9.5.3 旋转体与简单组合体练习题1
2018-2019学年人教A版必修2旋转体与简单组合体的结构特征作业
课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④D[根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是() 【导学号：07742019】A．圆柱B．圆台C．球体D．棱台D[截面是三角形的只有棱台，选D.]3．下列命题中正确的是()A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.]图1-1-214．如图1-1-21，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱B[一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．32 B．32πC．16πD．8πB[设圆柱底面圆的半径为r，当圆柱的母线长为8时，2πr＝4，即r＝2π，所以轴截面面积S＝2r×8＝16r＝16×2π＝32π，当圆柱的母线长为4时，2πr＝8，即r＝4π，所以轴截面面积S＝2r×4＝8r＝8×4π＝32π.故选B.]二、填空题6．如图1-1-22是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.【导学号：07742020】图1-1-22圆柱[一个长方体和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．如图1-1-23中的组合体的结构特征有以下几种说法：图1-1-23①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中说法正确的序号是________. 【导学号：07742021】①②[如图所示的组合体，可以看作“由一个长方体割去一个四棱柱构成”，也可以看作“由一个长方体与两个四棱柱组合而成”，所以①②正确．] 8．如图1-1-24所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3，则它的侧棱长为________．图1-1-246[连接O′A′，OA，过A′作A′E⊥OA，交OA于点E，∵正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为32，∴AE＝1282＋82－1222＋22＝32，A′E＝32，∴它的侧棱长AA′＝(32)2＋(32)2＝6.故答案为6.]三、解答题9．指出图1-1-25中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．图1-1-25[解]①几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．②几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．③几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：【导学号：07742022】(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，下底面半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.[冲A 挑战练]1．已知等腰梯形ABCD ，现绕着它的下底CD 所在的直线旋转一周，所得的几何体包括 ( )A ．一个圆台、两个圆锥B ．一个圆柱、两个圆锥C ．两个圆台、一个圆柱D ．两个圆柱、一个圆台B [等腰梯形的下底CD 较长，绕其所在的直线旋转一周，相当于两个全等的直角三角形分别绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成两个圆锥，还有一个矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱，故选B.]2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( ) 【导学号：07742023】A ．4B ．3C ．2D ．0.5B [如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22， ∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.]3．如图1-1-26所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么截面图形可能是图1-1-27中的________．(填序号)图1-1-26图1-1-27①③ [∵圆柱被垂直于底面的截面截圆柱得到的截面是矩形，圆锥被垂直底面的平面所截得到的截面是三角形或边界是抛物线状的面．∴此几何体被垂直底面的平面所截得到的截面如图①③.]4．已知圆锥的底面半径为1 cm ，高为2cm ，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________. 【导学号：07742024】 22 cm [设正方体的棱长为a ，则a 2＝1－22a 1，即a ＝22.] 5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解] 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S ，在Rt △SOA中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x .又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，所以x ＝7.所以圆台的高OO 1＝14(cm)，母线长l ＝2OO 1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.。
高中数学立体几何初步基本立体图形第2课时旋转体与简单组合体的结构特征课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.1 第2课时A级——基础过关练1．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①和②C．③和④D．①和④【答案】D【解析】根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体．2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )A．圆锥、棱柱B．圆锥、棱锥C．球、棱锥D．圆锥、圆柱【答案】B【解析】根据图①的底面为圆,侧面为扇形,得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形,侧面均为三角形,得图②折叠后的图形是棱锥．3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球【答案】B【解析】由题意可得AD⊥BC,且BD＝CD,所以形成的几何体是圆锥．故选B.4．如图,在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( )A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱【答案】B【解析】一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．故选B.5．(多选)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( )A ．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面,并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形 【答案】ABC【解析】该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面．故D 说法不正确．故选ABC.6．下列说法正确的是________．