１8·广西模拟）若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｃ．３．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则椭圆C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），所以错误!解得a２＝9，b２＝8．故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝１．４．（２0１9·西安模拟）已知点P（x１，y１）是椭圆错误!＋错误!＝１上的一点，F１，F２是其左、右焦点，当∠F１PF２最大时，△PF１F２的面积是（）Ａ．错误!Ｂ．１２Ｃ．１6（２＋错误!）Ｄ．１6（２—错误!）答案B解析∵椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，∴a＝５，b＝４，c＝错误!＝３，∴F１（—３,0），F２（３,0）．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F１PF２最大，此时△PF１F２的面积S＝错误!×２×３×４＝１２，故选Ｂ．５．椭圆３x２＋ky２＝３的一个焦点是（0，错误!），则k＝________.答案１解析方程３x２＋ky２＝３可化为x２＋错误!＝１．a２＝错误!>１＝b２，c２＝a２—b２＝错误!—１＝２，解得k＝１．6．设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F ２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为________．答案错误!解析设|PF２|＝x，∵PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２x，|F１F２|＝错误!x.又|PF１|＋|PF ２|＝２a，|F１F２|＝２c.∴２a＝３x,２c＝错误!x，∴C的离心率为e＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例１（１）（２0１8·湖北八校联考）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF１的中点在y轴上，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２．设线段PF１的中点为M，则有OM∥PF２，∵OM⊥F１F２，∴PF２⊥F１F２，∴|PF２|＝错误!＝错误!.又∵|PF１|＋|PF２|＝２a＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）设F１，F２分别是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点，|AF１|＝３|F１B|，且|AB|＝４，△ABF２的周长为１6．则|AF２|＝________.答案５解析由|AF１|＝３|F１B|，|AB|＝４，得|AF１|＝３．∵△ABF２的周长为１6，∴４a＝１6，∴a＝４．则|AF１|＋|AF２|＝２a＝8，∴|AF２|＝8—|AF１|＝8—３＝５．触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等.即时训练１．（２0１9·甘肃联考）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x２＋y２＝１0的一个交点，则||PA|—|PB||＝（）Ａ．２错误!Ｂ．４错误!Ｃ．４错误!Ｄ．6错误!答案C解析由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝２a＝４错误!，|PA|２＋|PB|２＝（２c）２＝４0，∴（|PA|＋|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２＋２|PA||PB|，解得２|PA||PB|＝8，∴（|PA|—|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２—２|PA||PB|＝３２，则||PA|—|PB||＝４错误!，故选Ｃ．２．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F１的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F２的对称点为B，则有|GF１|＝错误!|AN|，|GF２|＝错误!|BN|，所以|AN|＋|BN|＝２（|GF １|＋|GF２|）＝４a＝１２．考向二椭圆的标准方程例２（１）（２0１9·杭州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案A解析由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，∴c＝１，∴b２＝２，∴C的方程为错误!＋错误!＝１．选Ａ．（２）已知A错误!，B是圆：错误!２＋y２＝４（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x２＋错误!y２＝１解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝２．所以|PA|＋|PF|＝２且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝１，c＝错误!，b２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为x２＋错误!y２＝１．触类旁通求椭圆方程的常用方法（１）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．２待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx２＋ny２＝１m>0，n>0，m≠n，再用待定系数法求出m，n的值即可.即时训练３．（２0１9·青岛模拟）已知F１（—１,0），F２（１,0）是椭圆C的两个焦点，过F２且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝３，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案C解析如图，|AF２|＝错误!|AB|＝错误!，|F１F２|＝２，由椭圆定义，得|AF１|＝２a—错误!. １在Rt△AF１F２中，|AF１|２＝|AF２|２＋|F１F２|２＝错误!２＋２２．２由１２得a＝２，∴b２＝a２—c２＝３．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，应选Ｃ．４．设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，经过F１的直线交椭圆C于A，B两点，若△F２AB是面积为４错误!的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析l经过F１垂直于x轴，得yA＝错误!，在Rt△AF１F２中，∠AF２F１＝３0°，得错误!＝错误!×２c，错误!×２c×错误!＝４错误!，a２＝b２＋c２，解得a２＝9，b２＝6，c２＝３．所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１．考向三椭圆的几何性质例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的一个焦点为（２,0），则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意，可知c＝２，因为b２＝４，所以a２＝b２＋c２＝8，即a＝２错误!，所以椭圆C的离心率为e＝错误!＝错误!.故选Ｃ．率e的取值范围是________．答案错误!解析∵c２—b２＋ac<0，∴c２—（a２—c２）＋ac<0，即２c２—a２＋ac<0，∴２错误!—１＋错误! <0，即２e２＋e—１<0，解得—１<e<错误!.又∵0<e<１，∴0<e<错误!.∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练５．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF１⊥PF ２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１答案D解析在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，设|PF２|＝m，则２c＝|F１F２|＝２m，|PF １|＝错误!m，又由椭圆定义可知２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）m，则离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．6．（２0１9·江苏模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________．答案错误!解析由题意得A（—a,0），B（0，b），F（c,0），∵AB⊥BF，∴错误!·错误!＝0，∴（a，b）·（c，—b）＝ac—b２＝ac—a２＋c２＝0，∴e—１＋e２＝0，解得e＝错误!.考向四直线与椭圆的位置关系角度错误!弦的中点问题例４（２0１8·全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B两点．线段AB 的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上一点，且F错误!＋F错误!＋F错误!＝0．证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列，并求该数列的公差．解（１）证明：设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.１由题设得m< 错误!＝错误!，且m>0，即0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１,0）．设P（x３，y３），则由（１）及题设得（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0,0），x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|F错误!|＝错误!.于是|F错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|F错误!|＝２—错误!.所以|F错误!|＋|F错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|F错误!|＝|F错误!|＋|F错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．设该数列的公差为d，则２|d|＝||错误!|—|错误!||＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!.２将m＝错误!代入１得k＝—１．所以l的方程为y＝—x＋错误!，代入C的方程，并整理得7x２—１４x＋错误!＝0．故x１＋x２＝２，x１x２＝错误!，代入２解得|d|＝错误!.所以该数列的公差为错误!或—错误!.角度错误!弦长的问题例５（２0１9·陕西咸阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），且离心率e＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）直线l的斜率为错误!