§96第一型曲线积分的计算.ppt

简记为 L f ( x, y)ds L1 L2 .
性质 3 L ds L的长度.
f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为L f ( x, y)ds.
第一型曲线积分的计算
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x(t) ，
y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[ , ]上有 连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0，则
L
x 2 y 2 1 到 B( 2 , 2 )处的一段劣弧. 22
解法 1 L ： x cost ， y sint ， t ，
42
y
被积函数 xe x 2 y 2 e cos t,
A
ds ( sint)2 (cost)2 dt dt,
o
x
B
xe
L
x2 y2 ds e
n
长. 任取 (i ,i ) si ，作和式 f ( i ,i )si ，设
i 1
d max {si } ，如果当d 0时 ，和式的极限总存在，
1in
则称此极限为 f ( x, y) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作 f ( x, y)ds ，即 L
被积函数
弧长元素
n
2
cos tdt
(1
4
2 )e. 2
解法 2 L 的极坐标方程为 1 ， ，
42
被积函数 xe x 2 y 2 e cos ,
y A
ds 2 2 d d ,
o
x
B
xe
x2 y2 ds e
2
cos d (1
2 )e. 2
L
4
解法 3 L ： x 1 y2 ， 2 y1 ， y
9-5-1第一类曲线积分
引例 1．曲线形物体的质量
设曲线形物体在 oxy 面上是一段曲线弧 L， 它的端点为 A、B，其线密度为连续函数 f (x, y) ， 求该物体的质量 m.
分割 M1 ,M 2 , ,M n1 li ,
近似 ( i ,i )li ,
mi f ( i ,i )si .
求和
ds 2 ( ) 2 ( )d ,
f ( x, y)ds f [( )cos, ( )sin] 2 ( ) 2 ( )d
L
4. 若空间光滑曲线 L的参数方程为
x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
ds x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt ，
f ( x, y, z)ds f [x(t), y(t), z(t)] x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
L
注意：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于 参数的定积分计算时，上限必须大于下限.
（2）对 f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的， L 被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数.
1
y2 ( x)dx.
若 L由 方 程 x x( y) (c y d ) 给 出, 则 取 y 为 参 数,
ds 1 x2 ( y)dy,
d
L f ( x, y)ds c
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
3．若 L由方程 ( ) ( ) 给出，则取 为参数，
ds x2 (t) y2 (t)dt,
L f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2(t) y2 (t)dt.
2. 若 L由 方程 y y( x) (a x b) 给 出, 则 取 x 为 参数,
ds 1 y2 ( x)dx,
b
L f ( x, y)ds a f [ x, y( x)]
n
m f (i ,i )si .
i 1
y
A o
B
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
M1
M i 1
x
n
取极限
令 d max{si },
1in
m lim f ( i ,i )si .
d 0i1
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为oxy 面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
f ( x, y) 在 L 上有界.任取点列 M1 , M 2 , , M n1 ，把 L 分为 n 小 段 li (i 1, 2, , n) ，并以si 表示 li 的弧
L
f (x, y)
ds lim f (i ,i )si
d 0i1
注：
积分弧
（1）当 f ( x, y) 在光滑曲线 L 上连续时， f ( x, y)ds 存在. L
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线
n
积分：
L
f
( x,
y, z)ds
lim
d 0i1
f
( i
,i
,
i
)si
y x, ds 1 4x2 dx,
0 x 1
故 L yds OA AB B⌒O
1
0 dx
1
ydy
1
x
1 4x 2 dx
0
0
0
0 2 1 (5 5 1) 1 (5 5 7).
3 12
12
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例2. 计算 xe x 2 y 2 ds, 其中L 是从 A( 0, 1 ) 沿圆周
.
第一型曲线积分的性质
性质1 (线性性质) 设 f , g 可积, 又, 为常数, 则有
L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds .
性质2 (可加性) 设 L1 与 L2 首尾相接成 L, 则有
L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds ,
例 1．计算 yds ，其中 L 为抛物线 y x2 ，直线 L x1 及 x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
解：L
OA
AB
⌒
BO
y
B
OA :
y0 ,
y 0, ds dx,
0 x 1
y x2 x1
AB :
x1
,
y
o
y , ds dy,
0 百度文库y 1
y0 A x
⌒
BO :
y
x2
,
2
A
被积函数 xe x 2 y 2 e 1 y2 ,
o
x
B
xy
y ,
1 y2
ds
1
x
2 y
dy
dy , 1 y2
xe
x2 y2 ds e
1 2
L
2
1 y2
dy
(1
1 y2
2 )e. 2
例 3. 计 算 ( x 2 y 2 z 2 )ds , 其 中 L 为 球 面