①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；②在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交．【答案】③【解析】①错,圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边中点的连线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．7.(2021年武汉期末)如图是一个几何体的表面展开图形,则这个几何体是________．【答案】圆柱【解析】一个长方形和两个圆折叠后,能围成的几何体是圆柱．8．一个半径为5 cm 的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4 cm,则截面圆面积为________cm 2.【答案】9π【解析】设截面圆半径为r cm,则r 2＋42＝52,所以r ＝3,所以截面圆面积为9π cm 2. 9．圆台的上底周长是下底周长的13,轴截面面积等于392,母线与底面的夹角为45°,求此圆台的高、母线长及两底面的半径．解：设圆台上、下底面半径分别为r ,R ,母线长为l ,高为h . 由题意,得2πr ＝13·2πR ,即R ＝3r .①12(2r ＋2R )·h ＝392,即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°,则h ＝R －r ＝22l .③ 联立①②③,得R ＝21,r ＝7,h ＝14,l ＝14 2.10．已知一个圆锥的底面半径为r ,高为h ,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长．解：作出圆锥的一个纵截面如图所示,其中AB ,AC 为母线,BC 为底面直径,DG ,EF 是正方体的棱,DE ,GF 是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x ,则DG ＝EF ＝x ,DE ＝GF ＝2x .依题意,得△ABC ∽△ADE ,∴hh －x＝2r 2x,∴x ＝2rhh ＋2r,即此正方体的棱长为2rhh ＋2r.B 级——能力提升练11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．0.5【答案】B【解析】如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π,8π,∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5,r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21,d 2＝R 2－r 22,∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1,∴R 2＝9,∴R ＝3.12．(多选)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是( )A ．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B ．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C ．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D ．由一个长方体与两个四棱台组合而成的【答案】AB【解析】如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．13．用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是________．【答案】2π或4π【解析】如图所示,设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr＝8,所以r＝4π；同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr＝4,所以r＝2π.14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为________．【答案】 3【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则4π＝πl2,所以母线长为l＝2.所以半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr＝2π,所以底面圆半径r＝1.所以该圆锥的高为h ＝l2－r2＝22－12＝ 3.15.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体,则截面图形可能是________(填序号)．【答案】①⑤【解析】当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时,截面图形如图①；当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时,截面图形可能为图⑤.16．圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比．解：将圆台还原为圆锥,如图所示．O 2,O 1,O 分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V 是圆锥的顶点．令VO 2＝h ,O 2O 1＝h 1,O 1O ＝h 2,则⎩⎪⎨⎪⎧h ＋h 1h ＝49＋121，h ＋h 1＋h 2h ＝491，所以⎩⎪⎨⎪⎧h 1＝4h ，h 2＝2h ，即h 1∶h 2＝2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.C 级——探索创新练17．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺,围之五尺．葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好与圆木顶部平齐,问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺【答案】C【解析】由题意,圆木的侧面展开图是矩形,将圆木侧面展开两次,则一条直角边(即圆木的高)长为24尺,其邻边长为5×2＝10(尺),因此葛藤最短为242＋102＝26(尺)．18．如图所示,已知圆锥SO 中,底面半径r ＝1,母线长l ＝4,M 为母线SA 上的一个点,且SM ＝x ,从点M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )； (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．解：将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长,∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝360°·L 2πl ＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ,其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)．f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时,在展开图中作SR ⊥AM ,垂足为R ,则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离．在△SAM 中,∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ,∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4),即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)．(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数, ∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