，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解（１）∵e２＝错误!＝错误!＝错误!，∴a２＝４b２．又椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），∴错误!＋错误!＝１，∴a２＝8，b２＝２．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设l的方程为y＝错误!x＋m，点A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!整理，得x２＋２mx ＋２m２—４＝0．∵Δ＝４m２—8m２＋１6>0，解得|m|<２．∴x１＋x２＝—２m，x１x２＝２m２—４．则|AB|＝错误!× 错误!＝错误!.点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!.∴S△PAB＝错误!d|AB|＝错误!×错误!×错误!＝错误!≤错误!＝２．当且仅当m２＝２，即m＝±错误!时取得最大值．触类旁通１解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.（３）直线与椭圆相交时常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式（直线与椭圆有两交点）中点弦或弦点差法（结果要检验Δ>0）的中点即时训练7．（２0１9·广西联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>１）的焦距为２，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为错误!，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D错误!，求k的值．解（１）由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为错误!.设椭圆的右焦点的坐标为（c,0），依题意知错误!又因为b>１，解得a＝２，b＝错误!，c＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意，过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k（x—１），将其代入错误!＋错误!＝１，得（３＋４k２）x２—8k２x＋４k２—１２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，所以y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为错误!.又因为直线PD的斜率为—错误!，所以直线PD的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，得x＝错误!，所以点D的坐标为错误!，则错误!＝错误!，解得k＝±１．8．（２0１9·云南昆明模拟）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0,１），离心率为错误!.（１）求椭圆E的方程；（２）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，求直线l的方程．解（１）设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由已知得错误!解得a２＝２，b２＝１，所以椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）由已知，直线l过左焦点F（—１,0）．当直线l与x轴垂直时，A错误!，B错误!，此时|AB|＝错误!，则S△OAB＝错误!×错误!×１＝错误!，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得（１＋２k２）x２＋４k２x＋２k２—２＝0，所以x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为S△OAB＝错误!|OF|·|y１—y２|＝错误!|y１—y２|，由已知S△OAB＝错误!得|y１—y２|＝错误!.因为y１＋y２＝k（x１＋１）＋k（x２＋１）＝k（x１＋x２）＋２k＝k· 错误!＋２k＝错误!，y１y２＝k（x１＋１）·k（x２＋１）＝k２（x１x２＋x１＋x２＋１）＝错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝错误!＝错误!，所以k４＋k２—２＝0，解得k＝±１，所以直线l的方程为x—y＋１＝0或x＋y＋１＝0．１．已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!答案C解析解法一：设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），所以错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.因为点P在椭圆上，所以0≤y 错误!≤１，所以当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．解法二：由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝２错误!求解．故选Ｃ．２．已知F是椭圆错误!＋错误!＝１的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１,１）是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２，F（—２,0）．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF′|＋6．当P，A，F′三点共线时，|PA|—|PF′|取到最大值|AF′|＝错误!，或者最小值—|AF′|＝—错误!.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.３．在椭圆错误!＋错误!＝１上求一点，使它到直线２x—３y＋１５＝0的距离最短．解设所求点坐标为A（３错误!cosθ，２错误!sinθ），θ∈R，由点到直线的距离公式得＝错误!，当θ＝２kπ＋错误!，k∈Z时，d取到最小值错误!，此时A点坐标为（—３,２）．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有３种解法：（１）利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e）；（２）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上）；（３）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练１．设P，Q分别为圆x２＋（y—6）２＝２和椭圆错误!＋y２＝１上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）Ａ．５错误!Ｂ．错误!＋错误!Ｃ．7＋错误!Ｄ．6错误!答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q（x，y），则圆心（0，6）到点Q的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤５错误!，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋错误!＝6错误!.解法二：易知圆心坐标为M（0,6），|PQ|的最大值为|MQ|max＋错误!，设Q（错误!cosθ，sinθ），则|MQ|＝错误!＝错误!当sinθ＝—错误!时，|MQ|max＝５错误!，所以|PQ|max＝５错误!＋错误!＝6错误!.故选Ｄ．２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．答案４解析设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝a２—c２＝３．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２．即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版6
采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线,用垂直于锥轴的平面
去截圆锥,得到的是圆;把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为 24
的矩形 ABCD 截某圆锥得到椭圆 Γ,且 Γ 与矩形 ABCD 的四边相切.
2
2
设椭圆 Γ 在平面直角坐标系中的方程为2 + 2 =1(a>b>0),测得 Γ 的
A.6
B.8
C.9
D.10
解析:由题意,知椭美满足|PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=8,由椭圆的定义
可得2a=10,2c=8,解得a=5,c=4,又b2=a2-c2=52-42=9,解得b=3,所以
椭圆的短轴为2b=6,故选A.
-8知识梳理
考点自诊
3.(2018 安徽亳州期末,7)大约 2000 多年前,古希腊数学家最先
4
2
1
+
3
2
= 1,
即 2a=2×2c, = 2.又 c2=a2-b2,联立 2 = 2 -2 ,
得
2
+ 6 =1.
8
a2=8,b2=6,故椭圆方程为
2
1
= 2,
-17考点1
考点2
考点3
考点4
(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n).
∵椭圆经过点 P1,P2,∴点 P1,P2 的坐标适合椭圆方程,
切点为 P1,P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 + 02 =1.
(3)椭圆的焦半径公式
设
2
M(x0,y0)是椭圆2
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
高考数学(理)一轮复习人教A版-第九章 平面解析几何-第5节 椭 圆 第2课时
考点二 椭圆性质的应用
[训练 2] (1)(2018·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面 积的最大值为 1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A．1 B. 2 C．2 D．2 2
解析 (1)设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大， 所以12×2cb＝1，bc＝1， 而 2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 2 (当且仅当 b＝c＝1 时取等号)，故选 D. 答案 (1)D
考点三 直线与椭圆(多维探究)
弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系 表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、 斜率．
考点三 直线与椭圆(多维探究)
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，先把直
命题角度 2
直线与椭圆的位置关系(易错警示)
解得 k2＜4， 综上可得43＜k2＜4，
则
23＜k＜2
或－2＜k＜－
3 2.
则满足条件的斜率 k 的取值范围为－2，－ 23∪ 23，2.
