201x届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9-6 椭圆(二) 文

[思路引导]
联立直线与 椭圆方程
→
消去y得关于x 的二次方程
→
利用Δ判断
[解] 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组
y＝2x＋m，① x42＋y22＝1，②
将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
＝－14. [答案] －14
4．已知斜率为 1 的直线过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点交椭圆于 A、B 两点，则弦 AB 的长为________．
[解析] x42＋y2＝1 的右焦点为 F( 3，0)，故直线方程为 y＝x
－ 3，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，yx＝2＋x4－y2－34＝0 得 5x2－8 3x＋8
2．已知以 F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x＋ 3y＋4 ＝0，有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 2 B．2 6 C．2 7 D．4 2
[解析] 设椭圆方程为ax22＋by22＝1，a2－b2＝4，将 x＝－ 3y －4 代入 b2x2＋a2y2＝a2b2 得(a2＋3b2)y2－8 3b2y＋16b2－a2b2＝0， 由 Δ＝0 得(a2＋3b2)(16－a2)＝48b2，将 a2＝b2＋4 代入得 b2＝4 或 b2＝－3(舍)，∴a2＝8，故长轴长为 2a＝4 2，选 D.
[思路引导]
利用椭圆的性质 (1) 画出草图 → 写出A的方程
→ 求出点M的坐标 → 得S△AMN
(1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，
可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个
不重合的公共点．
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根， 可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个 互相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点．
(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔
ax202＋by022<1 ；
ax202＋by022＝1 ；
ax202＋by022>1
.
若已知点在椭圆上，则把点的坐标代入椭圆方程，可构造关 于一些量的等式；若已知点在椭圆内，则把点的坐标代入椭圆方 程，可构造关于一些量的不等式，进而可解决相关的取值范围或 最值问题．
[答案] D
3．设 A1、A2 是椭圆x42＋y22＝1 的左、右顶点，P 在椭圆上， 若 kPA1＝2，则 kPA2 的值为________．
[解析]
设 P(x0，y0)，A1(－2,0)，A2(2,0)，∴kkPPAA12＝＝xx00yy＋－00 22＝2
两式相乘得 2kPA2＝x02y－02 4 又点 P(x0，y0)在x42＋y22＝1 上，∴x20＋2y20＝4 代入上式得 kPA2
[小题速练]
1．直线 y＝2x－1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是(
)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
y＝2x－1 [解析] x92＋y42＝1 得 4x2＋9(2x－1)2＝36，即 40x2－36x－ 27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选 A.
[答案] A
2．直线与椭圆位置关系的判断：
y＝kx＋m 联立ax22＋by22＝1， 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 设一元二次方程的判别式为 Δ，Δ>0⇔有 2 个 交点⇔相交． Δ＝0⇔ 有一个交点 ⇔相切． Δ<0⇔ 无交点 ⇔相离
3．弦长公式及中点弦问题： 设 AB 为椭圆的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0， y0) 则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|， 当 AB 过椭圆焦点时可利用|AB|＝2a＋e(x1＋x2)求解．涉及弦 的中点问题，还常用点差法(将点 A，B 坐标代入椭圆方程作差) 从而可得到 kAB＝ba22xy00.
第
九
平面解析几何
章
第六节
椭圆(二)
高考概览 1.能够把直线与椭圆位置关系问题转化为研究方程的解的问 题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合的 思想.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．已知点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系
[跟踪演练] 已知对 k∈R，直线 y－kx－1＝0 与椭圆x52＋ym2＝1 恒有公共 点，求实数 m 的取值范围．
[解] ∵k∈R，y－kx－1＝0，即 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，
若与椭圆x52＋ym2＝1，恒有公共点，则(0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴m≥1.且 m≠5.
考点二 弦长问题——热考点 (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆 E：xt2＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点， 点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k 的取值范围．
(3)当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
直线与椭圆的位置关系有两类题型：一是判断位置关系；二 是根据位置关系确定参数的取值范围．这两类问题，在解决方法 上是相似的，通常有 2 种方法；一是联立方程，借助一元二次方 程的判别式 Δ 来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪 训练．
＝
0
Leabharlann Baidu
，
x1
＋
x2
＝
83 5
，
x1x2
＝
8 5
，
由
弦
长
公
式
得
|AB|
＝
1＋12[x1＋x22－4x1x2]＝85.
[答案]
8 5
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 直线与椭圆的位置关系——常考点 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m
取何值时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．