初三旋转测试题卷子及答案
初三旋转测试题卷子及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个点绕原点旋转90度后，其坐标变为原来的什么？A. 相反数B. 倒数C. 两倍D. 四倍2. 一个图形绕某点旋转180度后，与原图形的关系是？A. 完全重合B. 完全相反C. 部分重合D. 没有关系3. 一个图形绕某点旋转60度后，其面积和周长会如何变化？A. 面积不变，周长不变B. 面积变小，周长变小C. 面积不变，周长变长D. 面积变小，周长变大4. 一个图形绕其对称轴旋转180度后，图形的位置会如何变化？A. 完全重合B. 完全相反C. 部分重合D. 没有变化5. 如果一个图形绕某点旋转了θ度，那么它的旋转矩阵是什么？A. [cosθ -sinθ; sinθ cosθ]B. [cosθ sinθ; -sinθ cosθ]C. [sinθ cosθ; cosθ -sinθ]D. [sinθ -sinθ; cosθ cosθ]二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个点P(x, y)绕原点旋转θ度后，其新坐标为_________。
7. 若一个图形绕点(a, b)旋转θ度，其旋转后的图形与原图形的对应点坐标变化关系为_________。
8. 一个正方形绕其中心点旋转45度后，其四个顶点的坐标变化情况是_________。
9. 一个圆绕其圆心旋转任意角度，其形状和大小_________。
10. 旋转矩阵可以表示为_________，其中θ为旋转角度。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 给定一个点P(1, 2)，求该点绕原点旋转120度后的坐标。
12. 一个矩形ABCD，其中A(-1, 1)，B(1, 1)，C(1, -1)，D(-1, -1)，求该矩形绕点A旋转90度后的顶点坐标。
13. 描述一个正方形绕其对称轴旋转90度后，四个顶点的坐标变化情况。
14. 解释旋转矩阵在图形旋转变换中的作用。
四、综合题（每题5分，共10分）15. 一个正六边形绕其中心点旋转60度后，求其顶点坐标的变化。
高中数学简单几何体 简单旋转体 同步练习北师大版必修二 试题
简单几何体 简单旋转体 同步练习
一、选择题
1．过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面面积与底面面积之比为（ ）
A 、 41
B 、22
C 、 21
D 、31
2．正方体的内切球与外接球半径之比为（ ）
A 、1:3
B 、3:3
C 、 2:3
D 、3:2
3．在北纬60°圈上有甲、乙两地，它在纬度圈弧长等于2R
π（R 为地球半径），则甲、乙两地的球面距离是（ ）
A 、R
B 、R 2
C 、4R π
D 、3R
π
二、填空题
4．一圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为________ ．
5．圆台两底半径分别为2cm 和5cm ，母线长是103cm ，则它的轴截面面积为_____．
三、解答题
13．圆锥的母线长为l ，高为l 21
，则过圆锥顶点的最大面积是多少？
15．圆棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，下底面ABCD 为正方形，上底面顶点A 1到A 、B 、C 、D 的距离相等，求证：（1）各侧面为全等的平行四边形。
（2）对角面BDD 1B 1是矩形。
四、创新应用
8．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10m 处，同一时刻一根长为3m 的木棒垂直于地面，其影子长1m ，求此球的半径． 第一章 立体几何初步 §1 简单几何体 第一课时 简单旋转体。
图形的旋转综合练习题
解析
长方体绕直线AB旋转一周，形成的旋 转体为圆柱。根据圆柱的体积和表面积 公式，可以计算出旋转体的体积和表面 积。
例题2
已知圆锥绕其母线旋转一周，求 旋转体的体积和表面积。
解题技巧总结及易错点提示
01
解题技巧
02
在解决平面图形旋转问题时，要充分利用旋转的性质，如旋转角、旋转中心等 ，通过计算各顶点与旋转中心的连线与坐标轴的夹角来确定旋转后各顶点的坐 标。
图形的旋转综合练习
• 图形旋转基本概念与性质 • 平面图形旋转问题分析方法 • 空间图形旋转问题解决方法探讨 • 典型例题解析与技巧总结 • 拓展延伸：复杂场景下图形旋转应用举例 • 练习题与答案解析
目录
Part
01
图形旋转基本概念与性质
旋转中心、旋转角度和旋转方向
旋转中心
图形旋转时所围绕的点， 通常是图形的中心点或特 定点。
在机械制造和工程领域应用
旋转机械部件设计
在机械制造中，许多部件需要实 现旋转功能，如齿轮、轴承、涡 轮等。通过精确的图形旋转技术， 可以设计出高效、稳定的机械部 件。
工程图纸的旋转标
注
在工程图纸中，为了方便制造和 装配，常常需要对图形进行旋转 并标注相应的尺寸和角度。
精密测量与定位
在机械制造和工程领域，图形的 旋转也应用于精密测量和定位系 统中，如旋转编码器、激光测距 仪等。
空间几何计算
在建立空间几何模型的基础上，可以利用空间几何知识进行相关的计算和分析。例如，可 以计算图形的面积、体积、角度等几何量，以及进行图形的平移、旋转、缩放等变换操作 。
实际应用举例
空间图形旋转在实际问题中有着广泛的应用，如机器人运动规划、三维动画制作、建筑设 计等领域。例如，在机器人运动规划中，可以利用空间几何知识来描述机器人的位置和姿 态，以及进行机器人的路径规划和碰撞检测等操作。
初三旋转单元测试题及答案
初三旋转单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 若点A(1,2)绕原点顺时针旋转90°后，其坐标变为：A. (2,1)B. (-2,1)C. (1,-2)D. (-2,-1)2. 一个正方形绕中心点旋转90°后，其形状：A. 变成圆形B. 变成长方形C. 保持不变D. 变成椭圆形3. 若一个图形绕某点旋转180°后，其形状和位置：A. 发生变化B. 形状不变，位置改变C. 形状和位置都不变D. 形状改变，位置不变4. 一个正六边形绕其中心点旋转多少度后，能与自身完全重合？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 一个图形绕某点旋转后，其面积：A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）6. 若点P(-3,4)绕原点逆时针旋转180°后，其坐标变为______。
7. 一个等腰直角三角形绕其直角顶点旋转90°后，其形状变为______。
8. 一个圆绕圆心旋转任意角度，其______不变。
9. 若一个图形绕某点旋转后，其对应点的连线都经过该点，并且对应点到旋转中心的距离相等，则该图形绕该点旋转的角度为______。
10. 一个图形绕某点旋转后，其对应线段的夹角等于旋转角，该性质称为______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知点A(2,3)，点B(-1,-2)，求点A绕点B顺时针旋转45°后的坐标。
12. 一个边长为4的正方形，绕其中心点顺时针旋转45°后，求正方形的一个顶点的新坐标。
13. 已知一个等边三角形ABC，其中A(0,0)，B(1,√3)，C(-1,√3)，求三角形绕点A逆时针旋转60°后的顶点坐标。
14. 解释什么是旋转对称图形，并给出一个例子。
四、综合题（每题10分，共20分）15. 若一个图形绕某点旋转θ度后，其面积和周长都不变，试证明该图形为圆。
旋转体和简单组合体结构(第二课时)
台可表示为:圆台O O '
O
母线
O’
底面
圆台OO
思考：圆柱可以由矩形旋转得到，
圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么平面
图形旋转得到呢？如何旋转？
7
二、几种简单的旋转体
4、球体 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一
周形成的旋转体叫做球体，简称球
直径
成的面所围成的旋转体叫做圆锥
S
在右图中分别指出
母线
圆锥的轴、底面、 侧面、母线。
侧面
O
圆锥也用表示它的 轴的字母表示,右图 中的圆锥表示为圆 锥SO.