考点三 直线与椭圆(多维探究)
1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭 圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问
考点二 椭圆性质的应用
利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标 准方程中 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系．(2)求解与椭圆几 何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长 轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
点，当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围．
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何椭圆椭圆及其性质教案文
一、知识梳理１．椭圆的定义条件结论１结论２平面内的动点M与平面内的两个定点F１，F２M点的轨迹为椭圆F１、F２为椭圆的焦点|F１F２|为椭圆的焦距|MF１|＋|MF２|＝２a２a＞|F１F２|１２１２１２２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0，0）顶点A１（—a，0），A２（a，0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b，0），B２（b，0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b性质焦距|F１F２|＝２c离心率e＝错误!，e∈（0，１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!<１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!>１．２．椭圆的常用性质（１）椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a—c.（２）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为错误!.（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值—错误!.二、习题改编１．（选修１１P４0例４改编）椭圆１6x２＋２５y２＝４00的长轴的长，离心率．答案：１0 错误!２．（选修１１P４１练习T３改编）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１，0），离心率等于错误!，则C的方程是．答案：错误!＋错误!＝１３．（选修１１P３6练习T３改编）椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，过F的直线交椭圆C于A、B两点，则△F１AB的周长为，△AF１F２的周长为．２答案：２0 １6一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（３）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．（）（４）错误!＋错误!＝１（a≠b）表示焦点在y轴上的椭圆．（）（５）错误!＋错误!＝１（a>b>0）与错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距相同．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）×（５）√二、易错纠偏错误!（１）忽视椭圆定义中的限制条件；（２）忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．１．平面内一点M到两定点F１（0，—9），F２（0，9）的距离之和等于１8，则点M的轨迹是．解析：由题意知|MF１|＋|MF２|＝１8，但|F１F２|＝１8，即|MF１|＋|MF２|＝|F１F２|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F１F２２．已知椭圆的长轴长为１0，其焦点到中心的距离为４，则这个椭圆的标准方程为．答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１第１课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用（典例迁移）（１）（２0２0·黑龙江哈尔滨六中二模）设椭圆C：错误!＋y２＝１的左焦点为F，直线l：y＝kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是（）Ａ．２Ｂ．２错误!C．４Ｄ．４错误!（２）（２0２0·徐州模拟）已知F１、F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝．【解析】（１）设椭圆的右焦点为F１，连接AF１，BF１，因为OA＝OB，OF＝OF１，所以四边形AFBF１是平行四边形．所以|BF|＝|AF１|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF１|＝２a＝４，故选Ｃ．（２）设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误!r１r２＝b２＝9，所以b＝３．【答案】（１）C （２）３【迁移探究】（变条件）本例（２）中增加条件“△PF１F２的周长为１8”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由原题得b２＝a２—c２＝9，又２a＋２c＝１8，所以a—c＝１，解得a＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．错误!椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等．１．已知椭圆错误!＋错误!＝１上一点P到椭圆一个焦点F１的距离为３，则P到另一个焦点F２的距离为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．7解析：选Ｄ．因为a２＝２５，所以２a＝１0，所以由定义知，|PF１|＋|PF２|＝１0，所以|PF２|＝１0—|PF|＝7．１２．（２0２0·贵州六盘水模拟）已知点F１，F２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F１PF２＝60°，则S△F１PF２＝．解析：由|PF１|＋|PF２|＝４，|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１|·|PF２|·cos 60°＝|F１F２|２，得３|PF１|·|PF２|＝１２，所以|PF１|·|PF２|＝４，则S△F１PF２＝错误!|PF１|·|PF２|sin∠F１PF２＝错误!×４sin 60°＝错误!.答案：错误!椭圆的标准方程（师生共研）（１）（一题多解）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）若直线x—２y＋２＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为．【解析】（１）法一（定义法）：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0，４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２，可得b２＝４．所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二（待定系数法）：设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１（k<9），将点（错误!，—错误!）的坐标代入，可得错误!＋错误!＝１，解得k＝５或k＝２１（舍去），所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法三（待定系数法）：设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．由题意得错误!，解得错误!，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）直线与坐标轴的交点为（0，１），（—２，0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝２，b＝１，所以a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋y２＝１．当焦点在y轴上时，b＝２，c＝１，所以a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）C （２）错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１错误!（１）用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a２，b２的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：１b２＝a２—c２；２椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于２a；３椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.（２）用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为错误!＋错误!＝１（m>0，n>0，m≠n），也可设为Ax２＋By２＝１（A>0，B>0，且A≠B）．１．已知动点M到两个定点A（—２，0），B（２，0）的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋x２＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｄ．由题意有6>２＋２＝４，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则２a＝6，c＝２，故a２＝9，所以b２＝a２—c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｄ．２．设椭圆错误!＋错误!＝１（m>0，n>0）的右焦点为（２，0），离心率为错误!，则此椭圆的方程为．解析：椭圆的右焦点为（２，0），所以m２—n２＝４，e＝错误!＝错误!，所以m＝２错误!，代入m２—n２＝４，得n２＝４，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１３．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（—２，0），且长轴长与短轴长的比是２∶错误!，则椭圆C的方程是．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．由题意知错误!解得a２＝１6，b２＝１２．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１椭圆的几何性质（多维探究）角度一椭圆的长轴、短轴、焦距（２0２0·泉州质检）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，焦距为４，则m等于（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５【解析】因为椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，所以错误!解得6<m<１0．因为焦距为４，所以c２＝m—２—１0＋m＝４，解得m＝8．【答案】A角度二求椭圆离心率的值（范围）（１）（２0１8·高考全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF⊥PF２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）１Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１（２）在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的下顶点，M，N 在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈错误!，则椭圆C的离心率的取值范围为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）由题设知∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝c，|PF１|＝错误! c.由椭圆的定义得|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!c＋c＝２a，所以（错误!＋１）c＝２a，故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．（２）因为OPMN是平行四边形，所以MN∥OP且MN＝OP，故y N＝错误!，代入椭圆方程可得x N＝错误!，所以k ON＝错误!＝tan α.又α∈错误!，所以错误!<错误!<１，所以a<错误!b，a２<３（a２—c２），解得0<错误!<错误!，故选Ａ．【答案】（１）D （２）A错误!求椭圆离心率或其取值范围的方法（１）求出a，b或a，c的值，代入e２＝错误!＝错误!＝１—错误!错误!直接求．（２）先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b２＝a２—c２转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a２转化为关于e或e２的方程（不等式），再解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．角度三与椭圆性质有关的最值问题已知P在椭圆错误!＋y２＝１上，A（0，４），则|PA|的最大值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．５Ｄ．２错误!【解析】设P（x0，y0），则由题意得x２＝４（１—y２），所以|PA|２＝x错误!＋（y0—４）２＝４（１—y错误!）＋y错误!—8y0＋１6＝—３y错误!—8y0＋２0＝—３错误!错误!＋错误!，又—１≤y0≤１，所以当y0＝—１时，|PA|２取得最大值２５，即|PA|的最大值为５．故选Ｃ．【答案】C错误!求解最值、取值范围问题的技巧（１）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，—a≤x≤a，—b≤y≤b，0<e<１，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．（３）最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．１．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的一个焦点是圆x２＋y２—6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）Ａ．（—３，0）Ｂ．（—４，0）C．（—１0，0）Ｄ．（—５，0）解析：选Ｄ．因为圆的标准方程为（x—３）２＋y２＝１，所以圆心坐标为（３，0），所以c＝３．又b＝４，所以a＝错误!＝５．因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为（—５，0）．２．若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8解析：选Ｃ．由椭圆错误!＋错误!＝１可得F（—１，0），点O（0，0），设P（x，y）（—２≤x≤２），则错误!·错误!＝x２＋x＋y２＝x２＋x＋３错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２，—２≤x≤２，当且仅当x＝２时，错误!·错误!取得最大值6．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x 轴，若|PF|＝错误!|AF|，则椭圆的离心率为．解析：因为点P在椭圆上，且PF⊥x轴，所以|PF|＝错误!，又因为|AF|＝a＋c，|PF|＝错误!|AF|，所以４（a２—c２）＝a（a＋c），即４（a—c）＝a，则３a＝４c，即错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．已知正数m是２和8的等比中项，则圆锥曲线x２＋错误!＝１的焦点坐标为（）Ａ．（±错误!，0）Ｂ．（0，±错误!）Ｃ．（±错误!，0）或（±错误!，0）Ｄ．（0，±错误!）或（±错误!，0）解析：选Ｂ．因为正数m是２和8的等比中项，所以m２＝１6，即m＝４，所以椭圆x２＋错误!＝１的焦点坐标为（0，±错误!），故选Ｂ．２．（２0１9·高考北京卷）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，则（）Ａ．a２＝２b２Ｂ．３a２＝４b２Ｃ．a＝２bＤ．３a＝４b解析：选Ｂ．由题意得，错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，又a２＝b２＋c２，所以错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以４b２＝３a２.故选Ｂ．３．曲线错误!＋错误!＝１与曲线错误!＋错误!＝１（k<１４４）的（）Ａ．长轴长相等Ｂ．短轴长相等Ｃ．离心率相等Ｄ．焦距相等解析：选Ｄ．曲线错误!＋错误!＝１中c２＝１69—k—（１４４—k）＝２５，所以c＝５，所以两曲线的焦距相等．４．（２0２0·郑州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点，若△AF１B的周长为１２，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｄ．由椭圆的定义，知|AF１|＋|AF２|＝２a，|BF１|＋|BF２|＝２a，所以△AF１B的周长为|AF|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１２，所以a＝３．因为椭圆的离心率e＝错误!＝错误!，所以c＝２，１所以b２＝a２—c２＝５，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｄ．５．（２0２0·昆明市诊断测试）已知F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF１与C的另一个交点为A，若△BAF２为等腰三角形，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３解析：选Ａ．如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF１|＋|BF２|＝２a，|AF１|＋|AF２|＝２a，由题意知|AB|＝|AF２|，所以|BF１|＝|BF２|＝a，|AF１|＝错误!，|AF２|＝错误!.所以错误!＝错误!.故选Ａ．6．若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为．解析：由题意可得b＝c，则b２＝a２—c２＝c２，a＝错误!c，故椭圆的离心率e＝错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0２0·贵阳模拟）若椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，短轴长为４，则椭圆的标准方程为．解析：由题意可知e＝错误!＝错误!，２b＝４，得b＝２，所以错误!解得错误!所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１8．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF１F２为等腰三角形，则M的坐标为．解析：通解：由椭圆C：错误!＋错误!＝１，得c＝错误!＝４，不妨设F１，F２分别为左、右焦点，则由题意知|MF１|＝|F１F２|＝２c＝8，于是由椭圆的定义得|MF１|＋|MF２|＝１２，所以|MF２|＝１２—|MF|＝４，易知△MF１F２的底边MF２上的高h＝错误!＝错误!＝２错误!，所以错误!|MF２|·h＝错误!|F１F２１|·y M，即错误!×４×２错误!＝错误!×8×y M，解得y M＝错误!，代入椭圆方程得x M＝—３（舍去）或x M＝３，故点M的坐标为（３，错误!）．优解：不妨设F１，F２分别为左、右焦点，则由题意，得|MF１|＝|F１F２|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF１|＝ex M＋6＝错误!x M＋6＝8，解得x M＝３，代入椭圆方程得y M＝错误!，故点M的坐标为（３，错误!）．答案：（３，错误!）9．已知椭圆的长轴长为１0，两焦点F１，F２的坐标分别为（３，0）和（—３，0）．（１）求椭圆的标准方程；（２）若P为短轴的一个端点，求△F１PF２的面积．解：（１）设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），依题意得错误!因此a＝５，b＝４，所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）易知|y P|＝４，又c＝３，所以S△F１PF２＝错误!|y P|×２c＝错误!×４×6＝１２．１0．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．（１）与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的离心率且经过点（２，—错误!）；（２）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为５，３，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：（１）由题意，设所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝t１或错误!＋错误!＝t２（t１，t２＞0），因为椭圆过点（２，—错误!），所以t１＝错误!＋错误!＝２，或t２＝错误!＋错误!＝错误!.故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．（２）由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）或错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），由已知条件得错误!解得a＝４，c＝２，所以b２＝１２．故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．[综合题组练]１．（２0２0·合肥市第二次质量检测）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F，F２，右顶点为A，上顶点为B，以线段F１A为直径的圆交线段F１B的延长线于点P，若F２B∥AP，１则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．如图，由题意知，P为以F１A为直径的圆上一点，所以F１P⊥AP，结合F２B∥AP知F １P⊥F２B.又|F１B|＝|F２B|，所以△BF１F２为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF２|，即b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，即a＝错误!c，所以椭圆的离心率e＝错误!＝错误!，故选Ｄ．２．（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F１（—１，0），F２（１，0），过F２的直线与C 交于A，B两点．若|AF２|＝２|F２B|，|AB|＝|BF１|，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｂ．由题意设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），连接F１A，令|F２B|＝m，则|AF|＝２m，|BF１|＝３m.由椭圆的定义知，４m＝２a，得m＝错误!，故|F２A|＝a＝|F１A|，则点A为椭圆２C的上顶点或下顶点．令∠OAF２＝θ（O为坐标原点），则sin θ＝错误!.在等腰三角形ABF１中，cos ２θ＝错误!＝错误!，所以错误!＝１—２（错误!）２，得a２＝３．又c２＝１，所以b２＝a２—c２＝２，椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｂ．３．已知椭圆C：x２＋２y２＝４．（１）求椭圆C的离心率；（２）设O为原点．若点A在直线y＝２上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：（１）由题意，椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．所以a２＝４，b２＝２，从而c２＝a２—b２＝２．因此a＝２，c＝错误!.故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设点A，B的坐标分别为（t，２），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以错误!·错误!＝0，即tx0＋２y0＝0，解得t＝—错误!.又x错误!＋２y错误!＝４，所以|AB|２＝（x0—t）２＋（y0—２）２＝错误!错误!＋（y0—２）２＝x错误!＋y错误!＋错误!＋４＝x错误!＋错误!＋错误!＋４＝错误!＋错误!＋４（0<x错误!≤４）．因为错误!＋错误!≥４（0<x错误!≤４），当且仅当x错误!＝４时等号成立，所以|AB|２≥8．故线段AB长度的最小值为２错误!.４．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O为坐标原点．（１）若△POF２为等边三角形，求C的离心率；（２）如果存在点P，使得PF１⊥PF２，且△F１PF２的面积等于１6，求b的值和a的取值范围．解：（１）连接PF１.由△POF２为等边三角形可知在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，|PF２|＝c，|PF１|＝错误! c，于是２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）c，故C的离心率e＝错误!＝错误!—１．（２）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当错误!|y|·２c＝１6，错误!·错误!＝—１，错误!＋错误!＝１，即c|y|＝１6，１x２＋y２＝c２，２错误!＋错误!＝１．３由２３及a２＝b２＋c２得y２＝错误!，又由１知y２＝错误!，故b＝４．由２３得x２＝错误!（c２—b２），所以c２≥b２，从而a２＝b２＋c２≥２b２＝３２，故a≥４错误!.当b＝４，a≥４错误!时，存在满足条件的点P.所以b＝４，a的取值范围为[４错误!，＋∞）．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.2 两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．三种距离公式 (1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ②结论：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常用结论 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2．五种常用对称关系(1)点(x ，y )关于原点(0,0)的对称点为(－x ，－y )．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )． (5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) 教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255答案 C解析 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m＝2或－3.3．直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋7＝0的交点的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以两条直线交点的坐标为(－1,3).题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2022·汉中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0(a ∈R )，则“e a ＝1e ”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2＝0，2a －1≠0，解得a ＝－1或a ＝2. 而由e a ＝1e，解得a ＝－1，所以“e a ＝1e”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．(2)(2022·长春模拟)已知直线l 经过点(1，－1)，且与直线2x －y －5＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．2x －y －3＝0答案 C解析 ∵直线l 与直线2x －y －5＝0垂直， ∴设直线l 的方程为x ＋2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点(1，－1)， ∴1－2＋c ＝0，即c ＝1. 直线l 的方程为x ＋2y ＋1＝0.教师备选1．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴“m ＝3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23答案 D解析 由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.思维升华 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (1,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x －2y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．4x ＋2y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝0答案 D解析 由题设，可得k AB ＝2－01－2＝－2， 且AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，1，∴AB 垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝12，故AB 的垂直平分线方程为 y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32＋1＝x 2＋14， ∵AC ＝BC ，则△ABC 的外心、重心、垂心都在AB 的垂直平分线上， ∴△ABC 的欧拉线的方程为2x －4y ＋1＝0.(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α＋1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则α＝________. 答案 k π±π4，k ∈Z解析 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得1－2sin 2α＝0， 所以sin α＝±22.又A 1C 2－A 2C 1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠12.