底面
圆锥SO
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二、几种简单的旋转体
3、圆台 圆台和棱台统称台体
用一个平行于圆锥底面的 平面去截圆锥，底面与截面 之间的部分叫作圆台。 侧面
指出右图中圆Biblioteka 的轴、 底面、侧面、母线.O
球心
半径
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三、简单组合体
现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、 台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体 是由简单几何体组合成的.
这些由简单几何体组成的几何体叫做简单组合体.
简单几何体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体 拼接而成,如图(1)(2)物体表示的几何体;另一种是由简单几何 体截去或挖去一部分而成,如图(3)(4)物体表示的几何体.
12
例题讲解
例2、一个直角梯形的上、下底边的长分别是15mm和 25mm，一腰与下底成60°角，以它的一条直角腰为 轴，旋转一周得一圆台，求圆台的母线长
A
D
60° B EC
13
小结
简单几何体
旋转体的体积求解练习题
旋转体的体积求解练习题旋转体的体积是在几何学中的一个重要概念。
通过将一个曲线绕某条轴线旋转一周，形成的立体图形就是旋转体。
在求解旋转体的体积时，常常需要运用积分的方法进行计算。
本文将介绍几个旋转体的体积求解练习题，帮助读者熟悉相关的计算方法和技巧。
练习题一：将函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上绕x轴旋转一周，求旋转体的体积。
解答：在求解旋转体的体积时，首先需要确定旋转的曲线和旋转轴。
根据题目中的提示，旋转的曲线为函数f(x) = x^2，旋转轴为x轴。
接下来，我们可以使用定积分的方法计算旋转体的体积。
根据旋转体的性质，我们可以将曲线分割为无限个小的圆柱体，并计算每个圆柱体的体积。
然后通过求和的方式得到整个旋转体的体积。
首先，我们将区间[0, 1]分割成无限个小的子区间，每个子区间的宽度为Δx。
然后，选择每个子区间上的一个代表点x_i，根据函数f(x_i) = x_i^2的值计算对应圆柱体的底面积。
以x_i为半径，f(x_i)为高度，可以得到圆柱体的体积为π(x_i^2)^2Δx。
接下来，利用极限的思想，将Δx无限趋近于0，将求和的过程转化为定积分的形式。
通过计算积分∫[0, 1]π(x^2)^2 dx，可以得到旋转体的体积。
练习题二：将函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周，求旋转体的体积。
解答：与练习题一类似，我们需要确定旋转的曲线和旋转轴。
根据题目中的提示，旋转的曲线为函数f(x) = sin(x)，旋转轴为x轴。
同样地，我们可以利用定积分的方法计算旋转体的体积。
对于任意一个子区间[x_i, x_i+1]，选择某个代表点x_k，并计算旋转体的一小部分体积，即圆柱体的体积。
根据函数f(x) = sin(x)的性质，可以得到圆柱体的底面积为π(sin(x_k))^2。
而当前子区间[x_i, x_i+1]的宽度为Δx_i = x_i+1 - x_i。
因此，圆柱体的体积为π(sin(x_k))^2Δx_i。
全国“创新杯”数学类说课大赛课件特等奖作品：简单组合体
一.实物导入,观图激趣
由三棱柱和四棱柱组合而成
由 圆 柱 与 圆 柱 组 合 而 成
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体 由正六棱柱和正六棱锥组合而成
用料？
空间？
二、数学建模、解决实际
例1.一个金属屋分为上、下两部分，如图所示，下 部分是一个柱体，高为2 m，底面为正方形，边长 为5 m，上部分是一个锥体，它的底面与柱体的底 面相同，高为3 m，金属屋的体积、屋顶的侧面积 各为多少(精确到0.01 m 2) ？
步骤小结，拓展想象
1.仔细观察，学会分解 例如：上题的金属屋顶可以 例如：上题的金属屋顶的底 更换成前置微课里认识过的 面可以比屋身的底面要大 台体
2.分辨图形，挑选公式
3.准确代入，正确计算 4.有头有尾，完整回答 简单几何体的组合方式多 种多样，大家还能再举些 例子吗？
例2.根据现场测量，一个承重柱分为上、下两部分，如图所 示，下部分是一个柱体，高为2.1m,底面为正方形，边长 0.7m，上部分是一个台体，它的下底面与柱体的底面相同， 上底面是正方形，边长为1.4m，高为0.35m，则整个承重柱 需要使用多少立方米的混凝土(精确到0.01 m3)？
3.准确代入，正确计算 4.有头有尾，完整回答
必做题： 1.如图所示，混凝土桥桩是由正四棱柱与正四棱锥组 合而成的几何体，已知正四棱柱的底面边长为5 m，高为 10 m，正四棱锥的高为4 m．求这根桥桩约需多少混凝土 （精确到0.01 t）？（混凝土的密度为2.25 t／m3）
2．如图所示，一个铸铁零件，是由半个圆柱与一个 正四棱柱组合成的几何体，圆柱的底面直径与高均为2 cm，正四棱柱底面边长为2 cm、侧棱为3 cm．求该零件 的重量（铁的比重约7.4 g／cm3）．（精确到0.1 g）
初三旋转测试题及答案
初三旋转测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 旋转对称图形是指绕某一点旋转一定角度后能够与自身重合的图形。
下列选项中，哪一个不是旋转对称图形？A. 正方形B. 正三角形C. 五边形D. 圆2. 一个图形绕某点旋转180°后与原图形重合，这个点称为图形的：A. 旋转中心B. 对称轴C. 旋转角D. 旋转对称中心3. 一个图形绕一点旋转90°后与自身重合，这个图形是：A. 正方形B. 正三角形C. 正五边形D. 正六边形4. 一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，这个点是图形的：A. 对称轴B. 旋转中心C. 旋转对称中心D. 旋转角5. 一个图形绕某点旋转120°后与自身重合，这个图形是：B. 正三角形C. 正五边形D. 正六边形6. 一个图形绕某点旋转360°后与自身重合，这个点是图形的：A. 对称轴B. 旋转中心C. 旋转对称中心D. 旋转角7. 一个图形绕某点旋转60°后与自身重合，这个图形是：A. 正方形B. 正三角形C. 正六边形D. 正八边形8. 一个图形绕某点旋转45°后与自身重合，这个图形是：A. 正方形B. 正三角形C. 正五边形D. 正八边形9. 一个图形绕某点旋转30°后与自身重合，这个图形是：A. 正方形B. 正三角形C. 正六边形D. 正十二边形10. 一个图形绕某点旋转72°后与自身重合，这个图形是：A. 正方形C. 正六边形D. 正十边形二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个图形绕某点旋转______度后与自身重合，这个点是图形的旋转中心。
2. 一个图形绕某点旋转______度后与自身重合，这个图形是正六边形。
3. 一个图形绕某点旋转______度后与自身重合，这个图形是正五边形。
4. 一个图形绕某点旋转______度后与自身重合，这个图形是正三角形。
5. 一个图形绕某点旋转______度后与自身重合，这个图形是正方形。
9.5 柱、锥、球及其简单组合体(1)
S正棱柱侧 ch
S正棱柱全 ch 2S底
其中，c 表示底面周长,
h表示正棱柱的高,
S底 表示正棱柱底面的面积．
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
正棱柱的侧面展开图
S表面积 S侧 2S底
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
空间图形，叫做多面体；围成多面体的
各个多边形叫多面体的面，两个相邻面
的公共边叫多面体的棱，棱与棱的公共
点叫多面体的顶点，连结不在同一面上 的两个顶点的线段叫多面体的对角线。
对角线
棱
像圆柱、圆锥、球那样的封闭几何
体叫做旋转体 。
一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数 分别叫做四面体、五面体、六面体等．
所以正三棱柱的体积为 V S底h 4 3 5 20 3 cm3
9．5 柱、锥、球及简单组合体
例3 已知一个长方体的长是12cm，宽是9cm，高是8cm. 求这个长方体对角线的长d.
结论：若长方体的长宽高分别是a,b,c则其对角 线的长是
a2 b2 c2
即：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶 点上的三条棱长 的平方和。
第9章 立体几何
授课教师：游彦
授课教师：游彦
在现实生活中,我们的周围存在着各种各样的物体, 它们具有不同的几何形状。
如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它 因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间 几何体。