所以α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.题型二 两直线的交点与距离问题例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax ＋3y －4＝0间的距离为d ，则a ，d 的值分别为( ) A ．a ＝6，d ＝63 B ．a ＝－6，d ＝53 C ．a ＝6，d ＝53D ．a ＝－6，d ＝63答案 B解析 由题知2×3＝－a ，解得a ＝－6， 又－6x ＋3y －4＝0可化为2x －y ＋43＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪3－435＝53. (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________． 答案 4x －y －2＝0或x ＝1解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件． 故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 教师备选1．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.2．直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2之间的距离，则d 的取值范围是________． 答案 (0,5]解析 当直线l 1，l 2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， d max ＝32＋42＝5；当直线l 1和l 2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合． 所以0<d ≤5.思维升华 利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等．跟踪训练2 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大， 即为|AP |＝ 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题点3 线关于线对称例5 直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为( ) A ．4x －2y －1＝0 B ．4x －2y ＋1＝0 C ．4x ＋2y ＋1＝0 D ．4x ＋2y －1＝0答案 A解析 设直线2x －4y －1＝0上一点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＝0，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y ，y 0＝－x ，∴－2y ＋4x －1＝0，即直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为4x －2y －1＝0. 教师备选1.在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0,0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0.设P (t ,0)(0<t <4)，可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t ,0)，根据反射定律可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在的直线，由P 1，P 2两点的坐标可得直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t ·(x ＋t )．设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43，43在光线RQ 上，所以43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ，得t ＝43(t ＝0舍去)，即|AP |＝43.2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________． 答案 2x －y ＋3＝0解析 易得A 不在l 1和l 2上，因此l 1，l 2为∠B ，∠C 的平分线，所以点A 关于l 1，l 2的对称点在BC 边所在的直线上，设点A 关于l 1的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于l 2的对称点为A 2(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 12－y 1－12－1＝0，y 1＋1x 1－4·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)，又易得点A 关于l 2的对称点A 2的坐标为(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为y －3－1－3＝x －0－2－0，即2x －y ＋3＝0.思维升华 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上， 易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0答案 A解析 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0答案 D解析 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－197，37，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.方法二 根据题意可设所求的直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y＝0.3．(2022·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( ) A ．垂直或平行 B ．垂直或相交 C ．平行或相交 D ．垂直或重合答案 D解析 因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2. 当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0， k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1 ，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合． 4．点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3) D ．(－6,3) 答案 C解析 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2 答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2， ∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.6．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－3) B ．(－2,3) C ．(2,3) D ．(－2,2)答案 B解析 根据题意画出大致图象，如图．设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点为A 1(m ，n )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.故A 1(－2,8)．此时直线A 1B 的方程为x ＝－2.所以当点P 是直线A 1B 与直线x －2y ＋8＝0的交点时，|P A |＋|PB |最小，将x ＝－2代入x －2y ＋8＝0，得y ＝3，故点P 的坐标为(－2,3)．7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2答案 A 解析 ∵l 1∥l 2，∴AB 的中点M 的轨迹是平行于l 1，l 2的直线，且到l 1，l 2的距离相等，易求得M 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.∴中点M 到原点的最小距离为原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即62＝3 2. 8．(2022·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论不正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2 答案 C解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确； 对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，其关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ， 代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．9．(2022·邯郸模拟)直线l 1：x ＋ay －2＝0(a ∈R )与直线l 2：y ＝34x －1平行，则a ＝________，l 1与l 2的距离为________． 答案 －43 25解析 由题可知直线l 1的斜率为－1a (a ≠0)，直线l 2的斜率为34，所以－1a ＝34，解得a ＝－43，则直线l 1：x －43y －2＝0，即3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝34x －1，即3x －4y －4＝0，所以它们之间的距离为d ＝|－6＋4|32＋－42＝25. 10．直线3x －4y ＋5＝0关于直线x ＝1对称的直线的方程为________． 答案 3x ＋4y －11＝0解析 直线3x －4y ＋5＝0与x ＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34，所以关于直线x ＝1对称的直线的斜率为－34，故所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.11．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0，则原点O 到l 1的距离的最大值是________． 答案 5解析 直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0， 则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为 |OA |＝－32＋42＝5.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1与l 2之间的距离最大时，直线l 1的方程是____________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2之间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)， 所以k AB ＝－1－10－1＝2， 所以两平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.13．(2022·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线y ＝x ＋1x (x >0)上，则点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为( ) A.45 B ．1 C.65 D.75 答案 C解析 设点P (x 0，y 0)， y ＝f (x )＝x ＋1x(x >0)，则f ′(x 0)＝1－1x 20，点P 与直线3x －4y －2＝0的最小距离，即为f (x )在点P 处的切线的斜率等于直线3x －4y －2＝0的斜率时的情况，即满足1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以y 0＝2＋12＝52，所以点P ⎝⎛⎭⎫2，52， 所以点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪2×3－4×52－242＋32＝65.14．若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( ) A ．x －2y －13＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －6＝0答案 A解析 因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0平行， 所以n ＝－2×2＝－4，又两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25， 所以|2m ＋6|4＋16＝25，解得m ＝7，即直线l 1：x －2y ＋7＝0，l 2：x －2y －3＝0，设直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为x －2y ＋c ＝0， 则|－3－7|5＝|－3－c |5，解得c ＝－13， 故所求直线方程为x －2y －13＝0.15．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 A解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，直线P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．16．(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，AB ＝2AD ，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为( )A.16或12B.12或1C.16或32 D ．1或32答案 C解析 如图1，作A 关于DC 的对称点为E ，D 关于AB 的对称点为G ，C 关于AB 的对称点为F ，连接GF ，EF ， 由题可得tan α＝EG GF ＝3AD 2AD ＝32.图1 图2 如图2，作A 关于BC 的对称点为G ，B 关于AD 的对称点为F ，C 关于AD 的对称点为E ， 连接EF ，EG ，由题可得tan α＝EF GF ＝AD6AD ＝16.综上，tan α的值为16或32.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 直线与椭圆教学案 理 新人教A版-新
第2课时 直线与椭圆直线与椭圆的位置关系1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A.m >1B.m >0C.0<m <5且m ≠1D .m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴5k 2＋m －1≥0， ∴m ≥1且m ≠5.2.已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.弦长及中点弦问题命题点1 弦长问题例1斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.命题点2 中点弦问题例2已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________________. 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，①x 224＋y 222＝1，②①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.记住必须检验.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率).(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A (－1，0)，B (1，0)，过焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，则直线l 的方程为________. 答案2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.解析 由题意得b ＝1，c ＝1. ∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为y 22＋x 2＝1.若直线l 斜率不存在时，|CD |＝22，不符合题意. 若l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋2x 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.Δ＝8(k 2＋1)>0恒成立.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2). ∴x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. ∴|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22k 2＋1k 2＋2.即22k 2＋1k 2＋2＝322，解得k 2＝2，∴k ＝± 2.∴直线l 方程为2x －y ＋1＝0或2x ＋y －1＝0.(2)(2019·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.14D.32答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1.∵PF ∥l ，∴k PF ＝k l ＝－b c ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1. ∴x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，∴2a 2＋－bc b2＝0，可得2bc ＝a 2，∴4c 2(a 2－c 2)＝a 4，化为4e 4－4e 2＋1＝0， 解得e 2＝12，又∵0<e <1，∴e ＝22. 直线与椭圆的综合问题例3(2019·某某)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率. 解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意知，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0).设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练2已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程.解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，则⎩⎨⎧c ＝3b ，c ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3b 2，a 2－b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，Δ＝8(k 2＋1)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1，F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A.至多为1B.2C.1D.0 答案 B 解析 由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部， 故所求交点个数是2.2.直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A.2B.433C.4D.不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )， 则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5，当y ＝－13时，弦长最大为433.3.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53， 故选B.4.已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A.12B.－12C.2D.－2 答案 B解析 设弦所在直线的斜率为k ，弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意.故弦所在直线的斜率为－12.故选B.5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M (1，－1)，则椭圆E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 k AB ＝0＋13－1＝12，k OM ＝－1，由k AB ·k OM ＝－b 2a 2，得b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.6.(2019·某某模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327答案 B解析 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，则by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b y 1－y 2y 1＋y 2a x 1－x 2x 1＋x 2＝－1，由题意知，y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22与原点的直线的斜率为32，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝32， ∴b a×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝1消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 可得AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，∴k OP ＝a b ＝32，∴b a ＝233. 7.直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________.答案 相交解析 由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又2F AB S △＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是________. 答案 1解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12， ∴2mn ＝4，mn ＝2， ∴12F PF S △＝12mn ＝1.10.(2020·某某部分重点中学联考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为________. 答案105解析 设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k .由|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k .在△ABF 2中，cos∠BAF 2＝4k 2＋2k 2－4k 22×4k ×2k＝14， 又在△AF 1F 2中，cos∠F 1AF 2＝3k 2＋2k 2－2c22×3k ×2k ＝14， 所以2c ＝10k ，故离心率e ＝ca ＝105. 11.已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为________.答案 2 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简，得(k 2＋2)x 2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解，因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2， 由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 故直线AB 的斜率为 2. 12.设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，E 的离心率为22，点(0，1)是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，且BF 1→＝2F 1A →，求直线BF 2的方程.解 (1)由题意知，b ＝1，且e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 解得a 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，则y 1＋y 2＝2m m 2＋2，① y 1y 2＝－1m 2＋2，② 因为F 1(－1，0)，所以BF 1→＝(－1－x 2，－y 2)，F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，由BF 1→＝2F 1A →可得，－y 2＝2y 1，③由①②③可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，±144， 则2BF k ＝146或－146， 所以直线BF 2的方程为14x －6y －14＝0或14x ＋6y －14＝0.13.(2019·全国100所名校联考)已知椭圆C ：x 2＋y 2b 2＝1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y ＝x ＋m 交于M ，N 两点，B 为上顶点.若|BM |＝|BN |，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，63 答案 C解析 设直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2＋y 2b 2＝1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋1)x 2＋2mx ＋m 2－b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m b 2＋1，x 1x 2＝m 2－b 2b 2＋1， Δ＝(2m )2－4(b 2＋1)(m 2－b 2)＝4b 2(b 2＋1－m 2)>0.设线段MN 的中点为G ，知G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m b 2＋1，b 2m b 2＋1， 因为|BM |＝|BN |，所以直线BG 垂直平分线段MN ，所以直线BG 的方程为y ＝－x ＋b ，且经过点G ，可得b 2m b 2＋1＝m b 2＋1＋b ，解得m ＝b 3＋b b 2－1. 因为b 2＋1－m 2>0，所以b 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3＋b b 2－12>0， 解得0<b <33， 因为e 2＝1－b 2，所以63<e <1. 14.(2019·某某调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.若△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3，则椭圆C 的离心率为________.答案 63解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2y 1＋y 2b 2＝0.(*) 因为△ABF 1的重心为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 6，c 3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2－c 3＝c 6，y 1＋y 23＝c 3，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝3c 2，y 1＋y 2＝c ，代入(*)式得3x 1－x 2c 2a 2＋y 1－y 2c b 2＝0， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－3b 22a 2＝－12，即a 2＝3b 2， 所以椭圆C 的离心率e ＝63. 15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则椭圆在其上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其焦距为2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( ) A.22B.2C.3D.2 答案 B解析 由题意可得2c ＝2，即c ＝1，a 2－b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22代入椭圆方程，可得1a 2＋12b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝1，即椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设B (x 2，y 2)， 则椭圆C 1在点B 处的切线方程为x 22x ＋y 2y ＝1， 令x ＝0，得y D ＝1y 2，令y ＝0，可得x c ＝2x 2， 所以S △OCD ＝12·1y 2·2x 2＝1x 2y 2， 又点B 为椭圆在第一象限上的点，所以x 2>0，y 2>0，x 222＋y 22＝1， 即有1x 2y 2＝x 222＋y 22x 2y 2＝x 22y 2＋y 2x 2≥2x 22y 2·y 2x 2＝2， 即S △OCD ≥2，当且仅当x 222＝y 22＝12， 即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22时，△OCD 面积取得最小值2，故选B. 16.已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，当OA ⊥OB 时，求△AOB 的面积.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线OP 的方程为y ＝32x ，设直线AB 的方程为y ＝32x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程并整理得x 2＋3mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝3m 2－4(m 2－1)>0，得m 2<4， 所以x 1＋x 2＝－3m ，x 1x 2＝m 2－1. 由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋m ＝74x 1x 2＋32m (x 1＋x 2)＋m 2＝74(m 2－1)＋32m ·(－3m )＋m 2＝54m 2－74＝0，得m 2＝75. 又|AB |＝1＋34x 1＋x 22－4x 1x 2＝72·4－m 2， O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋34＝|m |72， 所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×72×4－m 2×|m |72＝9110.。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9节 第1课时 直线与圆锥曲线课件 理 新人教B版
基础诊 断
考点突 破
第1课时 直线与圆锥曲线
@《创新设 计》
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为
F1(－1，0)，且点 P(0，1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程.