创设情境 兴趣导入
什么样的几何体叫做多面体？
面
顶点
由若干个平面多边形围成的封闭的
A'
B'
部编数学九年级下册专项训练五 图形的旋转含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专项训练五 图形的旋转一、选择题 1．(2016·淮安中考)下列图形是中心对称图形的是( )2．(2016·莆田中考)规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是( )A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形3．(2016·新疆中考)如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B ，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是( )A．60° B．90° C．120° D．150°第3题图第4题图第5题图第6题图4．(2016·宜宾中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为( )．．3 D．5．(2016·贺州中考)如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(－2，5 )的对应点A′的坐标是( )A．(2，5) B．(5，2) C．(2，－5) D．(5，－2)6．(2016·无锡中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D 的长度是( )．．3 D．二、填空题7．若点(a，1)与(－2，b)关于原点对称，则a b＝________．8．(2016·江西中考)如图所示，△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为________．9．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号是________．10．(2016·大连中考)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点．若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝________．第9题图第10题图第11题图第12题图11．(2016·温州中考)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在B C的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝________度．12．★(2016·枣庄中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC△ABC绕点A 按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝________.三、解答题13．(2016·厦门中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离(不要求尺规作图)．14.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针旋转________度得到；(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．15．(2016·毕节中考)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．16．★如图①，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形O E′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．参考答案与解析1．C 2.C 3.D 4.A5．B 解析：∵线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A ′B ′，∴△ABO ≌△A ′B ′O ，∠AOA ′＝90°，∴AO ＝A ′O .作AC ⊥y 轴于C ，A ′C ′⊥x 轴于C ′，∴∠ACO ＝∠A ′C ′O ＝90°.∵∠COC ′＝90°，∴∠AOA ′－∠COA ′＝∠COC ′－∠COA ′，∴∠AOC ＝∠A ′OC ′.在△ACO 和△A ′C ′O 中，{∠ACO ＝∠A ′C ′O ，∠AOC ＝∠A ′OC ′，AO ＝A ′O ，∴△ACO ≌△A ′C ′O (AAS)，∴AC ＝A ′C ′，CO ＝C ′O .∵点A 的坐标为(－2，5)，∴AC ＝2，CO ＝5，∴A ′C ′＝2，OC ′＝5，∴点A ′的坐标为(5，2)．6．A 解析：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，∴∠A ＝90°－∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝2∵CA ＝CA 1，∴△ACA 1是等边三角形，∴AA 1＝AC ＝2，∴∠BCB ＝∠ACA ＝60°，A 1B＝AB －AA 1＝4－2＝2.∵CB ＝CB 1，∴△BCB 1是等边三角形，∴∠A 1BB 1＝∠CBB 1＋∠ABC ＝60°＋30°＝90°，∴BD ＝DB 1∴A 1D7.12 8.17° 9.② 11．46 解析：∵∠A ＝27°，∠B ＝40°，∴∠ACA ′＝∠A ＋∠B ＝27°＋40°＝67°.∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转至△A ′B ′C ，∴△ABC ≌△A ′B ′C ，∴∠ACB ＝∠A ′CB ′，∴∠ACB －∠B ′CA ＝∠A ′CB ′－∠B ′CA ，即∠BCB ′＝∠ACA ′，∴∠BCB ′＝67°，∴∠ACB ′＝180°－∠ACA ′－∠BC B ′＝180°－67°－67°＝46°.1 解析：如图，连接BB ′.∵△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°得到△AB ′C ′，AC ＝BC ，∠C ＝90°，∴AB ＝AB ′，∠BAB ′＝60°，AC ′＝B ′C ′，∠AC ′B ′＝90°，∴△ABB ′是等边三角形，∴AB＝BB ′.在△ABC ′和△B ′BC ′中，{AB ＝BB ′，AC ′＝B ′C ′，BC ′＝BC ′，∴△ABC ′≌△B ′BC ′(SSS)，∴∠ABC ′＝∠B ′BC ′＝30°.延长BC ′交AB ′于D ，则BD ⊥AB ′，D 为AB ′的中点，∴C ′D ＝12AB ′＝12AB .∵∠C ＝90°，AC ＝BC ∴AB ＝2，∴AD ＝12AB ＝1，BD C ′D ＝12AB ＝1，∴C ′B ＝BD －C ′D ＝1.13．解：如图，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴AC 3.∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，点A ，B 的对应点分别是点D ，E ，∴AC ＝CD ＝3，∠ACD ＝90°，∴AD14．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠ABF ＝∠ADE ＝90°.∵DE ＝BF ，∴△ADE ≌△ABF ；(2)解：A 90(3)解：在Rt △ADE 中，∵AD ＝BC ＝8，DE ＝6，∴AE ＝10.由题意可知AF ＝AE ＝10，∠EAF ＝90°，∴S △AEF ＝12AE ·AF ＝50.15．(1)证明：由旋转的性质得△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴AE ＝AD ＝AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD .在△AEC 和△ADB 中，∵AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD ，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB (SAS)；(2)解：∵四边形ADFC 是菱形，∴DF ＝AC ＝AB ＝2，AC ∥DF .又∵∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°.由(1)可知AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°，∴△ABD 为直角边长为2的等腰直角三角形，∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝∴BF ＝BD －DF ＝ 2.16．(1)证明：如图①，延长ED 交AG 于点H .∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA ＝OD ，OA ⊥OD .在△AOG 和△DOE 中，{OA ＝OD ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，OG ＝OE ，∴△AOG ≌△DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即D E ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′＝90°时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴在Rt △OAG ′中，OA OG ′＝12，∴∠AG ′O ＝30°.∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG ′，∴OD ∥AG ′，∴∠DOG ′＝∠AG ′O ＝30°，即α＝30°；(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′＝90°时，同理可求∠BOG ′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.综上所述，当∠OAG ′＝90°时，α＝30°或150°.②如图③，当旋转到A 、O 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，∵正方形ABCD 的边长为1，∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ∵OG ＝2OD ，∴OG ′＝OG ∴OF ′＝2，∴AF ′＝AO＋OF ′ 2.∵∠COE ′＝45°，∴此时α＝315°.。
第二课时 旋转体和简单组合体
[对点练清] 给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形． 其中正确说法的序号是________． 解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径 必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．
2．简单组合体 (1)概念：
由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组合体． (2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接 而成
的；另一种是由简单几何体截去或挖去 一部分而成的．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长
度相等．
()
(2)过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形．
[课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题 1．如图所示的图形中有
()
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，
旋转体练习题
旋转体练习题一. 选择题：1. 圆锥轴截面顶角为α，那么它的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A. παsinB. 2παsinC. παsin 2D. 22παsin2. 已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积等于上、下底面积的和，那么该圆台的高为（ ） A.34B.43C.43π D.343. 将一张圆形纸片沿其两条半径剪开，得到两个扇形，它们的圆心角的比为1:2，再将这两个扇形卷成两个圆锥筒（不计损耗和接缝用料），那么这两个圆锥筒的容积之比为（ ） A.1010B.405C.22D.124. 设O 是矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积为V ，其中以O A 为母线的圆锥的体积为V 4，则以OB 为母线的圆锥的体积等于（ ）A.V 4B.V 9C.V 12D. V 15B COA D5. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的体积之比为（ ） A.223π B. 3π C.32π D.23π6. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A. 63cmB. 6cmC. 2183cmD. 3123cm 7. 球面上三点，任意两点的球面距离都等于此球大圆周长的14，若经过这三点的小圆面积为2π，则该球的体积为（ ）A.3π B. 43π C. 83π D.32π8. 母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ）A. 263π B. 2π C. 233π D. 223π9. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是（97-8-4分） (A)20π (B)25π (C)50π (D)200π10. 圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是（97-12-5分） (A)332 (B)2π (C)637π (D)337π （97-12-5分）11. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（98-7-4分）（A ）120° （B ）150° （C ）180° （D ）240°12. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（98-13-5分）（A ）4（B ）2（C ）2 （D ）13. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（99-7-4分）（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 312314. 如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（99-12-5分）15. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（00春-5-4分）A.1:3B.2:3C.1:2D.2:916. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（00-9-5分）（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+17. 如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（00-12-5分 ）（A ） （B ）（C ）21arccos（D ）421arccos18. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A ）︒30 （B ）︒45（C ）︒60（D ）︒90（01春-9-5分）二. 填空题：1. 半径为10cm 的球内有二个平行截面，其面积分别为366422ππcm cm 和，那么这两个平行截面之间的距离为____________。
课时作业25：§1.1 第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
§1.1 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征一、选择题1．下列说法正确的是()A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形2．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1C．2 D．35.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形二、填空题6．有下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．其中正确的是________(把所有正确说法的序号都填上)．7．下面这个几何体的结构特征是__________________________________.8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．三、解答题9．指出如图①②③所示的图形是由哪些简单几何体构成的．10.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．参考答案一、选择题1． 【答案】C2． 【答案】D3． 【答案】D4． 【答案】B5. 【答案】D二、填空题6． 【答案】②④7． 【答案】由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成8． 【答案】圆柱三、解答题9．解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图③是由一个半球、一个圆柱和一个圆台拼接而成的简单组合体．10.解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD ，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，所以l ＝20 cm ，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。