考点突 破
@《创新设 计》
2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又
点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
答案 A
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
3.(教材习题改编)已知与向量 v＝(1，0)平行的直线 l 与双曲线x42－y2＝1 相交于 A， B 两点，则|AB|的最小值为________. 解析 由题意可设直线 l 的方程为 y＝m，代入x42－y2＝1 得 x2＝4(1＋m2)， 所以 x1＝ 4（1＋m2）＝2 1＋m2，
@《创新设 计》
第9节 圆锥曲线的综合问题
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思 想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思 想.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
知识梳 1.直线与圆锥曲线的位置关系 理
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个 关于变量 x(或变量 y)的一元方程， 即AFx（＋xB，yy＋）C＝＝00，消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6椭圆习题理
§9.6 椭 圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P47例6、P50)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (0＜e ＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆的一条准线，常数e 叫做椭圆的__________．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2＋x2b 2＝1 (a >b >0) (3)范围 －a ≤x ≤a ， －b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ， －b ≤x ≤b(4)中心原点O (0，0)(5)顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b )， B 2(0，b )(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2－b 2(9)离心率※(10)准线x ＝±a 2cy ＝±a 2c自查自纠1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率2．(2)x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0) (7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(0＜e ＜1)(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解：由25－m 2＝4，得m 2＝9，又m >0，∴m ＝3.故选B . “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：要使方程x 25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此，“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B .(2013·全国课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解：设||F 1F 2＝2c ，则||PF 2＝233c ，∴||PF 1＝433c .∴2a ＝||PF 1＋||PF 2＝23c ，故e ＝ca ＝33.故选D . 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．解：由椭圆C 的右焦点为F (1，0)知c ＝1，且焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，a2＝4，b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故填x 24＋y 23＝1.已知椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．解：当焦点在x 轴上时，有m －4＝1，得m ＝5，此时长轴长为25；当焦点在y 轴上时，长轴长为4.故填25或4.类型一 椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点；(3)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点P 到两焦点的距离分别为5，3，过点P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，2c ＝6，即a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵所求的椭圆与椭圆x 29＋y 24＝1的焦点相同，∴其焦点在x 轴上，且c 2＝5.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵所求椭圆过点P (－3，2)，∴有9a 2＋4b2＝1.又a 2－b 2＝c 2＝5，∴联立上述两式，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝10.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. (3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过两点P 1(2，2)，P 2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．解：根据题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，将两已知点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4b 2＝1，9a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝323，b 2＝325.故椭圆方程为332x 2＋532y 2＝1，长半轴长a ＝323＝436，短半轴长b ＝325＝4105. ∵c 2＝a 2－b 2＝323－325＝6415，∴离心率e ＝ca＝c 2a 2＝105.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.解法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， ∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，∴a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴（－5）2a 2＋（3）2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.故填y 220＋x 24＝1.类型二 椭圆的离心率设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，∵PF 1的中垂线过点F 2，∴|F 1F 2|＝|F 2P |，即2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋y 2，整理得y 2＝3c 2＋2a 2－a 4c 2. ∵y 2≥0，∴3c 2＋2a 2－a 4c 2≥0，即3e 2－1e 2＋2≥0，解得e ≥33.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. 解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c－c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1. ∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D . 【点拨】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的离心率通常要构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式．(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解：设左焦点为F 1，由F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，∴F 1Q ⊥QF .不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a＝ck ＋bk ，∴c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，得b ＝c ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.故填22.类型三 椭圆的焦点三角形已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，P 点坐标为(x 0，y 0)．(1)||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0. 在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝||PF 12＋||PF 22－||F 1F 222||PF 1·||PF 2＝（a ＋ex 0）2＋（a －ex 0）2－4c 22（a ＋ex 0）（a －ex 0）＝cos60°＝12，解得x 20＝4c 2－a 23e2. ∵x 0∈(－a ，a )，∴x 20∈[0，a 2)，0≤4c 2－a 23c 2a 2＜a 2， 有0≤4c 2－a 2＜3c 2，解得12≤e <1.∴椭圆离心率e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明：将x 20＝4c 2－a 23e 2代入b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，求得y 20＝b 43c 2，∴||y 0＝b 23c . ∴S △F 1PF 2＝12||y 0||F 1F 2＝12·b 23c ·2c ＝33b 2.得证．【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1，∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，∴椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 类型四 椭圆的弦长(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ＝c2， 得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率e ＝c a ＝32.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.【点拨】(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略对判别式的判断．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，则椭圆C 的方程为____________．解：由题意知离心率e ＝c a ＝23，c ＝23a ，由b 2＝a 2－c 2，得b ＝53a ，∴椭圆C 的方程为x 2a2＋9y25a2＝1 .① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3(x －c )，即y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ，与①联立得32x 2－36ax ＋7a 2＝0，(4x －a )·(8x －7a )＝0，解得x 1＝a 4，x 2＝7a 8.由|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4－78a ＝54a ＝154，解得a ＝3，∴b ＝53a ＝ 5.∴椭圆C 的方程为x29＋y25＝1.故填x29＋y25＝1.类型五 椭圆中的最值问题(1)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6 ，∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.∴|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.(2)求A (0，2)到椭圆x 24＋y 2＝1上的动点的距离的最大值和最小值．解：设椭圆上的动点B (x ，y )，则|AB |＝x 2＋（y －2）2＝－3y 2－4y ＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋283，∵点B 是椭圆上的点，∴－1≤y ≤1.∴|AB |的最大值为2213，最小值为1.(3)在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解：设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋（－3）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3，2)．【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上，如(2)中的点A )；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．(1)(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到椭圆的距离d ＝x 2＋（y －6）2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52，P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0，6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋（sin θ－6）2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，∴|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D .(2)(2015·安徽合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为____________．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1，0)，A (2，0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.故填4.1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F 1F 2|＜2a ”这个条件，若|F 1F 2|＝2a ，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F 1F 2|＞2a ，则轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．7．椭圆中几个常用的结论：(1)焦半径：椭圆上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1与右(上)焦点F 2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝||PF 1，r 2＝||PF 2.①x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； ②y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0； ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．(2)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；②S ＝b 2tan θ2＝c ||y 0，当||y 0＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b2a.(4)AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|；②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.故选A .2．方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞)D ．(0，1)解：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴，只须2k>2，解得0<k <1.故选D .3．(2014·全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解：由椭圆的定义知△AF 1B 的周长为4a ＝43，a ＝ 3.由e ＝c a＝c3＝33，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A .4．(2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3解：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，∴|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，∴b 2＝3，即b ＝ 3.故选D .5．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解：由题意知A ()a ，0，B ()0，b ，AB →＝()－a ，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∵AB∥OP ，∴AB →∥OP →，因此有()－a ·b 2a ＝b ·()－c ，解得b ＝c .∴a 2－b 2＝a 2－c 2＝c 2，得e ＝22.故选C .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||AB ＝10，||BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解：由余弦定理||AF 2＝||BF 2＋||AB 2－2||BF ·||AB cos ∠ABF ＝82＋102－2×8×10×45＝36，||AF ＝6，∵||AF 2＋||BF 2＝||AB 2，∴△AFB 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，由对称性知四边形AFBF ′为平行四边形． 又∵∠AFB ＝90°，∴四边形AFBF ′为矩形． ∴⎩⎨⎧2c ＝||FF ′＝||AB ＝10，2a ＝||AF ＋||AF ′＝||AF ＋||BF ＝14， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝7.∴e ＝c a ＝57.故选B .7．(2015·乌鲁木齐调研)已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________．解：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，①将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．解：设MN 的中点为P ，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别为△ANM 与△BNM 的中位线，有|PF 1|＝12|AN |，|PF 2|＝12|BN |，又∵点P 在椭圆上，∴|AN |＋|BN |＝2|PF 1|＋2|PF 2|＝2·2a ＝12.故填12.9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为53，短轴长为4，求椭圆的方程． 解：由题意得c a ＝53，2b ＝4， 又a 2＝b 2＋c 2，则有a 2＝9，b 2＝4， 于是椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.10．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.11．(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解：(1)由题意知|BF 2|2＝b 2＋c 2＝a 2＝2，∵点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫432a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，解得b 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)易知BF 2→＝(c ，－b )．∵点B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， ∴直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 设A (x 1，y 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC ⊥x 轴，∴由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. ∴F 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2c ＋c3a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2.又∵F 1C ⊥AB ， ∴F 1C →·BF 2→＝c 2（3a 2＋c 2）a 2＋c 2－b 4a 2＋c 2＝0，即c 2(3a 2＋c 2)－(a 2－c 2)2＝0，化简得5c 2＝a 2，e 2＝15，e ＝55.(2015·全国Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，∴k OM ·k ＝－9，即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，∴l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.∵k >0，k ≠3，∴当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．。
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[小题速练]
1．直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是(
)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
y＝2x－1 [解析] x92＋y42＝1 得 4x2＋9(2x－1)2＝36，即 40x2－36x－ 27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选 A.
[答案] A
[思路引导]
利用椭圆的性质 (1) 画出草图 → 写出A的方程
→ 求出点M的坐标 → 得S△AMN
[跟踪演练] 已知对 k∈R，直线 y－kx－1＝0 与椭圆x52＋ym2＝1 恒有公共 点，求实数 m 的取值范围．
பைடு நூலகம்
[解] ∵k∈R，y－kx－1＝0，即 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，
若与椭圆x52＋ym2＝1，恒有公共点，则(0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴m≥1.且 m≠5.
考点二 弦长问题——热考点 (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆 E：xt2＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点， 点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k 的取值范围．
＝
0
，
x1
＋
x2
＝
83 5
，
x1x2
＝
8 5
，
由
弦
长
公
式
得
|AB|
＝
1＋12[x1＋x22－4x1x2]＝85.
[答案]
8 5
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 直线与椭圆的位置关系——常考点 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m
取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
2．直线与椭圆位置关系的判断：
y＝kx＋m 联立ax22＋by22＝1， 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 设一元二次方程的判别式为 Δ，Δ>0⇔有 2 个 交点⇔相交． Δ＝0⇔ 有一个交点 ⇔相切． Δ<0⇔ 无交点 ⇔相离
3．弦长公式及中点弦问题： 设 AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0) 则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|， 当 AB 过椭圆焦点时可利用|AB|＝2a＋e(x1＋x2)求解．涉及弦 的中点问题，还常用点差法(将点 A，B 坐标代入椭圆方程作差) 从而可得到 kAB＝ba22xy00.
(3)当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
直线与椭圆的位置关系有两类题型：一是判断位置关系；二 是根据位置关系确定参数的取值范围．这两类问题，在解决方法 上是相似的，通常有 2 种方法；一是联立方程，借助一元二次方 程的判别式 Δ 来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪 训练．
(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔
ax202＋by022<1 ；
ax202＋by022＝1 ；
ax202＋by022>1
.
若已知点在椭圆上，则把点的坐标代入椭圆方程，可构造关 于一些量的等式；若已知点在椭圆内，则把点的坐标代入椭圆方 程，可构造关于一些量的不等式，进而可解决相关的取值范围或 最值问题．
[答案] D
3．设 A1、A2 是椭圆x42＋y22＝1 的左、右顶点，P 在椭圆上， 若 kPA1＝2，则 kPA2 的值为________．
[解析]
设 P(x0，y0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，∴kkPPAA12＝＝xx00yy＋－00 22＝2
两式相乘得 2kPA2＝x02y－02 4 又点 P(x0，y0)在x42＋y22＝1 上，∴x20＋2y20＝4 代入上式得 kPA2
(1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，
可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个
不重合的公共点．
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个 互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．
2．已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y＋4 ＝0，有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 2 B．2 6 C．2 7 D．4 2
[解析] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1，a2－b2＝4，将 x＝－ 3y －4 代入 b2x2＋a2y2＝a2b2 得(a2＋3b2)y2－8 3b2y＋16b2－a2b2＝0， 由 Δ＝0 得(a2＋3b2)(16－a2)＝48b2，将 a2＝b2＋4 代入得 b2＝4 或 b2＝－3(舍)，∴a2＝8，故长轴长为 2a＝4 2，选 D.
[思路引导]
联立直线与 椭圆方程
→
消去y得关于x 的二次方程
→
利用Δ判断
[解] 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组
y＝2x＋m，① x42＋y22＝1，②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
第
九
平面解析几何
章
第六节
椭圆(二)
高考概览 1.能够把直线与椭圆位置关系问题转化为研究方程的解的问 题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合的 思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．已知点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系
＝－14. [答案] －14
4．已知斜率为 1 的直线过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点交椭圆于 A、B 两点，则弦 AB 的长为________．
[解析] x42＋y2＝1 的右焦点为 F( 3，0)，故直线方程为 y＝x
－ 3，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，yx＝2＋x4－y2－34＝0 得 5x2－8 3x＋8