课时作业17：§1.1 第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
第2课时旋转体与简单组合体的结构特征一、选择题1.下列几何体中不是旋转体的是()考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 A解析此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的.5.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为()A.10 3 cmB.20 3 cmC.20 cmD.10 cm考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 A解析如图所示，在Rt△ABO中，AB＝20 cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos 30°＝20×32＝103(cm).6.下列命题：①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台中所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①④D.①③④答案 D7.一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π答案 A8.下列结论正确的是()A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 D解析需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误.故选D.二、填空题9.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案两个同底的圆锥组合体解析由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成； ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成； ③由一个长方体挖去一个四棱台构成； ④由一个长方体与两个四棱台组合而成. 其中说法正确的序号是________. 考点 简单组合体的结构特征 题点 与拼接、切割有关的组合体 答案 ①②11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________. 考点 圆锥的结构特征 题点 与圆锥有关的运算 答案3解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.12.边长为5的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离为________. 答案52π2＋4 解析 如图，矩形E 1F 1GH 是圆柱沿着其母线EF 剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH ＝5，GF 1＝5π2，GE 1＝254π2＋25＝52π2＋4. 所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2＋4. 三、解答题13.一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解 如图轴截面SAB ，圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°.在Rt △SOA 中，AO ＝SO ·tan 30°＝233(cm).SA ＝SO cos 30°＝232＝433(cm).所以S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433(cm 2).所以圆锥的母线长为433 cm ，圆锥的轴截面的面积为433cm 2.14.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )A.①③B.①②C.②④D.②③ 答案 A15.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求： (1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. 考点 圆台的结构特征 题点 与圆台有关的运算解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10， 解得θ＝π2，l ＝20 cm.∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm. ∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm. 即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ， 则PQ 为所求的最短距离.∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。
【高中数学】新人教A版高一第 2 课时 旋转体、组合体(练习题)
新人教A版高一第 2 课时旋转体、组合体(2464) 1.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（）A.两个共底面的圆锥B.半圆锥C.圆锥D.圆柱2.如图所示的几何体可以由选项中某个平面图形旋转而成，这个图形是（）A. B. C. D.3.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A.一个圆柱、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台D.一个圆台、两个圆锥4.下列说法中正确的是（）A.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫圆台B.棱台的侧棱延长后一定相交于一点C.以直角梯形的一条腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台D.球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段5.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（）A.2B.2πC.2π或4πD.π2或π46.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，则截面图形为（）A. B. C. D.7.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）A. B. C. D.8. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是（）A.6B.2√5C.4D.√59.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是.10.如图所示的几何体的结构特征是.11.关于如图所示几何体的结构特征，下列说法正确的有.(填序号)①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体②该几何体有12条棱、6个顶点③该几何体有8个面，并且各面均为三角形④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形12.我国古代某著作中有如下记载：“今有木长三丈五尺，围之四尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长尺.(注：1丈等于10尺)13.指出图中的两个几何体分别是由哪些简单几何体组成的.14.如图所示，四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转，其中AD//BC，AD⊥CD.当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点.15.如图,某圆锥形物体的母线长为3m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为3√3m,则圆锥底面圆的半径等于（）A.1mB.32m C.43m D.2m16.如图所示，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1//AA1，CC1//BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称.参考答案1.【答案】:C【解析】:等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是圆锥.故选 C.2.【答案】:A【解析】:因为该几何体由一个圆台和一个圆锥组成，所以平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形(与底边垂直的腰在旋转轴上)构成，可排除B，C，D，故选 A.3.【答案】:A【解析】:将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示.矩形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥.因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得一个圆柱和两个圆锥组合而成的几何体.故选 A.4.【答案】:A；B；D【解析】:根据圆台的定义可知A正确；根据棱台的定义可知B正确；以直角梯形垂直于底边的一条腰所在直线为轴旋转一周可以得到圆台，故C错误；根据球的半径的定义可知D正确.故选ABD.5.【答案】:C【解析】:设底面半径为r，若矩形的长为卷成圆柱底面的周长，则2πr=8，解得r=4π；若矩形的宽为卷成圆柱的底面周长，则2πr=4，解得r=2π.故选 C.6.【答案】:C【解析】:截面图形应为图C所示的圆环面.7.【答案】:B【解析】:由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选 B.8.【答案】:B【解析】:【分析】由题意画出图形，得到展开后扇形为半圆，再由勾股定理求解．本题考查旋转体表面上最短距离的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：由题意，圆锥底面半径为2，母线长为4，则展开后所得扇形的半径为4，弧长为4π，则展开后所得扇形的圆心角为π，如图：∵AB=4，AP=2，∴BP=√42+22=2√5．故选：B．9.【答案】:两个圆锥【解析】:连接正方形的两条对角线，可知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥，且这两个圆锥的底面重合.10.【答案】:由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，并在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的组合体【解析】:由图可知，该组合体是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，并在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的.11.【答案】:①②③【解析】:根据题意得，该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，共有12条棱、6个顶点、8个面，且每个面都是三角形.故①②③正确.12.【答案】:37【解析】:圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长为3×10+5= 35(尺)，另一条直角边长为3×4=12(尺)，因此葛藤长为√352+122=37(尺).13.【答案】:(1)该几何体由两个四棱锥和一个三棱柱拼接而成.(2)该几何体是从一个四棱柱中挖去一个圆柱与一个半球得到的.14.【答案】:当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；当AD=BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是圆柱；当AD<BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的.15.【答案】:A【解析】:作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，则该小虫爬行的最短路程为PP′.由余弦定理可得cos∠POP′=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=−12，所以∠POP′=2π3.设底面圆的半径为r，则2πr=2π3×3，解得r=1，故选A.16.【答案】:因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱.如图，在AA1上取点E，使AE=2，在BB1上取点F，使BF=2，连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分.其中一部分是三棱柱ABC−EFC1，其侧棱长为2；另一部分是四棱锥C1−EA1B1F，即截去的几何体是四棱锥.。
第二课时 旋转体与简单组合体
第二课时旋转体与简单组合体题型一旋转体的结构特征【例1】下列说法正确的是________(填序号).①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案③④⑤解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确.思维升华 1.判断旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成；(2)明确旋转轴是哪条直线.2.(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.【训练1】下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④答案D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.题型二简单组合体的结构特征【例2】请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.思维升华 1.判定实物图是由哪些简单几何体组成，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体，具有一定的空间想象能力.2.组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.【训练2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥答案D解析图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.题型三旋转体的有关计算【例3】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长为12 cm，所以高AM＝122－（5－2）2＝315(cm).(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，解得l＝20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.思维升华 1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构设相关几何变量的方程组求解.2.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.【训练3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.解设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.根据相似三角形的性质，得33＋l＝r4r.解得l＝9.所以圆台的母线长为9 cm.1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.球面、球体的区别和联系3.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何体平面化的思想.。
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旋转体与简单组合体练习题1
总分数 0分时长:不限
题型单选题填空题简答题综合题
题量 6 2 3 1
总分0 0 0 0
一、基础过关（共7题 ,总计0分）
1.下列说法正确的是（）
A. 直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C. 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示,则截面可能的图形是（）
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ②③④
3.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（）
A. (1)(2)
B. (1)(3)
C. (1)(4)
D. (1)(5)。